О некоторых интегралах от произведений цилиндрических функций

В частном случае, для условий p = q и a ^ b из

Для ряда решений задач волоконного световода представляют интерес некоторые интегралы от произведений функций Бесселя вида J Z p ( ax ) G q ( bx ) x ± 1 dx и их частные случаи. Здесь Z p ( z ) и G p ( z ) произвольные цилиндрические функции первого, второго или третьего рода порядка p . К сожалению, далеко не все из представляющих интерес интегралов такого типа представлены в явном виде в таблицах интегралов в литературе. Некоторые частные случаи представлены в отдельных работах. Однако в систематизированном виде рассматриваемую группу интегралов автору найти не удалось. В предлагаемой работе предпринята попытка восполнить этот пробел.

Следует отметить, что искомые интегралы являются частными случаями табличного, который имеет вид [1]:

(1)–(2) следует [1–3]:

J Z p ( ax ) G p ( bx ) xdx =

x

—----— X

2   ^2

a - b

dG^ ( bx )          dZ^ ( ax )

x Zp (ax) —p--Gp (bx) —p--- dx           dx

= -^x-^ [aZp+i(ax)Gp (bx) - a2 - b2

- bZ p ( ax ) G p ₊ i ( bx ) ] .

Для условий a = b и p ^ q из (1)—(2) [1–3]:

J

Z ( ax ) G ( ax )

-p-----^q---dx =

x

- x

22 p - q

Z p ( ax )

dG q ( ax )

dx

-

следует

dZ ( ax )

- G_n ( ax ) — ^p--- q dx

- ax

—----— x

22 p - q

f ( a ² - b ²) x - q

•                 x

Z p ( ax ) G q ( bx ) dx =

x

dG_n ( bx )          dZ„ ( ax )

= x Zp (ax) q--Gq (bx)    ---- dx           dx

+

[ Z p ₊ i ( ax ) G q ( ax ) - Z p ( ax ) G q ₊ i ( ax ) ] + Z p ( ax ) G q ( ax )

.

.

Или, после подстановки формул для производных функций Бесселя [1–3]:

p + q

Ниже рассмотрим частные случаи интегралов (3) и (4).

Г ( a ² - b ²) x - p q

J                 x

Z p ( ax ) G q ( bx ) dx =

= x [ aZ_{p + 1}( ax ) G q ( bx ) - Z p ( ax ) G_{q + 1}( bx ) ] -       (2)

- ( p - q ) Z p ( ax ) G q ( bx ).

1. Неопределенные интегралы типа J Z p ( ax ) G p ( ax ) x dx

Искомый интеграл может быть получен из (3) при a ^ b . В [1], используя правило Лопита-ля [3], записали решение в общем виде. Для

функций Бесселя первого и второго рода произвольного порядка формула принимает вид:

J J p ( ax ) Y p ( ax ) x dx =

dJ v ( z ) = ( ± 1) n dv 2

+

x ²

—

Для

dJ_p ( ax ) dY_p ( ax )

—p     p + dx    dx

X

n — 1

n Y n ( z ) ± n ! ” k = 0

( z /2) ^{k —} J ( z ) k !( n — k )

p

2 1

₂ J p ( ax ) Y p ( ax ) .

a

вычисления производных в (5) можно

воспользоваться известными формулами [2–5]:

dJ_p ( z ) dz dY_p ( z ) dz

J p — 1 ( z ) — J p + 1 ( z )

Y p — 1 ( z ) — Y p + 1 ( z )

,

.

Для модифицированных функций Бесселя первого и второго рода произвольного порядка формула (5) принимает вид:

J I p ( ax ) K p ( ax ) xdx =

dY v ( z ) =		( ± 1) n v
	dv	2
X	[ —П J n ( z I	± n , ^ ( z /2) k — nY k ( z ) 1 k "=o     k !( n — k )	,
dI y ( z ) = (		— 1) n X
	dv
X	" — K n ( z ) L	± n ! у ( — 1) k ( z /2) k — nI k ( z ) 2 / ” 0       k !( n — k )
dK y ( z ) = dv		± n ! у 1 ( z /2) k — nK k ( z ) 2 ” 0    k !( n — k )

Здесь v = ± n , где n — целое число.

В [1], используя правило Лопиталя [3], реше-

—

—

x

I

Для

dI_p ( ax ) dK_p ( ax ) x ²

dx dx

—

ние записали в общем виде. Для функций Бес-

селя первого и второго рода произвольного порядка формула принимает вид:

p 2 )                 "

+ p 2 I p ( ax ) K p ( ax ) .

a )

p

p

вычисления производных в (8) можно

воспользоваться известными формулами [2–5]:

di p ( z ) _ I p — 1 ( z ) + I p + 1 ( z )

dz dK_p ( z ) dz

—

,

K p — 1 ( z ) + K p ₊ i ( z )

.

В [6] получен частный случай искомого интеграла для p = 0.

Из (3), также как частный случай, можно получить известный табличный интеграл [2; 3]:

J Z p ( ax ) xdx =

= 2 L Z p ^{( ax} ) ^— Z p — 1 ^{( ax} ) Z p + 1 ^{( ax} ) J .

2. Неопределенные интегралы

Z_p ( ax ) G_p ( ax ) типа             dx

x

Рассматриваемый интеграл получается из (4) при p ^ q . Поскольку при этом знаменатель правой части стремится к нулю, используют правило Лопиталя [1; 3]. При этом производные цилиндрических функций по индексу определяются известными формулами [2; 3]:

J

J_p ( ax ) Y_p ( ax )

x

2 p

J p ( ax ) Y p ( ax ) + ax x

dJ„ ( ax )           dJ„ .J ax ) 11

Yp+1(ax)   --Yp (ax) —p+1---- k dp                dp JI

Для модифицированных функций Бесселя первого и второго рода произвольного порядка формулу представим в следующем виде:

J

I_p ( ax ) K_p ( ax ) x

dx =

ax [                     ^dK p ^{( ax} )

= ^—    11 I p — 1 ^{( ax} ) ⁺ I p + 1 ^{( ax} ) I ",-----

4 p [                       dp

+ I p ( ax )

dK p _— 1 ( ax ) dK p ₊ 1 ( ax ) dp        dp

Используя описанный выше способ в [1] получили также общую формулу для следующего

интеграла:

f Zfe l dx = — ( Z 2 ( ax ) + x 2 p^p

dZ ,,( ax )            dZ ,, ,i( ax )

+ ax Zp+1 (ax) —p--Zp (ax) —p^1--- p       dp p       dp

где Z_p ( z ) – произвольная функция Бесселя первого или второго рода или произвольная моди-

фицированная функция Бесселя первого или второго рода.

Производные по индексу в (16)–(18) вычисляются по формулам (12)–(15).

• 3.    Аналитическая формула для интегралов вида J Zp—1(x)Zp+1(x) xdx

• 4.    Вывод формул для интегралов вида

Чтобы найти аналитическое решение для интеграла рассматриваемого вида, воспользуемся известными рекуррентными формулами [1–5]:

2p Jp (x) = Jp—1( x) + Jp+1( x), (19) 2p Yp (x) = Yp—1( x) + Yp+1( x), (20) ^Ip (x) = Jp—1( x) — Jp +1( x), (21) — pp Kp (x) = Kp—1( x) — Kp+1( x). (22) Возводя правые и левые части равенств (19)– (22) в квадрат, получаем: Jp( x) = Jp—1( x) + x2 (19) + Jp+1( x) + 2 Jp—1( x) Jp+1( x), 2 -pr Yp2( x) = Y2—1( x) + Y2+1( x) + x2 (20) + 2 Yp—1( x) Yp +1( x), 2 -p- Ip( x) = Ip—1( x) + Ip+1( x) — x2 (21) — 2 Ip—1( x) Ip+1( x), 2 -p- Kp( x) = Kp—1( x) + Kp+1( x) — x2 (22) — 2 Kp—1( x) Kp+1( x). Отсюда, для функций Бесселя первого и рого рода Zp (x) получаем, что: вто- Zp_!( x) + Z p+1( x) Zp—1( x) Zp+1( x) = — -p-1----2 p+1    + + pp2 Zp( x). x2 (24) А для модифицированных функций Бесселя первого и второго рода Zp (x) справедливо: Zp .1(x)Zp+1( x) = Zp-1( x) + Zp+1( x) . — pp2 Zp( x). x2 (25) Умножая правые и левые части на x и инте- грируя получаем:

J Zp	1 2 — 1 ( x ) Z p + 1 ( x ) xdx = — — J Z p — 1 ( x ) xdx — Z p + 1 ( x ) xdx + 2 p 2 J p^ dx .	(26)
— 2 J
J Z p	1 2 — 1 ( x ) Z p + 1 ( x ) xdx = — J Z p — 1 ( x ) xdx + Z p + 1 ( x ) xdx — 2 p 2 J p^ dx .	(27)
+ 1 2

В правой части данных равенств интегралы, которые согласно (11) и (18) берутся аналитически.

J [ Z p — 1 ( x ) G p + 1 ( x ) + Z p + 1 ( x ) G p — 1 ( x ) J xdx

Рассмотрим интеграл:

J ^f J p — 1 ^{( x} ) Y p + 1 ^{( x} ) + J p + 1 ^{( x} ) Y p — 1 ^{( x} ) J ^{x dx} -

Чтобы взять его аналитически поступим, как и в предыдущем разделе. Обратимся к формулам (19) и (20). Перемножив правые и левые части указанных равенств, получаем:

4 p ²

Jp ( x ) Yp ( x ) Jp—1( x ) Yp—1( x ) + x2

+ J p + 1 ( x ) Y p + 1 ( x ) + J p — 1 ( x ) Y p + 1 ( x ) +

+ J p + 1 ( x ) Y p — 1 ( x ),

Отсюда следует:

J p — 1 ( x ) Y p + 1 ( x ) + J p + 1 ( x ) Y p — 1 ( x ) =

= p J p ( x ) Y p ( x ) — x ²

^ J p — 1 ( x ) Y p — 1 ( x ) + J p + 1 ( x ) Y p + 1 ( x ) J ,

Умножив левую и правую части равенства (29) на x и интегрируя полученные выражения, находим, что рассматриваемый интеграл равен:

J J p — ■ ( x ) Y p + 1 ( x ) + J p + 1 ( x ) Y p — ■ ( x ) J xdx =

J_p ( x ) Y_p ( x )

= 4 p —------dx

x

—

— J J p _— 1 ( x ) Y p _— 1 ( x ) xdx — J J p ₊ 1 ( x ) Y p ₊ 1 ( x ) xdx .

Входящие в правую часть равенства (30) интегралы берутся аналитически согласно (5) и (16). Таким образом, для рассматриваемого интеграла получена искомая аналитическая формула.

Аналогично поступим в случае модифицированных функций Бесселя. Перемножив правые и левые части равенств (21) и (22), получаем:

— -p- Ip (x) Kp (x) = Ip—1( x) Kp—1( x) + x2

Таблица

№	Формула
Общие формулы
1.	J Zp(ax^dx2	[г2(аж)-гр-1(аж)гр+1(аж)"
2.	.ф. J ж        2р	x     L z dZ (ax') „ ( dZ +1(аж)"' Zp(ax) + ax Zp+^аж)           Zp(ax)					-
Здесь Zp(y) - произвольная функция Бесселя или модифицированная функция Бесселя первого, второго или третьего рода [1—3]
Функции Бесселя первого и второго рода
3.	J.^p(^)Yp(aж)жdж = |		9 dJ^(ax) dY^fax) x —------ + dж     dx			Г      О2) ж   у Цр(а^р(аж) I J	1 j
4.	f J (аж)У (аж)       1 —------dж = — J       ж          2р		[          dJp(ax)          dJ"p+1(аж)ll Jp (ax)Yv (аж) + аж Yp+1 (аж) — -- Yv (аж) — ----- > r           L        dp            dp j
5.	|^р_1(ж)¥р+1(ж) + Jp+l(ж)Yp-1(ж)Jxdж = 4р J Р ^Р dx -J J■p_l(ж)Yp_1(ж)жdж - J Jp+l(ж)Yp+1(ж)жdж
6.	J Zp-1(ж)гр+1(ж) ж dж = - |				Zp-1(ж)жdж - ^	\zp+v(x(xdx + ^pJ ^ dx
Здесь Zp(ж) - произвольная функция Бесселя первого или второго рода
Модифицированные функции Бесселя первого и второго рода
7.	J !р (аж) Кр (аж) ж dж = - -				9 dip (аж) dK (аж) Г 9 n2)   , .     , . ж2^^^--- ж2+^ Ь(аж)К„(аж) dx      dx ( a2 J P      P j
8.	Г Мож)Кр^аж)^ = -аж< J       ж             4р				г                  4dKp(ax(        [dкrl_1(aж) dKn.1(aж)l] [l 1(аж) + ! !(аж)1^----+ I (аж) —'     , ---- ( L                  J dp            L dp           dp j 1
9.	J [1р-1(ж)Кр+1(ж) + Ip+1(ж)Kp_1(ж)jжdж = 4р J р ^ р dж + +J Ip_1(ж)Kp_1(ж)жdж + J !р+1(ж)Кр+1(ж) ж dж
10.	Jzp_1(ж)Zp+1(ж)жdж = ±			* —2                1 f —2                   2 Г Zp -1(x)xdx +^JZp+^xdx 2p J      dx
Здесь Zp(ж) - произвольная модифицированная функция Бесселя первого или второго рода
Формулы для производных [2; 3]
11.	dJp^ = Jp-i(z)-dp+i(z) dz            2
12.	dYp(z) = Yp-^-Yp+^z) dz            2
13.	dlp(z) = ^p-i(z) + lp+^(z) dz           2
14.	d^p(^) =   Kp-^ + Xp+i(2) dz              2
15.	^ = !±4W±. 2             '			X^(z^2W 'k X k!(n-k) j
16.	dK^ = ± „’ x^ tz/^K^z) du      2 k k!(n-/c) к =0
Здесь V = ±п, где п — целое число

+ I p + 1 ( x ) K p + 1 ( x ) - I p - 1 ( x ) K p + 1 ( x ) -^— I p + 1 ^{( x} ) K p — 1 ^{( x ).}

Откуда следует, что:

I p — 1 ( x ) K p + 1 ( x ) + I p + 1 ( x ) K p — 1 ( x ) = 4 p ²

= -2- I p ( x ) K p ( x ) + x ²

+ I p — 1 ( x ) K p — 1 ( x ) + I p + 1 ( x ) K p + 1 ( x ).

Умножив левую и правую части равенства (32)

на x и интегрируя полученные выражения, находим, что рассматриваемый интеграл равен:

j [ I p — 1 ( x ) K p + 1 ( x ) + I p + 1 ( x ) K p — 1 ( x ) ] xdx =

I ( x ) K ( x )

= 4 p ^{2 p}----^p---dx + x

+ J I p _— 1 ( x ) K p _— 1 ( x ) xdx +

+ J I p ₊ 1 ( x ) K p ₊ 1 ( x ) x dx •

Входящие в правую часть равенства (30) интегралы берутся аналитически согласно (8) и (17). Таким образом, для рассматриваемого интеграла получена искомая аналитическая формула.

• 5.    Сводная таблица формул

Сведем рассматриваемые интегралы и необходимые для их вычисления формулы для их производных в таблице.

Заключение

В работе представлена сводная таблица некоторых интегралов от произведений цилиндрических функций, в которой приведены как известные табличные интегралы, так и полученные в данной работе аналитические формулы, а также необходимые для расчетов по данным формулам аналитические выражения для производных цилиндрических функций.