О некоторых краевых задачах для одного смешанного уравнения с разрывными коэффициентами в прямоугольной области
Автор: Елеев В.А., Жемухова З.Х.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.4, 2002 года.
Бесплатный доступ
В явном виде найдено регулярное решение краевой задачи для одного смешанного уравнения с разрывными коэффициентами в прямоугольной области.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318067
IDR: 14318067
Текст научной статьи О некоторых краевых задачах для одного смешанного уравнения с разрывными коэффициентами в прямоугольной области
В явном виде найдено регулярное решение краевой задачи для одного смешанного уравнения с разрывными коэффициентами в прямоугольной области.
Рассмотрим уравнение u$x + Uyy + р3и + /о, У > о, (1)
ип - (-y)mMyy + P2Uy + p3u, у < 0, m = 0,1
в области Q, ограниченной отрезками АОА'О, А'ОВ'О, В'0В0, ВоАо прямых ж = 0, у = h > О, ж = /, у = —а (а > 0). Обозначим через Qi = И А (у > 0) и П2 = ^ А (у < 0) эллиптическую и гиперболическую части области И соответственно. Пусть АВ — открытый интервал (ОД) при у = 0; АВ0 : ж + 2Ц—у = 0; ВА0 : ж — 2Ц—у = I — характеристики уравнения (1) при у < 0;/0 = const > 0; pi, р2 = const, причем р2 < 1.
Задача (А). Найти регулярное в области Я решение иД,у^ уравнения (1), непрерывное в замкнутых областях Qi и Я2, дважды непрерывно дифференцируемое в областях Qi и Я2 и удовлетворяющее краевым условиям
Дщ = (атж - Дм)|ж=0 = ф0(у), -а у Д(2)
Д2м = (а2щ, + Дм)|^=; = фг(у), -а < у
R3u = (a3uy + Дп)|у=л = Фн^, 0 < ж < Z;(4)
иД, —а) = ф_Дтф 0 < ж < I,(5)
где а^Д — постоянные, причем а» + Д Д 0, г = 1,2,3.
В зависимости от значений ащД,щ (г = 1,2,3), свойства функций ф0, уд, гД, ф_а будут определены каждый раз.
Пусть ад = 0, Д = 1 (г = 1,2,3), /0 = 0, m = 1, р3 = 0, р2 Д 0 и выполняются условия склеивания lira иД,у) = lira (—у)Р2-1м(ж, у), (6)
-
У^0+ улО-
- 11m м„(ж,у) = lira (—у)Р2му (ж, у). (7)
у^0+ улО-
Решение задачи (1)-(7) будем искать в виде суммы иД,у) = мх(ж,у) + и3Д,уф где, в свою очередь, функция м2 имеет вид мх(ж,у) = Гг(ж,у) + П1Д,уф
-
(с) 2002 Елеев В. А., Жемухова 3. X.
Здесь Ух(ж,у) — решение задачи:
У1жж + ^iyy + P1V1 = 0;(8)
^(0,у) = 0, ^(г,у)=0, О^уО;(9)
У1(ж,/i) = ^(ж), 0 < ж < I,(10)
а Их(ж,у) — решение задачи:
Uixx — Uiyy + P1U1 = 0;(8')
^1(0,у) = ^о(у), E7i(Z,y) = уг(у), 0 ^ у ^ h;(9')
П1(ж,/г)=0.(10')
Решение и2(ж,у) ищется в виде суммы и2(ж, у) = У2(ж,у) + П2(ж,у). Здесь Р2(ж,у) — решение задачи:
^2жж + У^2уу + P2V2y = 0;(11)
V2(0,y)=0, P2(Z,y)=0, -а^у^О;(12)
У2(ж, —а) = ф-а^, 0 С ж С Z,(13)
а П2(ж,у) — решение задачи:
и2жж — U^yy + p2U2y = 0;(11')
Z72(0,y) = р0(у), U2(l,y) = Vi(y), -а^у^О;(12')
П2(ж,-а)=0.(13')
Решение задачи (8)—(10) будем искать в виде
У(ж,у) = Х(ж)У(у).(14)
Подставляя (14) в уравнение (8), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
У"(ж)+ ^У(ж) = 0, У"(у)-^У(у) =0,(15)
где k^ = -pi + кф Учитывая граничные условия (9), получим краевую задачу
^"(ж)+ ^Х(ж) = 0, X(0)=X(Z) = 0, решение которой имеет вид
Х(ж) = Х„(ж) = 8Ш^1ПЖ, к1п = ^ (п = 1,2...).
При k^u = к^п - pi общее решение второго уравнения (15) запишем в виде
^ы = у„(у) = с\п chk2n + С2п shfc2ny, где Cin,C2n — коэффициенты, подлежащие определению. Все функции
V1„(ж, у) = ^(ж)У„(у) = (Сщ с11/ь-2„у + С*2п sh к2пу)sinк1пх удовлетворяют уравнению (8) и граничным условиям (9) при любых постоянных Cin,C2n. В силу линейности и однородности уравнения (8), бесконечная сумма таких решений
У1(ж,у) = ^ [^in sh&2ny + Сф, shfc2n(^ - у)]8т&1„ж (16)
n = l также удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям ui(0,y) = ui(/,y) = 0,
У>°- , . , .
Рассмотрим теперь задачу (11), (12). С введением новых независимых переменных £ = ж, у = 2х/^У, уравнение (11) принимает вид
V2^ - V2t)T)--^---V2ll = 0.(17)
Это уравнение относится к классу уравнений Бесселя.
Из уравнения (17) после разделения переменных, с учетом граничных условий (12), получим
X"^EkU^ = 0, Х(0)=Х(0 = 0,(18)
У"(у) + ^^У'(у)+ ^У(у) = 0.(19)
Задача (18), как известно, имеет собственные значения к4п и собственные функции Хп^ = sin/гхпф Этим же собственным значениям соответствуют решения уравнения (19)
У» ГФ = ?/ ^2 [^Зп J1- р2 (^In^/) У ^4n Jp2 — 1 (^1п?/)] , где C3m,C4m — произвольные постоянные. Возвращаясь к переменным ж, у, решение У2(ж,у) уравнения (11) в области П2, обращающееся в нуль при ж = 0 и ж = I, запишется в виде
Уг(ж,у) = ^^ф^у)1 Р2 [C'snJi-p^fcinV^) + C4n-Jp2-i(fcinV^]sm^^ (20)
П = 1
Совокупность функций (16) и (20) представляет собой множество решений уравнения (1) в подобластях Qi и П2 соответственно, обращающееся в нуль при ж = 0 и
ж = I. Обозначим йфж, у) уравнения
Ml
(ж, у) = У (ж, у) + У2(ж,у). Рассмотрим задачу: , удовлетворяющее краевым условиям
найти решение
Ы1(ж,/l) = ^^(ж), М1(ж, — а) = ф-а(х),
причем фк (ж), ^-«(ж) еФфаД 'ф^Чо') = фЧ^ф = 0, и = 0,3. Имеет место
Утверждение 1. Пуств p-^p^cyh удовлетворяют условиям
Р1 7^ ^In ’ а 7^ (Ml+pa ’ т)/^1и ’ th^n^ ф &2n/(l — Р2) ( \/ &1п ) Р2 • (22)
Тогда задача (1), (21) всегда разрешима и притом единственным образом.
Здесь через ру^ди обозначены корни функции Бесселя первого рода порядка (1 ~ РзУ
-
< Удовлетворяя й1(ж, у) условиям (6), (7), (21), относительно постоянных С^, j = 1,4 получим системы алгебраических уравнений для каждого фиксированного п
Г(2 - р) sh k2uhC2n - C4n = О,
Г(2 - рфк2и chk2uhC2u - (1 - р2фVkinV”p"C4n = 0, shk2nhCln = ^hn, (23) (2y/a)1 P2 Jl-p2(kinV«)Can + (2V«y P2 Jp2-l(kinV“)C4n = V’-an:
где i i
-
^h« = ^ j фь.^™к1п^<1^ ф_аи = | У ^-«(^sinfcin^. о о
Определитель А системы (23) имеет вид
А = Г(2 - p2^2V^y-p2JY-PAkYu^
х [(1 - р2ф VkYYY”p" shk2nh - k2u chfc2n/t] shk2nh (24)
и отличен от нуля, если выполнены условия (22).
Итак, система (23) для произвольного натурального значения п всегда имеет решение и оно единственно. Решая систему (23), находим
О2п — 0, ^4п — 0, С1п — ф^/sh. k2uh,
Сзп = Ф-ст/^Ф^1 P2Ji-p2(kln^a)].
Подставляя значения коэффициентов в (16), (20), получим их(ж,у) =
^1(ж,у)
^2 (ж, у)
= Е 'ФьпМ^-у^шк^х, п=1
= Е 'Ф-апМт^8шк1пХ, п = 1
где
Обозначим и2(ж, у) = Hi (ж, у) + И2(ж, у), где Hi (ж, у) — решение задачи (8,)-(10/), a U2(x,y) — решение задачи (П')-)^').
Относительно заданных функций у?о(у), У1Ы будем предполагать, что они кусочно-гладкие непрерывные функции на отрезке [-а,/г] и удовлетворяют условиям
^(-a) = T^W = ^W = О, ^ (-а) = ^ (0) = ^ ^ = 0, и = М-
Предположим так же, что граничные функции у?о(у), Ti^ удовлетворяют условиям теоремы Гобсона [1], которая заключается в следующем:
Пусть /(д') — произвольная функция, определенная на промежутке [0, а) и удовлетворяет условиям:
-
1) /(г) — кусочно-непрерывна и имеет ограниченную вариацию во всем открытом промежутке (0,а);
-
2) интеграл
] z^f^dz о имеет конечное значение.
Тогда ряд Фурье — Бесселя
Kz) = ^2cnJv (pvu-A (0 < z < а) (27)
сходится и имеет своей суммой ^[/(г + 0) + / (г — 0)], т. е. представляет f^z^ во всякой точке непрерывности этой функции, где pvu — положительные корни уравнения Jv(z') = 0, расположенные в порядке возрастания, а коэффициенты Фурье Сп определяются по формуле
1 Сп = „ т2 , . zKzpv \pVn ) dz, v^ ^ + 1 УЦУП ) J 0 |
(n= 1,2,...). ▻ |
Рассмотрим задачу: Найти решение н2(ж,у) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:
«2(0,у) = ТоЫ^ u2(l,y) = уд(у), м2(т, h) = м2(т, -а) = 0. (28)
Имеет место
Утверждение 2. Пусть pi,p2,a,h удовлетворяют условиям pi ^ Ц, х/a ^ [/Цр2-1,т]/2тгп. Тогда задача (1), (28) разрешима и притом единственным образом.
-
< Согласно методу Фурье ищем частные решения уравнения (1) в виде
й2(ж,у) = Х(ж)У(у). (29)
Подставляя (29) в (1), получим уравнения (15), (19) относительно У(у), общие решения которых задаются формулами
У„ (у) = Ciscos 1/ Р! + k^y + C2„sin Jрх + к^у, у > 0, (30)
Ym^ = ^xF^\c\mJi-P2 (2V^) + C2mJP2-i^V^^ У < о, (31)
где Cjn, Cjm (j = 1,2) — произвольные постоянные.
Функции Ym^,Ym^ вдоль прямой у = О должны удовлетворять условиям склеивания (6), (7) и однородным граничным условиям
CinCos ущ + k^h + C^sin урх + k^h = 0, (32)
^F^"P4CimJi-p2^V^^ + C2mJp_^2V^^ = о. (33)
Удовлетворив (30), (31) условиям (6), (7) получим соотношения, из которых непосредственно следует, что С1п = С1т = 0. Учитывая это обстоятельство, из (32) и (33) получаем равенства C^sin VPi + ^i^ = 0, С2т JP2-7(2\fma) = 0. Выберем параметры ki,m таким образом, чтобы sin VPi + F1 = °, JP2-i(2Vma) = 0. Тогда собственные значения будут определяться равенством к^п = (птг//г)2 — щ, Хп = [Мр2-1, п]/4а. Подстановка этих значений в уравнение X" =р ЦХ = 0 приводит нас к соотношениям
^п (*^) — ^Зп сЮщ/Ж + Ci^ бЬАц^Ж,
^„ (ж) = С5ПСО8%ПЖ + Сбп8ШХпЖ, где Cjn (д =3,6) — произвольные постоянные.
Таким образом, мы можем получить решение задачи (1), (28) в виде формальных функциональных рядов в Qi и Q2
ЕМж,у) = ^(Fn dik2in п=1
ж + С8„ sh klnx sin —у, h
UFy^^UFF^F-i п=1

(Cg^cosx^a: + СюибтХпж), (35)
где Cjm (д = 7,10) — произвольные постоянные.
Предположения, сделанные относительно граничных функций у0(у) и уд (у) при у < 0, позволяют представить их в виде рядов Фурье — Бесселя при помощи системы взвешенных бесселевых функций [1].
Определим теперь произвольные постоянные Cjn (j = 7,10), входящие в (34), (35). Для этого представим граничные функции ipo^, фАу) ПРИ у < 0 в виде рядов Фурье — Бесселя по функциям
( ?/) P^Jpl-l (^Рр2-1,п ■
Будем иметь

РоЫ = ^^0n(v/Ty)1"P2^2-i (/Д2-1,™ п = 1 '
^(у) = £ Wn(V-y)1 P2JP2-i п = 1
^"М а
где коэффициенты Фурье — Бесселя вычисляются по известным формулам [2, 3]

Й,
^°" = о 72 (и---Т [ ^Ш^У""1^-! р2\Рр2-1,п) J и- = «д (/.,.-,,„) / ^mv^tX-v (f«-L« ф5)* 1371
Удовлетворяя (34), (35) неоднородным граничным условиям (28), получим
{ [7х(ж,у) = Ё (^o„chfci„2: + ^nshfcin2:)sin^y,
77 = 1
ОО
П2(ж,у) = Ё (V-у) P2jp^-i У-р^.-Х V4) ^oncosxnx ф^зт/с^ж), n = l
=
lu
I 2 Г . П7г
- y0(y)sin — ydy,
Уп - VOnCOSXnl hJ h_y, rm s.nxJ , 0
VomVin определяются формулами (36), (37) соответственно. >
Полученное формальное решение м(ж,у) = й1(ж,у) + й2(ж, у) задачи (1)-(7) при наших предположениях относительно граничных функций ф-а^х^фь^^окУ^^АУ^ является регулярным. Справедливость этого факта при у > 0 устанавливается с помощью общей теории рядов Фурье [2], а при у < 0 опираясь на результаты, полученные в [4]. _
Пусть теперь рх = р3 = О, /0 = 0, р2 = -2т/, и > 0, т = 0.
Решение задачи (1)-(7) снова будем искать в виде суммы двух функций м(ж,у) = Mi (ж, у) + и2 (ж, у), где в свою очередь функция их (ж, у) ищется в виде суммы их (ж, у) = У1(ж,у) + Hi (ж, у), причем Р1(ж,у) является решением уравнения (8) и удовлетворяет граничным условиям
7?1П1(0,у) = T?2P1(Z,y) =0,(38)
ДзУ^ж,/!) = ^(ж),(39)
а Их (ж, у) — решение уравнения (8'), удовлетворяющее граничным условиям
Д1И1(0,у) = у)0(уф R2U^l,y) = ^(у),(40)
ДзП^ж, /1) = 0.
Функция н2^х, у) ищется в виде суммы н2^х, у) = V2^x, у) + U2(x, у), где V2^x, у) — решение уравнения
V2M - V2yy - ^vV^y = 0,(42)
удовлетворяющее граничным условиям
Д1У2(0,у)=0, Д2У2(/,у)=0, У^-оф = ф_а^,(43)
а П2(ж,у) — решение уравнения
П2и - U2yy - ‘IvU^ = 0,(43')
удовлетворяющее граничным условиям
RiU2(0,y) = УоСу), Н2и2(1,у) = узфуф(44)
П2(ж,-а) = 0.(45)
Положим У1(ж, у) = Х(ж)У(у). Тогда из уравнения (8) и граничных условий (38) относительно У (ж) будем иметь задачу Штурма — Лиувилля
Х" + АХ = 0, адА^О) - ДХ(0) = 0, а2Х'^ + 32Х^ = 0,(46)
а относительно Y (у) получаем уравнение
Y" - АУ = 0.(47)
Собственные функции задачи (46) имеют вид
Ап(ж) = a„sin х/Х^х + 6„cos х/Х^х, где __________ __________ а» = А У ^Хпа^ + 31, bn = («1 уА») У УА„«1 + 31-.
а А„ — корни уравнения (ai«2A - /3i/32)tg\/A/ = \/A(ai/32 + /31 a2), причем и f v2( i , I (/3i«2 +/32ai)(Ana?ia2 +/3i/32)
||X„W|| =]x„Wdx=-+ ^-^^-^ .
При A = A„ общее решение уравнения (47) запишем в виде
^(у) = Yn^ = C1„ sh V^y + с2п sh(/i - у). (48)
Тогда
^1(ж,у) = ^2 (cinsh х/Х^у + c2nshx/)^(h - у))Хп(х). (49)
П = 1
Решение задачи (8'), (40) будем искать в виде суммы Uy^x,y) = г/(ж,у) + гс(ж,у), где функция щ(ж,у) подбирается так, чтобы она удовлетворяла только граничным условиям (40). Ищем м(ж,у) в виде го = ку + к2х и подбираем константы ку и к2 так, чтобы выполнялись условия (40). Это дает систему двух алгебраических уравнений, решая которую находим ку. Окончательно получаем
™(ж,у) = {(а2 + М^ - ^WoV^ - («1 + P^WM^X, где
А = ~(ац/Зг + /31«2 + P1P2IV
Подставляя Их (ж,у) в уравнение (8) и краевые условия (40), (41), получим условия для определения урс,уУ z^ + vyy = 0,(50)
Ryv(0,y) = 0, Д2^,у) = 0,(51)
R3v(x,h) = 'фн^У(52)
где
'^(ж) = - —!—{а3[(а2 + ^2(1 - xWoW - (оц + руХ^^КУ
+ ЗЫ(«2 + АИ^ - x^cp0W - («1 + руХ^фНуУ
Решение задачи (50)—(52) будем искать в виде
Ц^тр = ^XnXn(chV^y + ynshVx^y)1 Уп = Ps/P^VM- (53)
Здесь Х„(ж) — собственные функции, а А„ — собственные значения краевой задачи (40).
Удовлетворяя (53) краевому условию (52), получим фк^ = Vxn 5 2— ch VKh+ —7„ + sh\/XJiA ХДхф
_. V “з \«з / J
Следовательно,
= ( [ M)Xn^dA/ U—^V^hE
U J I «з
о
—7n +
«3
v^shvx;^} j а^ю^. о
Таким образом, решение задачи (8)-(40), (41) имеет вид
^1(ж, у) = 52 Хп (ch Vx^y + 7„ sh vX^y) А„(ж) n = l
+ [(«2 + P2P - ж))^о(у) - («1 + руХ>фу^/Х.
Собственные функции Ап(ж) и собственные значения А„ задачи (42), (43) снова определяются из краевой задачи (40).
Для определения Упфф получим дифференциальное уравнение у"^ + 2ру;^ + хпуп^ = о.(55)
Общее решение уравнения (55) имеет вид [5]
УДу) = (сзп chw„y + c4n shw„y)e"l,y, wn = V^2 - Ч, Д > Хн .(56)
УДу) = (c3ncoswny + c4nsinwny)e-1/y, wn = VXn- v2, v2 < A„,(57)
У»(у) = (сзп + c4uy^e"vy, V2 = A„.(58)
Решение краевой задачи (42)-(43) имеет вид
^2 (ж, у) = ^УДу^ХДхф(59)
п = 1
где УДу^ соответствует одному из представлений (56)-(58).
Решение задачи (43')-(45) имеет такой же вид, что и ПДх, у), только h и —а нужно поменять ролями. Следовательно, в этом случае мы имеем решение в виде
ПэД^ = ^xn(ch V>^y + 7„ sh VKy)Xn^ n = l
+ [(«2 + ^2(^ - ж))у?о(у) - («1 + /34ж)^(у)]/А, где
Хп
Уф ДД)ХДМ
2^ ch аз
ДДД -

ДД Silvia
j X2^ d^ о
Ф-ДД = ?ДтД 2—ch yAna - —7„ + V^n sh у Ana >Хп(ж). _Л ( «з \a3 ) J
Удовлетворяя и(ж,у) = и4(ж,у) + и2(ж,у) граничным условиям (21) и условиям сопряжения и+(ж,0) = и-(ж,0), Uy (ж,0) = и“(ж,0), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно cin, г = 1Д, которая однозначно разрешима, если определитель этой системы
А = sh VKh (z/ • sh VKh • sh wna - VK • ch VKh • sh wna
- wn • chw„a • sh VKh) ^ 0.
В силу условий, наложенных на заданные функции 20(у), (fi(y), 'фь (ж), 'ф-а (ж), можем заключить, что функция и(ж,у) = и4(ж,у) + иг(ж,у) и ее частные производные до второго порядка включительно непрерывны в областях Qi и Q2, что означает равномерную сходимость как и4(ж,у) и и2(ж,у), так и рядов полученных от них путем дифференцирования до второго порядка.
Задача (А) при /о ^ 0, р^ ^ О, рз ^ О, т ^ О решается аналогично предыдущему случаю.
Список литературы О некоторых краевых задачах для одного смешанного уравнения с разрывными коэффициентами в прямоугольной области
- Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения.-М.: Наука, 1953.-379 с.
- Толстов Г. П. Ряды Фурье.-М.-Л.: Наука, 1951.-396 с.
- Сохадзе Р. И. Первая краевая задача для уравнения смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения//Дифференц. уравнения.-1981.-Т. 17, № 1.-С. 150-156.
- Сохадзе Р. И. О первой краевой задаче для уравнения смешанного типа в прямоугольнике//Дифференц. уравнения.-1983.-Т. 19, № 1.-С. 127-133.
- Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике.-М.: Наука, 1956.-683 с.