О некоторых кросснормах на тензорных произведениях упорядоченных банаховых пространств
Автор: Энеева Лейла Магометовна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.1, 1999 года.
Бесплатный доступ
Как известно, теория тензорных произведений нормированных пространств находит широкое применение в теории операторов - к исследованию свойств конусов положительных операторов, к продолжению операторов и в ряде других задач. Это обстоятельство обусловлено, например, тем свойством тензорных произведений, котоpое позволяет рассматривать векторные пространства билинейных (более общее название "полилинейных") отображений как векторные пространства линейных отображений. Используя это свойство, в настоящей работе мы установим изометрию банаховых пространств операторов $\LL{\lm}{E\tilde{\x}_kF}{G^*}$ и $\LL{\lm}{E}{\LL{\lm}{G}{G^*}}$, следствием которой является ассоциативность тензорных произведений $(E\x_kF)\x_kG$ и $E\x_k(F\x_kG)$ упорядоченных банаховых пространств с кросснормой $k$.
Короткий адрес: https://sciup.org/14317996
IDR: 14317996
Текст научной статьи О некоторых кросснормах на тензорных произведениях упорядоченных банаховых пространств
п fc=l
ек ® $к, ек ^ О, к =
1, п |,
связанную с порядком в пространстве Е. (Напомним, что, по Шаттену [2], кросснормой на тензорном произведении Е ®Х нормированных пространств Е и F называется норма а, удовлетворяющая условию с(е®т) = || = || И.) Эта кросснорма исследовалась в ряде работ. Были изучены свойства тензорных конусов в тензорных произведениях с этой кросснормой ([3], [4]). В [5] для произвольных УБП Е, F Е (7£), F с аддитивной на конусе нормой и произвольного банахова пространства G получена новая характеристика этой кросснормы в терминах изометрии пространств операторов Е^Е ®кЕ Г, G) и ЕДЕ, ЕД, СД Эта характеристика существенно используется при доказательстве изометрии пространств 1-операторов Ef\E®kBF, G*) и ЕДЕ, Et Д, С*Д а уже этот результат влечет ассоциативность тензорных произведений банаховых пространств с кросснормой кв [5].
В [6] при помощи кросснормы кв была построена кросснорма к, зависящая от порядка уже не в одном, а в обоих пространствах — сомножителях тензорного произведения. Сопряженное к тензорному произведению E®F двух УБП Е и F с кросснормой к пространство описывается классом £, 771-операторов.
В этой работе будут получены: изометрия пространств £, 777-операторов Е^,тД®кЕ, G*) и ЕцтД, ЕутД, С*Д и ассоциативность тензорных произведений упорядоченных банаховых пространств с кросснормой к.
-
1°. Пусть E,F Е (?г).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Оператор Т : Е —» F* назовем £, 777-оператором, если Т : Е —» F*
и Т* F : F —» Е* являются одновременно 777-операторами [7].
I сложим
||Т||дт=8Пр{||Т||т, ДДД.
Предложение 1. Т : Е —» F* является £,т-оператором тогда и толвко тогда, когда Т и Т* являются одновременно ^-операторами ([7]), и
..........................
Пространство всех 1, 777-операторов из Е в F с нормой Ц.Цдт обозначим £t,m(E, F*Y
Предложение 2. С^Е^ ^ L^F^.
При этом оператору Т из первого пространства поставим в соответствие ограничение на F сопряженного ему оператора Т*, являющегося элементом пространства Lt^F, Е*). Аналогичная ситуация будет иметь место и для оператора U из Е(,та^Е, Е*) - ограничение на Е сопряженного ему оператора U* будет £, 777-оператором из Е в F*.
2°. Рассмотрим кросснорму к на тензорном произведении двух регулярно упорядоченных пространств. Поскольку любой элемент z Е E®F можно представить в виде z = ^1 + z2, где ^1 = Zz7=i ек ® fk с ек У 0, к = 1, пх, и z2 = a^b^b^ 0, г = 1, Т72, ТО положим к^ = inf{/cs(^i) + кр^У : z = zy F z^.
Нетрудно проверить, что к - кросснорма на Е ® F.
Справедлива
Теорема 1. ^ЕЁЛРУ изометрично ££>т^Е,Е*У
-
< Пусть g Е ^E®kFy\ Построим оператор Tg : Е —» F* по правилу
ТдУНП=д(е®П, eEEjEF.
Покажем, что Тд является £, 777-оператором. Достаточно показать, что операторы Тд : Е —> F* и Т* \р : F —> Е* являются одновременно ^-операторами (см. предложение 1).
Пусть «,.=„...,е„еВ+„/„/2...... !„^FV
Имеем
п
n
n
11^9 (Cfc) II ^*
sup IIAK1
кТдЫЛ^
sup
IIA Ki
дУк ® А)
fc = l,n
к = 1,тг
= sup
ШК1
Tl к=1
< SUp МЦдЦ^Е IIA Ki
n
(£ =t 0 к) < fc = l
к = 1,тг к = 1,тг
TlTl sup Il9ll|| 52efc||/fc|||| < ||g|||| 52efc||. ||/fe||^l k = lk = l k = l,n
Аналогично для T* получаем
^\\т*Ш\\е* < Цд||||Е/4 г=1г=1
О некоторых кросснормах на тензорных произведениях
4-57
откуда Tg ; Е ^ F* - £, 771-оператор.
Обратно, пусть Т Е Е(1ПДЕ, Е*Д Это означает, по определению, что операторы Т ■. Е ^ Е* и Т*\р ■. Е ^ Е* являются одновременно £- и 771-операторами. Покажем, что порождаемый оператором Т линейный функционал д на Е ® Е, такой, что п п
д(Е«®л) = Е<г«ьЛ).
fc=l fc=l непрерывен. Действительно,
П1 П2
п M^) = |s(52efc ® а)| = к=1
X , , z П1
Д(Е=‘®А + Е-«®ь«)аНЕ=‘®А)|
к = 1 г=1 к = 1
П1 П2 П1
= | 52 ^тек,ы \ +152 (Tfli да | < 521 ^тек,ы \ + £ I < к = 1 г=1 к = 1 г=1
П2 ЫЕ-.®». г = 1
п2
П1 П2
sEmhaii + Ewii к = 1 г=1
м П1
laEii^iiAiiiii + Eii^wwiK к = 1 г=1
м П2
< m^||52e*iiMI + iiT*Ml52M^ < к = 1г = 1
П1П2
< sup{||tii,. нт- на{ || Е=»ш||| +1| Емки ||}' fc=l1=1
Переходя к инфимуму по всем представлениям zi и ^2, получим
ф(г)| < \\Т\\(1т(,кЕ^^ + кр^У
Взяв инфимум по всем разбиениям % на сумму ^i и ^2 указанным выше способом, получаем
Ifl(^) < ЦЛ^тФ)-
Теорема доказана. >
3°. Согласно теореме 1 для пространств Е, F, G Е (?£), F и G с аддитивной на конусе нормой справедливы изометрии:
(5 ®к F) ®к G
Е ®к (F ®к G^
^Е^ДЕ^к-ЕС^,
^ Ct^E^t^F^G*^.
Теорема 2. Cftm(E ®к F, G*) изометрично Ct^E, С^^ДЕ., О*Д.
-
< Пусть Т Е £f^m{E ®к F,G*Y Он порождает оператор Т ; Е ^ ЕДЕ С*Д действующий по формуле
twn=H=®n ^eeBJeF.
Пусть с еЕ+, И = 1 и S = Тс. В силу теоремы 2 из [5] заключаем, что операторы 8 и Тс являются ^операторами.
Остается показать, что S |е и Т \f^g будут также 1-операторами. Сначала покажем, что S*\g '• G** —> F* является 1-оператором. Пусть д^, д^,... , дп Е G^- Получим п п п
Пусть теперь zi, г2,... , zn Е Кр Е F ® G, и kt 52^=1 zk ) < 1. Тогда
n
sup
^(r*zk,ek fc=i
k = l,n
n sup E ktz^ ||Tefc|| = I fk II ^ i fc=i k = l,n
IIA Ki fc = l,n
n
n sup ^Т^к^И
ЛК1 fc=i
fc = l,n
n
п
sup ||Ee^M| < \\T\V sup ^2\\ek\\HzkH\\T\\tk(^2zkY
ЦЛК1 k = l II/fe II ^ 1 fc = 1 k = l
fc = l,n
fc = l,n
Заметим, что из аддитивности норм на конусах Е^ и F^ в пространствах Е и F следует аддитивность нормы к на конусе Кр в силу утверждения 3.2.2 из [4]. Таким образом, показали включение £ц,т(Е ®к F,G*^ С £цт(Е, £цт(Е G*^Y
Покажем обратное включение. Пусть Т Е £(iTntE, £(imtF,G*Y- Он порождает оператор Т : Е ® F —> G* , действующий по формуле
п
п
т(Есевд)=Е(Те1,Д), fc=l fc=l
ек EEJk EF,k= l,n.
Покажем, что Т — £,m-оператор, для чего достаточно показать, что T*\g — £ оператор, так как в силу теоремы 2 из [5] Т является ^-оператором из Е 0 F в G*.
Граничная задача линейного сопряжения со сдвигом
4-59
Имеем для 91, д2,... , gn е G+ с Е”=1 gk < 1:
п
Е \\T*gk\\WkF^
/с = 1
п
sup IIAK1 fc = l,n
sup Е 1Ы1 ^Л ^ Е54
||А||£1 fc=i fc=i fc = l,n
n
E^m fc=l
sup
IIA Ki fc = l,n
п
) = ^b»^ <
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Пусть Е, F, G G (F), F, G — с аддитивной на конусе нормой. Тогда
IE ®к F) ®kG = E ®к (F ®к GV
Действительно, указанные пространства алгебраически изоморфны, так как можно установить соответствие, сопоставляя элементу t = Efc=i ( Е^А ei ®fi^ ®9к первого пространства элемент t = Efc=i У^Т=1 ei ® (Л^ ®9к^ второго пространства. А так как (теорема 2) сопряженные к этим пространствам совпадают, то данные пространства совпадают и топологически.
Список литературы О некоторых кросснормах на тензорных произведениях упорядоченных банаховых пространств
- Вулих Б. З. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах.-Калинин: Изд-во КГУ, 1977.-84 с.
- Schatten R. A theory of cross-spaces.-Princeton, 1950.
- Худалов В. Т. Кросснормы на тензорном произведении, связанные с порядком//Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений.-Ярославль, 1980.-С. 145-156.
- Худалов В. Т. Упорядоченные банаховы пространства и их приложения.-Владикавказ: Иристон, 1999.-200 с.
- Худалов В. Т., Энеева Лейла М. Ассоциативность тензорных произведений нормированных пространств//Доклады АМАН.-1998.-Т. 3, № 2.
- Энеева Л. М. О некоторых кросснормах на тензорных произведениях нормированных пространств//Доклады АМАН.-1999.-Т. 4, № 1.-С. 45-49.
- Левин В. Л. О двух классах линейных отображений, действующих между банаховыми пространствами и банаховыми решетками//Сиб. мат. журн.-1969.-Т. 10, № 4.-C. 903-909.