О некоторых кросснормах на тензорных произведениях упорядоченных банаховых пространств

п fc=l

ек ® $к, е_к ^ О, к =

1, п |,

связанную с порядком в пространстве Е. (Напомним, что, по Шаттену [2], кросснормой на тензорном произведении Е ®Х нормированных пространств Е и F называется норма а, удовлетворяющая условию с(е®т) = || = || И.) Эта кросснорма исследовалась в ряде работ. Были изучены свойства тензорных конусов в тензорных произведениях с этой кросснормой ([3], [4]). В [5] для произвольных УБП Е, F Е (7£), F с аддитивной на конусе нормой и произвольного банахова пространства G получена новая характеристика этой кросснормы в терминах изометрии пространств операторов Е^Е ®к_Е Г, G) и ЕДЕ, ЕД, СД Эта характеристика существенно используется при доказательстве изометрии пространств 1-операторов Ef\E®k_BF, G*) и ЕДЕ, Et Д, С*Д а уже этот результат влечет ассоциативность тензорных произведений банаховых пространств с кросснормой кв [5].

В [6] при помощи кросснормы кв была построена кросснорма к, зависящая от порядка уже не в одном, а в обоих пространствах — сомножителях тензорного произведения. Сопряженное к тензорному произведению E®F двух УБП Е и F с кросснормой к пространство описывается классом £, 771-операторов.

В этой работе будут получены: изометрия пространств £, 777-операторов Е^,_тД®кЕ, G*) и Ец_тД, Еу_тД, С*Д и ассоциативность тензорных произведений упорядоченных банаховых пространств с кросснормой к.

• 1°. Пусть E,F Е (?г).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Оператор Т : Е —» F* назовем £, 777-оператором, если Т : Е —» F*

и Т* _F : F —» Е* являются одновременно 777-операторами [7].

I сложим

||Т||д_т=8Пр{||Т||_т, ДДД.

Предложение 1. Т : Е —» F* является £,т-оператором тогда и толвко тогда, когда Т и Т* являются одновременно ^-операторами ([7]), и

..........................

Пространство всех 1, 777-операторов из Е в F с нормой Ц.Цдт обозначим £t,m(E, F*Y

Предложение 2. С^Е^ ^ L^F^.

При этом оператору Т из первого пространства поставим в соответствие ограничение на F сопряженного ему оператора Т*, являющегося элементом пространства Lt^F, Е*). Аналогичная ситуация будет иметь место и для оператора U из Е(,_та^Е, Е*) - ограничение на Е сопряженного ему оператора U* будет £, 777-оператором из Е в F*.

2°. Рассмотрим кросснорму к на тензорном произведении двух регулярно упорядоченных пространств. Поскольку любой элемент z Е E®F можно представить в виде z = ^1 + z2, где ^1 = Zz7=i ек ® fk с ек У 0, к = 1, пх, и z2 = a^b^b^ 0, г = 1, Т72, ТО положим к^ = inf{/cs(^i) + кр^У : z = zy F z^.

Нетрудно проверить, что к - кросснорма на Е ® F.

Справедлива

Теорема 1. ^ЕЁЛРУ изометрично ££_>т^Е,Е*У

• <    Пусть g Е ^E®kFy\ Построим оператор T_g : Е —» F* по правилу

ТдУНП=д(е®П, eEEjEF.

Покажем, что Т_д является £, 777-оператором. Достаточно показать, что операторы Т_д : Е —> F* и Т* \_р : F —> Е* являются одновременно ^-операторами (см. предложение 1).

Пусть «,.=„...,е„еВ₊„/„/₂...... !„^F_V

Имеем

п

n

n

11^9 (Cfc) II ^*

sup IIAK1

кТдЫЛ^

sup

IIA Ki

дУк ® А)

fc = l,n

к = 1,тг

= sup

ШК1

Tl к=1

< SUp МЦдЦ^Е IIA Ki

n

(£ =_t 0 к) <  fc = l

к = 1,тг к = 1,тг

TlTl sup Il9ll|| 52efc||/fc|||| < ||g|||| 52efc||. ||/fe||^l        k = lk = l k = l,n

Аналогично для T* получаем

^\\т*Ш\\е* < Цд||||Е/4 г=1г=1

О некоторых кросснормах на тензорных произведениях

4-57

откуда T_g ; Е ^ F* - £, 771-оператор.

Обратно, пусть Т Е Е(1ПДЕ, Е*Д Это означает, по определению, что операторы Т ■. Е ^ Е* и Т*\р ■. Е ^ Е* являются одновременно £- и 771-операторами. Покажем, что порождаемый оператором Т линейный функционал д на Е ® Е, такой, что п               п

д(Е«®л) = Е<г«ьЛ).

fc=l               fc=l непрерывен. Действительно,

П1             П2

п M^) = |s(52^efc ® а)| = к=1

X ,        , z ^П1

Д(Е=‘®А + Е-«®ь«)аНЕ=‘®А)|

к = 1            г=1                   к = 1

П1                  П2                П1

= | 52 ^те_к,ы \ +152 (T_fli да | < 521 ^те_к,ы \ + £ I <  к = 1                г=1               к = 1               г=1

П2 ЫЕ-.®». г = 1

п2

П1                 П2

sEmhaii + Ewii к = 1               г=1

м П1

laEii^iiAiiiii + Eii^wwiK к = 1                 г=1

м П2

< m^||52e*iiMI + iiT*Ml52M^ < к = 1г = 1

П1П2

< sup{||tii,. нт- на{ || Е=»ш||| +1| Емки ||}' fc=l1=1

Переходя к инфимуму по всем представлениям zi и ^2, получим

ф(г)| <  \\Т\\_(1т(,к_Е^^ + кр^У

Взяв инфимум по всем разбиениям % на сумму ^i и ^2 указанным выше способом, получаем

Ifl(^) < ЦЛ^тФ)-

Теорема доказана. >

3°. Согласно теореме 1 для пространств Е, F, G Е (?£), F и G с аддитивной на конусе нормой справедливы изометрии:

(5 ®_к F) ®_к G

Е ®к (F ®к G^

^Е^ДЕ^к-ЕС^,

^ Ct^E^t^F^G*^.

Теорема 2. Cf_tm(E ®_к F, G*) изометрично Ct^E, С^^ДЕ., О*Д.

• <    Пусть Т Е £f^_m{E ®_к F,G*Y Он порождает оператор Т ; Е ^ ЕДЕ С*Д действующий по формуле

twn=H=®n ^eeBJeF.

Пусть с еЕ₊, И = 1 и S = Тс. В силу теоремы 2 из [5] заключаем, что операторы 8 и Тс являются ^операторами.

Остается показать, что S |е и Т \f^g будут также 1-операторами. Сначала покажем, что S*\g '• G** —> F* является 1-оператором. Пусть д^, д^,... , дп Е G^- Получим п                       п                        п

^\\S*gk\\F.= sup fc=i                       II fk II ^ i ^kS*gkJk^ = sup II fk KI Е^ЗЫ k^l^-n к = 1,тг Tl < sup ^2 II9k || II fk II ^ i fc=i к = 1,тг IISAII = sup IIA К fc = l, Е№1Ы1)11^ _1 fc=l n sup ||5*|Ы|£а|Ы|| ll/fc||£i            fc=i к = 1,тг <||S||, sup II fk KJ к = 1,тг TL Eiimh k=i toll 5 IISII, Eto fc = l откуда S* — 1-оператор, и ||S*||^ < H-SHe

Пусть теперь zi, г₂,... , z_n Е К_р Е F ® G, и kt 52^₌₁ z_k ) < 1. Тогда

n

sup

^(r*zk,ek fc=i

k = l,n

n sup E ktz^ ||Tefc|| = I fk II ^ i fc=i k = l,n

IIA Ki fc = l,n

n

n sup ^Т^к^И

ЛК1 fc=i

fc = l,n

n

п

sup ||E^e^M| <  \\T\V sup ^2\\e_k\\Hz_kH\\T\\tk(^2z_kY

ЦЛК1 k = l                       II/fe II ^ 1 fc = 1                             k = l

fc = l,n

fc = l,n

Заметим, что из аддитивности норм на конусах Е^ и F^ в пространствах Е и F следует аддитивность нормы к на конусе К_р в силу утверждения 3.2.2 из [4]. Таким образом, показали включение £ц,_т(Е ®_к F,G*^ С £ц_т(Е, £ц_т(Е G*^Y

Покажем обратное включение. Пусть Т Е £(_iTntE, £(_imtF,G*Y- Он порождает оператор Т : Е ® F —> G* , действующий по формуле

п

п

т(Есевд)=Е(Те1,Д), fc=l                fc=l

е_к EEJ_k EF,k= l,n.

Покажем, что Т — £,m-оператор, для чего достаточно показать, что T*\g — £ оператор, так как в силу теоремы 2 из [5] Т является ^-оператором из Е 0 F в G*.

Граничная задача линейного сопряжения со сдвигом

4-59

Имеем для ₉₁, д₂,... , g_n е G₊ с Е”₌₁ g_k < 1:

п

Е \\T*g_k\\_WkF^

/с = 1

п

sup IIAK1 fc = l,n

sup Е 1Ы1 ^Л ^ Е⁵4

||А||£1 fc=i                    fc=i fc = l,n

n

E^m fc=l

sup

IIA Ki fc = l,n

п

) = ^b»^ <

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Пусть Е, F, G G (F), F, G — с аддитивной на конусе нормой. Тогда

IE ®_к F) ®_kG = E ®_к (F ®_к GV

Действительно, указанные пространства алгебраически изоморфны, так как можно установить соответствие, сопоставляя элементу t = Efc=i ( Е^А ^ei ®fi^ ®9к первого пространства элемент t = Efc=i У^Т=1 ^ei ® (Л^ ®9к^ второго пространства. А так как (теорема 2) сопряженные к этим пространствам совпадают, то данные пространства совпадают и топологически.