О некоторых обратных задачах для математических моделей тепломассопереноса

В работе рассматривается параболическое уравнение ut - Lоu - qLiu = f, (x,t) € Q = G x (0,T),(1)

где G - ограниченная обл;гсть в пространстве Rn П > 2) с границей Г. S = Г x (0, T) ii Li ii = 0, 1) - операторы второго порядка по переменным x 1, x2, ...,xn. Уравнение (1) дополняется начальными условиями u|t=0 = и о( x),(2)

краевыми условиями uls = Ф (x,t)(3)

и данными переопределения

∂u snls = ф(x-t)- где n - внешняя единичная нормаль к Г. Условие (4) также может быть заменено на условие вида.

n l (u) |s = ф (x,t), l (u ) = 52 bi (x,t) uxi + b o(x,t) u,(5)

i =1

где b = ( b 1 ,b 2 ,...,bn ) - гладкое век торное поле в Q такое, что для некоторой постоянной 5 о >  0 выполняется неравенство

| 52 bi ( x,t ) nil > 5 о V ( x,t ) € S.

i =1

С.Г. Пятков, А.Г. Боричевская

Ясно, что при подходящих условиях на вектор b и функцию b о задачи (1)-(4) и (1)-(3), (5) эквивалентны. Мы рассматриваем обратную задачу об определении вместе с решением и уравнения (1), удовлетворяющего условиям (2), (3), (5) неизвестной функции q ( x,t ), которая удовлетворяет дополнительному условию l ( q ) = 0 в Q. Подобные постановки в том или ином виде имеются в литературе (см., например, [1]). Фактически это условие означает, что функция q не зависит от одной из переменных. Соответствующие математические модели возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и во многих других областях (см., например, [2, 3]). Задачи с условиями переопределения, заданными не на границе цилиндра, а на некоторых внутренних многообразиях (в частности, на плоскостях, пересекающих G ), рассматривались в работах Белова Ю.Я., Аниконова Ю.Е. и ряда других авторов (см. [4-7] и имеющуюся там библиографию). Довольно подробно обратные задачи с данными Коши на боковой поверхности цилиндра были рассмотрены в случае n = 1 (см. [8]. Ряд результатов по обратным задачам с данными Коши на боковой поверхности цилиндра изложен в монографиях [9, 10], где в основном рассматривается случай n = 1 , и неизвестные коэффициенты или правая часть зависят лишь от пространственных переменных. Мы также сошлемся на монографии [12, 13], где можно найти библиографию и ряд результатов, посвященных параболическим обратным задачам. Цель настоящей работы - получить теоремы существования и единственности решений ( и, q ) задачи (1)-(3), (5) в пространствах Соболева. Результаты были анонсированы в [14].

• 1.    Определения и основные результаты

Мы используем пространства Лебега Lp ( G ) и пространства Ck ( G ), состоящие из функций, имеющих в области G все производные до порядка к включительно, непрерывные в G и допускающие непрерывное продолжение на замыкание G. Обозначения для пространств Соболева Wp ( G ) являются стандартным и (см. [15, 16]). Символ Bpsp ( G ) обозначает пространство Бесова. Для данного интервала J = (0 , T ), поло жим Q = G х J и Wp, ( Q ) = Lp ( J ; Ws ( G )) П Lp ( G ; Wr ( J )). соответственно. W p ^,r ( S ) = Lp ( J ; Wp (Г)) П Lp (Г; Wr ( J )). Аналогично определяем анизотропные пространства Гельдера и Бесова (см. [15, 16]). Считаем, что область Р огранинена и д Р Е C ². Мы говорим. что Г = dG Е C^в ( в >  1)- если для каждой тонки x о Е Г существует касательная плоскость и окрестность U этой тонки со следующими свойствами: в локальной системе координат y , полученной из исходной после вращения и переноса начала координат так, что ось yn направлена по нормали к Г в x о, для некоторых постоянных d, r >  0 имеем

U П G = {y Е R n : y Е Br,ш ( y' ) < yn < ш ( y‘ ) + d}, y' = ( y 1 ,... ,Уп- 1) ,

U П (R n \ G ) = {y Е R n : ш ( y' ) - d < yn < ш ( y' ) },

Г П U = {y Е Rn : y' Е Br., yn = ш(y')}, ш Е Cв(Br), где Br = {y' : |y'| < r} ii без ограничения обthiioctii считаем, что Mr < d/4. г,те M - постоянная Липшица функции ш в Br. Если условие Г Е C2 выполнено, то норма в пространстве Wp(Г) (или в пространстве Bp,p(Г)) (s < 2) может быть определена следующим образом (см. [15]). Пусть {Uj}m=1 открытое покрытие Г областями вида U из вышеприведенного определения и {yj}m=1 - соответствующее бесконечно дифференцируемое разбиение единицы. Для каждого j можем определить преобразование z' = y', zn = yn—ш(y') выпрямляющее границу (y - локальная система координат). Тогда m                            1 /p llullwp (Г) = ( ^h^j u(x(y(z,0))) ll^s (Br))   , z = ( z 1,z 2 ,...,Zn-1).

j =1                        ^p

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Нормы, отвечающие различным наборам {Uj}m =1 и покрытиям границы {фj}m =1, эквивалентны. Здесь символ WpS может быть заменен на символ Bpp. Отметим, что преобразования координат х ^ y ^ z b каждой из областей Uj, вообще говоря, различны. Обозначим Q^Y = G х (0 , y ), S^Y = dG х (0 , y ). Относительно данных предполагаем, что

• 2 -    ²                                      2 - ¹ , 1 - ¹

и 0 ,l (и о) е Bp,p p (G), ф е C2,1( S), ф е Bp,pp 2 p (S),                   (6), где здесь и далее считаем, что p > n + 2. Это условие гарантирует, что любая функция и Е W2,1(Q) принадлежит на сммом деле классу C 1+в,(1+в)/2(Q) для пекоторого в > 0 (см. лемму 3.3 гл. 2 в [16].

Запишем условия согласования в виде и о | г = ф (х, 0) ,1 (и о) | г = ф (х, 0).(7)

Считаем, что n bi Е C2,1(Q)(i = 0,1 ,...,n), ^binils < 0, bо > 51 > 0(8)

i =1

для всех (х, t) Е Q и некоторой постоянной 51 > 0. Пусть f (x,t) Е Lp(Q), 1 (f) Е Lp(Q), f |sЕ C(S).(9)

Выражение 1 ( f ) здесь понимается в смысле теор iiii обобщенных фупкщш. Пусть L о , L 1 имеют вид n

Liu = 52 ak,jux i x j + ak^i + akи ( ^к = 0 , 1) • ij =1

Относительно коэффициентов операторов Lо, L 1 предполагаем, что aj Е W^(Q), ak, ak Е W^(Q), ak |s, ak |sЕ C(S).                   (10)

При выполнении условий (6)—(10) существует функция Ф Е W 2 ^, 1( Q ) : 1 (Ф) Е W 2 ^, 1( Q ) и Ф |t =о = и о , Ф |s = ф, 1 (Ф) |s = ф. Существование такой функции Ф вытекает из стандартных теорем о продолжении (см., например, теорему 7.6 в [18]). Можно показать, используя представление (20) ниже и наши условия, что L оФ |s, L 1Ф |s Е C ( S ) . Функция Ф определяется не единственным образом. Мы дополнительно предположим, что можно построить функцию Ф с вышеуказанными свойствами, которая удовлетворяет условию

|L 1Ф |> 5 2 >  0                                    (11)

для всех ( х, t ) Е S и некоторой постоянной 5 2 >  0. Для справедливости основной теоремы достаточно, чтобы неравенство (11) выполнялось лишь локально по времени, т.е. для всех ( x,t ) Е S^Y для пекоторого y >  0. Мы предположили выпо.икипе (11) на всей грашше S лишь для удобства использования. Определим функцию q о Е C ( Q ) как решение задачи (см. лемму 3 ниже)

• ^{1    (} q о) = ⁰ , ^-q о S = ^{( f -} фt ⁺ L о^Ф) /L 1^Ф Is.

• 2.    Доказательство основных результатов

Мы будем предполагать, что оператор L = L о + q о L 1 эллиптичен, т.е. существует постоянная 5 з >  0 :

n ij2 (a0j + qоa1)$i^j > 531^|2, V(x,t) Е Q, V^ Е Rn.                    (12)

С.Г. Пятков, А.Г. Боричевская

Сформулируем основные результаты.

Теорема 1. Пусть p> n + 2, и выполнены условия (6)-(12). Тогда найдется такое y о > 0, что на промежутке времени [0, yо] существует единственное решение (u, q) задачи (1)(3), (5) такое, что u Е Wp;, 1(QY0), l (u) Е Wp,1(QY0), q Е C (Qp), l (q) = 0.

Вначале мы приведем некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть b Е Lp ( Q ). Ес ли p >  max( q, ( n + 2) / 2) ( q Е (1 , to )), mo

^bu^L_q ( q t ) < ст ^{1 _p} HuW, 1 ₍ q t ) ,

If p >  max( q, n + 2). mo

_ ( n +2) hbVu^Lp ( QT ) < c^T '     ^{2 p} u wq, 1( q t ) .

Постоянная c> 0 нс зава cum от т < T и u Е W2’ 1( Q^T ).

Доказательство этой леммы содержится в доказательстве теоремы 9.1 гл. 4 в [16].

Лемма 2. Пусть выполнены условия (8), (12) и p> n + 2. Тогда для g Е Lp(Q7) (y Е (0, T]) существует единственное решение u Е Wp’ (QY) задачи ut - Lu = g,(13)

ult=o = 0, l (u) |s = 0,(14)

удовлетворяющее оценке llullwp’ 1(QY) < cllgllPp(QY), где постоянная с не зависит от Y- Если функция l(g) определена (в смысле теории обобщенных функций) и l(g) Е Lp(Q^), то решение задачи (12), (13) обладает свойством l(u) Е Wp’ (QY) и удовлетворяет оценке

Mw?, ДQY) + \l(u)Wvf, 1(QY) < с(\\9\\pp(QY) + |l(g)Lpp(QY))•(16)

Доказательство этой леммы может быть найдено в работе [17].

Лемма 3. Пусть фо Е C(S), и выполнены условия (8). Тогда существует решение задачи l(u) = 0, u|s = фо из пространства C(Q), удовлетворяющее оценке lluHc*(Q) < с|ф0Ис(Q)•

К сожалению, мы не нашли прямой ссылки на этот результат. Однако, это утверждение может быть получено, например, с помощью метода е -регуляризации, априорной оценки из леммы, вытекающей из принципа максимума, и некоторых дополнительных рассуждений.

Доказательство основного результата. Пусть u - решение задачи (1)-(3), (5) из указанного в теореме 1 класса. Сделаем замену переменных u = v + Ф , q = q o + q 1, где

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ функция Ф продолжение краевых условий внутрь области, удовлетворяющее условию (11) (см. построение функции qо). Получим, что функция v есть решение задачи vt - Lоv — (qо + q 1)(L1 v + L 1Ф) = f - Фt + Lоф, или

vt — Lv — q 1( L1 v + L1Ф) = f — Ф t + L оФ + qо L1Ф = g, (17) vlt=о = 0, l (v) |s = 0, (18) v|s = 0, (19) где L = L о + qо L1. Поскольку Г G C 2. существует коиечиое покрытие {Uj} гран ины Г областями Uj из определения гладкоети границы. Фиксируем j и рассмотрим одну из областей U = Uj. Перейдем к локальной системе координат у и затем произведем выпрямление границы zn = yn — ш(у’), zi = у^ Onej>атор l запишется в виде:

n l (v ) = Е^ + b0 u i=1

и затем в виде n                                             n-1

l ( v ) = 52 ai ( z ) vz i + a o( z ) v, an ( z ) = П_п ( у ( z )) — 52 bi ( У ( z )) Wz , .

i =1                                               i =1

При z_n = 0 имеем

n

Ian ( z ) | (1 + |Vzш| 2) ^{_ 1} / ² = | ^ bin ( x ( у ( z, 0))) | > 5 о >  0 .

i =1

Можем записать

zn

1 an ( z )

n- 1

(l(v) —     ai (z)vzi i=1

— a о ( z ) v ) .

Находя выражение для операторов Lk (k = 0, 1) в переменных z и заменяя производную vzn, получим представление n-1             n-1

Lkv = Е ekj v   + 2 52 вкп    (v) + ennl (l (v)) + 52 ek vzi + en (v) + в о v,(20)

∂z i,j=1                i=1        ii где

^ nk enn(z', 0) = j j i 2j (x(у(z, 0))).(21)

⁽ i =1 ^{bini )}

Из представления видно, что коэффициенты enn не зависят от систем координат y,z в данной точке на Г. Полагая ( x, t ) G S и используя вышеприведенные представления операторов, из (17) получим

—ennl(l(v))Is — q 1(ennl(l(v)) + L1Ф) Is = gls, где enn = enn + qоenn > 0. По построешпо gls(x, 0) = 0 11 g G C(S) (в силу условий па данные). Таким образом,

_    g + enn ( l ( l ( v )))

^q 1 |S = ^— 1 1ПС м ! r I = A ^{( q} 1 |S ) .                            ⁽²²⁾

^{( e}nnl ⁽ l ^{( v} )) ^{+ L} 1^{ф) S}

С.Г. Пятков, А.Г. Боричевская

Мы имеем, что l(v) G W2’1(Q). В силу теорем вложения (см. лемму 3.3 гл. 2 в [16]) l(v) G Cвв/2(Q) для некоторого в > 0 и тем более непрерывна. На уравнение (22) можно смотреть как на операторное уравнение для определения функции q 1 |s G C(S). Оператор A сопоставляет q 1 |s = Ф решение задачи l(q 1) = 0, q 1 |s = Ф (см. лемму 3) и затем функцию A(q 1)- TIе v = v(q 1) решение задачи vt - Lv - q 1(L1 v + LоФ) = g,

v|t =0 = 0 , l ( v ) |s = 0 .

Перепишем (22) несколько в другом виде. Представим v в виде v = v 1 + v2, где v 1 есть решения задачи (23), (24) с q 1 = 0. Тогда v21 - Lv2 - q 1(L1 v 1 + L1 v2 + L1Ф) = 0,                         (25)

v 2 It =0 =0 , l ( v 2) | s = 0 .                                        (26)

Положим q 1 | s = q ¹ Уравнение (22) перепишется в виде

1 = - g + впп(l(l(v 1)))+ впП(l(v2)) I = A( 1 ennl(l(v2)) + вПnl(l(v 1)) + L1Ф IS где правая часть представима в виде

A ⁽ q 1) = g о I s ⁺ A 1⁽ q 1) ,

g + ennl ( l ( v 1))

L 1Ф + вП n ( l ( l ( v 1))) .

Равенство выполнено на S. Проверим выполнение условий теоремы о неподвижной точке. Фиксируем y G (0,T]. Най,тется rо > 0 такое. тгто при |q 1 Цу(qy) < rо оператор L + q 1 L 1 эллиптичен в Q7 для каждого y < T и соответственно для задачи v21 - Lv2 - q 1L1 v2 = f 0, v2|t=0 = 0, l(v2)S = 0

справедливо утверждение леммы 2 и соответствующие оценки из этой леммы. Без ограничения общности можем считать, что постоянные в этих оценках не зависят от q 1 такого, что |q 1 Цу ( q y ) < r 0 и от y G (0 , T ]. Таким образом, имеем равномерные оценки

^|v 2 Ищ р, ¹ ( q y ) < ^c|f 0I L p ( q y )                                      ⁽²⁸⁾

Il ( v 2) |^,1( qy ) < c (If0 iLp ( qy ) + Il ( f0) iLp ( qy )), где c - постоянная, не зависящая от y < T и q 1 : |q 1 |c(qy) < r0. Тогда задача (25), (26) имеет единственное решение, удовлетворяющее оценке

^{|v 2 |}w_p 2 ’ 1( q y ) ⁺ II I ⁽ v ²) ^|Щ_р 2 ' 1( q y ) < c ^{1 Iq 1} li e ( q y ) < c ^{1 r 0} .                       ⁽²⁹⁾

При получении последней оценки используем условия на коэффициенты и лемму 1 (заменяя параметр т величиной T ). Пусть r 1 = r 0 /с , где с - постоянная из оценки леммы 3. Поскольку g 0 | s ( x, 0) = 0i 1 1 ( l ( v 1))( x, 0) = 0 (отмен im. что l ( v 1) G C ^{1+ e}’ ^{(1+ e} ) / ²( Q^Y )) для некоторого в >  0 по лемме 3.3 гл. 2 в [16]), существует постоянная y 0 >  0 : V y <  y 0

^|g 0 ^|SИс ( S y ) < ^r 1 / ² .

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Возьмем y — Y о • Покажем, что найдется y — Y о такое, что оператор A переводит шар B^Y = ^{q ^1: ll q ¹ Ис ( s y ) — r i } в себя и является в нем сжимающим. Имеем

A 1⁽ q 1) = -

9 ⁺ М ^{( l} ( ^v 1)) ^{+ e}nn ^l ( ^l ( ^v 2)) вП nl ( l ( v 1)) + ennl ( l ( v 2))+ L 1Ф

-

⁹ °) I s =

= ( ^{l ( l ( v} 2^{))( в}Пn ^{( 9 + в}пп^{l ( l ( v} 1)) - ^впп ⁽ L 1^{Ф + в}Пnl ^{( l ( v} 1))) ‘

( ennl ( l ( v 1)) + ennl ( l ( v 2)) + L 1Ф) - 1( ennl ( l ( v 1)) + L 1Ф) " 1) I S•

Как вытекает из леммы 1 и оценки (29), найдется в о >  0 такое, что

I K nl ^{( l ( v} 2)) ^Ис ( S Y ) ^— Y ^{в 0} c ⁽ r о) , I K nl ^{( l ( v} 1)) li e ( S Y ) ^— cY^{e 0} •

Тогда существует постоянная y 1 — Y о : V y — Y 1

IL 1Ф + ennl ( l ( v 1)) + ennl ( l ( v 2)) l> f , IL 1Ф + ennl ( l ( v 2)) l> f , V ( x,t ) e S^Y•

Тогда можем записать оценку |A 1( q 1) Ис ( S Y ) — Y^ec 1( r о) ^и> следовательно, для самого оператора, A будем иметь

^{ИА (} q 1)li e ( S Y ) ^— Y^ec 1⁽ r о) ⁺ r | , ^V Y ^— Y 1 •

Выберем y2 — Y 1 : V y — Y2 lIA(q 1)Ис(SY) — r 1 11 таким обра:зом. оператор A переводит шар BY в BY• То, что оператор A является сжимающим в этом шаре быть может при несколько меньшем параметре y2, проверяется совершено аналогично. Таким образом, применяя теорему о неподвижной точке, получим, что найдется y2 — Yо — T и функция q 1 e C(QY2) такие, что на промежутке времени [0, y2] выполнено уравнение (22). Найдем далее функцию v2 как решение задачи (25). (26) и далее восстановим функцию v = v 1 + v2. В силу леммы 2. функция v принадлежит указанному в условии теоремы классу. Покажем, что построенная функция v удовлетворяет условию (19). Функция v есть решение задачи (25), (26) где функция q 1 |s есть решение (22), причем ||q 1 Ис(qY) — rо- Построим покрытие границы областями {Uj}jm=1 и:з определения гладкости Гранины и соответствующее разбиение единицы {фj}jm=1-Построим также функции ^j e C^ (Uj) такие, что ^j (x) = 1 для всех x принадлежащих supp фj. Фуиктпш фj мы используем в опреде.тешш нормы в пространстве Wp2’ 1(S). В каждой п:з областей Uj mbi перейдем к стютеме координат z. выпрямляя Гранину Г. Используя представление (20) в уравнении (17) на Г и равенство (22), придем к уравнению n— 1            n— 1

^vt - ^ ^eijvz i z j - ^ ^eiv^j i - ^в о ^vj = ^vt - ^{L о v}j = ⁰ , z ^e Br, i,j =1               i =1

где vj = v (z, 0 ,t). t — y 2. eij = eij + qej- ei = ei + qei1- в о = в ° + qe о- по построению, оператор Lо э.тлиптинеи в Qq = Br х (0, y)• Y — Y2- Отметим, что (следы (функций vt, vzizj при zn = 0 принимаются в пространстве Lp и. более того, v(z, 0) e Wp’ 1(Br). Положим SY = dBr х (0, y)■ Возьмем y — Y2- Ф1'11 ктпш uj = фjvj есть решения задан uj — L0uj = — (L0фjvj — фjL0vj), uj|sY = 0, uj(z, 0) = 0•

Следовательно, как вытекает из общих результатов о разрешимости параболических задач (см. [16]), функция u^j удовлетворяет оценке

||uj 11 ^ 2 . 1( Q^Y ) ^{— сИ ( L 0} Фj^vj ^— Фj^{L 0 v}j ) H l_p ( Q^Y ) ,

С.Г. Пятков, А.Г. Боричевская причем можем считать, что постоянная с справа не зависит от 7. Используя лемму 1, оценим правую часть через с 1 l^jvj||^2,i(Qy)y60 Для некоторого 9о > 0. Таким образом, получим опенку mm

Е Wuj L ,• 1( Q^Y ) ^{— с} 2 Y^{6 0} Е l ^jvj L ,• 1( Q^Y ) • j =1                        j =1

Левая часть здесь есть эквивалентная норма функции v|s в пространстве Wp’ 1( S^Y ). Очевидно, что правая часть также оценивается через с 3 y^{6 0} ||v|s||^², ф s_y ) Таким образом, можем записать оценку

^|v|S 11 ^ , 2 ’ 1( S Y ) — c ^{3 Y 0} ll v^|s Н^ р ’ 1( S Y ) •

Отсюда, выбрав достаточно малое y 3 — Y 2, получим, что v | s y 3 = 0. Повторяя рассуждения на промежутках [ y 3 , 2 y 3] и т.д. пол учим, что v | s y 2 = 0. Таким образом, мы доказали, что функции v есть решение задачи (17)—(19). Тогда функция u = v + Ф есть решение исходной задачи (1)—(3), (5). Единственность решений задачи вытекает из вышеприведенных рассуждений (равно как и оценка устойчивости).

Работа поддермсана грантом РФФИ №12-01-00260а.