О некоторых операциях над векторами

Работа посвящена рассмотрению ряда операций на пространстве гладких функций и векторных полей в R3. В качестве исходного пункта могут выступать нулевые величины. Их можно условно разделить на две категории. К первой категории относятся величины, содержимое которых «пусто». Ко второй – состоящие из величин, сумма которых равна нулю. К последней категории относится векторное произведение оператора Гамильтона (набла) на себя самого. При этом использование взаимно противоположных компонентов этого произведения создает определенные перспективы, в частности, развития элементов поверхностного векторного анализа. К таким элементам могут быть отнесены векторный дифференциальный смешанный оператор, смешанный градиент, смешанная производная по направлению, смешанные дивергенция и ротор, являющиеся аналогами соответствующих величин первого порядка [2; 3]. Названные операции относятся к поверхностному дифференцированию, которое можно рассматривать в качестве обратной задачи к поверхностному интегрированию. Перечисленные операции могут использоваться для получения разложений ряда векторных представлений второго порядка, часть которых имеет аналоги первого порядка. В литературе представлен достаточно обширный арсенал средств символического метода преобразования векторных и скалярных полей [1]. Целью настоящей работы является расширение этого арсенала.

• § 1.    Слагаемые векторных произведений

Для векторов G и H имеет место операция векторного произведения

G × H = ( G y H z – G z H y ) i + ( G z H x – G x H z ) j + ( G x H y – G y H x ) k .

Его можно представить в виде:

G × H = ( G y H z i + G z H x j + G x H y k ) – ( G z H y i + G x H z j + G y H x k ).

Определение 1.1. Операция

G ×I H:= GyHzi + GzHxj + GxHyk называется первой или ортоположительной частью векторного произведения G × H векторных полей G = Gxi + Gyj + Gzk и H = Hxi + Hyj + Hzk.

Определение 1.2. Операция

G ×II H:= H ×I G = GzHyi + GxHzj + GyHxk называется второй или ортоотрицательной частью векторного произведения.

Очевидно, что G × H = G × I H – H × I G = G × I H – G × II H .

Все вышесказанное справедливо и для ротора.

Определение 1.3. Операция

„  a m_z . a м_х. a M y,

II ay     az     ax называется первой или ортоположительной частью ротора rotM векторного поля M = Mxi + Myj + Mzk.

Определение 1.4. Операция

™     ™ aMy. amz. amx1

rotTTM := V xn M =----1 +--- j +--- k

II                   II az     ax     ay называется второй или ортоотрицательной частью ротора rotM.

Очевидно, что rot M = rot I M - rot II M или V x M = V x I M - V x II M .

• § 2.    Сопряженные векторы

Определение 2.1. Операция G ×* H:= G ×I H – H ×I G = G ×I H + G ×II H называется сопряженным векторным произведением векторных полей G и H.

Определение 2.2. Операция rot*M: = rotIM + rotIIM или Vx*M = VxIM + VxIIM называется сопряженным ротором векторного поля M.

Определение 2.3. Оператор

*222

• V_s: =Vx.V = Vx_nV=----=     1 +^- j + ^— k

S             I                II

2     ay az    axaz   axay называется векторным дифференциальным смешанным оператором.

§ 3. Смешанный градиент и смешанная производная по направлению

Определение 3.1. Вектор grade W :=V W =--- i +---j +

(3.1)

SS dydz    dxdz называется смешанным градиентом функции W.

По аналогии с производной по направлению вычисляется смешанная производная по направлению d^W / л        d2W      d2Wd

(3.2)

—— := (grade. W ) • n =----cosф +--cosw + d g v S 7     ay az       axaz       axay

Здесь n = i cosφ + j cosψ + k cosθ – поле единичных нормалей поверхности дифференцирования.

Смешанная производная функции W ( x , y , z ) (скалярного поля) по направлению равна проекции смешанного градиента на единичный вектор нормали к поверхности дифференцирования (в соответствующей точке):

d S W = |grad s W |cos ( grad s W , n ) . d g

Смешанный градиент скалярного поля равен по величине смешанной производной поля по направлению, для которой эта производная (в соответствующей точке) является максимальной, и совпадает по направлению с единичным вектором нормали к поверхности дифференцирования:

f 1

V ^{d g} 7

fd ^ W ^ 2 \ V^d y 9z 7

+

fa 2 W 1 2

_Vd xaz 7

f a ²w ) ²

+

<5 x a y j

Теорема 3.1. Пусть две функции U1(x, y, z) и U2(x, y, z) таковы, что dxdy dxdy dxdz dxdz    dydz dydz

Тогда разность этих функций можно представить в виде

U 1 ( x , y , z ) – U 2 ( x , y , z ) = f ( x ) + g ( y ) + h ( z ).                            (3.4)

Теорема доказывается прямой подстановкой (3.4) в (3.3).

Следствие. Функция U(x, y, z) может быть восстановлена по своему поверхностному градиенту G однозначно с точностью до слагаемого вида f (x) + g (y) + h (z)

в соответствии с формулой:

= P 1 ( x , y , z ) + P 2 ( y , z ) + Q 1 ( x , y , z ) + Q 2 ( x , z ) + R 1 ( x , y , z ) + R 2 ( x , y ) – 2 V .           (3.5)

При этом V = P 1 = Q 1 = R 1 , а интегралы понимаются как повторные неопределенные с нулевыми константами интегрирования.

Действительно, дGx _ d3U _dGy _дGz дx дx дудz ду   дz

(3.6)

U можно представить в виде:

U _

При этом ff Gxdydz _ P,(x, У, z) + P2 (У, z), д3 дx дy дz

ff G x dydz _

д G x д x

д ³ P , д x д y д z

д3 rr           д Gv

-----Gydxdz _ —^y д x д y д z^          д y

д ³ Q , , д x д y д z

д ³ д x д y д z

ff G z dxdy _

д G z д z

д³ R 1 д x д y д z

С учетом (3.6) P 1 = Q 1 = R 1 = V ( x , y , z ). Тогда f ( x , y , z ) = –2 V . При этом

[ff Gxdydz + ff

G_ydxdz +

ff G z dxdy + f ( x, y, z )

Аналогично ∂ ² U/ (∂ x∂z ) = G y , ∂ ² U/ (∂ x∂y ) = G z , что подтверждает выражение (3.5).

(_

Пример 2. grad S u _ 3 z ² V

j + 2 y -V

J

3 xz xz                  2 xz xz 3 xz xy2.

U _ yz +---1---+ sin (x + z) + xy +---2— _ yz +---+ sin (x + z) + yy           y y     y

• § 4 . Смешанная дивергенция и смешанный ротор

В (3.1) имеет место произведение вектора VS на скаляр W. Могут быть рассмотрены ска лярное и векторное произведения VS на вектор M.

Определение 4.1. Операция д2 My  д2 M

+-----y- +-----z- дx дz   дx дy

дy дz называется смешанной дивергенцией векторного поля M.

Определение 4.2. Операция rot$M := V $ X M =

^d M

^

M ) i +

(9 ² M_x Э ² M_z'

^

^ d x d z   d x d y ^

_v d x d y   d y d z ,

j +

M M )

^

^ d y d z   d x d z ^

k

называется смешанным ротором векторного поля M .

Определение 4.3. Операция d2 M   d2 MQ rot* ,M := V* x M =-----i +j +

S,I оx оz    оx оy    оy оz называется первой или ортоположительной частью смешанного ротора rotSM.

Определение 4.4. Операция d2 Mv   а2м   а2м rot* TTM :=V*x M =----yi +----z-j +----xk

S,II              S II axay    ayaz    axaz называется второй или ортоотрицательной частью смешанного ротора rotSM.

rot $ M = rot $ ,I M - rot $ ,II M или V $ x M = V $ x I M - V $ x II M .

Определение 4.5. Операция rot**M := rot* ,M + rot* ,,M или V$ x*M: = V$xM + V$xnM S                S,I              S,II называется сопряженным смешанным ротором векторного поля M.

• § 5 . Некоторые формулы

V $ ( a V + p W) = aV $ V + pV $ W   ( a = const, p = const).

V $ •( a E + p F ) = aV $ • E + pV $ • F .

V $ x( a E + p F ) = aV $ x E + pV $ x F .

A $ =V $ -V $ =

a ⁴ ay ²d zz

a ⁴         a ⁴

⁺ ax ²az ^{2 +} ax ²ay²"

grad div $ F = V ( V $ • F ) = V $ x( V x F ) + ( V - V $ ) F . grad $ div F = V $ ( V - F ) = V x( V $ x F ) + ( V - V $ ) F .

grad $ div $ F = V $ ( V $ • F ) = V $ x( V $ x F ) + A $ F . rot rot $ F = V x( V $ x F ) = V $ ( V ^- F ) — ( V - V $ ) F . rot $ rot F = V $ x( V x F ) = V ( V $ • F ) — ( V - V $ ) F .

rot $ rot $ F = V $ x( V $ x F ) = V $ ( V $ • F ) — A $ F .

rot $ grad _S W = V $ x V $ W = 0.

div $ rot $ F = V $ •( V $ x F ) = 0.

V $ ( VW) = W V $ V + V V $ W + V V x * V W .

V $ •( W F ) = W V $ • F + ( V $ W) • F + V W -( V x * F ).

• § 6 . Некоторые физические интерпретации

Если в некоторой области среды (поля) объемом V определена функция мощности, сконцентрированной в этой области, zyx

V

z ₀      y ₀      x ₀

где p ( x, y, z ) – объемная плотность мощности, то смешанный градиент от этой функции представляет собой вектор Умова (вектор Умова – Пойнтинга для электромагнитного поля), то есть вектор скорости движения энергии через единицу поверхности.

Производная функции мощности P ( x , y , z ) по некоторой поверхности с единичным вектором нормали n представляет собой количество энергии, проходящей через единицу площади этой поверхности в единицу времени.

d ² P

^S = grad _SP ⋅ n = ∇ _SP ⋅ n = U ⋅ n ^.

Пусть в некоторой области поля гравитации (или электростатического поля) для пробной массы (или электрического заряда) определена функция пространственного распределения сил F ( x , y , z ) , действующих на нее (на него) со стороны поля. Тогда смешанная дивергенция векторного поля F ( x , y , z ) представляет собой объемную плотность энергии гравитационного (или электростатического) поля в рассматриваемой точке.

div F =∇ ⋅ F = lim Δ E .

^{S S}     Δ V → 0 Δ V

Если для излучающего диполя с электрическим моментом p _e известна функция пространственного распределения производной напряженности электрического поля по времени d E / dt ( x , y , z ) , то величина A ₁ p _e rot _S d E/ dt представляет собой вектор Умова – Пойнтинга в рассматриваемой точке.

AI pe I rotS dt = A I pe I∇S×dE=U(x,y,z), tt где A – безразмерный коэффициент.

Заключение

Основным результатом работы является «расщепление» векторного произведения на две части – ортоположительную и ортоотрицательную. Это позволяет, в частности, в случае векторного произведения вектора на себя самого из нулевой величины, которой является это произведение, «извлечь» две ненулевые. Применение этого приема к векторному произведению оператора Гамильтона (набла) на себя самого приводит к появлению векторного дифференциального смешанного оператора второго порядка, являющегося ключевым элементом при определении понятий поверхностного векторного анализа – смешанного градиента, смешанной производной по направлению, смешанных дивергенции и ротора.

Введенные элементы поверхностного векторного анализа, в частности, расширяют арсенал средств для исследования физических полей, в том числе определения вектора Умова как смешанного градиента от функции мощности, объемной плотности энергии силового поля как смешанной дивергенции от функции пространственного распределения сил и т. д.