О некоторых примерах систем дифференциальных уравнений с нормированной матрицей Якоби

В связи с понятием характеристик квазиконформности отображений, введенных М.А. Лаврентьевым [1], и в развитие результатов работ И.В. Журавлева [2] изучается переопределенная система дифференциальных уравнений f 0(x) = Ф(f 0(x))M (x)                                (1)

с частными производными. Здесь f 0 (x) — матрица Якоби искомого отображения f = (f ¹ ,...,f n ): D → R ⁿ , где D — область из R ⁿ , M — матричнозначная функция класса M n , то есть размерности n х n, с вещественными компонентами m j : D ^ R ¹ , Ф: M n ^ R ¹ — заданная функция [определяющая Ф(f 0 (x)) — нормировку матрицы Якоби].

Рассматриваемая в данной работе принадлежность f , m ij , Ф функциональным классам уточняется в следующих утверждениях (см. [3], [4]).

Теорема 1. Пусть D — область в R n , n >  2 и f : D ^ R n — отображение класса C 2 (D) такое, что функция Ф: M n ^ R ¹ непрерывно дифференцируема по компонентам ее матрицы-аргумента и всюду в D выполнено Ф(f 0 (x)) = 0 и det f 0 (x) = 0 .

Тогда справедливо равенство dIn |Ф(f0(x))| =Л(Mf (x)).                             (2)

Здесь Л(М (x)) = n-1 ^{p n}=i ( - 1) i - _dMMM₍X) -* n d^M 1 (x) A . Y . Л М ⁿ (x)^ , где знак \/ означает, что во внешнем произведении дифференциальных 1-форм множитель

M i (x) = m _{i 1} (x)dx ¹ + ... + m _in (x)dx ⁿ должен быть пропущен, * _n есть оператор Ходжа, действующий на форму ш(х) степени n [такую форму в R n всегда можно записать в виде w(x) = c(x)dx 1 A ... A dxⁿ ) по правилу * _n (c(x) d^ A .-. A dx — = c(x) , и M f (x) = f ' (x)/Ф(f ' (x)) ].

Теорема 2. Пусть D — односвязная область в R n , n >  3 , матрица M (x) с элементами класса C ² (D) имеет размерность n х n , det M(x) = 0, x E D и такова, что dM i = M i A A(M) , i = 1, ...,n . Пусть функция Ф: M _n ^ R ¹ дважды непрерывно дифференцируема по компонентам ее матрицы-аргумента, а также является положительно однородной функцией, удовлетворяющей условию | Ф(M(x)) | = 1 в области D и не меняющей в ней знак.

Тогда существует единственное отображение f ₀ : D ^ R n класса C 3 (D) , удовлетворяющее системе (1) и условиям нормировки:

^fo^(a) = A,   M^f0 ^(a)) = H^^(M(a))

(здесь фиксированы a E D, A E Rn, r E R1, r = 0). При этом f0(x) представимо в виде fi (x) = Ai +

| r | Ф(M(x)) /

a

x eRay Л(М (z))M i

(y) (i = l,...,n).

При n = 2 утверждения данной теоремы остаются в силе, если дополнительно выполнено равенство dA(M (x)) = 0 .

1.    Случай постоянной нормированной матрицы Якоби

Пусть рассматривается система дифференциальных уравнений (1) с постоянной матрицей M (x) = M , у которой det M = 0. При этом имеет место A(M) = 0, что следует из равенств dM i = 0, i = 1, ...,n для постоянных 1-форм M i .

В этом случае всегда справедливы соотношения dM i = M i A A(M), i = 1,...,n, так как при постоянной M в левой и правой частях указанных равенств находятся нули.

Кроме того, пусть функция Ф: M _n ^ R ¹ дважды непрерывно дифференцируема по компонентам ее матрицы-аргумента, а также является положительно однородной, удовлетворяющей условию | Ф(M) | = 1.

Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. Тогда система (1) — интегрируема, и ее решение, согласно равенству (4), записывается в виде f0(x) = A + |r|Ф(M )M •(x — a) = т4 + Mx при наличии приведенных в той же теореме 2 нормировок.

С другой стороны, если f(x) — некоторое аффинное отображение, то есть

0f f (x) = A+Mx, то f0(x) = M и ф(f'(x)) = ф(M). Отсюда Mf(x) = ^(fO^X^ = ^f — постоянная матрица, для которой A(Mf) = 0.

Тогда при наличии непрерывной дифференцируемости функции Ф по компонентам ее матрицы-аргумента и выполнении неравенств Ф(M) = 0 и det M = 0, в силу теоремы 1 необходимое условие интегрируемости системы (1) с матрицей Mf, представленное формулой (2), принимает вид dln |Ф(f0(x))| = 0.

Из приведенного примера вытекает следующий простой результат.

2.    Случай кусочно-линейных решений

Пусть D ⊂ R ⁿ — прямолинейный полиэдр, составленный из двух n-мерных симплексов D 1 и D 2 с общей гранью Г 12 , являющейся (п — 1)-мерным симплексом.

Пусть f: D ^ R ⁿ — кусочно-линейное отображение [5], линейное на каждом из D 1 и D 2 , то есть при x Е D i (i = 1, 2) имеет место f (x) = M i x, где M i Е M n — постоянная матрица. При этом матрицы M 1 и M 2 будут таковы, что при x Е Г ₁₂ выполнено M 1 x = M 2 x, то есть (M 1 — M ₂ )x = 0. Кроме того, очевидно, что в D i (i = 1, 2) функция f (x) = M i x принадлежит классу C ² (D i ).

Уточним вид этих матриц в указанном случае. Так как грань Г ₁₂ есть прямолинейный симплекс, то для простоты направим первые (n - 1) координатные оси Ox ¹ ,..., Ox ^n-1 из какой-нибудь вершины данной грани вдоль исходящих из нее ребер симплекса Г ₁₂ . Тогда, поскольку при значениях x ¹ из соответствующего промежутка Ox ¹ = { x: x ² = ... = x ⁿ = 0 } — часть грани Г ₁₂ и здесь M 1 x = M 2 x, то отсюда следует, что первые столбцы компонент матриц M ₁ и M ₂ — одинаковы. Рассуждая аналогично, делаем вывод о равенстве вторых столбцов этих матриц и так далее, вплоть до равенства их (п — 1)-х столбцов. Последние же n-е столбцы матриц M 1 и M ₂ должны отличаться, чтобы не возникло полного совпадения указанных матриц, из-за которого рассматриваемое отображение f (x) будет целиком линейным на D 1 U Г ₁₂ U D 2 , а не кусочно-линейным.

В общем же случае, в силу (п— 1)-мерности симплекса Г ₁₂ , для матриц M 1 и M 2 получаются равенства det(M 1 — M 2 ) = 0 и rang(M 1 — M 2 ) = п— 1.

Пусть в данном примере дополнительно имеет место непрерывная дифференцируемость функции Ф по компонентам ее матрицы-аргумента, а также неравенства Ф(M _i ) = 0 и det M i = 0 (i = 1, 2,...).

Тогда по теореме 1 функция f (x) в каждом D i (i = 1,2,...) будет являться решением системы (1) с матрицей M (x), которая в каждом D i постоянна и равна ^{M (x)} = Ф М ) .

Действительно, так как при x Е D i выполнено f (x) = M i x и f 0 (x) = M i , то здесь справедливо Ф(f 0 (x)) = Ф(M _i ). А значит, при x Е D i имеем M f (x) = фff (x))) = M i

Ф(M i ) .

3.    Случай нормирования матрицы Якоби неоднородной функцией

Тот факт, что в теореме 2 достаточные условия интегрируемости системы (1) доказаны для случая однородной функции Ф, конечно, еще не означает отсутствия решений указанной системы, когда в качестве Ф выступает некоторая неоднородная функция. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений f 0(x) = Р1 + kf '(x)k2 M (x), (5)

где k A k = . E_ a 2 j (A e M n ) и k f ' (x) k = . E_(f i (x))  — евклидова норма

У i,j =1 ,n                                     i, 4i= l,n^{V        7}

матрицы Якоби; Ф(А) = р1 + k A k ² — очевидно, неоднородная функция.

Ясно, что Ф(f ' (x)) > 0 при каждом x e R n . Поэтому всякой непрерывно дифференцируемой функции f: D ^ R n , D C R n можно сопоставить нормированную следующим образом матрицу M f (x) = ^ i+fk f^T , определенную для любого x e D.

Вычислив указанную в данном примере неоднородную функцию Ф от каждой части тождества f ' (x) = р1 + k f ' (x) k ² M f (x), получим

»v ' (x))=; x + f ■ ■ M f ■ '= а+р+ k f ⁰ (x) k ² ) -k M f (x) k ² =

= pi+ k f w yPfZ k ^+ ^ M’x’ " ² ■

Отсюда, учитывая, что Ф(f ' (x)) = ^ 1 + kf' (x)k ² = 0, имеем

• 1    + kf ' (x) k ^{2 + k} M ^{f (x) k} =1

• 2    _ k f 0 (x)k ²

• и, значит, ^k M f ^{(x) k}       1+kf 0 (x)k 2 ^{e [0}, ^{1) -}

• Тогда, пользуясь (6), выразим Ф(f'(x)) через kMf (x) k:

Ф(f ' (x)) = P1 + kf ' (x) k ² = ,     ¹      = ■

1 -kM f (x) k ²

Заметим дополнительно, что в силу kMf(x)k2 e [0,1) последнее полученное здесь выражение (7) определено всюду, и его значения принадлежат промежутку [1, +то). Тогда для выбранной функции f (x) с необходимостью выполнено f'(x = VTTkT'kxTPM(X) = V1 - kMf(x^^ Mf(X) ■

Полученный результат можно переформулировать в следующем виде. Если f ₀ (x) e C 1 (D) — решение системы (5), то матрица Якоби этого отображения равна , ¹ = M (x).

f ₁ ^' (x) =

У1 - k M f , (x) k ²

M f ^(x) =            = M f ^(x) = ^f 2 ^(x),     ⁽⁹⁾

x/i-kf Xi k ²

и тогда найдется постоянная C ∈ R ⁿ такая, что для всякого x ∈ D выполнено

^f2^(x) = C + ^f 1 (x).

Итак, если система (5) имеет некоторое решение f (x) Е C 1 (D), то для него с необходимостью выполнено соотношение (7). При этом существует бесконечное множество других решений, каждое из которых отличается от f (x) на постоянный вектор.

Найдем далее достаточные условия существования решений системы (5). Поскольку при существовании решения f _o (x) указанной системы по доказанному (см. (8)) имеет место f ( (x) = ^ 1 ^( = M (x), то выясним, когда матрица вида M (x) = ,  ¹ = M (x) есть матрица Якоби некоторого отображения. То есть вы-

1-kM(x)k ²

ясним, когда найдется отображение f ₀ : D ^ R n такое, что M (x) = f ( (x) или, иначе говоря, M i (x) = dfg(x) (i = 1,..., n).

Для гладких дифференциальных форм по лемме Пуанкаре (см., например, [6]) это выполняется тогда и только тогда, когда dM i (x) = 0 (i = 1,...,n). Точнее,

^^^^^

^^^^^

из dM i (x) = 0 следует существование f 0 i (x): M i (x) = df 0 (x) при дополнительном условии, например таком, что x ∈ D ⊂ R ⁿ , где D — звездная область.

Поэтому если в системе (5) матрица M(x) (x Е D) с непрерывно дифференцируемыми элементами такова, что d

V1 - k M(x) k ²

M i (x)) = 0 (i = 1,..., n),

то данная система интегрируема и f ₀ (x) есть ее решение.

На самом деле, так как f к (x) = , ¹ = M (x), то ^{,                0}            1-kM(x)k ^{2          ,}

Ф(f o (x)) =

Р1 -kM (x) k ²

M (x)

1з ,     kM (x) k² _           1

V +1 -kM (x) k ^{2 p} 1 -kM (x) k 2 ^,

^√ 1-kM(x)k ²

а значит, f ₀ (x) =

M (x) = Ф(f ₀ (x))M(x), что и требовалось доказать.

С учетом (8) и (10), указанное решение, удовлетворяющее условию нормировки f0(a) = A, имеет вид fi(x) = Ai +       ,            = Mi(y) (i = 1,...,n),             (11)

a V1 -kM (y)k2             ’ где a ∈ Rn и A ∈ Rn — фиксированы.

При этом такое решение единственно. Действительно, если f ₀ (x) и f 1 (x) — решения одной и той же системы (5) (то есть системы с одной и той же матрицей

M (x) = M f 0 (x) = M f 1 (x)), удовлетворяющие одному и тому же условию нормировки f ₀ (a) = f 1 (a) = A, то, согласно (10), при x = а имеем

A = f i (a)= C + f o (a) = C + A.

Отсюда C = 0 и для всякого x E D C R n выполнено f 1 (x) = 0 + f ₀ (x) = f ₀ (x).