О некоторых свойствах полурешеток

условиями этой лицензии, посетите сайт

Статья посвящена теории полурешеток и их связям с полукольцами, мультипликативные полугруппы которых являются полурешетками.

Полурешетки можно трактовать как идемпотентные моно-полукольца, поэтому к ним применимы результаты общей теории полуколец. На этом пути получаются теорема 1, утверждающая разделяемость элементов произвольной полурешетки ее простыми идеалами, и теорема 2 о представлении полурешеток полурешетками множеств простого спектра.

С другой стороны, теорема 2 и теорема 3 об определяемости полурешеток их простыми спектрами применяются, соответственно, к идемпотентным монополукольцам (следствия 1 и 3) и к полукольцам с полурешеточным умножением и константным сложением (следствия 2 и 4).

Как показывают примеры 2 и 3, произвольные полукольца с полурешеточным умножением не обязаны определяться своим простым спектром.

Теорема 4 утверждает, что конечные цепи являются "абсолютными" ретрактами в классе всех полурешеток.

Необходимые понятия и факты можно найти в книгах [2, 3, 5–7].

Предварительные сведения

Полурешеткой называется идемпотентная коммутативная полугруппа. Мы будем пользоваться мультипликативными обозначениями, то есть полурешетка – это алгебраическая структура 〈 S , ⋅〉 с одной бинарной операцией умножения ⋅ , удовлетворяющей тождествам ассоциативности ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ), коммутативности x ⋅ y = y ⋅ x , идемпотентности x ⋅ x = x . Как правило, знак умножения ⋅ опускаем и пишем просто xy вместо x ⋅ y .

Задавая на полурешетке 〈 S , ⋅〉 бинарное отношение ≤ по правилу: x ≤ y означает xy = x , получим упорядоченное множество 〈 S , ≤ 〉 , любые два элемента a , b которого имеют точную нижнюю грань inf{ a , b } = ab , называемое нижней полурешеткой , ассоциированной с полурешеткой 〈 S , ⋅〉 . Обратно, задавая на нижней полурешетке 〈 S , ≤ 〉 операцию умножения формулой: a ⋅ b =inf{ a , b } для любых a , b ∈ S , получим полурешетку 〈 S , ⋅〉 . Определения мультипликативно заданной полурешетки и нижней полурешетки равносильны. Эти структуры будем называть просто полурешетками.

Двойственным образом определяется верхняя полурешетка – как такое упорядоченное множество 〈 S , ≤ 〉 , в котором любые два элемента a , b имеют точную верхнюю грань sup{ a , b }. Полагая при этом a + b = sup{ a , b } для всех a , b ∈ S , получим полурешетку 〈 S , + 〉 в аддитивной записи. Если же на полурешетке 〈 S , + 〉 определить отношение ≤ по правилу: x ≤ y означает x + y = y , то получим упорядоченное множество 〈 S , ≤ 〉 , являющееся верней полурешеткой. Понятия аддитивно заданной полурешетки и верхней полурешетки эквивалентны. См. [2, с. 23–24, упражнения 18 и 20].

Идеалом полурешетки S называется ее идеал как полугруппы, то есть вместе с каждым своим элементом а он содержит главный идеал aS = { as : s е S }. Собственный идеал P полурешетки S ( P ^ S) называется простым , если для любых а, b е S включение ab е P влечет а е P или b е P . Говорят, что в полурешетке S простые идеалы разделяют элементы (или S имеет достаточно много простых идеалов), если для любых двух элементов полурешетки S в ней существует простой идеал, содержащий ровно один из этих элементов.

Решеткой называется алгебраическая структура {S, +, •) с двумя идемпотентными коммутативно-ассоциативными бинарными операциями сложения + и умножения •, связанными тождествами поглощения x(x+y) = x и x+xy = x. При порядковом подходе под решеткой понимается упорядоченное множество (S, <), являющееся одновременно нижней полурешеткой и верхней полурешеткой. Приведенные определения решеток также эквивалентны [2, с. 20-21, теорема 1]. Решетка с тождеством x(y+z) = xy+xz, равносильно, с двойственным тождеством   x+yz = (x+y)(x+z),   называется дистрибутивной.

Если полурешетка ( S , •) имеет наименьший элемент (наибольший элемент), то он называется нулем ( единицей ) и обозначается 0 (1, соответственно). В полурешетках элементы 0 и 1 определяются тождествами 0 - x = 0 и 1 • x = x . В решетках ( S , +, •) к этим тождествам можно добавить соответственно тождества 0+ x = x и 1+ x = 1.

Дистрибутивная решетка S с нулем 0 и ненулевой единицей 1 называется булевой решеткой , если каждый ее элемент а имеет дополнение b е S : а + b =1 и ab = 0; дополнение к а единственно и обычно обозначается а ‘ .

Полурешеткой множеств назовем непустое множество S множеств, замкнутое относительно конечных теоретико-множественных пересечений: A n B е S для любых множеств A , B е S . В результате получается полурешетка { S , n) .

Полурешетка множеств S называется решеткой множеств , если A о B е S для всех A , B е S . Любая решетка множеств S является дистрибутивной решеткой ( S , о , n) . Классическая теорема Биркгофа-Стоуна [2, с. 93, теорема 19] утверждает, что, с точностью до изоморфизма, все дистрибутивные решетки исчерпываются решетками множеств их простых спектров. Имеет место аналог этой теоремы для произвольных полурешеток (теорема 3).

Через B( M) обозначим булеан произвольного множества M , то есть множество всех подмножеств в M .

Полукольцом называется алгебраическая структура S = { S , +, •) с коммутативноассоциативной операцией сложения + и ассоциативной операцией умножения • , дистрибутивной относительно сложения с обеих сторон: x ( y + z ) = xy + xz , ( x + y ) z = xz + yz .

Полукольцо S называется:

коммутативным , если операция умножения в S коммутативна;

полукольцом с нулем 0, если V s е S ( s +0 = s &  s - 0 = 0 - s = 0);

полукольцом с единицей 1, если V s е S s - 1 = 1 - s = s ;

мультипликативно (аддитивно)  идемпотентным,  если S удовлетворяет тождеству xx = x (x+x = x, соответственно);

идемпотентным , если S мультипликативно идемпотентно и аддитивно идемпотентно;

моно-полукольцом , если в S выполняется тождество xy = x + y , то есть операции сложения и умножения полукольца S совпадают;

кольцом , если его аддитивная полугруппа ( S , + ) является группой;

булевым кольцом , если S - мультипликативно идемпотентное кольцо.

Класс полуколец содержит все ассоциативные кольца, все дистрибутивные решетки, основные числовые системы, а класс полуколец с полурешеточным умножением, то есть коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец, содержит дистрибутивные решетки и булевы кольца.

Напомним, что непустое подмножество I полукольца S называется его идеалом, если для любых элементов a , b е I и s е S имеем a + b , sa , as e I . Собственный идеал P полукольца S называется первичным ( простым ), если для любых элементов a , b е S включение aSb с P ( ab е P ) влечет a е P или b е P .

Нам понадобятся следующие утверждения.

Предложение А [1, предложение 4]. В мультипликативно идемпотентных полукольцах первичные идеалы совпадают с простыми идеалами.

Предложение Б [1, предложение 5]. Пусть в мультипликативно идемпотентном полукольце S даны непересекающиеся идеал I и мультипликативная подполугруппа M. Тогда в S существует простой идеал, содержащий I и не пересекающийся с M.

Предложение В [1, следствие 2]. Любой идеал произвольного мультипликативно идемпотентного полукольца является пересечением его простых идеалов.

Предложение Г [1, предложение 7]. Для того чтобы полукольцо имело полурешеточное умножение, необходимо и достаточно, чтобы в нем простые идеалы разделяли элементы.

Первичным спектром Spec S полукольца S называется множество всех его первичных идеалов, наделенное топологией Стоуна–Зарисского . Если первичные идеалы полукольца S совпадают с его простыми идеалами, то топологическое пространство Spec S будем называть простым спектром полукольца S . В частности, в силу предложения А, к таким полукольцам относятся мультипликативно идемпотентные полукольца.

Напомним подробнее понятие первичного спектра Spec S произвольного полукольца S (см. [4, параграф 3]). Считаем, что Spec S ^ 0 . Открытыми множествами служат множества D ( A ) = { P e Spec S : A не включено в P } по всем идеалам A полукольца S , а также пустое множество 0 . В частности D ( S )=Spec S . Для полукольца S с нулем 0 имеем D ({0}) = 0 .

Обозначим через Id S решетку всех идеалов полукольца S относительно отношения включения с . Решетка Id S полна сверху , поскольку любое непустое семейство ( A i ) i е i идеалов в S имеет точная верхняя грань v ( A i ) i е i = sup( A i ) i е i , равную пересечению всех идеалов в S , содержащих u ( A i ) i е i .

Если ( A i ) i е i - непустое семейство идеалов полукольца S и A , B - идеалы в S , то имеют место равенства:

и i е I D ( A i ) = D (sup( A i ) i е I );

A с B ^ D ( A ) c D ( B );

D ( A ) n D ( B ) = D ( AB ), где AB - идеал в S , состоящий из сумм элементов ab при a е A , b е B .

Для произвольного элемента a полукольца S положим D ( a ) = D (( a )), где ( a ) -наименьший идеал в S , содержащий элемент a . Множества D ( a ), a е S , образуют базу топологии Стоуна-Зарисского. Первичный спектр Spec S полукольца S является T о -пространством , то есть для любых двух различных первичных идеалов в S в Spec S найдется открытое множество, содержащее ровно один из данных первичных идеалов. Если полукольцо S обладает единицей 1, то топологическое пространство Spec S = D (1) компактно.

Для произвольного топологического пространства X положим: O ( X) есть решетка всех открытых множеств (топология) пространства X относительно включения с . Решетка O ( X) является полной дистрибутивной решеткой, поскольку для всякого непустого семейства ( U i ) i е i открытых множеств пространства X имеем: sup( U i ) i е i = и ( U i ) i e i и inf( U i ) i e i - внутренность множества п ( U i ) i e i . Открытое множество U топологического пространства X назовем неприводимым , если для любого непустого семейства ( U i ) i е i открытых множеств в X из U = и ( U i ) i е i следует U = U i для некоторого индекса i ∈ I . Как видим, понятие неприводимого множества определяется на языке решетки O ( X). Неприводимые множества топологического пространства являются компактными открытыми множествами.

Пример 1. Возьмем любую полурешетку множеств ( S , п) . Алгебраическая структура ( S , п , п) будет идемпотентным моно-полукольцом. При этом полурешетка ( S , п) и полукольцо ( S , п , п) обладают одними и теми же идеалами и одинаковыми простыми идеалами.

Пример 2. Рассмотрим произвольную полурешетку множеств ( S , п) , содержащую пустое множество 0 и хотя бы одно непустое множество. Для любых множеств A , B е S положим A + B = 0 . Полученная алгебраическая структура ( S , +, п) является полукольцом с полурешеточным умножением и константным сложением. Полурешетка { S , п) и полукольцо ( S , +, п) обладают одними и теми же идеалами и одинаковыми простыми идеалами. Поэтому, с учетом примера 1, простые спектры полурешетки ( S , п) и полуколец ( S , п , п) , ( S , +, п) совпадают, но полукольца ( S , п , п) и ( S , +, п) не изоморфны.

Пример 3. Пусть B( M - булеан непустого множества M . Относительно отношения включения B( M ) является (булевой) решеткой множеств с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом M . Упорядоченное множество ( B( M), с) служит нижней полурешеткой, ассоциированной с полурешеткой ( B( M), п) , и верхней полурешеткой, ассоциированной с полурешеткой ( B( M ), и) . Рассмотрим четыре полукольца с полурешеточным умножением:

• 1)    идемпотентное моно-полукольцо ( B( M), п , п) ;

• 2)    полукольцо ( B( M), + 0 , п) с константное сложением + 0 с суммой 0 ;

• 3)    булеву решетку ( B( M), и , п) ;

• 4)    булево кольцо ( B( M), Ф , п) , где Ф - симметрическая разность множеств.

Полукольца 1) - 4) попарно не изоморфны, но имеют общую мультипликативную полугруппу - полурешетку ( B( M ), п) . Полукольца 1) и 2), а также полукольца 3) и 4), имеют одинаковые простые спектры. Простые идеалы булевой решетки ( B( M), и , п) являются простыми идеалами полукольца ( B( M), п , п) , но не наоборот. Если множество M имеет более одного элемента, то простые спектры полуколец 1) и 3) не гомеоморфны, поскольку Spec ( B( M), п , п) не является хаусдорфовым пространством, а Spec < B( M), и , п) есть нульмерное компактное хаусдорфово пространство [2, с. 140, следствие 10]. Заметим, что множество B( M) \{ M } служит наибольшим простым идеалом полукольца Spec ( B( M ), п , п) .

Основные результаты

Лемма 1. Всякая полурешетка является мультипликативной полугруппой идемпотентного моно-полукольца, при этом они имеют одни и те же идеалы и одинаковые простые идеалы.

Действительно, достаточно задать на полурешетке операцию сложения, совпадающую с умножением.

Простым спектром полурешетки   (S, •) назовем простой спектр соответствующего идемпотентного моно-полукольца (S, •, •).

Лемма 2. Всякая полурешетка с нулем является мультипликативной полугруппой полукольца с полурешеточным умножением и константным сложением, причем они имеют одни и те же идеалы и одинаковые простые спектры.

Достаточно на полурешетке с нулем 0 определить константное сложение x + у =0.

Следствием предложения Б является

Предложение 1. Если S – произвольная полурешетка, I – ее идеал и M – непересекающаяся с I подполурешетка в S, то в S найдется простой идеал, содержащий I и не пересекающийся с M.

Из предложения 1 вытекает

Теорема 1. В любой полурешетке простые идеалы разделяют ее элементы.

Лемма 3. Пусть S – полукольцо с идемпотентным умножением и A, B – его идеалы. Тогда справедливы следующие утверждения:

• (1)    D ( A ) с D ( B ) « A c B;

• (2)    D ( A ) = D ( B ) о A = B;

• (3)    D(a) = D(b ) о a = b для любых a, b e S;

• (4)    D ( A ) o D ( B) = D ( A v B ) ;

• (5)    D ( A ) n D ( B ) = D ( AB ) = D ( A n B ) ;

• (6)    D ( ab ) = D ( a ) n D ( b ) при любых a, b e S;

• (7)    решетка Id S изоморфна решетке O ( Spec S ).

Доказательство. (1) Импликация A c B ^ D ( A ) c D ( B ) очевидна. Включение D ( A ) c D ( B ) означает, что простые идеалы полукольца S , содержащие идеал B , содержат и идеал A . По предложению В любой идеал полукольца S является пересечением всех содержащих его простых идеалов их S . Поэтому верна и обратная импликация D ( A ) с D ( B ) ^ A c B .

• (2)    следует из (1).

• (3)    следует из (2).

• (4)    вытекает из аналогичного свойства первичного спектра полуколец.

• (5)    Как легко видеть, имеем A n B = AB . Остается применить соответствующее свойство первичного спектра полуколец.

• (6)    вытекает из (5).

• (7)    является следствием утверждения (1), также вытекает из (2), (4), (5).

Предложение 2. Для произвольной полурешетки S справедливы следующие утверждения:

• (1)    идеалы полурешетки S совпадают с  теоретико-множественными

объединениями ее главных идеалов;

• (2)    для любого непустого семейства ( A i ) i e i идеалов полурешетки S верно равенство D ( и ( A i ) i e i ) = о D ( A i ) i e i;

• (3)    множества D ( a ) , a e S, и пустое множество суть в точности неприводимые множества простого спектра Spec S.

Доказательство. Можно считать, что S - неодноэлементная полурешетка. По теореме 1 Spec S ^ 0 . Простой спектр полурешетки S обладает всеми свойствами первичных спектров полуколец, в частности Spec S является T о -пространством.

• (1)    Всякий идеал полурешетки S совпадает с объединением содержащихся в нем главных идеалов. Очевидно, что объединение любого непустого семейства главных идеалов aS = { x e S : x < a }, a e S , полурешетки S является ее идеалом. Поэтому объединение любого непустого семейства идеалов полурешетки S также будет идеалом в S .

• (2)    следует из аналогичного свойства первичного спектра полуколец в силу утверждения (1).

• (3)    Возьмем элемент a е S и предположим, что D ( a ) = и U i - объединение открытых множеств U i топологического пространства Spec S , индексированных элементами непустого множества I . Для каждого индекса i е I имеем U i = D ( A i ) для подходящего идеала A i полурешетки S. Тогда D ( aS) = D ( a) = и D ( A i ) = D ( и A i ) в силу утверждения (2), откуда aS = и A i по лемме 3(2), стало быть, aS о A i для некоторого индекса i е I . Значит, aS = A i для указанного индекса i , и D ( a ) = U i . Поэтому открытое множество D ( a ) неприводимо.

Обратно, рассмотрим непустое неприводимое множество U простого спектра Spec S полурешетки S . Имеем U = D ( A ) для некоторого идеала A в S . Тогда U = и D ( a ) по всем элементам a е A . Поэтому U = D ( a ) для некоторого a е A .

Предложение 3 (мультипликативное представление Стоуна). Любое полукольцо S с полурешеточным умножением допускает мультипликативно изоморфное вложение S в булеан B ( Spec S).

Доказательство. Пусть дано полукольцо S = ( S , +, •) с полурешеточным умножением. Рассмотрим отображение D : S ^ B(Spec S), переводящее каждый элемент a е S в подмножество D ( a ) = { P е Spec S : a £ P } простого спектра Spec S полукольца S . В силу утверждений (3) и (6) леммы 3 отображение D осуществляет изоморфное вложение полурешетки ( S , •) в полурешетку множеств B(Spec S) с операцией пересечения множеств, при этом полурешетка ( S , •) изоморфна подполурешетке множеств { D ( a ): a е S } полурешетки ( B(Spec S) , п) . См. также замечание 4 в конце статьи.

Теорема 2 (представление). Любая полурешетка (с нулем) изоморфна некоторой полурешетке множеств ее простого спектра (с пустым множеством, соответственно).

Доказательство. Пусть S = ( S , •) — произвольная полурешетка. Если она одноэлементна, то изоморфна любой одноэлементной полурешетке множеств, скажем, { 0 }. Будем считать полурешетку S неодноэлементной. По определению ее простой спектр Spec S есть простой спектр идемпотентного моно-полукольца ( S , • , •) . Тогда по предложению 3 полурешетка S изоморфна полурешетке множеств { D ( a ): a е S } с Spec S . Если полурешетка S обладает нулем 0, то полурешетка множеств { D ( a ): a е S } содержит 0 = D (0) в качестве нуля.

Отметим, что полурешетка множеств { D ( s ): s е S } приведенная , то есть любые точки P £ Q простого спектра Spec S = D ( S) = и { D ( s ): s е S } разделяются множеством D ( a ) для некоторого a е S , именно, для всякого элемента a , принадлежащего ровно одному из простых идеалов P или Q .

Теорема 3 (определяемость). Произвольные полурешетки S и T изоморфны тогда и только тогда, когда гомеоморфны их простые спектры Spec S и Spec T.

Доказательство. Ясно, что изоморфные полурешетки имеют гомеоморфные простые спектры.

Обратно, пусть для полурешеток S и T топологические пространства Spec S и Spec T гомеоморфны. Тогда изоморфны решетки O (Spec S) и O (Spec T ). По лемме 3(6) и предложению 2(3) будут также изоморфны полурешетки ( { D ( s ): s е S }, п) и ( { D ( t ): t е T }, п) . Остается к полурешеткам S и T применить представление D (теорема 2).

Подполурешетка A полурешетки S называется ее ретрактом , если существует гомоморфизм полурешетки S на полурешетку A , тождественный на A .

Теорема 4 (ретрактность). Всякая конечная цепь служит ретрактом любой содержащей ее как подполурешетку полурешетки.

Доказательство. Пусть A = {ai< ...< an-i< an} - конечная цепь, являющаяся подполурешеткой полурешетки S. В силу предложения 1 возьмем в полурешетке S произвольный простой идеал Pi, содержащий идеал an+S и не содержащий элемент an-1. Снова по предложению 1 выберем простой идеал P2 в S, содержащий идеал (an-i+ S) иPi и не содержащий элемент an—2. Действуя аналогичным образом далее, получим в полурешетке S цепочку простых идеалов Pic P2с .с Pn-i, таких, что an—k+ie Pk и an— k£ Pk для всех k = 1, 2, ..., n-i. Разбиение {Pi, P2\Pi, ..., Pn-i\Pn-2, S\Pn-i} определяет конгруэнцию на полурешетке S, фактор-полурешетка по которой изоморфна цепи A. Поэтому A будет ретрактом полурешетке S.

В связи с теоремой 4 возникает следующая

Задача. Описать полурешетки, служащие ретрактами всех содержащих их полурешеток в качестве подполурешеток.

Применение к полукольцам с полурешеточным умножением

На основании теоремы 2 получаем:

Следствие 1. С точностью до изоморфизма идемпотентные моно-полукольца совпадают с полукольцами ( S , п , п) из примера i .

Следствие 2. С точностью до изоморфизма полукольца с полурешеточным умножением и константным сложением совпадают с полукольцами ( S , +, п) из примера 2 .

Следующие два утверждения вытекают из теоремы 3, поскольку в случае полукольца S , являющегося идемпотентным моно-полукольцом или полукольцом с полурешеточным умножением и константным сложением, простой спектр Spec S совпадает с простым спектром его мультипликативной полугруппы (леммы 1 и 2), которая полностью определяет само полукольцо S .

Следствие 3. Изоморфность идемпотентных моно-полуколец эквивалентна гомеоморфности их простых спектров.

Следствие 4. Изоморфность полуколец с полурешеточным умножением и константным сложением равносильна гомеоморфности их простых спектров.

Замечания

Сделаем ряд замечаний, дополняющих основной текст статьи.

• 1.    На произвольной полурешетке ( S , *) , как идемпотентной коммутативной

• 2.    В обзорной статье "Полугруппы" справочной книги [3, с. 32] указано, что любая полурешетка S вложима в полурешетку ( B( S ), п) , стало быть, изоморфна соответствующей полурешетке множеств. В самом деле, сопоставляя каждому элементу a полурешетки S ее главный идеал aS , получаем изоморфное вложение S в полурешетку ( B( S ), п) , поскольку, как легко проверить, aS п bS = ( ab ) S и aS = bS ^ a = b для любых элементов a , b е S .

• 3.    Изоморфное вложение D : S > B(Spec S ) полурешетки S в полурешетку ( B(Spec S ), п) является полурешеточной вариацией представления Стоуна D дистрибутивных решеток. Действительно, пусть S = ( S , +, •) - произвольная

• 4.    Возьмем произвольное полукольцо S ≡ 〈 S , +, ⋅〉 с полурешеточным умножением.

• 5.    В книге Гретцера даны определения дистрибутивной верхней полурешетки [2, с. 135] и простого идеала в таких полурешетках [2, с. 135]. Соответствующий простой спектр P( S ) дистрибутивной верхней полурешетки S назван стоуновым пространством полурешетки S [2, с. 136]. Для них доказана теорема определяемости [2, с. 137, теорема 5]: две дистрибутивные верхние полурешетки изоморфны тогда и только тогда, когда гомеоморфны их стоуновы пространства. В силу замечания 3 дистрибутивные решетки также определяются своими простыми спектрами. Наша теорема 3 является определенным аналогом этих результатов.

• 6.    В дополнение к теореме 4 отметим, что, как нетрудно видеть, любая полурешетка, являющаяся ретрактом всех содержащих ее полурешеток в качестве подполурешетки, имеет наименьший и наибольший элементы. Цепи натуральных, отрицательных целых и всех целых чисел не являются ретрактами цепи S целых чисел, пополненной наименьшим и наибольшим элементами, в то время как сама цепь S будет ретрактом любой полурешетки, содержащей S как подполурешетку.

• 7.    В статье [4] изучались свойства полурешеток, являющихся аддитивными полугруппами идемпотентных полуколец с единицей.

полугруппе с бинарной операцией * , вводятся два отношения порядка < * и < * , превращающие ее, соответственно, в нижнюю полурешетку и верхнюю полурешетку. Именно, x < * у означает x * y = x и x < * у означает x * y = у для любых x , y е S . Порядки < * и < * двойственны друг и другу и их пересечение есть отношение равенства. См. [2, с. 23-24, упражнение 19].

дистрибутивная решетка, Spec S – ее простой спектр (как полукольца) и D : S → B(Spec S ), a → D ( a ) = { P ∈ Spec S : a ∉ P } для всех a ∈ S . По теореме 2 имеем изоморфное вложение полурешетки 〈 S , ⋅〉 в полурешетку 〈 B(Spec S ), ∩ 〉 . Легко видеть, что D ( a + b ) = D ( a ) ∪ D ( b ) для любых a , b ∈ S . Поэтому дистрибутивная решетка S изоморфна решетке множеств { D ( a ): a ∈ S } – подрешетке булеана 〈 B(Spec S ), ∪ , ∩ 〉 . Кроме того, конечно-порожденные идеалы дистрибутивной решетки S являются главными, поскольку aS + bS = ( a + b ) S для всех a , b ∈ S . Поэтому множества D ( a ), a ∈ S , совпадают с компактными открытыми множествами простого спектра Spec S .

Отметим также, что в случае дистрибутивной решетки 〈 S , +, ⋅〉 представление a → aS ( a ∈ S ) из замечания 2 не обязано переводить сумму в объединение, так как ( a + b ) S = aS + bS ≠ aS ∪ bS для несравнимых элементов a , b ∈ S , то есть при a ≠ ab ≠ b .

В силу предложения 3 стоуново представление D осуществляет изоморфное вложение полурешетки 〈 S , ⋅〉 в полурешетку 〈 B(Spec S ), ∩ 〉 . А как обстоит дело с множеством D ( a + b ) для элементов a , b ∈ S ? Ясно, что D ( a + b ) ⊆ D ( a ) ∪ D ( b ). Если S – монополукольцо, то D ( a + b ) = D ( a ) ∩ D ( b ) для всех a , b ∈ S . Если S – полукольцо с константным сложением, то D ( a + b ) = ∅ для любых a , b ∈ S . Для дистрибутивной решетки S тождественно D ( a + b ) = D ( a ) ∪ D ( b ) по замечанию 3. Для булева кольца S тождественно D ( a + b ) = D ( a ) ⊕ D ( b ), причем, D ( a + a ) = D (0) = ∅ .