О неограниченных интегральных операторах с квазисимметричными ядрами

Пусть (X, д) — пространство с п<ьтожительной мерой д. Lo := Lo(X, д) — совокупность всех д-измеримых д-почти всюду конечных функций на X с обычным отождествлением функций, отличающихся одна от другой лишь на множествах д-меры нуль, L2 := L2(X,p) ~ пространство всех функций из Lo с суммируемым квадратом. Через || • || 11 (•, •) обозначим норму и скалярпое произведение в L2.

Мора д называется a-копсчпой. если существуют множества Xn С X. дX_n<  то. n = 1, 2,..., такие, что X = Un=i Xn- Атомом меры д называется множество положительной меры, непредставимое в виде объединения двух непересекающихся множеств с положительными мерами. Будем говорить, что мера д не является чисто атомической. если в X имеется множество положительной меры. нс содержащее атомов мерв! д. Всюду далее предполагается, что мера д не является чисто атомической и ст-конечна. Этим условиям удовлетворяет мера Лебега измеримых по Лебегу множеств евклидова пространства или вещественной числовой прямой.

Линейный оператор T : D t С L2 ^ Lo называется интегральным, если найдется определенная на X х X (ц х ^-измеримая (ц х ц)-почти всюду конечная функция K (x, у) такая, что для любого f Е D t

^{Tf (x)} = I^{K (x,}y^{)f (}y) <Ш

для ц-понти всех x Е X. Интеграл в (1) понимается в лебеговом смысле. Функция K (x, у) называется ядром интегрального оператора T. Будем говорить, что ядро порождает интегральный оператор по формуле (1).

Определение. Нуль принадлежит предельному спектру ас(H ) оператора H : D h С L2 ^ L2. если существует ортоиормщ:юванная последовательность {fn} С D h такая, что ||Hfn|| ^ 0 ^п!^)П n ^ го.

Если T : L2 ^ L2 — ограниченный питетральный оператор, то 0 Е ас(T *). г,де T * — сопряженный к T оператор [1, с. 754; 2, теорема III. 2.6]. Другое доказательство этого результата дано в книге Халмоша и Сандера [3, теорема 15.1].

Возникает вопрос: будет ли иметь место включение 0 Е ас(T *), если T — произвольный неограниченный интегральный плотно определенный замыкаемый оператор в L2? Отрицательный ответ на этот вопрос дает следующий

Пример. Пусть To : Lro (0,1) С L2(0,1) ^ L2(0,1) — линейный оператор, определяе мый равенством

∞1

Tof =   nwn I-—E= dy, f Е L^(0,1),

n=1    0    mEn где {wn} — ортонормированный базис Уолша, XEn ~ характеристическая функция множества En С (0,1), {En} — последовательность попарно не пересекающихся множеств, удовлетворяющих условию ff ^=1 nfmEn < го, здесь m — мера Лебега. Тогда To — замыкаемый интегральный оператор с ядром

/ х V         ^XEn ^(у)

К0(х,У)=    nwn(x)  —, n=1 mEn но 0 Е ас(T*).

Действительно, для любой функции f из L_ro(0, 1)

[ Tofwj dx = [fjxj= dy, j = 1, 2,...

_{0            0}      mEj

Следовательно. T* определеи па. {wn}. поэтому T* плотно onределеи ii To имеет замыкание — оператор T**. Далее, для лтобой <]>ункпнн f из L^(0,1) 11 всех x Е (0,1)

[ |K (x,y)iif (у)| dy < f; nif i^ymEn < го, n=1

^гД^е ll • IIго ^— н°Р^ма в Lro(0,1), так что To — замыкаемый интегральный оператор. При этом для любой функции g Е D t *

ITgl =

^f XEn (y) f ,

Д "  -№ gwn dx n =1          ₀

∞

∞

='

n =1

о

gwn dx

>

∞

∞

Е /

n =1

о

gwn dx = ||g||².

Следовательно, 0 / ас(T *).

Обозначим через Во класс всех липе! 1иых операторов H в L2. для к*хторых 0 G ас (H*). Различные условия припал.тежностн операторов классу Во даны в [4]. Ниже устанавливается еще одно такое условие.

Назовем ядро K (x, у) квазисимметричным, если

|K(x, y)| = |K(y, x)| д.ля (ц x ц)-почтп всех (x, y) G X x X.           (2)

Условию (2) удовлетворяют все эрмитовы, косоэрмитовы, симметричные и кососимметричные ядра.

Теорема 1. Пусть T : Dt С L2 ^ L2 — неограниченный плотно определенный замыкаемый интегральный оператор с квазисимметричным ядром K(x, у). Если существует вещественная неотрицательная функция a G Lo, положительная на множестве положительной меры, не содержащем атомов меры ц, и удовлетворяющая условию j |K(u, v)|a(v) dp(v) G L2, to 0 G ас(T*).

<1 Выберем а > 0 так, чтобы множество E = {x G X : a(x) > а} содержало подмножество е. 0 < це < то. без атозюв меры ц. Пусть ^ G Lo i1 supp^ := {x G X : |^(x)| = 0}. Обозначим через xe характеристическую функцию множества е. Для любого f G L2 11 любого h G Lx (? supp h С e имеем, обо:?, начин через || • ||х пор му в Lx j j K(x,y)f (y) dp(y)h(x) dp(x) = j KK(x,y)f (y) dp(y)xe(x)h(x) dp(x) ^11 Xe(x)K(x,y)f (y)dp(y) |h(x)| dp(x) ^I j Xe(x)|K(x,y)||f (y)| dp(y)|h(x)| dp(x)

< h x 11 ^|K(x,y^)| dp^{(x)|f (}y)| dp⁽y) = h x 11 ^|K(y^,x)| dp^{(x)|f (}y)| dp⁽y)

^ -|h|x / [ |K(y,x)|a(x) dp(x)|f(y)| dp(y) ^ -|h|x|Ae||f |,     (3)

αα e где

Ae(y) := j |K(y,x)|a(x) dp(x).

e

Из (3) вытекает, что для любого f G Dt

|(Tf,h)| < 4 |h|x|AeHf|, α поэтому h G Dt*.

Положим в (3) h = xe- Тогда из (3) еле дует для любого f G L2 j j Xe^{(x)K (x,}y^)f(y) dp⁽y) dp^(x)< a ^Ae^||f ||.

Таким образом, ядро xe(x)K(x,y) порождает действующий из L2 в Li(e,p) ограни ченный интегральный оператор т с нормой, не превосходящей а1 |Ae|.

Пусть {em} — последовательность множеств из е, удовлетворяющих условию 0 <  pem ^ 0 пр и m ^ то. Положим h = Xe = xem и обозначим через P f оператор умножения на x f ^: P f f = XF f f € L2. Из (3) подобно предыдущему следует, что интегральный оператор P_emт с ядром xem (x)K(x,y) действует из L2 в L1(e,p), ограничен и его норма не превосходит a pem ||. где

Xem (y) := /

|K(y, x)|a(x) dp(x).

e _m

Пусть Xo = {y € X : X_e(y) < то)}. Тогда для любого y € Хо и любого m X2m(y) С X2(y) и для любого y € Хо X2m (y) ^ 0 пр и m ^ то. Следовательно, |X_em |² = / X2m dp ^ 0 при m ^ то и |P_em т || С a |X_em || ^ 0 пр и m ^ то. Отсюда из [5, теорема 1.2.9] оператор т : L2 ^ Li(e,p) вполне непрерывен.

Пусть D = {f € L2 : f € D t , |f|| С 1}- Мнойсество P_eTD = tD относительно компактно в Li(e,p). Возьмем равномерно ограниченную ортонормированную систему функций hn с supp hn С е, n = 1, 2,... В качестве {hn} можно выбрать ортонормированную систему обобщенных функций Радемахера rn,_e (их определение см., например, в [5, гл. I, §1]). Имеем {hn} С D t * и в силу относительной компактности множества PeTD_BLi(e,p)

||T*hn| = sup |(T*hn,^)| = sup |(hn,T^)| = sup |(Xehn,T^)| = sup |(hn,XeT^)| ^ 0 ϕ∈D            ϕ∈D           ϕ∈D              ϕ∈D при n ^ то. так как по лемме Римана — Лебега [3. е. 125] | J hnf dp| ^ 0 щэн n ^ то для любого f € L1- откуда

sup f∈F

У hn f dp ^ 0

при n ^ то

для любого относительно компактного множества F в Li (и, в частности, для F = PeTD^ вследствие равномерной ограниченности {hn} и существования конечной е-сети для F для любого е > 0. Следовательно. 0 € ac(T*). >

Следствие. Пусть T : D t С L2 ^ L2 — неограниченный плотно определенный замыкаемый интегральный оператор с вещественным неотрицательным симметричным ядром. Если в D t существует вещественная неотрицательная функция, положительная на множестве положительной меры, не содержащем атомов меры p, т о 0 € ac(T *).

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Включение 0 € ac(T *) позволяет существенно улучшить свойства ядра интегрального оператора T с помощью перехода к унитарно эквивалентному интегральному оператору: в [5, теорема IV. 3.7] доказано, что если L2 — сепарабельное пространство, то из 0 € ac(T *) следует, что можно построить унитарный оператор U : L2 ^ L2 такой. что UTU ^-1 — интегральный оператор с ядром M (x,y). удовлетворяющим условию Карлемана

У |M(x,y)|2dp(y) < то для p-noTrTii всех x € X и условию Ахиезера: существует положительная <]>уикпия b € Lo такая, нто |M(x, y)| С b(x)b(y) для (p х p)-no4Tii всех (x,y) € X х X.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Пусть L2 — сепарабельное пространство. Тогда интегральное уравне ние az(x) — XTz(x) = f (x), f (x) € L2, где T — интегральный оператор, удовлетворяющий условиям теоремы 1, может быть сведено явным линейным непрерывным обратимым преобразованием при а = 0 к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода в L2 с ядерным оператором, а при а = 0 к эквивалентному интегральному уравнению 2-го рода в L2 с квазивырож-денным карлемановским ядром

∞

N ^(x,y) = ^

n=1

Xgn (x) V^gn

УпДу),

где {gn} — произвольная последовательность нс>парио нс пересекающихся множеств из X с конечными положительными мерами, {fn,v} С L2.

Это утверждение непосредственно следует из построений статьи [6], так как в них использовалось лишь включение 0 G ос(T *). Заметим еще, что в [7] предложены два приближённых метода решения интегральных уравнений 2-го рода в L2 с ядрами (4).