О непериодических группах

В работе [1] приведена классификация непериодических неабелевых локально разрешимых групп. Имеет место следующая

Теорема 1 [1]. Всякая непериодическая неабелева локально разрешимая группа G принадлежит одному и только одному из следующих трех классов групп.

• I.    Для любых двух неинвариантных подгрупп X и Y группы G имеет место X n Y ^ 1 .

• II.    Группа G не принадлежит классу I, и для любых двух неинвариантных подгрупп X и Y найдется такая неинвариантная подгруппа Z , что X n Z ^ 1 и Y n Z ^ 1 .

• III.    Группа G не принадлежит классам I и II, и для любых двух неинвариантных подгрупп X и Y найдутся такие неинвариантные подгруппы Z и W , что X n Y ^ 1 , Z n W ^ 1 и W n Y ^ 1 .

Отметим, что для периодических групп такой классификации нет. Примерами являются неабелевы группы порядка pq или Р ^{3 (} Р >  2 ) .

Описание всех непериодических групп, в которых нетривиально пересечение всех неинвариантных подгрупп, дает следующая

Теорема 2 [2]. Во всякой непериодической неабелевой группе G пересечение всех неинвариантных подгрупп отлично от единичной подгруппы тогда и только тогда, когда G = A • Хх^ , где A - непериодическая абелева подгруппа, |х | = 4 и для любого a е A a^x = х ~'.

Нетрудно убедиться в том, что для периодических недедекиндовых групп нетриви-альность пересечения всех неинвариантных подгрупп эквивалентна нетривиальности пересечения любого конечного множества неинвариантных подгрупп. Для непериодических групп это доказывается так:

Теорема 3 [1]. Во всякой неабелевой непериодической локально разрешимой группе G пересечение всех неинвариантных подгрупп совпадает с единичной подгруппой, а пересечение любого конечного множества неинвариантных подгрупп отлично от единичной подгруппы тогда и только тогда, когда в G имеется такая инвариантная периодическая подгруппа N , все подгруппы которой инвариантны в G , N £ Z ( G ) и фактор-группа ^ ^ является абелевой группой без кручения ранга I.

Теоремы 2 и 3 дают полное описание всех групп, принадлежащих классу I из теоремы 1.

Отметим, что из теоремы 3 в качестве следствия можно получить описание всех непериодических неабелевых локально разрешимых групп, в которых инвариантна всякая нециклическая подгруппа, что является основным результатом работы [3].

К сожалению, в работе [3] имеются пробелы. Так, пропущена группа Q х ^, где Q – группа кватернионов, а x – бесконечная циклическая группа.

Теорема 4. Всякая группа G , принадлежащая классу III из теоремы 1, разрешима.

Доказательство. Пусть G – произвольная группа из класса III теоремы 1. Легко понять, что в группе G найдется пара таких неинвариантных подгрупп X и Y , что для всякой подгруппы Z из условия X о Z ^ 1 и Y о Z ^ 1 будет следовать, что подгруппа Z инвариантна в G . Действительно, если бы для любой пары неинвариантных подгрупп X и Y группы G нашлась какая-нибудь неинвариантная в G подгруппа Z , такая что X о Z ^ 1 и X о Z ^ 1 , то группа G принадлежала бы классу II из теоремы 1.

Пусть x е X и ^ неинвариантна в G , у е Y и ^ у ^ неинвариантна в G . Рассмотрим подгруппу T = (х^) . Так как T о X ^ 1 и

T о Y ^ 1, то подгруппа T и все ее надгруппы инвариантны в G. Рассмотрим фактор-группу G , и пусть M – ее произвольная подгруппа. Пусть M* – прообраз M в G. Так как M о T, то M* инвариантна в G. Следовательно, образ M* в G , подгруппа M , также инвариантна в G . Таким образом, в фактор-группе G все подгруппы инвари- антны. Отсюда, в частности, следует, что фактор-группа G разрешима. Группа T, будучи конечно порожденной, также разрешима. Следовательно, группа G является расширением разрешимой группы с помощью разре- шимой, и, значит, сама является разрешимой группой. Теорема доказана.

Множество групп, принадлежащих классу III из теоремы 1, довольно обширно. Приведем ряд примеров таких групп.

• 1.    G = ((х) • (у))х B,

• 2.    G = A х B,

• 3.    G = [(( a^ х b )• С ]х A, где |a| = b = 2, |c| = 3,  ac = b, ЪС = ab,

4.    G = ((ab • {x^)x A, (a,b} - группа кватернионов, |x| = 3, ax = b , bx = ab, A – произвольная непериодическая абелева группа. 5.    G = [(^ab)• С]x A, 6.    G = ((x) • (у))x A, где |x| = 2k (k > 2), |у| = 2, xy = x , A – произвольная непериодическая абелева группа. 7.    G = Q x (x) x A, где Q - группа кватернионов, |x| = 2k (k > 2), A – произвольная непериодическая абелева группа.

где x – бесконечная циклическая группа,

|у | = 2 , х ^у = х , , B - произвольная абелева группа.

где A – произвольная неабелева группа порядка p ³ ( p >  2 ) . или pq , B - произвольная непериодическая абелева группа.

A – произвольная непериодическая абелева группа.

где  |a| = |b| = |C = 4, ab = a \ cb = c-1, с2 = a2b2, A - произвольная непериодическая абелева группа.

Краткие результаты этой статьи опубликованы в работе [4].