О непрерывной зависимости от параметров решения уравнения нейтрального типа в лебеговых пространствах

Пусть Т - локально компактное пространство в R, Ц-Ц - норма в R", X - положительная мера на Т . Через 1р(Л,Т), р е [1,оо) будем обозначать банахово пространство суммируемых в степени р относительно меры X функций х: Т -> R" с нормой ||х||_£„ _{(Л Г)} = ( ^(0|Г^(0)^р , Z)”([a,Z>]) ^_ банахово пространство абсолютно непрерывных на [a,Z>] вектор - функций х, таких, что xGLⁿ_p(m,Va,bl), ||х||_о„_(т[й6]) = ^^                      m - мераЛебега.

Рассмотрим уравнение

У^ = At,«+ (НуЖ(8уЖ, teT,                (1)

где / :Т х Rⁿ х Rⁿ -> Rⁿ, a g Rⁿ, H ;Rⁿ -> Rⁿ - линейный оператор, S:Rⁿ -> Rⁿ - оператор внутренней суперпозиции, заданный равенством

г№т>

(W) = 1 _n             где т\Т-^T и q.T-^R .

• 0, r(Z) g т,

Пусть Е = {Z 6 Т : r(Z) g Г}. Сужение функции /меры //на множество А обозначим через f_A . Через К(Т) обозначено пространство функций у: Т -> R с компактным носителем. Придерживаясь обозначений и терминологии Н. Бурбаки [1], пару (^,g) будем называть X - приспособленной (здесь л-: Т -> Т, g:T-> R, g>0, X - положительная мера на Г ), если функции л и g X -измеримы и для любой функции / е Л/Г) отображение t -> g(t)f(n(t)) Л-интегрируемо. Всякая X -приспособленная пара (^,g) определяет на Т меру р , которая задается равенством

Меру р будем обозначать через л(gX).

К уравнению вида (1) сводится ряд задач для функционально дифференциальных уравнений различных типов, в частности краевая задача для уравнения нейтрального типа на отрезке:

x(Z) = /(Z,W),i(r(Z))), tG[a,b],                         (2)

x^) = x(^ = 0, ^g[a,Z>], XGD"p(la,bD, где краевое условие задано равенством lx = ipx^ + J^(s)i(s)t/5 = у                              (3)

a

Здесь ^ - постоянная (и хм) матрица, dety/^0, элементы (ихм) матрицы ф принадлежат пространству Ё (ти,[о,/>]), (—+ —= 1), yGRⁿ.

р q

Обозначим (FyXt) = f(t,a + (Hy)(t),(Sy)(t)) и рассмотрим уравнение y = Fy                                    (4)

Приведем теорему из [2], условия которой обеспечивают существование и единственность решения уравнения (4).

Теорема 1: Пусть существует положительная мера v на Т и число /?е[1,оо) такие, что:

• 1)    функция /Q,u,v):T-> Rⁿ v-измерима при u,v е Rⁿ, ||/(•,a,0)||^/’ v -интегрируема и при всех u_x,u₂,v_x,v₂ 6 Rⁿ и v - почти всюду на Т выполнено неравенство ||/(/,w_I,v₁)-/(r,w₂,^v2)||-^||^Mi-^H + ^C^Iki^-v2||> ^г^^е NeRi М\Т ^> R v-измеримая, неотрицательная функция;

• 2)    пара (т£,|7£|^р) v -приспособлена и существует число К>0 такое, что ^те^Че\^Р Ve^-Fv ;

• 3)    оператор Н :Е^п_р(уД")^> Lⁿ_p(y,T) непрерывен;

Тогда, если ^||Я|L_И .         +^^₽<1, то существует единственное в пространстве

1?р(у,Т) решение уравнения (4).

Конструкция меры v, которая обеспечивает выполнение условия 2 в теореме 1, приведена в

00   1

• [2] . В частности, показано, что меру v можно задать сходящимся рядом v = ^ —, где Р > 1,

1=0 Р

^ = Л, A$₊₁ = T^q^X^, при условии, что Х(т^-1 (А)п{(еЕ: |^(0| > 0}) ^ «Х(А) + А, для любого X -измеримого множества А и при некоторых а, A е R, а, А > 0.

В условиях вышеприведенной теоремы v - почти всюду на Т выполняется

-^-^f) = hm i-^-^K <оо, что является необходимым и достаточным условием непрерыв- dv i/(e)->O,tee v(e)

ности оператора внутренней суперпозиции S : Z" (у, Т) -> Z” (у, Т).

Рассмотрим вопрос о непрерывной зависимости решения уравнения (4) от параметров. Обозначим F = F_o и запишем уравнение (4) в виде

У = Р_оу.                                     (5)

Наряду с уравнением (5) рассмотрим последовательность уравнений

У = F_ky = №a_k + ф_куХ№_куХ<Р,                (6)

где операторы S_k : Lⁿ_p(y_k,T') -> Lⁿ_p(v_k,T) заданы равенствами:

^ДЫ?1Ж 4(t)ET;

(SkyXO = A n     т T№4-T^T nqk;T^R.

_ u>        TkV)^* >

Обозначим E_k - V e T: r_k(t) e T} . Здесь будем предполагать, что для числа р g [1,оо) и положительной меры X пары (?_kEk , 9^ ) X_Ek -приспособлены и \q_{k £}1 ограничены. Далее, существуют такие числа а_к и А_к, что для любого X -измеримого множества А с Т множество т_к^-х (A) n{teE_k:\q_k (Г)| > 0} X -измеримо и

Х(т_к-' (A) n{tEE_k:\q_kEk (/)| > 0}) <  а_кХ(А) + А_к, к = 0,1,...

Тогда, как следует из теоремы 1 для каждого к = 1,2,..., существует мера v_k такая, что оператор

Sk : Lv‘ (Г) -> Zp (Т) непрерывен и существуют ограниченные в существенном относительно vk производные —, где рк = тЕ (\qkE ^). dvk                * 1

В [3] доказана теорема, обеспечивающая сходимость последовательности операторов {^} в пространстве Lⁿ_p(v₀,T):

Теорема 2: Пусть существуют положительные числа g*k g*k,g*, g* такие, что для мер vk, к = 0,1,... выполнены неравенства g^o ^ g*nvo ^vn< g>0 < g*v0.                           (7)

Последовательность vraisup^^-(f) ограничена числом К*и lim vo(Ek^Eo) = O. Тогда, ес-1еТ dvk                                  Л-»оо ли последовательность {^} сходится в пространстве Lp(v0,T) к q0, а последовательность {тА} сходится по мере v0 к т0, то для любого yeLnp(vk,T') Hm p4?~'S'oy||£"(vo т) = ^'

Условия (7) означают, что меры v_k абсолютно непрерывны относительно v₀ и классы эквивалентности в пространствах П^ (Т) совпадают для всех к = 0,1,...; нормы в Z^ (Т) эквивалентны.

Докажем теорему:

Теорема 3: Пусть для каждого к = 0,1,... выполнены условия теоремы 1. Тогда, если:

• 1)    выполнены условия теоремы 2;

• ²)    К™3^’^М^              u,v^Rⁿ;

• 3)    последовательность чисел {N_к} ограничена;

• 4)    последовательность операторов {Н_к} сходится равномерно к оператору Н_о, т.е.

11Я* "^(V)*^0 При

• 5)    существуют числа Р_к>0, такие, что ||Я_Ау|| „, _ТА<  Р_к |Ы| ,„, _Т,, к = 0,1,... и число

L, такое, что NkPk + (Kkgkg;k)p

• б)    timk-«o|| = °.'

• 7)    v₀(T)

то последовательность решений Vy^ уравнений (б) сходится в пространстве 1?р^у0,Г) к решению уравнения (5).

Доказательство. Для краткости норму Z"(v₀,T) обозначим Ц-Ц .

Имеет место неравенство:

^-^Ц =Ьл-^о1о Ф)гМ0Ч^-М,0     (8)

Справедливы оценки:

ИУо -Л)Уо||_Ио=Vkky_Q,S_ky₀)-f_Q(-,a₀ +H_Qy_o,S_oy_o)\\_Vo<

-\\/k(‘»ak + Hky0,Sky0)-fk(-,a0 + H oyo,Soyo)\\VQ +

■^ЦЛС’^О ⁺ НуУу^оУо) - J_o6,^ao *HоУо’^оУо)!^ •

Из условия 1 теоремы 1 следует, что

Vk^“k*H_ky_Q,S_ky^-f_k^a_QA-Н_оу_о,8_йуД_Уй< У_А||а_А-a_Q +(H_k -Яо)^^ +

+МЛ0||^Л -SoJolL, s ^(J||_ai-a„fdv„(0y_+Nt\\H_b -Я»1_о^_о -||Уо1_о + т

+^1«)Ьл-5(,л111 = W. h -aoK-'oCT)' +^11^. -«olo^o • W,o + +^(О|^Л-5оЛ|Ц, и с учетом условий данной теоремы получим, что УМ«к+нкУоА^= 0.

Из условия 2 данной теоремы, следует, что lim ||/t (•, а0 + Ноуо, SQyQ) - /0 (-, а0 + Н 0 у0, Soyo )|| = 0. Л->оо

Значит lim||^o-^o|L = °(

К—>00

Оценим Н^-^УоЦ^.

\\ГкУк -^лЦ^ =Vk^«k +^нкУо^кУк)-/к^«к + ^нкУо>$кУо)\\_Уо ^ ^л||^ял(Тл -Jo)|L_o + Ku -л)^ ^ адк -^L_o + hlL₀^₀ to -^о)^ •

Ил IL_o^_o ^ с^^*^¹У^- °Л- >^{так как}

H^lo ^Л^хоГ^у =(jlz£t^w^Hrjv°)P - -(Л^^^^^Г”^^= Т                     Т7

• — Т                 — J       UV^g* —

(gH(gO б^йе^^ГАой=(^й 1Ы10 ■ К* т8*

Таким образом,

Ьл -SjoIL., s Wt +(K'gg;'y)iyt -<0 s£|k -л||ка ■(Ю)

Пл -УоЦ_о ^ уТ^И^о " ^оЛIL₀»

и из (9) следует, что Нт Цу^ - удЦ^ = 0.

Теорема доказана.

ПРИМЕР

Рассмотрим уравнение нейтрального типа

УМ = у^ЯО + У(г0(О),

(И)

4z,/g 0;— , L 12J где то(О =

-,/g(—;—), 312 12

при Т= [0, 1].

И

,ЮИ

4^--,Zg —;l

Краевое условие зададим равенством

y(l) + y(0) = 0.(12)

Краевая задача (l I) , (12) сводится к операторному уравнению где K(t,s) =

2’

. 2’

1    1

^ = пт; к(?^М»№ + Х^о(О), 100 о

и их решения связаны равенством у(0 = jAXz,s)x(s)<7s. о

Рассмотрим последовательность возмущенных уравнений нейтрального типа

где т_к^ =

4^+1 к

1 , 3,ZG

4Лу + 1 к

t--,Zg 0;— , 12Л      12

12Л

Ш + 1 t--

12Л

11 1 ,Zg —;1

с краевыми условиями у{1) + у{^ = {,к = 1,2,.... к

Краевые задачи (14), (15) сводятся к операторному уравнению ^"^к^* \K(t,s)x{s)ds) + x{T_k{t)) ! 1 и их решения связаны равенством у^ = — + LK(Z,s)x(s)(&. 2^ ₀

Проверим для уравнений (13) и (16) выполнение условий теоремы 3.

£'_о=[О;1], E_k=V---------;1], £_оДЕ_Л=[О;---------].

0 L J к 12(4^ + 1)       0 к 1 12(411 + 1)J

4^+1

4/?     10 Л. р             _к^р 10 .1,

^p-ixfc^-V) к

⁰ 4^-1    12 3 (^-l)^{2 к}4А: + 1         12 3

к Р

Здесь s^Z) - единичная атомическая мера, сосредоточенная в точке t и /? > 1.

lim v_o(E_oAE_k) = O, к = 1,2,...

к^хо

Имеют место оценки ^v₀< v_k< v₀, к = 1,2,..., отсюда Я* = ~ > g* = 2.

^-<о=- dvk

2P

——yS + 1 к

А

Z*3’

К* = vrai sup——(Z) = ^ -_teT dv_k     4^ + 1

t = -

Последовательность {т_А} сходится к т₀ в каждой точке Zg[0;1], значит, последовательность {г^} сходится по мере v₀ к г₀.

Таким образом, последовательность операторов S_k : L^v* (Е)-> Е£ (Г), заданных равенством (S_kx) = x(r_k(tp, tg [0,1] сходится по норме к оператору (S_ox) = х(т_о(О).

(НохХО = Jx(/,5X«)^ = ФкхХП, к = 1,2,..., т.е. последовательность операторов ^Нк^ схо-о дится равномерно к оператору Но.

Справедливы оценки

IIM^M^H^M

т.е. линейные операторы Н_к огра-

ничены, а следовательно и непрерывны и Р_к = ^, к = 1,2,...

£ + 1

\/_k(t,U_x,V_x)-A(/,W₂,V₂)| <—1«! -U₂| + |_V1 -v₂| .

л + 1

Последовательность N_k = -~- ограничена, М_к^-\.

Таким образом, для уравнений (13) и (16) выполнены условия существования и единственности решений.

Далее имеем lim || А (•, и, v) - /0 (•, и, v)||  = lira

Л-хю                       и0 А-хю

2^⁺ 1^ ^’ ^s^^{ds + Х(Ч W)} " ^Х^° ^

= 0.

'о

1             1

N_kP_kA-xy =A±l ₊ (jVL)/><1 £ = 1,2,..., р>\, р>\.

lim \а_к - а₀ = lim — = 0, у₀(Г) < да. А-^00 * £->00 2£

Все условия теоремы 3 выполнены и, следовательно, последовательность решений {х^} уравнения (16) сходится в пространстве Z”(v_o,[O,l]) к решению х₀ уравнения (13). Значит последовательность решений ^у_к^ задач (14), (15) сходится в пространстве Z)”(v_o,[O,l]) к решению у₀ краевой задачи (11), (12).