О нерасширяющих операторах

Вопрос о том, всякий ли нерасширяющий линейный оператор в пространстве Канторовича автоматически порядково ограничен, был поставлен Э. В. Викстедом в статье [16]. Первый пример неограниченного нерасширяющего линейного оператора был анонсирован Ю. А. Абрамовичем, А. И. Векслером и А. В. Колдуновым в [1, теорема 1]. Позже те же авторы [2, теорема 2.1] и П. Т. Н. Макполин и Э. В. Викстед [15, теорема 3.2] показали, что все нерасширяющие операторы в расширенном K-пространстве автоматически порядково ограничены в том и только в том случае, если это K -пространство локально одномерно. Тем самым, проблема Э. В. Викстеда была сведена к строению локально одномерных K -пространств.

В этой связи возник вопрос, сформулированный Э. В. Викстедом в [11]: не совпадают ли класс локально одномерных K -пространств и класс дискретных K -пространств? Отрицательный ответ был найден А. Е. Гутманом в [13]: существует непрерывное (безатомное ) локально одномерное K-пространство (см. также [6, 14]). А. Е. Гутманом дано также описание баз расширенных локально одномерных K -пространств: ими оказались в точности σ-дистрибутивные полные булевы алгебры.

Кроме того, в булевозначном анализе хорошо известно, что локальная одномерность расширенного K -пространства связана со строением поля действительных чисел R внутри булевозначной модели V ^(B) . Точнее говоря (см. [8]), расширенное K -пространство в соответствии с теоремой Гордона можно представить как спуск R↓ булевозначного поля действительных чисел R, а образом стандартного поля действительных чисел R (при каноническом вложении стандартного универсума V в булевозначный универсум V ^(B) ) служит подполе R ^∧ поля R. При этом несложно убедиться (и это хорошо было известно в других терминах), что R↓ локально одномерно в том и только в том случае, если R ^A = R. Суммируя все сказанное, можно сформулировать следующий результат.

Теорема A. Для произвольной полной булевой алгебры B равносильны следующие утверждения:

A (1) V ^(B) = R = R ;

A(2) B является σ -дистрибутивной;

A(3) K-пространство B(R) := R^ локально одномерно;

A(4) в K-пространстве B(R) := R^ каждый нерасширяющий линейный оператор порядково ограничен.

Настоящая работа посвящена булевозначному доказательству этой теоремы. Ниже в § 3, §4 и §5 приведем обоснование эквивалентностей A (1) — A (4), A(1) ——— A (3) и A (1) — A (2) соответственно. Оказывается, что все эквивалентные условия теоремы A сводятся к свойствам чисел и кардиналов внутри подходящей булевозначной модели.

Необходимые сведения из булевозначного анализа и теории векторных решеток содержатся в книгах [3, 7, 8, 10, 12]. Автор выражает благодарность рецензенту, указавшему на существенный пробел в первоначальном определении локального базиса Гамеля из 4.3.

• 2.    Вспомогательные сведения о булевозначных числах и кардиналах

• 2.1.    Всюду ниже B — полная булева алгебра c нулем 0 и единицей 1 , а V ^(B) — соответствующий булевозначный универсум, в котором булева оценка истинности произвольной формулы теории множеств ^(v i ,...,v n ) с константами x i ,...,x n G V ^(B) обозначается символом [ ^(x i ,..., x n ) ] При этом [^(x i ,..., x n )] G B и истинность утверждения у в модели V ^(B) означает по определению [ ^(x i ,..., x n )] = 1 .

Приведем необходимые определения и факты из булевозначного анализа. Подробности, см. в [8].

В силу принципа максимума существует элемент R G V ^(B) , для которого [ R — поле действительных чисел ] = 1 . Если формула ^(x) представляет собой формальную запись аксиом архимедова упорядоченного поля (для x), то она эквивалентна ограниченной формуле. Так как для поля R действительных чисел ^(R) истинна, то согласно ограниченному принципу переноса (см. [8]) будет [ ^(К ^Л )] = 1 , т. е. [R — архимедово упорядоченное поле ] = 1 . Можно считать при этом, что R — плотное подполе поля R в модели V ^(B) . При этом 1 = 1 ^Л служит единицей поля R, если 1 — единица поля R.

Спуском поля R называют множество R^ := {x G V ^(B) : [x G R]] = 1 }, на котором определена структура коммутативного упорядоченного кольца следующим образом. Если алгебраические операции и порядок в R обозначим временно символами ®, 0, ° , а в R^ — как обычно, символами +, •, 6, то определение сложения, умножения и отношения порядка на множестве R^ выглядят так:

z = x + у < ^ [ z = x 0 у ] = 1, z = x • у ^^ [ z = x 0 у ]] = 1, x 6 У ^^ [ x ° у ] = 1

⁽x, y, z ^{g R} ;).

Умножение элементов R^ на действительные числа можно определить правилом:

у = Ax ^^ у = Л ^Л • x ^^ [ у = Л ^Л 0 x ] = 1 (x, у G R^, Л G R).

• 2.2.    Теорема Гордона. Пусть R — поле действительных чисел в модели V ^(B) . Тогда R[ (с указанными в 2.1 операциями и порядком ) представляет собой расширенное K-пространство с порядковой единицей . Более того, существует булев изоморфизм χ

• 2.3.    Если элемент a Е V ^(B) таков, что [ ст : R ^ R]] = 1 , то существует единственное отображение S : R[ ^ R[, для которого

булевой алгебры B на базу P(RT) такой, что для любых x,y Е R[ и b Е B справедливы эквивалентности:

X ^{( b ) x} = Х^(Ь)У ^^ ^b 6 ^{[ x} = У 1,

X(b)x 6 X(b)y ^^ b 6 [ x 6 У ]•

[ S(x) = a(x)] = 1 (x Е R[).

Отображение S называют спуском a и обозначают символом a[; оно обладает свойством экстенсинальности:

^[x = у! 6 ^{[ S(x)} = ЭДЛ ^(x,y ^{Е R} IY

Как видно из 2.2, экстенсиональность S означает, что для любых x, у Е R[ и b Е B из X(b)x = Х(Ь)У вытекает x(b)S (x) = x(b)S(y).

Наоборот, если имеется экстенсиональное отображение S : R[ ^ R[, то существует единственная функция a : R ^ R внутри V ^(B) , для которой S = a[. При этом говорят что a — подъем S и пишут a = S T. Таким образом, спуск и подъем устанавливают биекцию множества всех экстенсиональных операторов из R[ в R[ и множества всех элементов a Е V ^(B) , удовлетворяющих условию [ a : R ^ R ] = 1 (см. правила сокращения стрелок из [8, теорема 3.3.12]). Последнее множество обозначим символом F (R)[.

• 2.4.    Пусть Ex(R[) — множество всех экстенсиональных отображений из R[ в R[. Это множество можно снабдить структурой унитарного модуля над кольцом R[, если ввести в нем алгебраические операции поточечно. Множество F (R)[ также можно снабдить структурой модуля над R[. Это делается точно также, как в 2.1.

• 2.5.    Пусть формула Ord(a) означает, что a — ординал, т. е. a — транзитивное множество, вполне упорядоченное отношением Е. Эта формула ограничена, поэтому

Указанная в 2.3 биекция между Ex(R[) и F (R)[ является изоморфизмом модулей.

C Требуемое легко усматривается из следующих равенств:

(S + T )Tx = (S + T )x = Sx + Tx = S Tx © T Tx = (ST © T T)x (x Е R[);

(a • S)Tx = (a • S)x = a • (Sx) = a 0 (STx) = (a 0 S T)x (a, x Е R[).

В этих соотношениях символами © и 0 обозначены как кольцевые операции в R, так и модульные операции в F (R)[. То же относится и к использованию символов + и • в R[ и Ex(R[). B

• (1)    Ord(a)      V ^(B) = Ord(a ^A ).

Можно показать, что утверждение «наименьший предельный ординал» также можно записать ограниченной формулой, поэтому a — наименьший предельный ординал ^^

V ^(B) |= «a ^A — наименьший предельный ординал».

Множество неотрицательных целых чисел ш := {0,1, 2,... } — наименьший предельный ординал, поэтому V ^(B) |= «ш ^А — наименьший предельный ординал». Таким образом, если N g — множество неотрицательных целых чисел внутри V ^(B) , то

• (2)    Ш ^А = Ng.

Аналогично обстоит дело с множеством рациональных чисел Q. Именно если Q — множество рациональных чисел внутри V ^(B) , то

• (3)    Q ^Л = Q.

• 2.6.    С кардиналами внутри модели V ^(B) дело обстоит иначе. Пусть формула Card(x) обозначает, что x — кардинал, т. е. ординал не равномощный никакому предшествующему ординалу. Можно показать, что если [Card(a ^A )] = 1 , то Card(a). Однако обратная импликация может нарушиться, а ординал может потерять свойство быть кардиналом при каноническом вложении в V ^(B) .

• 2.7.    Булеву σ -алгебру B называют σ -дистрибутивной, если для любой двойной последовательности (b _n,m ) _n,m e N в B выполнено условие:

• 2.8.    Для полной булевой алгебры B равносильны следующие утверждения:

В действительности для бесконечных кардиналов λ < κ можно подобрать такую полную булеву алгебру B, что V ^(B) = |А ^Л | = |к ^л | (см. [12, теорема 5.1]). Это обстоятельство называют смещением кардинальных чисел. Возможен такой выбор B, что V ^(B) = 2 ^{Ш а} = ш в +i для некоторых а < в (см. [12, теорема 2.11]). Так устанавливается совместимость гипотезы континуума и обобщенной гипотезы континуума с аксиомами Цермело — Френкеля.

V Л bn,m = Л VW n∈N m∈N       ϕ∈NN n∈N

Это равносильно тому, что для любой двойной последовательности (b _n,_m ) верно двойственное соотношение

Л V bn,m = V Л W)‘ n∈N m∈N       ϕ∈NN n∈N

Другие эквивалентные формулировки см. у Р. Сикорского [9].

• (1)    B σ -дистрибутивна;

• (2)    V ^(B) = (« о ) ^к 0 = (ш ^ш ) ^л ;

• (3)    V ^(B) = р (^ 0 ) = PМ^л .

• 3.2.    Линейный оператор в K -пространстве G будет нерасширяющим в том и только в том случае, когда он экстенсионален.

• 3.3.    Модули End N (G) и End R A (R)^ изоморфны. Изоморфизм устанавливается путем сопоставления нерасширяющему оператору его подъема.

• 3.4.    В предложении 3.3 возникла следующая ситуация. В поле действительных чисел R рассматривается упорядоченное подполе P ⊂ R, содержащее Q. Тем самым R является векторным пространством над полем P и имеет базис Гамеля, который обозначим символом E . Множество всех P-линейных функций в R обозначим символом End p (R). Для полноты приведем два хорошо известных факта.

C См. Дж. Белл [12, стр. 58]. B всех RA-линейных отображений из R в R. Тогда EndRA (R) — векторное пространство над полем R внутри V(B), а EndRA (R)^ — точный унитарный модуль над G.

C Как видно из теоремы Гордона и из 2.3, экстенсиональность линейного оператора Т : G ^ G означает, что для любых х G G и п £ P(G) из равенства пх = 0 следует пТх = 0. Если взять х := п ^ у, то получим пТп ^ = 0 или, что то же, пТ = пТп. Заменив в этом равенстве п на п \ получим Тп = пТп, поэтому пТ = Тп. Тем самым, оператор T нерасширяющий согласно 3.1. Наоборот, для нерасширяющего оператора T непосредственно из определений видно, что из пх = 0 следует пТх = 0. B

C Оператор Т £ End N (G) экстенсионален ввиду 3.2, потому имеет подъем т : = Т t, который представляет собой единственную функцию из R в R, удовлетворяющую условию [т(х) = Тх ]] (х £ G), см. 2.3. Используя это условие и определение структуры кольца в R↓, можно написать

т (х Ф у) = Т (х + у) = Тх + Ту = т (х) ф т (у) (х, у £ G), т (A ^A 0 х) = Т (А • х) = А • Тх = A ^A 0 т (х) (х £ G, А £ R).

Отсюда видно, что [т : R ^ R — R ^A -линейная функция ] = 1 , т. е. [т £ End R A (R)] = 1 . Если т £ End R A (R)^, то спуск т^ : G ^ G — экстенсиональное отображение (см. 2.3). В точности те же соображения, что и выше, убеждают, что R ^A -линейность т внутри V ^(B) влечет линейность оператора τ↓. С учетом 3.2 заключаем, что τ↓ — нерасширяющий оператор. Теперь требуемое следует из 2.4. B

• (1)    Пусть P — плотное подполе поля R . Общая форма P -линейной функции f : R ^ R дается формулой

f (х) = ^хеф(е), х = J>e, e∈E                e∈E где вторая формула — разложение х по базису Гамеля E, а ф : E ^ R — произвольная функция, принимающая лишь конечное число ненулевых значений.

C Выводится непосредственно из определения и свойств базиса Гамеля. B

• (2)    Произвольная P -линейная функции f : R ^ R допускает представление f (х) = сх (х £ R) для некоторого с £ R тогда и только тогда, когда она ограничена сверху или снизу на некотором интервале ]a, b[c R , a < b .

• 3.5.    Теперь приведем два следствия для нерасширяющих операторов, которые получаются булевозначной интерпретацией предложений 3.4 (1, 2).

C Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности предположим, что функция f ограничена сверху числом M на интервале ]a, b[. Тогда открытое множество {(s,t) £ R ² : a < s < b, M < t} не имеет общих точек с графиком f, следовательно, график f не может быть плотным в R ² . Но если функция f не допускает требуемого представления, то ее график плотен в R ² . Это устанавливается точно также, как и для функционального уравнения Коши, см. [4, глава 2, теорема 3]. B

• (1)    Нерасширяющий оператор T Е End N (G) порядково ограничен в том и только в том случае, когда он имеет представление Tx = g • x (x Е G) для некоторого фиксированного g : = д т Е G.

C Нужно лишь заметить, что подъем в 2.3 сохраняет свойство порядковой ограниченности, и применить 3.4 (2) внутри V ^(B) . B

• (2)    Для того чтобы каждый нерасширяющий линейный оператор в G := R^ был порядково ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы V ^(B) |= R = R ^A .

• 4.    Локально одномерные K -пространства

• 4.1.    Пусть G — расширенное K-пространство с фиксированной порядковой единицей 1. Элемент e Е G + именуют локально постоянным относительно f Е G + , если e = sup ^ _{G 5} А ^ п ^ f для некоторого числового семейства (А ^ ) g _G = и семейства (п ^ ) g _G = попарно дизъюнктных порядковых проекторов в G. Расширенное K -пространство G называют локально одномерным , если все элементы положительного конуса G ₊ являются локально постоянными относительно . Как видно, G будет локально одномерным в том и только в том случае, когда все элементы G ₊ локально постоянны относительно произвольной порядковой единицы e ∈ G. В самом деле, достаточность очевидна, а для обоснования необходимости нужно заметить, что для произвольного x Е G + можно выбрать разбиение единицы (п ^ ) g _G = так, чтобы элементы п x и п ^ e были ненулевыми кратными элемента π ξ , если только π ξ x отличен от нуля. Но тогда π ξ x будет кратным элемента π ξ e.

• 4.2.    Для того чтобы K-пространство G : = R^ было локально одномерно, необходимо и достаточно, чтобы V ^(B) =R = R ^A .

• 4.3.    Итак, расширенное K -пространство G = R^ локально одномерно лишь в том случае, когда [векторное пространство R над полем R ^A одномерно]] = 1 . В этой связи интересно выяснить, какая конструкция в расширенном K -пространстве G = R[ соответствует базису Гамеля векторного пространства R над полем R ^∧ . Будем считать, что G наделено единственной мультипликативной структурой, при которой G — коммутативная упорядоченная алгебра с кольцевой единицей .

C ^: Если R ^A совпадает с полем действительных чисел R внутри V ^(B) , то End R A (R) ^ — множество всех R-линейных функций в R. Но R-линейная функция в R имеет вид f (x) = cx (x Е R), поэтому End N (G) состоит из порядково ограниченных операторов согласно (1).

^: Если R ^A = R, то базис Гамеля E векторного пространства R над R ^A содержит хотя бы два различных элемента e i = 6 2 - Определив функцию f o : E ^ R так, чтобы f o (e i )/e i = f o (e 2 )/e 2 , можно продолжить ее до R ^A -линейной функции f : R ^ R, которая не может быть ограниченной в соответствии с 3.4 (2). Но тогда спуск доставляет нерасширяющий линейный оператор, который не будет порядково ограниченным, см. (1). B

В этом параграфе покажем, что A (1) ↔ A (3). Как вспомогательное средство здесь вводится понятие локального базиса Гамеля.

C Равенство [R = RA] = 1 имеет место в том и только в том случае, когда R^ = RA^ (см. [8, 3.3.3]). Тем самым, нужно только убедиться, что локальная одномерность G равносильна равенству G = RA^. Однако, согласно [8, 3.1.1] множество RA^ состоит из всех перемешиваний вида mixtGR(bttA), где (bt)tGR — произвольное разбиение единицы в B. Отсюда с учетом структурных свойств расширенного K -пространства G (см. [8, 5.2.2 и 5.2.3]) вытекает, что равенство G = RA^ равносильно возможности представления каждого элемента x Е G в виде о-^2tGRA tx(bt)^- для подходящего разбиения единицы (bt)tGRA в B. Последнее же равносильно условию локальной одномерности G, так как полагая пt := x(bt), указанное представление можно записать в виде x = о-    tпtl + о-    t^l = sup t^l — sup (—t^t 1, teRA,t>o         teRA,t0         tGRA,t<0

причем x + = sup{tn tl : t G R ^A , t >  0} и x = sup{-tn tl : t G R ^A , t <  0}. B

Будем говорить, что x,y G G различны на проекторе п G P(G), если для любого порядкового проектора р G P(G) равенство px = ру влечет пр = 0. Как видно, последнее равносильно соотношению n(G) С |х — у| ^^ .

Подмножество E ⊂ G назовем локально линейно независимым, если для произвольного ненулевого порядкового проектора π в G , любых попарно различных на π элементов e i ,..., e n G E и чисел A i ,..., A n G R из условия n(A i e i + • • • + A n e n ) = 0 вытекает справедливость равенства A k = 0 для всех к : = 1,...,n. Максимальное локально линейно независимое множество в G называют локальным базисом Гамеля K -пространства G.

В любом расширенном K -пространстве G существует локальный базис Гамеля.

C Достаточно применить лемму Куратовского — Цорна к упорядоченным по включению множествам всех локально линейно независимых множеств в G. B

• 4.4.    Пусть G := R[ , E G V ^(B) и [ E С R] = 1 . Тогда [ E — линейно независимое множество в векторном пространстве R над полем R^A ]| = 1 в том и только в том случае, когда E ↓ — локально линейно независимое множество в G .

C ^ Положим E 0 := Е[ и предположим, что E 0 — локально линейно независимое множество. Пусть для натурального n формула p(n, т, ст) формализует утверждение: т и ст — отображения из n в R ^A и E соответственно, ст(к) = ст(1) при различных к и 1 из n и 52 k e n т (к)ст(1) = 0. Обозначим через ^(n) формулу (V t )(Vст)(^(n, т, ст) — (Vk G п)т(к)) = 0. Тогда линейная независимость E внутри V ^(B) означает справедливость равенства

1 = [(Vn G N^ANH = Д№^а)].

n ∈ N

Итак, нужно показать, что для любого натурального n ∈ N имеет место равенство Mn^A)] = 1 . Вычисление булевых оценок с учетом структуры формулы ^ и правил [8, 2.3.8] приводит к следующей эквивалентной форме последнего равенства:

Д { [ (Vk G п ^а ) т (к) = 0] : т,ст G V ^(B) ; Ип ^а ,т,ст)] = 1}.

Возьмем теперь произвольные т, ст G V ^(B) и n G N, для которых [ ^ ( п ^а ,т, ст)] = 1 . Тогда [ т : n ^A ^ R^A] = 1 и [ ст : n ^A — E] = 1 , причем [ ст(к) = ст(1) при различных к и 1 из n ^{A и} P k e n A ^{т(к)ст(1)} = 0] = 1.

Пусть t : n ^ R ^A [ и s : n — E ⁰ — модифицированные спуски т и ст соответственно, см. [8, 3.5.5]. Тогда

• 1    = [ (Vk,l G n ^A )(k = 1 - ст(к) = ст(1)] = Д [ст(к ^А ) = ст(1 ^А )] = Д Ик) = s(1)], k,l ∈ n                        k,l ∈ n

k=l                        k=l стало быть, s(k) и s(l) различны на единичном проекторе при разных к и 1. Кроме того,

|Хt(k)s(k) = 0J = ^ X т(к)ст(к) = 0J = 1, k=0                     kenA поэтому Pn=0 t(k)s(k) = 0. Так как t(k) G R^ для всех к G n, то существует разбиение единицы (b^)^G= в B и для каждого k G n существует числовое семейство (Х^к)^G= такие, что t(k) = o-^2 Х^,к x(b^ )1 (к := 0,1,... ,n - 1).

§ G E

Подставляя эти выражения в равенство Pn—0 t(k)s(k) = 0, получим n—1                                             n—1

⁰ = XI o-X ^x s,k X ^{( b} s )! I ^s(k) = o-X X ^{( b} s ) X P,k ^s(k).

k =0    £ e =                         £ e =        k =0

Итак, x(b ^ ) P n — 0 Х ^,к s(k) = 0 и, так как s(k) и s(l) различны на проекторе x(b ^ ) при различных к, l G n, то по определению локальной линейной независимости будет Х ^,к = 0 (к = 0,1,..., n — 1). Тем самым, t(k) = 0 (к = 0,1,..., n — 1), следовательно,

1 = Д [t(k) = 0 = Д [т(кЛ) = 0 = [(Vk G n)т(к) = о], k∈n k∈n

что и требовалось.

^ Пусть [E — R ^Л -линейно независимое множество в R ] = 1 . Рассмотрим функции t : n ^ R и s : n ^ E 0 , а также их модифицированные подъемы т, о G V ^(B) , см. [8, 3.5.5]. Тогда [т : п ^л ^ R^Л ] = 1 и [о : п ^л ^ E] = 1 , причем t и s служат модифицированными спусками т и о соответственно. Внутри V ^(B) выполнена формула

(Vk, l G n ^Л )ст(k) = о(1) Л У2 т (к ^Л )о(к ^Л ) = 0 ^ (Vk G п ^л ) т (к) = 0.

k ∈ n ^∧

Подсчет булевой оценки этой формулы дает

Ь 0 := Д [s(k) = s(l)l Л k,l ∈ n, k = l

• X t^(k)s(k)=⁰ J

n — 1

6 Л [t(k) = 0].

k =0

Теперь если п P n — 0 t(k)s(k) = 0, причем s(k) и s(l) различны на проекторе п при различных к, l G n, то согласно 2.2 будет п 6 x(b), и вновь по 2.2 пt(k) = 0 для всех к G n. Так как п = 0, то t(k) = 0 (к = 0,..., n — 1). Тем самым, E 0 — локально линейно независимое множество в G. B

• 4.5.    Если множество E 0 С G локально линейно независимо, то E := E 0 T будет R ^Л -ли- нейно независимым множеством в R .

• 4.6.    (1) Пусть G:= RV, E G V ^(B) и [ E С R]] = 1 . Тогда [ E — базис Гамеля векторного пространства R над полем R^ = 1 в том и только в том случае, когда EV — локальный базис Гамеля в G .

C Согласно 4.4 достаточно доказать, что множество E 0 := mix(E 0 ) = EV = E 0 TV локально линейно независимо. Возьмем ненулевой порядковый проектор π в G, попарно различные на п элементы e i ,..., e n G E ⁰ и числа X i ,..., X n G R, удовлетворяющие условию п(Х 1 б 1 + • • • + X n e n ) = 0. Существует разбиение единицы (b ^ ) в B и семейства (g^ k ) С E 0 , для которых e k = o-P ^ x(b § )g £,k • Ясно, что р := пх(Ь п ) = 0 для некоторого индекса п Элементы д _пд , • • • , g _n,n попарно различны на проекторе р и р(Х ₁ д _п, ₁ + • • • + X n g _n,n ) = 0. В силу локально линейной независимости E 0 получаем X i = • • • = X n = 0. B

C Следует из 4.4 и 4.5. B

• (2)    Расширенное K -пространство G будет локально одномерным тогда и только тогда, когда { } — локальный базис Гамеля в G.

• 4.7.    Понятие локального базиса Гамеля, введенное в [15], отличается от рассматриваемого в этой работе и соответствует интерпретации множества E U {0}, где [ E — базис Гамеля векторного пространства R над полем R^л] = 1 . Кроме того, определение локального базиса Гамеля из [15] и [7] некорректно.

• 5.    Дедекиндовы сечения и цепные дроби в булевозначной модели

• 5.1.    Для любых двух множеств a С Q и а С Q имеет место эквивалентность

• 5.2.    Если булева алгебра B ст -дистрибутивна, то V ^(B) = R С R ^л .

C Следует из 4.2 и (1). B

В этом параграфе покажем, что A (1) ↔ A (2). Для этого необходимо выяснить, как ведут себя дедекиндовы сечения и цепные дроби в булевозначной модели.

(а, а) — дедекиндово сечение ^ [ (а ^л ,а ^л ) — дедекиндово сечение ] = 1 .

C В самом деле, формула ^(а, a, Q), утверждающая, что множества а С Q и а С Q образуют сечение, ограничена, поэтому можно применить ограниченный принцип переноса. B

C Заметим, что это как раз означает, что A (2) → A (1). Допустим, что булева алгебра B ст-дистрибутивна. Тогда по 2.8 (3) P (ш ^л ) = P (ш) ^л . Согласно 2.5 (3), верно также P №^л) = P №) ^л . Для обоснования требуемого включения нужно лишь показать, что если [t ER ]| = 1 , то [t G R^ = 1 . Пусть [t ER ] = 1 , т. е. t — дедекиндово сечение внутри V ^(B) . Тогда внутри V ^(B) справедлива формула:

(За E P(QЛ))(Зa E P^л))^(а, а, Qл) Л t = (а, а), где ϕ — то же, что и в 5.1. Вычисление булевой оценки этой формулы с учетом отмеченного выше соотношения P (Qл) = P (Q)л дает

1 = _ _Иа ^л ,а ^л ,Q ^л )Лл[t = (а,а) ^л ]. a C Q a C Q

Подберем разбиение единицы (b^) С B и два семейства (а^) и ( а^) в P(Q) так, чтобы ь 6 [^(ал,ал,Qл)l Л [t = (а€, а)л 1.

Отсюда следует, что t = mix ^ b ^ (а ^ , а г ) ^л , причем b ^ 6 ^(а^а^¹, Q ^л )]]. Если b r = 0 , то ^(а^а^¹,Q ^л )]] = 1 , так как для ограниченной формулы ^(x i ,...,x n ) оценка [ ^(х л , • • •, х П )Л принимает лишь два значения 0 и 1 в силу правил преобразования булевых оценок относительно полных булевых гомоморфизмов [8, 2.2.3 (2)]. Согласно ограниченному принципу переноса [8, 2.2.9] справедлива ^(а ^ , а ^ , Q), т. е. (а ^ , а ^ ) — дедекиндово сечение. Теперь ясно, что b ^ 6 [ t = (а ^ , а ^ ) ^л E R ^л Ц, поэтому [ t E R^ = 1 . B

• 5.3.    Теперь докажем импликацию A (1) → A (2). Воспользуемся разложением числа в цепную дробь. Положим

I:= {t E R : 0 < t < 1, t иррационально},

I := {t ER : 0 < t < 1, t иррационально}.

Известно, что существует биекция А : I ^ NN, которая сопоставляет числу t последо вательность неполных частных А(t) = a : N ^ N его разложения в цепную дробь:

а(1) +

a(2) +     —

a(3) + ...

Для последовательностей a : N ^ N и s : N ^ I рассмотрим ограниченную формулу ^(a, s,t, N), утверждающую, что s(1) = t ^-1 и при всех n Е N имеют место соотношения

a(n)=[stn)J' s(n+1) = s(n)- o(n)’ где [a] — целая часть числа 0 < а Е R, выражаемая ограниченной формулой ^(а, [a], N):

[а] Е N Л [а] 6 а Л (Vn Е N)(n 6 а ^ n 6 [а]).

Тогда равенство А(t) = а означает существование последовательности s : N ^ I, для которой выполняется ^(а, s,t, N). Биекцию А назовем разложением в цепную дробь. По принципу переноса внутри V ^(B) существует разложение в цепную дробь А : I ^ (N g ) ^к 0 .

• 5.4.    Ограничение А на I ^Л совпадает с А ^л , т. е. V ^(B) = (Vt Е 1 ^Л )A(t) = А ^л (t) .

• 5.5.    Если V ⁽B ) = R = R ^л , то булева алгебра B σ -дистрибутивна.

• 6.    Заключительные замечания

C Требуемое верно лишь тогда, когда для каждого t Е I справедливо А(t ^Л ) = А(t) ^л .

В силу данного выше определения биекции λ нужно обосновать справедливость внутри

V ^(B) формулы: (3s ЕI ^{N Л} )^(А(t) ^Л , s, t ^л , N ^л ).

По определению А существует последовательность a : N ^ I, для которой выполнено ^(A(t),a, t, N). Ввиду ограниченности формулы у выполняется также 1 = [у(А(^ ^Л , а ^л , t ^л , N ^л )]]. Заметим, что а ^л : N ^л ^ I ^л С I , т. е. [а ^л Е I ^{N Л}] = 1 . Суммируя сказанное, можем написать

[ (3s ЕI ^{N Л} ) _V (А(t) ^Л ,s,t ^Л , N ^л )] > [y(А(t) ^Л ,a ^Л ,t ^Л , N ^л )] = 1 . в

C В силу нашего предположения внутри V ^(B) выполняется I = I ^Л . Таким образом, А и λ ^∧ — биекции, λ продолжает λ ^∧ и образы у них совпадают. Ясно, что тогда совпадают и области определения (и вообще А = А ^Л ), поэтому (N ^N ) ^Л = (N ^Л ) ^{N Л} . Отсюда в силу 2.8 вытекает σ-дистрибутивность B. B

Итак, утверждение теоремы A сводится к простым свойствам действительных чисел и кардиналов. Но даже тем, кто свободно владеет техникой (спусков и подъемов) булевозначного анализа, приведенное доказательство может показаться громоздким по сравнению со стандартным доказательством, содержащимся в работах Ю. А. Абрамовича, А. И. Векслера и А. В. Колдунова [2], П. Т. Н. Макполина и Э. В. Викстеда [15], А. Е. Гутмана [13]. Однако смысл изложенного выше не в упрощении имеющегося в этих работах доказательства, а в том, что булевозначный взгляд на задачу обнаруживает новые взаимосвязи. Об этом еще несколько замечаний.

• 6.1.    Так как внутри V ^(B) пространство R ^л -линейных функций в R допускает полное описание (см. 3.4(1)), использующее базис Гамеля, то и пространство End N (R[) может

• 6.2.    Размерность 5(R) векторного пространства R над полем R ^A представляет собой кардинал внутри V ^(B) . Объект 6(R) содержит важную информацию о связи булевой алгебры B и множества действительных чисел R. Ввиду свойств булевозначных ординалов имеет место представление 6(R) = mix ^ b ^ а ^ , где (b ^ ) — разбиение единицы в булевой алгебре B, а (о^) — некоторое семейство стандартных кардиналов. Это представление — своего рода «декомпозиционный ряд» булевой алгебры B, причем главные идеалы [ 0 , b ^ ] « α ξ -однородны» в определенном смысле.

• 6.3.    Если класс линейных нерасширяющих операторов заменить на класс аддитивных нерасширяющих операторов, то эквивалентность A (1) ↔ A (4) в теореме A уже не выполняется. Более того, в любом расширенном K -пространстве существуют нерасширяющие аддитивные неограниченные операторы. Это связано с тем, что ни в какой булевозначной модели неверно V ^(B) = R = Q ^A .

• 6.4.    Свойство функции λ , установленное в 5.4, принято называть абсолютной определимостью. Е. И. Гордон [5] называет непрерывную функцию абсолютно определимой, если она обладает аналогичным свойством. Абсолютно определимыми являются функции e x , lnx, sinx, cosx. В частности, эти же функции существуют внутри булевозначного универсума, как функции из R в R и служат продолжениями по непрерывности соответствующих функций exp^A0, ln ^A (•), sin ^A (•) и cos ^A (•), действующих из R ^A в R ^A . Практически все функции, имеющие конструктивное определение, абсолютно определимы.

• 6.5.    Рассмотрим нерасширяющий оператор S : RV ^ RV, удовлетворяющий экспоненциальному функциональному уравнению Коши S (x + y) = S (x)S (y) для любых x, y G RV. Если, кроме того, S удовлетворяет условию S (Ax) = S (x) ^A при любых 0 < A G R и x G RV, то будем говорить, что оператор S экспоненциален. Если ст — подъем S , то ст экспоненциален внутри V ^(B) , поэтому в классе функций, ограниченных сверху на ненулевом интервале, либо ст = 0, либо ct ( x ) = e cx (x G R) для некоторого c ∈ R. Отсюда выводится, что условия A (1–4) теоремы A равносильны следующему:

• 6.6.    Аналогичная ситуация возникает, если отображение S удовлетворяет логарифмическому функциональному уравнению Коши S (xy) = S (x) + S(y) для любых 0 ^ x,y G RV и условию S (x ^A ) = AS(x) при любых A G R и x » 0. (Соотношение 0 ^ x означает, что 0 6 x и x^ = RV.) Такое отображение назовем логарифмическим. Тем самым, еще одно эквивалентное условие можно сформулировать так:

• 6.7.    Вместо разложения числа в цепную дробь в § 4 можно было бы использовать двоичное разложение. Но тогда пришлось бы строить биекцию P (ш) на некоторое множество действительных чисел и пользоваться 2.8 (3) вместо 2.8 (2).

быть полностью описано с использованием строгого локального базиса Гамеля. Однако при этом возникнут некоторые проблемы с однозначностью.

A (5) любой нерасширяющий экспоненциальный оператор в B(R) := RV по-рядково ограничен (и, следовательно, имеет вид S (x) = e cx (x G RV) при некотором c G RV, или тождественно равен нулю).

A(6) любой нерасширяющий логарифмический оператор в B(R) := RV по-рядково ограничен (и, следовательно, имеет вид S (x) = c lnx (0 ^ x G RV) при некотором c ∈ R↓ .