О неустойчивости решений эволюционных уравнений соболевского типа на графе

Пусть G = G(23; С), где QJ = {1^} - множество вершин, а С = {Е^ - множество ребер, G - конечный связный ориентированный граф, причем каждое его ребро Е_г имеет длину 1_г € R+ и площадь поперечного сечения d₃ Е R+- На графе G рассмотрим линейные уравнения в частных производных

^jt ^jtXX ⁼ P^U]XX ~' О^ЗХХХХ 4" ^З"                       (0-1)

Эти уравнения описывают эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости (см. [1] и библиографию там). Они относятся к обширному классу уравнений Соболевского типа, которые в последнее время активно изучаются в различных аспектах. Изучение дифференциальных уравнений на графах началось в конце прошлого века (см. [2] и библиографию там). Первая работа по уравнениям Соболевского типа на графах [3] вышла в 2002 г., первая диссертация по данной проблематике [4] защищена в 2005 г. Однако прежде во всех работах по уравнениям Соболевского типа на графах изучались только динамические уравнения (см. классификацию по Г.А. Свиридюку [5]). Данная статья содержит исследование эволюционных уравнений Соболевского типа на графе.

Нас интересуют решения уравнений (0.1), удовлетворяющие следующим условиям:

t/ДОД) = иДОД) = ^т(^тД) ⁼⁼ ‘^u"n(lnit^                     (0-2)

где E₃,E_k Е Е^а(Ъ),Е_т,Е_п Е Е^ш ^(E^W) - множество ребер с началом (концом) в вершине И); а также

'   djU_3X(0,t')         ' d_ku_kx(l_k Д) = 0.                    (0-3)

Е,ЕЕ“^          EfcEE^W)

Условия (0.2) требуют непрерывности решений в вершинах графа, причем в этих условиях термин «отсутствовать»не значит «быть равным нулю». Скажем, если в вершину V_t все ребра «входят», то первые два равенства в (0.2) именно «отсутствуют», а не «равны нулю». Если, к примеру, граф состоит из одного ребра и двух вершин, то условия (0.2) отсутствуют, а условия (0.3) превращаются в условия Неймана. Если же вершина у графа одна и ребро тоже одно, то условия (0.2), (0.3) превращаются в условия согласования.

Наш подход заключается в редукции задачи Коши и3(х:, 0) = ио3(х). х G (0, 13)(0.4)

для уравнений (0.1) к задаче Коши

н(0) = но(0.5)

для абстрактного линейного эволюционного уравнения Соболевского типа

Ей = Ми(0.6)

и применении затем методов теории относительно р-секториальных операторов (см. [6], гл. 5). Кроме того, нас интересует устойчивость решений уравнений (0.1), которую мы будем изучать в терминах дихотомий решений ([6], гл. 6). Поэтому статья кроме вводной части и списка литературы содержит две части. В первой проводится редукция задачи (0.1) - (0.4) к задаче (0.6), (0.5), а во второй содержится основной результат статьи.

1.    Постановка задачи

Чтобы редуцировать задачу (0.1) - (0.4) к задаче (0.5), (0.6), введем в рассмотрение следующие пространства: ^ = {д = (д^дг,...,^,...) : д₃ G Ь₂(0, 1₃^ и 23 = {и = (щ, v₂, -, и>, •••) : и₃ ^2 (0>^) ^и выполнено (0.2)}. Пространство S ~ гильбертово со скалярным умножением

= "^ d3 g3h3dx, Е3ее 0

а пространство 23 - банахово с нормой

Mll = ^^dJ [^x + ^dx.

Ej^e. 0

Заметим, что в силу теорем вложения Соболева функции из 4^(0, Z5) абсолютно непрерывны, поэтому пространство 23 определено корректно.

Обозначим через 23* сопряженное к 23 относительно двойственности < •, • > пространство и формулой

< Av w У d ю зададим оператор A G £(23,23*). В [7] показано, что его спектр ст^А^ неотрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +оо. Занумеруем собственные значения {А^} оператора А по неубыванию с учетом их кратности. Тогда ортонормированное (в смысле S') семейство соответствующих собственных функций {р/;} оператора А образует базис пространства 23 в силу плотного и непрерывного вложения 23 С 5.

Введем в рассмотрение еще одно банахово пространство Я = {u = (tti, и^,..., и₃,...) : и₃ G 4^(0, 1₃), и выполняются (0.2), (0.4)} с нормой

Ч

1Н1я = 52 ^d₃1 к^_зхх + ^u^ + ^^dx-

Ej^ 0

В силу уже упомянутых теорем вложения Соболева первые производные функций из W2 (0, ^) абсолютно непрерывны, поэтому корректность определения пространства Я обеспечена. Нетрудно заметить, что {д/Д С Я, а в силу плотности вложения Я С S семейство {д/Д образует базис в Я. Формулой В : п —> (— и^хх, — ^m, ..., — и_ЗХх, •••) зададим оператор В : Я —S- Очевидно В Е £(£!,$) и Ви = Аи при всех и € Я, поэтому о(В) = <т(Л). Возьмем А € К и построим оператор L = А + В. По построению оператор L Е £(Я;$), а его спектр ^(В) = {А + Afc}.

Наконец, введем в рассмотрение последнее в данной статье банахово пространство domM = {м € Н : iij € W2 (0, Ди

^Mja:x(0, #) = ^^(О, Д = U_mxxU"mi^ = ^_пжа;(/_п, Д,                  (2.1)

где Е₃,Е_к Е Е^а^,Е_т,Е_и Е Е^^)-,

52 dj^xxx^, Д 5 ' d_ku_kxxx(Jki Д — 0}               (2-2)

S,-GE“W)            ^е^/ц)

с нормой

Н< 5 ' d) I ^Ujxxxx + ^зххх + ^изхх + ^изх + ^u₃)dx.

Ej^ 0

Сделаем по условиям (2.1), (2.2) те же замечания, что и по условиям (0.2), (0.3) и, аналогично сказанному выше про пространство Я, установим корректность определения пространства domM. Заметим еще, что поскольку {д/Д С domM, а вложение domM С Я плотно и непрерывно, то семейство {дД является базисом в domM. Далее, формулой С ; и (uixxxx,U2xxxx, -;Ujxxxx, •■■) зададим оператор С : domM -э S, причем С ЕЦботМ;^ и сг(С') = {АД. Возьмем а,/3,7 € R и построим оператор М = —^В — аС + 7. По построению оператор М Е £\domM; 5) , а значит М Е С1 (Я; S) •

Итак, Я и S - банаховы пространства, а операторы L Е й^'^УМ Е С/(Я;5)- Редукция задачи (0.1) - (0.4) к задаче (0.6), (0.5) закончена.

2.    Корректность задачи

Пусть Я и S - банаховы пространства, a L Е В (Я, S) и М Е С1(М, $) - операторы, построенные в п.1. Нашей целью является доказательство существования единственного решения задачи (0.6), (0.5), а также исследование устойчивости решений уравнения (0.6). Начнем с установления сильной (В, 0) -секториальности оператора М.

Лемма 1. При любых а Е R+ и ^,7, А 6 R таких, что либо —А ^ сг(Д), либо —А Е сг(А) и —А не является корнем уравнения аа^ + Ра — ^ = 0, оператор М сильно (Ь,0)-секториален.

Действительно, из формулы

(нГ -      V < ", № > Фк вытекает, что L- спектр оператора М имеет вид aLW = Lk =             : к е N\{Z ; Д + Лг = 0})

(          А + Ак                            J вещественен, дискретен и сгущается только к = со. Далее из формул

ОО      /    \

(д£ - МуЧ^Ь - му¹ = V ₇---Г

^ (р - уУУ — цУУ + ху

аналогично ([6], гл.5), нетрудно установить сильную (L, 0)-секториальность оператора М.

Перейдем к рассмотрению вопроса о разрешимости задачи (0.6), (0.5). Вектор-функцию к Е C°°(R+;u), удовлетворяющую уравнению (0.6), назовем решением этого уравнения. Решение и = и(<)Д Е R+, уравнения (0.6) называется ослабленным решением (в смысле С.Г. Крейна) задачи Коши (0.5) для уравнения (0.6), если Jim u(i) = uq.

Определение 1. Множество ф С Я называется фазовым пространством уравнения (0.6), если

• (г)    любое решение и = и(У лежит в 93 как траектория, т.е. u(f) Е 93 при всех t Е R+;

(гг) при любом ио Е 93 существует единственное ослабленное решение задачи (0.6), (0.5).

Теорема 1. Пусти а Е R+,/?,7 Е R и

• (г)    —А Е R \ ст(А). Тогда фазовым пространством уравнения (0.6) служит все пространство Я.

(гг) —А Е сг(А). и —А не является корнем уравнения аа² -^/За—^ = 0. Тогда фазовым пространством уравнения (0.6) является пространство Я¹ = {u Е Я : (и, (рУ = 0, —А = А^}.

Итак, вопрос о существовании единственного решения задачи (0.6), (0.5) решен. Заметим, что одновременно решен вопрос и о несуществовании решения задачи (0.6), (0.5), ибо если ио ^ Я¹ в случае (И) теоремы 2.1, то решения задачи (0.6), (0.5) не существует. Перейдем к вопросу об устойчивости решений уравнения (0.6).

Пусть ф - фазовое пространство уравнения (0.6). Множество 3 С 93 называется инвариантным пространством уравнения (1.1), если для любого ио Е 3 решение и = u(t,uo) задачи (0.6), (0.5) лежит в 3 как траектория (т.е. и = u(t,uo) Е 3 при всех t Е R+).

Определение 2. Говорят, что существует экспоненциальная дихотомия решений уравнения (1.1), если существуют такие инвариантные пространства 3^s, 3^й С 93, что 93 = 3^s фЗ“; и если существуют такие к, С₈, С_и Е R+, что для любых vo Е 3^s и wq Е 3^й имеют место неравенства \\u(t, vo)|| < е^-'^Q:*C'_s||vo||,i Е R+ и ||u(i,wo)|| < e^atC_u||wo||,< Е R-. Если 93 = 3^s (93 = 3“), то говорят, что решения уравнения (0.6) экпоненциально устойчивы (экспоненциально неустойчивы).

Теорема 2. Пусть а Е R+,/3,7 Е R, причем 4«7 < — Р². Тогда

• (г)    если А > — Ai, то решения уравнения (0.6) экспоненциально устойчивы.

• (и)    если А < — Ai, то существует экспоненциальная дихотомия уравнения (0.6).

Доказательство. По теореме 2.1 фазовое пространство ф уравнения (0.6) выглядит следующим образом:

„ _ Г Я, если выполнено условие (i) теоремы 2.1, ( Я1, если выполнено условие (п) теоремы 2.2.

Если 4q7 <  —Р², то уравнение аА^ + РХ^ — 7 > 0 при всех А^, и потому если А > —Ai, то все Цк < 0, и значит, 3^s = ф.

Если же А < — Ai, то существует подпространство 3^м = зрап^фк : А < —А^}, а подпространство 3“ = {u € ф : (и, фк) = О, А < —А^} .                                         □

Заметим, что в силу условия а € R+ ситуация, когда решения уравнения (0.6) экспоненциально неустойчивы, возникнуть не может.

В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить свою искреннюю благодарность профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи и интерес к работе.