О нормальных u-ганкелевых операторах

1.    Введение и предварительные сведения

Как известно, классические операторы Ганкеля образуют один из наиболее важных классов операторов в пространствах аналитических функций. Эти операторы определяются как операторы, имеющие бесконечные ганкелевы матрицы (т. е. матрицы, элементы которых зависят лишь от суммы индексов) относительно некоторого ортонормирован-ного базиса. Конечные матрицы с таким свойством были введены Ганкелем. Одним из первых результатов применения данных операторов была теорема Кронекера, которая характеризует матрицы Ганкеля конечного ранга как те, матричные элементы которых являются коэффициентами Фурье рациональных функций. В 1957 г. Нехари описал ограниченные операторы Ганкеля в сепарабельном гильбертовом пространстве последовательностей, что положило начало современному этапу изучения этих операторов.

• ^# Работа выполнена в рамках задания 1.3.03 подпрограммы «Математические модели и методы» ГПНИ на 2021–2025 гг. «Конвергенция–2025» при финансовой поддержке Министерства образования Республики Беларусь, № 2021ГР20211776.

Операторы Ганкеля допускают различные реализации. Этот класс имеет множество приложений к анализу, теории вероятностей, теории управления и т. д. В частности, в анализе операторы Ганкеля широко применяются в проблеме моментов, теории ортогональных полиномов, теории приближений и теории операторов, в том числе для получения операторных моделей и при построении различных примеров и контрпримеров (см. [1, 2, 3]). Не удивительно, что существует большое количество обобщений и аналогов операторов этого класса.

Операторы Ганкеля существенно используются и в теории важного класса тёплице-вых операторов (см. [1, 3]). С другой стороны, интересное обобщение т¨еплицевых операторов («лямбда-т¨еплицевы операторы») было рассмотрено в [4, 5]. Поэтому значительный интерес представляет класс операторов в гильбертовых пространствах, которые так же связаны с лямбда-т¨еплицевыми операторами, как ганкелевы — с операторами Т¨еплица. Именно такой класс операторов (µ-ганкелевы операторы, µ — комплексный параметр) и рассматривается в данной работе, которая продолжает исследования, начатые в работе авторов [6]. Основной результат работы дает критерий нормальности этих операторов.

По аналогии с операторами Ганкеля следует ожидать, что указанный класс операторов имеет конкретные реализации в виде интегральных операторов, что позволяет применять к этим операторам результаты, полученные в абстрактном контексте, и тем самым внести вклад в теорию интегральных операторов. В данной работе такая реализация рассматривается в пространстве Харди H 2 (D) на единичном круге (относительно последнего пространства см., например, [1, 3]).

Определение 1. Пусть ц, v — комплексные числа, а = {aj}j^c — последовательность комплексных чисел, и пусть H , H ′ — сепарабельные гильбертовы пространства. Оператор A(M,v),a : H ^ H‘ назовем (ц, v)-ганкелевым, если для некоторых ортонор-мированных базисов (ek)k^Q С H и (ej)j^q С H‘ матрица этого оператора (ajk)kj, где* ajk = (A(^,v),aek, ej), состоит из элементов вида ajk — Ц Vak+j •

В частности, A (i i) _a — ганкелев оператор (относительно последних см., например, [1, 3, 7]).

Вместо A (^,i), _а мы будем далее писать А ^, _а (или А ^ ) и называть такой оператор ц - ганкелевым. Исключая тривиальный случай, для этих операторов мы будем считать, что Ц = 0.

Таким образом, матрица (ц ^k a k₊j ) k,j ^ o , т. е. вид

/

[ ^А ^,а ] ^: =

V

ц-ганкелева оператора А^,а имеет вид (ajk)kj^o = ao ца1 ц2а2 Ц3аз ц4а4 • • • \ а1 ца2 Ц2аз ц3а4

а2 цаз ц2а4• • • аз ца4 • • •• а4

. ..

Ниже, как правило, будет рассматриваться случай, когда H — H ‘ и оператор А ^,_а допускает матричное представление. Напомним [8, c. 90, Теорема 1], что такой оператор ограничен.

^∗ Здесь и ниже угловые скобки обозначают скалярное произведение.

В данной работе ганкелевы операторы понимаются как операторы в пространстве

H ² = H ² (T) := { f G L ² (T) : f(n) = 0 при n< 0 }

(всюду ниже через f (n) обозначаются коэффициенты Фурье функции f G L ² (T); T — единичная окружность ^∗∗ ), имеющие соответствующую матрицу в стандартном ортонор-мированном базисе e _n (z) = z n , n G Z + этого пространства. Такие операторы действуют по правилу H ^ f = PJ(уf ), где P : L ² (T) ^ H ² (T) — ортопроектор, у G L “ (T) — символ оператора, Jf (z) := f (z) (см., например, [7, c. 136]).

• 2.    Самосопряженность и нормальность µ -ганкелевых операторов

Критерий самосопряженности µ -ганкелевых операторов дает следующее простое

Предложение 1. Матрица ненулевого оператора A µ_,α самосопряжена тогда и только тогда, когда | ц | = 1 и o n = ц ^п « _п при всех n G Z + .

⊳ Из вида сопряженной матрицы следует, что матрица оператора A µ_,α самосопряжена тогда и только тогда когда

Ц^кa k + j = Цa k+j (k,j G Z ₊ ).                           (1)

Полагая здесь j = 0, получаем первое необходимое условие y ^k a k = « п ■ При a k = 0 получаем отсюда и второе необходимое условие | ц | = 1.

Обратно, если | ц | = 1 и yⁿa _n = a n при всех n G Z + , то, заменяя в последнем равенстве n на k + j, получаем ц ^{k + j} a k + j = a k + j , k,j G Z + , откуда сразу следует (1). >

Лемма 1. Пусть | ц | = 1 и оператор A ^,_a ц-ганкелев в стандартном базисе e _n (z) = z ⁿ (n G Z + ) пространства H ² (T) . Этот оператор ограничен тогда и только тогда, когда он представляется в виде A ^,_a = H ^ U ^ , где U f (z) := f (цz) — унитарный, а H - — ограниченный ганкелев оператор в пространстве H ² (T) , причем можно выбрать его символ у G L “ таким, что у( - к) = a k при k G Z + -

• <1 Достаточность следует из равенства U ^ e k = Ц^пе к и того известного факта, что оператор H ^ , для которого у G L “ и у( - k) = a k , имеет в базисе (e _n ) _{n e} z ₊ ганкелеву матрицу (a k+j ) (см., например, [7, с. 125]).

Необходимость. Пусть | ц | = 1, и оператор A ^,_a ц-ганкелев в базисе e _n (z) = z ⁿ (n G Z + ). Легко проверить, что оператор Ц, имеет в этом базисе матрицу [U ^ ] = diag(1,ц,ц ² ,...), и [A^ a ] = [H ][U ^ ], где [H ] = (a k+j ) k,j e z ₊ — ганкелева матрица. С другой стороны, это матрица ограниченного оператора H ^ := A ^_a U ^-1 . Значит, этот оператор ганкелев в силу теоремы Нехари (см., например, [7, теорема 4.1.13]). ⊲

Замечание. Пусть | ц | = 1. Рассмотрим унитарный оператор Wf(z) := f (цz) в L ² (T). Сужения Ц, := W ^ | H ² (T) и V ^ := W ^ | H - (T) являются унитарными в H ² (T) и H — (T) := L ² (T) О H ² (T) соответственно. Пусть у G L “ (T) и T _v обозначает оператор Теплица с символом у. Тогда оператор T ^,^ := U^T ^ является ц-теплицевым в силу [5, теорема 2.5]. С другой стороны, легко проверить, что оператор A ^ = V^H ^ , где H _v : H ² (T) ^ H 2 (T) — ганкелев оператор с символом у, является ц-ганкелевым. При этом

T + ,+ f + Af = W+M + f, f G H ² (T), где M ^ есть оператор умножения на у в L ² (T). Это соотношение является обобщением известной связи между классическими операторами Ганкеля и Т¨еплица.

^∗∗ Исключение составляет лишь замечание после леммы 1, в котором рассматриваются ганкелевы операторы, действующие из H ² ( T ) в H — ( T ) := L ² ( T ) © H ² ( T ).

Теорема 1. Ненулевой ограниченный оператор A p,_a в пространстве H ² (T) нормален тогда и только тогда, когда | p | = 1 и существует такая константа C Е C , что | С | = 1 и а П = Cp? a n при всех n Е Z j .

• <1 Достаточность. Пусть | p | = 1 и a k = Cp ^k a k , | C | = 1. Имеем при всех i,j Е Z +

^{[ A} p,a ^A p,a ^] ij = ^2[A M,a ] ik ^{[ A} p,a ^] kj = У? P k ^a i + k ^p k ^a k + j = J^ ^a i + k ^a k + j , k  kk

^{[ A} p,a ^A p,a ^] ij = y2^{[ A} ^a ^] ik ^{[ A} p,a ^] kj = ^ p" ^a i₊k P j ^a k + j = J^ P j i ^a i + k ^a k + j * k  kk

И осталось заметить, что ai+kak+j — Cp+^ai+k Cp ^k^jj — p ai+kak+j *

Необходимость. Пусть A p^ A p^ = A p,« A p,a - Поскольку [A p^ A p^ aa = E _k | p | ^{2 k} ^k | ² ,

^{[ A} p,a ^A p,a ^] oo = E k ^{| a} k I ² , ^то \ p \ = ¹                                    ____

Далее, так как A _p,_a = H _p U _p , то A p,_a = U p H _p * , где p*(z) ^:= p(z) [7, теорема 4.4.2].

Пусть Sf (z) = zf (z) — оператор сдвига в H ² (T). Тогда в силу леммы 4.4.4 из [7] имеем

A p,a A p,a - S * A p,a A po S = H p H p * - SH p H p * S = (Pp) 0 (Pp⁷) = (Pp) 0 (Pp),   (2)

где p(z) := p(z), а (f 0 g)h := ( h,g ) f — одномерный оператор в H ² (T).

С другой стороны,

A ^∗ µ,α A µ,α

-

S * A pa A p,a S = U p H ^ * H P U p - S * U p H ^ * H p U p S*

Заметим, что U p S = pSU p , а потому S^U-p = pU p S * . Так как pp = 1, (3) приобретает вид

A p,a A p,a - S*A* p,a A p,a S = U p (H p * H p - S * H p * H p S )U p *

Снова воспользовавшись леммой 4.4.4 из [7], получаем отсюда

A p,a A p,a - S* A*a _a ApSS = U p ((P^ * ) 0 (P^))U p = U p ((Pp) 0 (P^))U p *      (4)

Так как оператор A µ_,α нормален, то из (2) и (4) следует, что

((Pv5) 0 (Pv5)) = U p ((Pp) 0 (Pp^U p *

Следовательно, при всех n Е Z j

U p ((P

0 (P<,5))en(z) = ((Pp) 0 (Pp))Upe_n(z)*                     (5)

Рассмотрим правую часть (5). Поскольку Upen = pnen, то

((Pp) 0 (Pp))Upe_n(z) = pn(e_n, Pp^Pp*

Так как Hϕ зависит лишь от коаналитической части функции ϕ, можно считать, что ∞∞ p = y2(P(-k)e-k = y^ake-k * k=0              k=0

Поэтому Pp = p = E^=a akek. Значит, правая часть (5) равна

∞ pn (en ,Pp}Pp = y^pnanak ek * k=0

С другой стороны, левая часть (5) есть

W® 0 (Pp))en = (en,Pp)U_MPpi.

Поскольку p(z) = p(z) = X2 ₀akek(z) G H²(T), то

∞∞

UpPp(z) = ^ak U^ ek (z) = 52 Pk ak ek (z). k=0              k=0

Кроме того, (e_n,Pp?) = (en,p) = an. Итак, левая часть (5) имеет вид

U^Pp) 0 (Pp)K(z) = 52^kanakek(z).

k=0

Приравнивая полученные выражения для обеих частей равенства (5), получаем

∞∞

52 Pk anakek = 52 Pna anek, k=0              k=0

откуда p^kanak = pnakan при всех k,n G Z+. Зафиксировав такое k, что ak = 0, получаем отсюда an = Cpnan при всех n G Z+, где C = p-ok/ak, \C| = 1. >

• 3.    Интегральные µ-ганкелевы операторы

Пусть a G C, a = 0, а a есть ограниченная (вообще говоря, комплексная) мера на замкнутом единичном круге D комплексной плоскости. Рассмотрим оператор

I    f (z):= /          da(Z) (\z\< 1)

• ¹    - a^zz

D и последовательность моментов меры σ

Yn := Jznda(Z) (n G Z₊).

D

Частные случаи таких операторов рассматривались в [9, 10].

Введем обозначение

_ Г d|o|(Z) ^:1 1 -\ZI ■

D

Теорема 2. Пусть \a\ ^ 1, I < то. Тогда оператор Г_а,^ в пространстве H²(D) является ограниченным µ-ганкелевым в стандартном ортонормированном базисе этого пространства, причем p = 1/a и ||Г_а,_ст|| ^ I. Кроме того,

• 1)    оператор Г_а,_асамосопряжен, если и только если \a\ = 1 и anYn = Yn при всех n G Z+;

• 2)    оператор Г_а,_анормален, если и только если \a\ = 1 и для некоторой константы C, \С\ = 1 при всех n G Z+ справедливо равенство Yn = CanYn-

• <1 Рассмотрим стандартный ортонормированный базис en (z) = zn (n E Z+) пространства H2(D). С учетом того, что |a| 5 1 и |z| < 1, имеем

k∞

I ek(z) = т^М) = Сk ^((za)^jda(C)

2 1 - azz2

DD

∞∞

= £z^ja z^k+jdaC) = V -Yk+ja^k+je,(z).

j-0 D

(Почленное интегрирование ряда законно, так как при всех k E Z+

Т [ |zjСk+ja|dH(c) 5 ^Т Izj [dklK) < ю.) j-0D                     j-0

Следовательно, оператор Г_ааявляется ^-ганкелевым в H2(D) с матрицей ajk = a^jYk+j, ^ = 1/a и an = anYn. Для доказательства его ограниченности воспользуемся теоремой 6.23 из [11, c. 152] и ее следствием на с. 153. Имеем при всех j

∞∞∞

£>jk | 5 Н'Е/ 1С lk+j dM(C) < D EKIk dWC ) = I- и аналогично при всех k

E I ajk I 5 р I a j / IСI k+j d| a I (С) 5 /Е I «< j dIaI(С) = / Ж 5 I. j -        j - D                D j -

Таким образом, в силу упомянутой теоремы и ее следствия ||Г_а,^ || 5 I .В частности, оператор Г_ааограничен. Теперь утверждения 1) и 2) теоремы прямо следуют из предложения 1 и теоремы 1 соответственно, если там положить ^ = а и an = anYn. >

Пример. Пусть da(z) = dAa(z) := (a + 1)(1 — IzI2)adA(z), где dA(z) := (1/n) dxdy = (r/п) dr dd — нормированная площадь, a > 0. Это вероятностная мера на D [12, лемма 3.9]. Тогда f dAa(Z)     ,      . f (1+ r)ardr

¹⁼]т—й=^2(a+1)У (1—r)i- < ”

D

(последний интеграл может быть выражен через гипергеометрическую функцию, см. [13, c. 302, формула 15]). Легко проверить, что Yo = 1 и Yn = 0 при n ^ 1. Следовательно, в силу теоремы 2 |Г_а,А_а|| 5 I, и оператор Г_а,А_а(где IaI 5 1) нормален тогда и только тогда, когда IaI = 1. При этом условии данный оператор самосопряжен.