О новом подходе к разработке математической модели формирования поверхности детали при выполнении операции вибрационной очистки

Введение. Вибрационная обработка (ВиО) охватывает широкий спектр технологических операций -отделочно-зачистные, моечные, упрочняющие, покрытия и др. [1].

В ряде работ рассмотрены математические модели формирования поверхности и поверхностного слоя при выполнении некоторых операций ВиО [2]. В излагаемой статье рассматривается вариант подготовки решения такой задачи на основе представления обрабатываемой поверхности в виде фиксированного круга, покрываемого случайными кругами.

Математическая модель формирования поверхности детали. Предположим, что имеется N кругов радиусом а и что их центры независимо и равномерно распределены по области, состоящей из всех точек плоскости, расстояния до которых от круга радиусом R (назовем его Л) не превышают a.

Случайное множество X определяется как общая часть круга А радиусом R с теоретико-множественным объединением N кругов радиусом а. Площадь Т равна ^(Л + я)², а площадь каждого круга С равна ла² . Вероятность того, что любая точка внутри А покрывается одним кругом С, равна:

а

Р = ~---7^ ^ = 7--- л^К + а^      ^R + a^

Вероятность того, что любая точка внутри А покрывается по крайней мере одним кругом С, равна р^М(х>Х^Ц1-р^ =1- —-— .

ЦЛ + а) )

М(8) =

Математическое ожидание случайной величины площади S, покрытой хотя бы одним кругом С, равна

лК2

где D - область внутри круга радиусом А.

Итак,

Для получения второго момента Л/(5²) рассмотрим внутри А две точки: Р_х и Р^.

Вероятность того, что ни одна из этих точек не окажется покрытой, равна qN(r), где q(r) есть доля Т, лежащая вне объединения кругов радиусом а с центрами в Рх и Р2. По скольку Рх и Р^ лежат в круге А, эта доля зависит только от г (расстояния между Рх и Р2\ Очевидно, 0

R

M(S²) = I*q^N(r)(p(r)dr.                               (3)

о

Обозначим через Q(r) площадь пересечения двух кругов радиусом а, центры которых разделяет расстояние г. Тогда

О, если г >- 2а;

Q(r) = j

2а²(0-sin9cos0), если г <2а.

где 9 = arccos

,a y(r) = 1-2/2 + ^v л^Р + а)

лР² + ла² + Q(r) л^Р + а)

To есть

л(р² + аЛ + Р1(г) ^) = ——;—— ' л(Р + а)

где r = 2Rcosa; a- arccos —

Выводы. Предложенная математическая модель процесса ВиО плоского круга R частицами обрабатывающей среды в заданных допущениях позволяет вычислить вероятность того, что любая точка внутри А покрывается одним кругом С (формула (1)), а также определить среднее значение площади круга R, покрытой хотя бы одним кругом С (формула (2)), и второй момент M^S²^ обработанной площади круга R (формулы (3), (4)) [2-4]. С учетом полученных результатов возможно определение продолжительности вибрационной обработки детали при заданных параметрах. Методика и уравнения расчета продолжительности обработки представлены в работах [5, 6].