О новом семействе ABC-троек вида a + 1 = b

ABC-тройкой называется тройка натуральных и взаимно-простых (в совокупности) чисел (а, Ь, с) таких, что а + Ь = с¹ и с > гad(abc), где rad(n) обозначает произведение всех различных простых чисел, входящих в каноническое разложение натурального числа п в произведение простых множителей в степенях.

Известно, что таких троек существует бесконечное количество [1], и есть несколько бесконечных серий, получаемых исходя из тех или иных математических конструкций [1-3]. В то же время гипотеза ABC, или ABC-гипотеза, утверждает, что при любом положительном е существует лишь конечное число ABC-троек с усиленным свойством с > [rad(abc)]^1+e.

В статье строится бесконечная серия ABC-троек вида a + 1 = Ь на основе следующего полиномиального тождества:

(27a2 - 18аЬ + 2Ь2)2 =4 • (Ь - 2а) • Ь3 + а • (9а - 4Ь)3.                   (1)

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2022

Пролистав [2,3] а также некоторые другие источники, я не обнаружил этой серии среди задокументированных серий ЛВС-троек, в то время как методы, ведущие к ней, могли бы породить ещё много чего интересного. Поэтому я и предлагаю здесь эту серию, вместе с методом её нахождения.

Тождество было выведено при изучении эллиптической кривой биткойна

У2 = ж³ + 7                                      (2)

над кольцом Гауссовых чисел.

• 2.    О кривой биткойна и её использовании в получении одной замечательной ЛВС-тройки

Кривая биткойна2 — это эллиптическая кривая (2), арифметика которой над разными полями остатков обеспечивает функционирование одноимённой криптовалюты. Нас в настоящей статье не интересуют финансовые и алгоритмические тонкости, а интересует эта кривая сама по себе. Рассмотрим точку

(-2; і)                                                      (3)

на этой кривой, принадлежащую множеству Kz^ ] её комплексных целочисленных точек. Проведём комплексную касательную а-ля [2, 3], это будет параметризованная прямая [-2 + it, і + 6t)], где t может, естественно, принимать и комплексные значения. Третья точка пересечения получается при t = 30і — заметьте, что и значение параметра, и сама точка чудом получают целив комплексные значения. Конкретно точка

[-2 + і • (30і); і + 6 • (30і)] = [-32,181і]                              (4)

лежит на нашей кривой и приводит к целочисленному равенству (в кольце Z!)

215 = 7 + 1812,                                         (5)

являющему собой прекрасный пример ЛВС-тройки с весьма неплохим фактором3, равным приблизительно 1.32.

• 3.    Обобщение этого метода

Возникает вопрос: а нельзя ли обобщить эту методику поиска ЛВС-троек? Фон дер Хорст в [3] исходил из эллиптической кривой у3 = ж3 + к и любой рациональной точки на ней, после чего, избавляясь от знаменателя, получал ЛВС-тройку каждый раз, когда у по модулю превосходило к. Как говорил В. И. Ленин, «мы пойдём другим путём». А именно, будем отыскивать целые алгебраические точки на семействах кривых вида у2 = ж3 + к                                          (6)

и пытаться добиться потом их обращения назад в целочисленные соотношения.

Ограничиваясь в дальнейшем «обычными» целыми числами, мы рассмотрим совершенно произвольную кривую (6), оставив себе свободу выбора собственно числа к на потом.⁴

Вооружимся какой-нибудь целой точкой на кривой (6), скажем, [жо; уо] (тем самым отмечая и запоминая, что у нас к = уд — ж3). Проведём теперь касательную, которая будет иметь вид

^[жо + 2yot^{; у}о + За?0^]

и приведёт к новой точке на нашей кривой, точке следующего вида:

^{[q2 — 2ж}о^; q³ — ³(/^жо + ^уо^],

3^2

где q = 2^0- Если окаэюется, что q — число целое, то и новая тройка будет целочислен

ной. Далее, для целочисленности q необходимо иметь чётность жо, и ещё в итоге всегда оказывается, что q делится на 3.

Вводим новые обозначения:

жо = 2s; q = 3t, 2s²

в результате которых мы должны иметь уо = -р.

Теперь мы выразим к тоже через s и t, а именно: к = 4 s2 — 8s³, и просто-напросто запишем тождество, которое показывает, что полученная точка лежит на нашей кривой (6):

[27t3 — 18ts + 2 j ]2 = [4   — 8s3] + [9t2 — 4s]3.

Важно понимать, что это просто тождество относительно s, t, выполненное в кольце формальных рациональных функций от двух переменных, на плотном по Зарисскому подмножестве. Тождество это связано с природой сложения точек на эллиптических кривых - фактически с видом формальной касательной, и затем соответствующих вычислений в координатах. Но его можно и «угадать».

Избавляемся от знаменателей и получаем тождество уже в кольце полиномов Z [ s,t ], причём t входит в него исключительно во второй степени. поэтому, переобозначая а = t² и b = s, окончательно приходим к этому восхитительному тождеству (1), которое мы тут воспроизведём:

(27а² — 18аb + 2b²)² =4 • (b — 2а) • b³ + а • (9а — 4b)³.

4. Исследование тождества (1) и получение новой серии ЛВС-троек

Давайте подумаем, чего бы нам хотелось на выходе? Нам бы хотелось, чтобы выражение

27а2 —18аb+2b2

(Ю)

равнялось ±1. Тогда у нас будут два куба, домноженные на что-то линейное, отличающиеся на 1 — серьёзная заявка на ЛВС-тройку! И это возможно!

Давайте перепишем (10) в форме нашего пожелания, сгруппировав его члены по-другому и поменяв знак (нам надо ±1, так что это неважно):

b2

3 • [b — За]2 = ±1.

(И)

У уравнения

у² — 3ж² = ±1,

являющегося типичным уравнением из класса Нелля, нет решений со значением —1; так как наше уравнение тоже является по сути уравнением Нелля с линейной заменой переменных, то и у нашего уравнения сущствуют только положительные решения. Все решения уравнения (12) задаются (см. [4]) формулой у + ж V3= [2 + V3]n,

надо разложить по биному Ньютона и сгруппировать слагаемые — с корнями и без. Соответственно, в нашем случае должно быть выполнено равенство ь + (ь — 3a)Va = [2 + Vap,                            (14)

что накладывает дополнительное условие делимости на три разности у — ж в формуле (13). Аккуратный анализ выражения (13) показывает, что по модулю 3 разность у — ж равна 2^п — п • 2^П-1, и она в самом деле каждый третий раз делится на 3 (сокращая на 2^П-1, получаем, что необходимым и достаточным условием делимости на 3 выражения у — ж является просто делимость на 3 числа 2 — п, что происхрдит на 2, 5, 8,... шагах применения формулы (13).

Собственно, дальше можно «включать калькулятор» или более сильные приборы. Сперва я действовал устно, затем — при помощи калькулятора, и получил первые три пары решений уравнения (11):

(1;7),

(51; 362),                                              (15)

(2651;13515).

Они, в свою очередь, приводят к вот таким ЛВС-тройкам:

1 + 193 = 22 • 5 • 73,

1 + 51 • 233 • 433 = 27 • 5 • 13 • 1813,                               (16)

1 + 2651 • 514093 = 22 • 13515 • 188 1 73.

В последнем случае мы не утверждаем, что эти числа — простые; даже не стали раскладывать на множители 13515. Важно то, что они свободны от квадратов (это проверяется быстрее: легко понять, что достаточно сделать перебор до 3L для установления, что L свободно от квадратов).

Дальше можно включать более сильные вычислительные приборы, чтобы получать сколь угодно большие решения и соответствующие ЛВС-тройки.

Качество всех у этих троек не очень высокое, зато размер чисел быстро становится таким, что лобовым перебором вряд ли находится за разумное время даже на компе. Дальше, конечно, они будут расти непомерно, но вопрос — а всегда ли на выходе будут именно ЛВС-тройки? Верно ли, что каждое из решений уравнения (11) приводит к ситуации, когда старшее из чисел превосходит произведение простых делителей, входящих во все три числа (из которых одно равно 1 и поэтому может быть пропущено)?

5.    Основной результат заметки

Теорема. Для любого п, дающего остаток 2 при делении на 3, могут быть найдены целые полоэюителъные значения а,Ь, при которых выполняется равенство (11) путём вычисления биномиальной п-й степени (2 + V3)ⁿ = Ь + (Ь — 3a)V3- Подстановка этих значений в томсдество (9) всегда приводит к ЛВС-тройке.

Доказательство. Первая часть теоремы уже доказана. Нам надо установить, что в полученной тройке старшее число больше произведения всех простых делителей, входящих в наши числа. Посмотрим внимательно на выражение в правой части (9). Предположим худший для нас вариант, когда все 4 числа а, Ь, Ь — 2а, 9а — 4Ь свободны от квадратов.

Даже и в этом случае наше произведение не превосходит модуля

2аЬ(Ь — 2а)(9а — 4Ь);

сравнить же его нам надо с модулем а• (9а — 4Ь)3. Понимание того, что Ь2 ~ 3• (Ь — 3а)2, даёт после лёгких вычислений, что Ь ~ 7а, точнее, 7.1а, но такой точности уже не требуется. Итого Ь — 2а ~ 5а и 4Ь — 9а ~ 19а, значит, мы сравниваем числа а4 • (7 • 10 • 19); а4 • 193, и наша оценка, таким образом, оказывается верной. Что и требовалось доказать.

6.    Соображения вокруг да около

Итак, мы получили целую бесконечную серию троек АВС вида

1 + а = Ь, очень быстро растущую в размере, на основании соотношения (9).

Последнее, в свою очередь, получилось как следствие параметрического анализа сложения точек на эллиптических кривых специального вида (6).

Качество этих троек не отделено от 1, а, скорее всего, к единице стремится — в полном соответствии с гипотезой АВС. Просто степени полиномов в тождестве (9) так устроены, если в них «вглядеться»: сумма всех степеней равна 4, когда наш квадратичный многочлен обращается в 1. И степень всего тождества равна 4. Поэтому в худшем случае радикал сравним с размером Ь по абсолютной величине, то есть качество стремится к единице — конечно, если в некоторых случаях нам не «повезёт».

Как всё это можно обобщить?

Во-первых, можно выполнять сложение точек друг с другом, а не проводить касательные. Во-вторых, можно работать (как мы выше уже показали) не с обычными целыми, а с Гауссовыми или иными целыми алгебраическими числами, придумывая ситуации, когда всё в конце концов вернётся в Z. В-третьих, можно непосредственно обобщать тождество (9).

Я попробовал первый и третий подходы. Первый подход породил при работе с кривой типа у² = ж³ + к и с «кривой Хорста» у³ = ж³ + к несколько новых тождеств. Механизм получения этих тождеств таков, что мы выполняем формальное сложение точек либо проведение касательной, затем либо избавляемся от знаменателей, либо требуем, чтобы что-то на что-то делилось, вводя новые параметры. Увы, но выйти на какой-то надёжный источник бесконечных семейств троек АВС на этом пути не получилось. Возможно, что я не заметил этого сокровища.

Третий подход (путём компьютерного перебора «форм» такого тождества) выявил целый ряд интересных новых полиномиальных тождеств. Например:

уп(9уп + 4г)3 + 4г3(2уи + г) = (27п2у2 + 18игу + 2г2)2.

Есть и несколько ещё более «страшных» выражений, в которые можно наудачу — либо исходя из какой-то системы — подставлять значения переменных, и на выходе будут, возможно, иногда получаться АВС-тройки. Здесь мне очень помог Сергей Маркелов.

Представим себе, скажем, что существовало бы тождество более сильного вида:

(га + зЬ)4 — (та + гЬ) • (ша + гЬ)3 = [Ғ2(а, Ь)]2, гДе Ғ2(а, Ь) — гиперболическая форма от двух переменных. Тогда эта форма бесконечное количество раз вернётся к наибольшему общему делителою своих коэффициентов (ну, или к какой-то другой константе) в силу свойств гиперболических уравенений, сводящихся к уравнению Пелля.

А это уже будет противоречить гипотезе АВС, так как с ростом чисел а, Ь старшее число тройки будет иметь порядок Ь4, вместе с тем произведение проостых будет максимум порядка Ь3. II тогда гипотезу АВС нужно будет утотшить до фактора 4/3. Либо наоборот — удастся доказать, что никакого такого тождества не бывает, что косвенно подтвердит гипотезу АВС. И вообще, верно ли, что все бесконечные серии АВС-троек могут быть получены из похожего на (9) вида тождеств?

Автор благодарит Дениса Осипова за ознакомление с первым вариантом работы и полезные советы по литературе, Сергея Маркелова за совместные численные эксперименты, Михаила Савватеева за исследование троек АВС с помощью техники целочисленных комбинаций логарифмов, а также Николая Казимирова и Михаила Бочкарёва за советы по тексту и помощь в оформлении статьи.