О нулях одного класса гармонических функций

В работе доказывается один критерий того, что некоторая гармоническая в полуполосе П о : 0 <  Re z <  2, 0 <  im z <  ж функция не имеет в ней нулей. С помощью этого результата устанавливается (в различных формах) критерий, при выполнении которого не имеет нулей в П о мнимая часть некоторой функции F , аналитической всюду в замкнутой полуполосе 0 6 Re z 6 2, кроме точки z = 2, в которой F ( z ) имеет простой полюс.

1. Перед тем, как рассмотреть основной объект настоящей работы, установим одно простое вспомогательное утверждение, которое будет играть существенную роль в дальнейшем изложении.

Пусть z = ст + iX , 5 Е (0, 2 ) ; П о — полуполоса 0 < Re z <  2 , 0 < im z < + ro ; Щ — область, ограниченная положительной мнимой полуосью 11 , отрезком 1 2 : im z = 0 , 0 6 Re z 6 5 , четвертью окружности C g : (ст — 2 ) ² + X ² = 5 ² , 0 6 X < + го , 5 6 ст 6 2 , и лучом 1 ^g : Re z = 2 , im z >  5 .

Обозначим символом HC (П о ) класс всех функций, гармонических в П о и непрерывных в каждой конечной точке контура Г о , ограничивающего П о , кроме точки ст = 2 , X = 0 . При этом Г о состоит из полуоси 1 1 , отрезка X = 0 , 0 6 ст 6 2 , и луча 1 ^о : ст = 2 , 0 < X < + го . Далее, HC (П д ) (0 < 5 <  2 ) — это множество всех функций, гармонических в П д и непрерывных в каждой конечной точке контура Г д = 1 1 U 1 ^g U C g U 1 ^g , ограничивающего область П д .

Для любой функции д(ст, X) из HC (П о ) и любого X Е (0, + го ) введем характеристику а \ := max { g(ст, X) : 0 6 ст 6 2 } •

Предложение 1. Пусть 5 Е (0, +го), g Е HC(По) и g(ст,X) < 0 Vz Е По. (1)

Тогда выполняются соотношения

∀ z ∈ l 1 ∪

0,1) ,   g(ст,X) 6 0;

^V z ^{Е 1 о g} ^,^X^

6 0;

lim sup a \ 6 0; λ → + ∞

3 5 о Е (g, 1) : V 5 Е (0,5 о ), V z Е C g g(ст,X) < 0.

(° 2007 Ю. Ф. Коробейник

Обратно, если выполнены условия (2) - (5) , то справедливо неравенство (1) .

C 1. Импликация (1) ^ (5) очевидна. Далее, в силу непрерывности д(ст, А) в каждой конечной точке Г о , кроме ( 2 ,0) , из неравенства (1) следуют соотношения (2), (3) и неравенство: а х 6 0 для любого А £ (0, + го ) , откуда, в свою очередь, вытекает (4).

2. Пусть теперь g G HC (П о ) и выполнены условия (2)-(5). Зафиксируем 6 G (0,5 о ) и произвольно малое е >  0 . Тогда существует А о G (6, + го ) такое, что а х < Е для А > А о . Пусть А > 6 и в х = max { g(a,^) : (ст, ^) G T/ } , где Т § — замкнутый контур, состоящий из 1 2> , C g и трех отрезков { (0, ^) : 0 6 ^ 6 А } , { 2 , ^) : 6 6 ^ 6 А } , { (ст, А) : 0 6 ст 6 2 } .

Тогда вх 6 max{0,ax} < е для А > Ао. Заметим, что величина вх не убывает с ростом А, и потому существует Л = lim вх, причем Л 6 е и Л > вх для А > 6. Так как λ→+∞ число е > 0 можно взять как угодно малым, то Л 6 0 и подавно вх 6 0 для А > 6. Для любого фиксированного А > 6 функция д(ст, А) гармонична в области D^, ограниченной контуром T λ , и не превосходит нуля в любой точке T .

Но тогда по принципу максимума для гармонической функции д(ст, А) 6 0, в D ^ .

При этом, если функция д(ст, А) отлична от постоянной, то д(ст, А) < 0 в D ^ . Если же д(ст, А) — постоянная, то она в силу условия (5) должна быть отрицательным числом. Таким образом д(ст, А) < 0 в D ^ для 6 G (0, 6 о ) , откуда следует неравенство (1). B

Следствие. Пусть д(ст, А ) — функция из HC(П о ) , удовлетворяющая условиям (2) , (4) , (5) . Тогда (1) О (3) .

Предложение 2. Пусть g G HC(П о ) и выполнены условия (2) , (4) , (5) . Тогда неравенство (3) равносильно (1) , а также эквивалентному ему утверждению:

1) д(ст, А) не имеет нулей в П о .

C По следствию предложения 1 (1) ⇔ (3). Далее, очевидно, что (1) ⇒ 1). Пусть, обратно, функция д(ст, А) не имеет нулей в П о . Тогда эта функция сохраняет постоянный знак в П о . Если бы это было не так, то в П о нашлась бы пара точек (ст 1 ,А 1 ) и (ст 2 , А 2 ) таких, что д(ст 1 ,А 1 ) < 0 , д(ст 2 ,А 2 ) > 0 . Тогда на отрезке прямой, соединяющей эти две точки, имеется хотя бы один нуль функции д(ст, А) , что противоречит 1). Итак, д(ст, А) сохраняет постоянный знак в П о . Но в силу условия (5) этот знак может быть только минусом, и условие (1) выполнено. Таким образом 1) ⇒ (1) и окончательно 1) ⇔ (1) ⇔ (3). B

2. Рассмотрим один пример довольно общего характера. Для любого s G Nо : = {0,1, 2,...} обозначим символом Ms множество всех функций f : [1, +го) ^ R, непрерывных в промежутке [1, +го) вместе со своими производными до порядка s включительно и таких, что lim x→+∞

Введем функцию

Ff (z) =       + z2 - 4

In | f ^(j) (x) | In x

< - 2, ^j = ^0,i,...,s.

∞

1 f Ы 3 -z, z , ₂ f(x)x ⁴ (x ² +

z x 2) dx = — z

2 _-

т ^{+ Ф}/ С4 4

Если f G М о , то Ф у G А(П) , где П — полоса | Re z | <  2 и A(D) — пространство функций, голоморфных в области D . Более того, Ф у аналитична в окрестности любой точки множества П := © z : | Rez | 6 2 }• Что же касается функции F f , то она аналитична в П , имеет простые полюсы в точках ± ¹ ₂ и регулярна в достаточно малой окрестности любой из остальных точек границы П .

Считая, что f Е M o , преобразуем выражение для F f с помощью замены переменной x = e t в интеграле, представляющем Ф у , и последующего разделения вещественной и мнимой частей. После проведения этих операций получим

Ff (z) =(A1 + Bi) + i(A2 + B2), im Ff = *(a, A)

2aA

Ka-JF+A2Ia+>+A^

+2

∞

I f (e ^2t )e ² sh at sin Atdt,

где

∞∞ A 1 = j f (e t )e 4 ch — cos — dt = 2 j f (e 2t )e 2 ch at cos Atdt, ∞ A 2 = 2 У f (e 2t )sh at sin Atdt; 0 о    — A 2 — 4 + a 2     о      2aA           /    1A2    2   /    1A2     2 B 1 =      д      , B 2 =    △ ; 4 :=[(a   2) + A][(a + 2) + A

В дальнейшем мы сосредоточим свое внимание на мнимой части функции F f :

0 6 a 6 ^, 0 < A < + го .

Заметим прежде всего, что *(0, A) = 0 , A Е ( —го , + го ) ; *(a, 0) = 0 , а Е [0, 2 ) .

Таким образом, множество Z (im F f ) всех нулей *(a, A) , лежащих в П , содержит «нулев о й крест», составленный из мнимой оси и перпендикулярного к ней интервала (— 2 , + 2). Далее, *(a, A) = A* 1 (a, A) для (a, A) Е П , где

∞

* 1 ^(a’^A):     [(a — 2 ) ² + A ² ][(a + 2 ) ² + A ² ]

t , sin At f (e2t)e 2t sh at—-— λt dt.

При | z — 2 1 ² = (a — 2 ) 2 + A ² - ¹ ) 2+A2 ](1₊A 2 ) , ^{стремится} к

^ 0 первое слагаемое последней суммы, эквивалентное — го . В то же время абсолютная величина второго сла-

∞t гаемого не превосходит при a Е [0, 2] конечного числа E := 2j |f(e2t)|e 21 sh 2 dt =

∞

J I f (e ² t ) | t(e t — 1) dt- Поэтому lim * 1 (a, A) = —го , и следовательно, существует 0                                        z → ¹ ₂ , z ∈ Π0

5 1 Е (0, + го ) такое, что *(a, A) < 0 , если (a — 2 ) ² + A ² <5 1 , a Е [0, 2 ] , A Е (0, + го ) .

Таким образом, условие (5) выполняется при всех 5 Е (0,5 1 ) для функции g(a, A) = *(a, A) , и для применения предложений 1 и 2 осталось убедиться в справедливости соотношения (4).

• 3.    Предварительно докажем, возможно известное, обобщение одной теоремы А. Лебега (см., например, [1, с. 240–241]).

Предложение 3. Пусть функция ф(t, a) непрерывна на множестве [0, + го ) х [0, 2 ] и абсолютно интегрируема на [0, + го ) по t при всех ст из [0, 2 ] • Пусть, далее, функция

Ф(t, ст) удовлетворяет следующим условиям:

I

sup {| ф(t,ст) | : 0 6 ст 6 2 } =: ^(t) Е L i ([0, + го ));

sup {| ф(t, ст) | : (t, ст) Е [0, + го ) х [0, 2 ] } = v <  х :

( V i > 0) ( V Т Е (0, + го )) ( 3 п т > 0) | ф(t 1 ,ст) - ф(t 2 ,ст) | < I, если ст Е [0,1/2], | t 1 - t 2 | < П т , t j Е [0, Т], j = 1, 2.

Предположим еще, что семейство непрерывных на [0, + го ) функций { h A (t) : А Е [0, + ^ ) } равномерно ограничено:

sup {| h _A (t) | : А Е [0, + го ), t Е [0, + ^ ) } = Н о < + ^

и, кроме того,

c lim / h^(t)dt = 0 Vc Е (0, +ro).

A——+^c J

∞

Тогда lim J ф(t, ст)hA(t) dt = 0, причем стремление к пределу равномерно относительно A—+7 о параметра ст из [0, 2] • Этот факт будем обозначать следующим образом

7                       [о , 2 ]

/ ф(t,ст)h A (t) dt ^ 0 при А ^ + го . о

Доказательство предложения 3 проводится по той же схеме, как и доказательство соответствующей теоремы Лебега. Именно, задав произвольное I > 0 , найдем Т о такое, что ∞   ∞∞

I | ф(t,ст) || h A (t) | dt 6 Н о У | Ф(t,ст) | dt 6 Н о У ^(t) dt < ¹ V ст Е |^0, |j .

T 0                              T 0                      T 0

Далее разделим отрезок [0, Т о ] точками t o = 0 < t i < ... < t _m = Т о на столь малые

отрезки, что на каждом из них колебание функции ф(t, ст) <  _{4 т}0 н _о при любом ст из [0, Тогда

T ⁰                   m — 1 tk+1                              m — 1          tk+1

/ ф(t,ст)h A (t) dt = X / [ф(t, ст) - ф(t k , ст)1h A (t) dt + X ф(t k , ст) / h A (t) dt.

О                     ^к=^о tk                                   k- ^{о          J}

k =0

t _k

t k+1

Но / [Ф(t, ст) - ф(t k ,ст)]h A (t) dt 6 tk

.,/ ., •// ., ^ H ^{o (t} k ⁺¹

-

t k ) ,

откуда

m — 1 tk+1

X / [ф(t, ст) - ф(tk, ст)1hд(t) dt k=0 tk

ε

6 4

V ^ст ■ [о, I].

tk+1

Далее, в силу (10) lim J h A (t) dt = 0 , k = 0,1,. ^A " ^x tk

.

., m — 1 . Учитывая еще второе

из

m — 1

tk+1

соотношений (7), находим, что lim ^ |ф(tk, ст)| J hA(t) dt = 0, причем стремление A—+7 k=o tk

к пределу (нулю) равномерно относительно параметра ст из [0, 2 ] . Следовательно, существует A 2 такое, что для любых А £ [A 2 , + ^ ) и ст £ [0, 2]

m — 1          tk+1

X Ф(tk, ст) / hл(t) dt k=0           tk

ε

< 4 ‘

∞

Окончательно J ф(t, ст)h л (t) dt < e для любых ст £ [0, 2 ] и A > A ₂ (e). ₀

Применим предложение 3 к функции (6), положив h л (t) = sin At , ф(t, ст) ∞

2f(e ^2t )e 2 sh стt и считая, что f £ M o . В данном случае ^(t) = 2 J | f(e ^2t | (e t 0

0 6 sup { 2 | f(e ^2t ) | e t : t £ [0, + ^ ) } < + ro . Условие (10), очевидно, выполняется. Таким образом

— 1) dt ,

при А ^ + ro и

Далее, lim

Л — ■ \ ' ”

∞ f o t                          [0,2 ]

2   f (e ^2t )e ² sh CTt sin Atdt ^ 0

lim sup <

Л——+^о

λσ

∞ j f (e2t)sh CTt sin Atdt : ст £ |^0, |] 0

- 2 ) ² + Л ² ][( а + 2 ) ² + Л ² ]

6 0.

= 0 , причем стремление к пределу равномерно

по σ из

[0, 2 ] . В итоге мы установили, что в рассматриваемой ситуации условие (4) выполнено, и применимы предложения 1, 2.

Учитывая, что ^(ст, A) < 0 , если | z — 2 1 < 6 о и z £ П о , используя предложения 1, 2 при сколь угодно малом 6 из (0, ^ о ) , получаем, что если функция f £ M o, то функция ^(ст, A) = im F f (z) не имеет нулей в П о тогда и только тогда, когда выполнено неравенство

∞

Ф(A) := ^ f| ,a) = —     ¹     + f f ( e ^2t ) ( e t — 1 ) sinAtdt 6 0 V A £ (0, + ro ).   (11)

2         A(1 + A ² )

о

Заметим, что условие (11) равносильно такому

∞

A(1 + A ² ) J f ( e ^2t ) ( e t — 1 ) sin Atdt 6 1, A £ (0, + ro ) о

или, что то же самое, sup <

∞

A(1 + A ² ) If (e ^{2 t} ) ( e t

-

1 ) sin At dt : А £ [0, + го ) > 6 1

.

Таким образом, справедлива

Теорема 1. Если f £ M o , то функция im F f не имеет нулей в П тогда и только тогда, когда выполняется любое из трех равносильных условий (11) - (13) .

• 4.    При некоторых дополнительных предположениях на функцию f критерий (11) можно представить в другой форме, а именно, свести его к некоторой простой по формулировке проблеме для косинус-преобразования Фурье.

Предположим, что f ∈ M 1 . Тогда соотношение (11) равносильно неравенству

∞ j ff (e2t '^ - 1)]° COS Xtdt 6 1 + Д2 , Л G (°’ +X '■

Но, как хорошо известно (см., например, [2, с. 39]),

∞

----=    e^-t cos Xtdt.

1 + X² J

Поэтому неравенство (14) равносильно такому:

∞ j{[f(e2t)(et — 1)]0 — e-tO cosXtdt 6 °, X G (°, +ro).                (15)

Сформулируем полученный результат.

Теорема 2. Если f G M i , то функция im F f не имеет нулей в П в том и только том случае, если выполнено неравенство (15) .

К сожалению, нам не удалось найти в какой-либо из довольно многочисленных работ по теории преобразования Фурье критерий справедливости соотношения (15).

Замечание. Обозначим для любого s >  1 символом M ^s. 1 множество всех функций f из M 2 s +i , удовлетворяющих условиям (f(e t )e 4 ) 0^2j 1) = — 4 ^{1 - 2j} , j = 1,...,s . Тогда нетрудно показать, что если f ∈ M ₃ ⁰ , то соотношение (15) равносильно следующему:

∞

V X G (°, + ro ) j |[ f(e ^2t )(e t — 1) ] 0 — f f(e ^2t )(e t — 1) ]⁰"} cos Xtdt 6 °. 0

• 5.    Возвращаясь к теореме 1, остановимся немного подробнее на критерии в форме (12). Считая, что f G M 3 , при h(t) := f(e ^2t )(e t — 1) получим

  ∞

  У h(t) sin Xt dt =

  
  

  ∞

  X У h 0 (t) cosXtdt =

  
  

  ∞

  — X 2 /^"(t)

  
  

  sin Xt dt =

  
  

∞

• = —     —            " Xtdt = —    ¹ + o( A

λ ³      λ ³                          λ ³        λ ³

где X 3 • o( ^ 1 ^ ° при X ^ + ro .

∞

Отсюда lim X(1 + X ² ) J h(t) sin Xtdt = — h ⁰⁰ (°) = — 4f 0 (1) — f (1). λ → + ∞         ₀

Рассмотрим последовательно три возможных случая.

• 1.    Если h " (°) <  — 1 , т. е., если — h " (°) > 1 , то условие (12), очевидно, не выполняется, и тогда функция im F f имеет нули в П . Легко показать, что в этом случае im F f имеет в П бесконечное множество нулей континуальной мощности.

• 2.    Пусть теперь h ⁰⁰ (0) >  — 1 , т. е. — h ⁰⁰ (0) < 1 . Тогда существует q <  1 такое, что для любого A > A _i = A _i (q)

• 3.    Последний логически возможный случай h ⁰⁰ (O) = — 1 наиболее труден для исследования, но зато и наиболее интересен. Как показано в [3], если f ∈ M 3 и F f имеет бесконечное множество нулей в П , то h ⁰⁰ (O) = — 1 . В частности, так будет, когда ∞ ₂

∞

v(А) := А(1 + A ² ) j f (e ^2t )(e t — 1) dt <  q.

Пусть еще λ 0 — положительный корень (очевидно, единственный) уравнения

∞ x ■■x2)jf (e2* )l(e* - 1)dt=1.

Тогда v(A) < 1 для A G [0, A o ] . Если A o > A i , то для любого A 6 (0, + го ) v(A) < 1 , и условие (12) выполнено. Но тогда применима теорема 1, согласно которой im F f не имеет нулей в П . Если же A o < A i , то дело сводится к оценке сверху величины y := max { v(A) : A G [A o , A i ] } . Так как [A o , A i ] — конечный сегмент, то такую оценку можно получить обычными методами математического анализа. Если y 6 1 , то условие (12) выполнено (и, следовательно, im F f не имеет нулей в П ), а если y > 1 , то оно нарушено, и Z(im F f ) — непустое множество мощности континуум.

f = f o := 2^ о , где ^ o (x) := ^ e ^{nn x} — функция, использовавшаяся Риманом при n =1

исследовании дзета-функции Z(z) . Как хорошо известно (см., например, [4, гл. II, п. 6]), функция ^ o (x) удовлетворяет функциональному уравнению (полученному Риманом) V x(1 + 2^ o (x)) = 2w o( 1) + 1 , 0 < x <  го , из которого, в частности, следует (известное еще Риману) равенство w'o (1) + ^°^ = — 8 , равносильное соотношению h " (0) = — 1 (при f = f o ).

Случай, когда h ⁰⁰ (0) = — 1 , должен быть объектом отдельного исследования. Отметим здесь лишь то немаловажное обстоятельство, что если бы в случае f = f o удалось доказать справедливость хотя бы одного из трех (равносильных) условий (11)–(13), то отсюда следовала бы справедливость знаменитой гипотезы Римана о нулях Z(z) в критической полосе. Если же окажется, что при f = f o хотя бы одно из этих условий нарушено, то это будет означать, что множество нулей функции im { (n) ^{- z} Г( 2 )Z(z) } в П , бесконечно (и имеет мощность континуума).

В заключение отметим некоторые опечатки в статье [3], затрудняющие ее чтение. На с. 11, 5-я сверху строка, вместо «по лемме 1» должно быть «по предложению 1». На с. 12, в формулировке предложения 1, вместо Z(ReFf) должно быть Z(imFf). На с. 14, вместо f(k)(1) должно быть f (k)(1). На с. 18, 10-я сверху строка, вместо lim должно k→+∞ стоять lim sup. Наконец, на с. 19, 7-я сверху строка, неравенство v(xi, yi) < 0 следует k→+∞ заменить на v(xi, yi) > 0.