О пересечении абелевой и минимальной неабелевой подгрупп в конечных группах

Отметим, что в рассматриваемом примере одна из подгрупп абелева, а вторая минимальная неабелева. И именно по причине неабелевости хотя бы одной из подгрупп, возможно появление таких примеров, так как в случае, когда подгруппы A и B абелевы, согласно [1] справедлива

Теорема 1. Пусть G — конечная группа, A и B — абелевы подгруппы из G . Тогда Min G (A,B) <  F(G).

Оригинальное доказательство этого утверждения, приведенное в [1], опирается на одну теорему единственности, в общем виде принадлежащую Виланду [2, теорема 2.9], и теорему Бэра — Судзуки [2, теорема 2.12], которая, впрочем, легко следует из теоремы Виланда. Теорема Виланда гласит, что если некоторая подгруппа A субнормальна в каждой содержащей ее максимальной подгруппе из G , то либо A субнормальна в G , либо A лежит в единственной максимальной подгруппе M из G . Если A нильпотентна, то легко показать по индукции, что субнормальная нильпотентная подгруппа из G лежит в F (G), что сделано, например, в [2, теорема 2.2]. В нашей ситуации мы будем применять эту теорему единственности к абелевой подгруппе A . Этот круг вопросов подробно обсуждается в [2, раздел 2A]. Доказательство того, что в любой конечной группе G для любых абелевых подгрупп A и B из G имеем Min G (A, B) С F(G) , приведенное в [2, теорема 2.18], также, как и оригинальное, опирается на теорему Бэра — Судзуки.

В данной работе мы приведем другое доказательство этой теоремы, которое не использует теорему Бэра — Судзуки, а целиком основано на версии упомянутой теоремы Виланда для нильпотентной подгруппы, а именно, на следующем предложении, имеющим самостоятельный интерес.

Предложение. Пусть G — конечная группа, A — нильпотентная подгруппа из G и A С F(M ) для любой максимальной подгруппы M из G, содержащей A. Если A С F(G), то A лежит в единственной максимальной подгруппе из G.

Как уже было отмечено, теорема 1 вместе с новым доказательством, предложенным автором монографии [2] Айзексом, вошла и обсуждалась в [2, введение и раздел 2 A ] вместе со следствиями из теоремы.

Доказана также следующая теорема.

Теорема 2. Пусть группа G равна Gi х G2, где Gi — C p , p — простое, а G2 = G 3 X G4, где G3 — E _p 2 , G4 — SL2(p) и G4 действует на G3 как подгруппа из Hol(E _p 2 ). Пусть A — абелева и B — нильпотентная подгруппы из G. Тогда следующие условия эквивалентны:

• (1)    min G (A,B) С F(G);

• (2)    p = 2 , A - E 4 и A С G2, B - D 8 и B £ G ₂ .

• 2.    Предварительные сведения

Теорема 2 дает принципиальный ответ на вопрос о том, всегда ли minG(A, B) С F(G), поскольку по [3] при выполнении условий теоремы 2 найдутся пересечение Di = A И Bg1 порядка 2, не лежащее в F(G) и пересечение D2 = A И Bg2 порядка 2, лежащее в F(G), для соответствующих элементов g1 и g2 из G. Однако следует заметить, что соответствующий пример построен только для p = 2. Поэтому возникает вопрос о справедливости выполнения включения minG(A, B) С F(G) в случае, когда порядок абелевой подгруппы A нечетен, а подгруппа B нильпотентна. Этот вопрос поставлен автором в [4, вопрос 16] и до сих пор открыт. Теорема 2 говорит о том, что при выполнении ее условий для нечетных простых чисел имеем minG(A, B) С F(G), что является частичным ответом на [4, вопрос 16]. В общем случае из [5, теорема] следует лишь то, что АИВg С F(G) для некоторого g из G. Но если подгруппы A и B обе нильпотентны, то как для p = 2, так и для некоторых нечетных чисел, существуют примеры групп, в которых minG(A, B) И F(G) = 1. Для p = 2 это группа G = E9 X D8 с точным действием D8 на E9, а для простого числа Мерсенна, равного 2n — 1, группа G = (Е2П X (2n — 1)) I (2n — 1). Поэтому случай абелевой подгруппы A и нильпотентной подгруппы B представляет особый интерес.

Обозначения в основном стандартны, их можно найти в [2, 6].

Если n — натуральное число и p — простое число, то C _n обозначает циклическую группу порядка n, E p n — элементарную абелеву группу порядка p n , S n — симметрическую группу подстановок на n символах.

Приведем доказательство предложения.

• <1 Доказательство предложения. По условию предложения подгруппа A субнормальна в M . Следовательно, A субнормальна в любой подгруппе H из G, содержащей A. Тогда по теореме Виланда (см. [2, теорема 2.9]) либо A лежит в единственной максимальной подгруппе из G, либо A субнормальна в G. Но если A субнормальна, то согласно [2, теорема 2.2] подгруппа A лежит в F(G) , что противоречит условию предложения. Поэтому A лежит в единственной максимальной подгруппе из G. >

• 3.    Доказательство теорем

Докажем теорему 1.

• <    Доказательство теоремы 1. Допустим, что теорема 1 неверна и G — контрпример минимального порядка к теореме 1. В группе G выберем подгруппы A и B с условием Min G (A, B) ^ F(G) таким образом, чтобы число | A || B | было минимальным.

Рассмотрим максимальную подгруппу H из G, содержащую A. Пусть D = A И B g 6 M g ( A,B ). Тогда D = A И (H И B g ) 6 M h (A,H И B g ). Действительно, если D > Di E M h (A,H И B g ), то A И B g > A И (H И B g ) h для некоторого h из H . Следовательно, A И B g > A И H И B ^gh = A И B ^gh . Противоречие с тем, что D 6 M g (A,B ). Отсюда по индукции Min G (A, B) C F(H ) для любой максимальной подгруппы H из G. Согласно предложению Min G ( A, B ) лежит в единственной максимальной подгруппе H из G .

Допустим, что D = A И B ^g C Z (G). Тогда для любого элемента h из G имеем A И B ^gh X A И B ^g . Действительно, A X A И B ^g и B ^g X A И B ^g . Поэтому B ^gh = (B ^g ) ^h X (A И B ^g ) ^h = A И B ^g . Значит, в этом случае D — наименьший элемент в M g ( A,B ) и Min G (A, B) = D C Z(G) C F (G). Противоречие с выбором G. Следовательно, D = A И B ^g C Z(G) для любого элемента g из G. Но тогда ( A, B ^g ) C C g (D) C H . Поэтому ( B ^G) C H .

Если A C ( B ^G , то D И ( B ^G ) = A И ( B ^G) И B ^g = A1 И B^g, где A1 = A И ( B ^G ) для любого элемента g из G. Поэтому выбор числа | A || B | влечет, что Min G (A i ,B ) C F (G). Но Min G (A i ,B ) = Min G (A,B ). Противоречие с выбором G.

Если A C ( B ^G) , то A C F(H ) И ( B ^G ) C F( ( B ^G) ) C F (G). Но тогда и Min G (A, B) C F (G). Снова противоречие с выбором G. >

Далее докажем теорему 2.

• <    Доказательство теоремы 2. Пусть выполняются условия теоремы 2. Заметим, что импликация (2) ^ (1) следует из [3, п. 2].

Докажем, что (1) ^ (2). Для этого среди всех подгрупп A и B из G, для которых выполняются условия теоремы 2 и условие (1), выберем подгруппы A и B так, чтобы число | A || B | было минимальным.

Лемма 1. Подгруппа B неабелева.

• < 1 Допустим, что подгруппа B абелева. Тогда по теореме 1 имеем Min G (A, B ) С F (G). Так как min G (A, B) С Min G (A, B), то min G (A, B) С F (G). Противоречие с (1). >

Лемма 2. Подгруппа B не содержит силовскую p -подгруппу из G .

• <    Допустим, что B ^ S, где S G Syl p (G) . Тогда O p (B ) — неабелева подгруппа из B . Следовательно, в факторгруппе G = G/F(G) имеем O p (B ) G Syl p (G). Так как G — SL 2 (p), то при p ^ 3 имеем B С C g (O p (B )) — C 2 p . Значит, подгруппа B лежит в полном прообразе в G циклической подгруппы порядка 2р из G. Если порядок подгруппы B при этом четен, то B содержит инволюцию, инвертирующую подгруппу G 3 = F (G 2 ), содержащуюся в B , что противоречит нильпотентности подгруппы B . Поэтому при p ^ 3 подгруппа B является p-группой. При p = 2 это очевидно, так как в этом случае G — С2 х S 4 .

Итак, B G Syl _p (G). Поэтому выбор числа | A || B | и равенство A И B g = O _p (A) И B g влечет, что A — p-группа. Без ограничения общности, A С B и A И B = A . Так как A П B g С B И B g = F(G) для B = B g , то A И B = A С F (G). Но тогда | А И B^g | <  | А И B | для B g = B . Поэтому min G (A, B) С F (G). Противоречие с (1). >

Лемма 3. Подгруппа B неабелева порядка p ³ и экспоненты p при p ^ 3 и B — D8 при p = 2, и B С G2 при любом p.

• <    Рассмотрим случай p = 2. В этой ситуации G — С2 х S 4 . По лемме 1 подгруппа B неабелева. Следовательно, O2(B ) — неабелева подгруппа. Но тогда O2(B ) С O 2 (G) и, в силу нильпотентности подгруппы B , имеем B = O 2 (B ). По лемме 2 имеем B / Syl2( G). Значит, B — D 8 . Если B С G 2 , то и A С G 2 в силу выбора числа | A || B | . Снова, без ограничения общности, A < B G Syl _p (G 2 ), A И B = A и A И B g С B И B g С F (G) для B ^g = B . Но A С F(G) . Следовательно, | A И B ^g | <  | A И B | = | A | для B ^g = B . Поэтому min G (A, B) С F (G). Противоречие с (1).

Рассмотрим случай p >  2. В этой ситуации по лемме 1 подгруппа B неабелева и неабелева силовская подгруппа в ней может быть только силовской 2-подгруппой или силовской p-подгруппой из-за того, что в факторгруппе G = G/F (G) силовские подгруппы имеют ранг 1. Но если силовская 2-подгруппа в B неабелева, то O 2 (B) — Q 8 . Так как в группе G — SL2(p) имеем C G (O2(B)) = Z(G) — С 2 , то O(B) С C _{f (G} )(O2(B )) = Z(G) — C _p в силу того, что инволюция из 0 2 (B) инвертирует F(G2 ) — Е _р 2 . Если B — 2-группа, то выбор числа | A || B | влечет, что и A — 2-группа. В этом случае A и B — 2-группы ранга 1, и A И B ^g = 1 для некоторого g из G. Противоречие с (1). Если B = O 2 (B)Z(G), то A — { 2,p } -группа. Так как инволюция из A инвертирует F (G 2 ) — Е _р 2 , то A >  Z (G). Значит, A И B >  Z ( G )Q i ( O2 ( B )), а A И B ^g = Z(G) для g G F (G 2 ). Поэтому | A И B | >  | A И B ^g| для g G F(G2 ) $ и min G (A, B) С F (G). Противоречие с (1).

Если силовская p-подгруппа в B неабелева, то в силу леммы 1 имеем | B | > p ² , а по лемме 2 имеем | B | < p ⁴ . Поэтому B — неабелева подгруппа порядка p ³ в некоторой силовской p-подгруппе S группы G. В частности, подгруппа B o = B И G 2 имеет порядок ^ p ² ив содержащей ее силовской p-подгруппе S 2 из G 2 имеет индекс С p. Поэтому B o <  S 2 . В частности, B o И Z (S 2 ) = Z (S 2 ) — С р . Подгруппа B в факторгруппе G в силу неабелевости O_p(B ) содержит силовскую p-подгруппу из G — SL 2 (p). Поэтому B — подгруппа порядка p или 2p. Но если порядок подгруппы B четен, то инволюция i из B инвертирует F (G 2 ). В частности, i инвертирует подгрупппу Z (S 2 ) из B o , где Bo < B . Противоречие с нильпотентностью подгруппы B . Если же | B | = p, то B — подгруппа порядка p ³ из подгруппы S . Выбор числа | A || B | влечет, что и A — p-группа. Если B С G 2 , то и A С G 2 в силу выбора числа | A || B | . В этом случае B G Syl _p (G 2 ), поэтому можно считать, что A С B и A И B = A. Но A И B ^g С B И B ^g С F(G2 ) С F (G)

для B g = B и, таким образом, | A И B g | <  | A И B | для B g = B . Так как A C F (G), то min G (A, B) C A И F(G) = A. Противоречие с (1). Покажем, что B имеет экспоненту p. Для этого достаточно показать, что подгруппа S 2 имеет экспоненту p . Так как S 2 класса 2 и p >  3, то (xy~ )^p = x ^p y ^p [x, y] ^p(p-1)/2 , где x — элемент порядка p из F(G2) , а У — элемент порядка p из S2 \ F(G2) . Поскольку [x, y] G Z (S 2 ), имеем [x, y] ^p = 1 и (xy)^p = 1. >

Лемма 4. A — E _p 2 и A C G ₂ .

• < 1 Допустим, что A — E p 2 . Так как G = Gi х G2 и по лемме 3 подгруппа B — p-группа, выбор числа | A || B | влечет, что и A — p-группа. Так как A C F(G) и A абелева, то A C C G (a) для a G A \ F (G). Поэтому действие a на подгруппе F(G) влечет, что | A | C p ³ , и если | A | = p ³ , то | A И F (G) | = p ² , A И F (G) = Z (S ), где S G Syl _p (G) , и, без ограничения общности, подгруппы A и B лежат в S. Поскольку | S | = p ⁴ , то | A И B | ^ p ² . Но B И Z(S') = B И Z(S₂) — C _p , поэтому | A И B g | = p ² для любой подгруппы B^g из S и A И B^g C S И S ^g C F(G) для тех g, для которых S = S ^g . Так как B ^g И F(G) = Z(S^ ), то Z(B ^g ) = Z(S2) для B ^g C S ₂ и Z(B ^g ) = Z(S ₂ ) для B ^g C S ₂ = S ₂ . Следовательно, p ² = | A И B | >  | A И B ^g | = p для S^ = S2 и min G (A, B) C F (G). Противоречие с (1). Таким образом, | A | = p ² . Ввиду минимальности числа | A || B | подгруппа A нециклическая. Следовательно, A — E _p 2 .

Если A C G 2 , то по леммам 3 и 4, без ограничения общности, A и B лежат в подгруппе S G Syl ₂ (G). Пусть S 2 = S И G 2 .Так как A C S 2 , то | S ₂ : A | = p и A И Z(S2) = Z (S 2 ). Но | B ^g И S ₂| = p ² для B ^g C S, поэтому B ^g И Z(S ₂ ) = Z(S ₂ ) . Если же B ^g C S , то S И S ^g C F (G), поэтому A И B^g C S И S ^g C F (G). Значит, условие (1) влечет, что B ^g И A C F(G) для некоторой подгруппы B ^g C S. Так как в этом случае B ^g И Z(S2) = Z(S2) C Z(S') C F (G), имеем B ^g И A = A. Значит, A И B ^g G m G (A,B) для B ^g C S и min G (A, B) C F(G) . Противоречие с (1). >

Лемма 5. Из (1) следует (2) .

• <    Для p = 2 утверждение леммы следует из лемм 3 и 4. Допустим, что p >  2, S ₂ G Syl _p (G2) и S ₂ < S G Syl _p (G) . В этом случае силовская p-подгруппа S4 из G4 централизует Z(G4) — C 2 и подгруппа Z(04)84 действует на C g₃ (S 4 ) = Z(S2) — C p . Так как инволюция из Z(G4) инвертирует G 3 , то она инвертирует Z(S2) и централизует Z (G). Следовательно, Z(G4) действует без неподвижных точек на оставшихся p — 1 подгрупп из Z(S ) = Z(G) х Z (S 2 ). Заметим, что для B ^g C S имеем B ^g И Z(S ) = Z(S2) , а для B ^g C S подгруппа B ^g И F(G) — E _p 2 и B ^g И Z(S ) = 1. Но B ^g И Z(G) = 1 и B^g И Z(S2) = 1. Поэтому для B ^g C S подгруппа B ^g И Z(S) совпадает с одной из p — 1 подгрупп, на которых без неподвижных точек действует Z (G 4 ). Также A И Z(G) = 1 и A И Z(S2) = 1 по лемме 4. Но A И F(G) = 1. Поэтому A также содержит одну из тех же p — 1 подгрупп, на которых Z(G4) действует без неподвижных точек. Так как p >  2, то p — 1 ^ 2. Следовательно, для подгруппы B ^g C S имеем A И B ^g C S И S ^g C F (G) . Поэтому A И B^g C A И F (G) — C _p и A И B^g = B ^g И Z(S) . Но для инволюции i из Z(G4) имеем B ^g = B g C Z(S ). Поэтому A И B ^g i = 1. Противоречие. >

Теорема 2 доказана. >