О пересечениях силовских 2-подгрупп в конечных группах I

В работе [1, следствие С] было доказано, что в любой конечной группе G для простого числа p и силовской p-подгруппы P найдутся такие элементы x и у, что P П P x П P y = O _p (G), где O _p (G) обозначает наибольшую нормальную p-подгруппу группы G. Так как подгруппа O _p (G) лежит в любой силовской p-подгруппе из G, то изучая пересечения силовских p-подгрупп, можно считать, что O _p (G) = 1. Возникает вопрос: при каких условиях на группу G в соотношении P П P x П P y = 1 можно обойтись только одним элементом, т. е. когда в группе G найдется такой элемент z, что P П P ^z = 1? В общем случае для простого числа p, равного 2 или числу Мерсенна, можно построить конечную группу G с условием O _p (G) = 1, в которой для силовской p-подгруппы P выполнено соотношение P П P ^z = 1 для любого z Е G. Исторически первые примеры таких групп появились в работе Ито [2] и были разрешимыми группами. В разделе 2 приведены серии таких групп.

Случай неразрешимых групп на протяжении тридцати с лишним лет после работы Ито оставался неисследованным, даже не было опубликовано ни одного примера неразрешимой группы G, в которой O _p (G) = 1 и любые две силовские p-подгруппы пересекаются нетривиально. Более того, в работе [3] было доказано, что в любой простой неабелевой группе G для любой силовской подгруппы P из G найдется такой элемент z ∈ G, что P П P ^z = 1. Однако, как показано далее в группе G ' Aut(L 2 (7)), любые две силовские 2-подгруппы пересекаются нетривиально, хотя | Aut(L 2 (7)) : Inn(L 2 (7)) | = 2 ив Inn (L 2 (7)) ' L 2 (7) найдутся две силовские 2-подгруппы, которые пересекаются по единице. Таким образом, рассматривая случай произвольной конечной группы G с условием

O p (G) = 1, в которой для силовской p-подгруппы P и любого элемента x G G выполняется условие P П P x = 1, в первую очередь нужно изучить почти простые группы с этим условием.

Главным инструментом изучения пересечений силовских подгрупп в конечных группах является параметр 1 _p (G), который мы сейчас введем. Рассмотрим конечную группу G с силовской p-подгруппой P и условием O p (G) = 1. Пусть X = { P g | P g П P = 1, g G G } . Тогда подгруппа P действует сопряжениями на множестве X. Через 1 p (G) обозначим число орбит при этом действии. Тогда, к примеру, в случае простой неабелевой группы G имеем 1 p (G) > 0, поскольку в G найдется элемент x такой, что P П P x = 1, но в то же время 1 2 (Aut (L 2 (7))) = 0.

Значение параметра 1 2 (G i ) для некоторой группы G i выясняется в лемме 1, из которой следует, что зная число 1 _p (G i ), можно вычислить число 1 _p (G i 0 Z p ). В частности, при l _p (G i ) > 3 неравенство 1 _p (G i ) 6 1 p (G i 0 Z p ) справедливо для всех простых чисел p, а в случае нечетного простого числа p данное неравенство справедливо даже при 1 p (G _i ) >  2. С другой стороны, если l p (G _i ) = 1 и N c 1 (P _i ) = P _i для P _i G Syl ₂ (G _i ), то всегда 1 _p (G i 0 Z p ) = 0, а при p = 2 даже в случае, когда 1 2 (G i ) = 2 и N G 1 (P i ) = P i для P i G Syl 2 (G i ), имеем 1 2 (G i 0 Z 2 ) = 1 и 1 2 ((G i 0 Z 2 ) 0 Z 2 ) = 0. Каков же механизм применения этого параметра? Дело в том, что лемма 5 вместе с примерами из раздела 3 дает вполне удовлетворительную информацию о разрешимой группе G с условием 1 p (G) = 0. Если разрешимый радикал S(G) группы G нетривиален и 1 p (S (G)) = 0, то 1 p (G) = 0 и строение S (G) описывается леммой 5. Пусть 1 p (S (G)) > 0. Тогда по [1, лемма 3.2] 1 p (G/S(G)) = 0. Итак, можно считать, что S (G) = 1 и G = E(G)P . Группа G действует сопряжениями на множестве { K i , K 2 ,..., K n } компонент из E (G) и по [1, лемма 3.14] изоморфно вкладывается при этом в прямое произведение Q ^k=i Aut G (K i ) 0 S n i , где k — число G-орбит, n i — длина, а K i — представитель i-й орбиты при этом действии, Aut G (K i ) — группа индуцированных автоморфизмов компоненты K i .

Случай нечетного простого числа p полностью рассмотрен в лемме 4. Поэтому можно считать, что p = 2 и так как силовская 2-подгруппа из S _n может быть представлена как прямое произведение некоторых сплетений, то и здесь работает описанный выше механизм применения параметра 1 2 (G). А именно, мы видим, что в группе G с силовской 2-подгруппой P и S(G) = 1 условие l 2 (G) = 0 может выполняться только в случае, когда 1 2 (Aut G (K i )) 6 2 для некоторой компоненты K i . Следовательно, задача изучения произвольной конечной группы G с условиями S (G) = 1 и 1 2 (G) = 0 сводится к изучению почти простых групп K таких, что 1 2 (K) 6 2. В настоящей работе доказана

Теорема. Пусть K — конечная простая группа, изоморфная и з (3), L 3 (3), L 4 (3), U ₄ (3), PSp ₄ (3), PSp 6 (3), ^ 7 (3) , ^ - (3) или Q + (3) и Inn(K) 6 G 6 Aut (K) . Если 1 2 (G) 6 2 , то K ' U 3 (3) или K ' PSp ₄ (3) , при этом 1 ₂ (PSp 4 (3)) = 1 , 1 2 (U 3 (3)) = 2 и 1 2 (Aut (PSp 4 (3))) = 1 , 1 2 (Aut (U 3 (3))) = 1 .

В работе использованы стандартные обозначения, в основном совпадающие с обозначениями из [4].

• 1.    Предварительные сведения

Лемма 1 [1, лемма 3.12] . Пусть G — конечная группа, p — простое число, G 1 — такая подгруппа из G, что O _p (G i ) = 1 и G = G i 0 Z p . Тогда справедливы следующие утверждения:

• ( 1 )    если 1 _p (G _i ) >  3, то и 1 _p (G) > 3;

• ( 2 )    если p = 2, l ₂ (G i ) = 2 и N G 1 (P i ) = P i для силовской 2-подгруппы P i из G i , то 1 2 (G) = 1;

• ( 3 )    если l _p (G i ) = 1 и N o 1 (P i ) = P i для силовской 2-подгруппы P i из G i , то l _p (G) = 0.

Лемма 2 [1, лемма 3.6] . Пусть G — конечная группа, p — простое число, P — си-ловская p-подгруппа из G, M — p-локальная подгруппа из G, содержащая Ng ( P ) . Если l _p (M/O _p (M )) > 3 и O _p (M ) П O _p (M) x = 1 для некоторого элемента x из G, то l _p (G) >  3 .

Лемма 3 [1, теорема 8.1] . Если G — конечная группа с единичным разрешимым радикалом и каждая компонента из E(G) — спорадическая или знакопеременная группа, отличная от A 5 , А б , A s , то 1 2 (G) >  3 .

Лемма 4 [1, теорема 6.1] . Пусть G — конечная группа с единичным разрешимым радикалом, p — нечетное простое число, P — силовская p -подгруппа из G . Тогда следующие условия эквиваленты:

• ( 1 )    P П P ^x = 1 для любого элемента x из G;

• ( 2 )    p = 3 и группа G содержит нормальную подгруппу N, изоморфную подгруппе K, где (P Q + (3)) t < K 6 (PQ + (3) h ( g ) ) t , t E N, и g — графовый автоморфизм порядка три группы P Q + (3) .

Лемма 5 [1, теорема B] . Пусть G — конечная группа, p — простое число, S(G) — разрешимый радикал группы G, P — силовская p-подгруппа из G. Если P П P ^x = O _p (G) для любого элемента x из G, то справедливо одно из следующих утверждений:

• 1.    (P П S (G)) П (P П S(G)) x = O _p (G) для любого элемента x из G ив факторгруппе S (G) = S (G)/O _p (G) выполняются утверждения одного из следующих пунктов:

(1а) p = 2, q = 2 n — 1 — простое число Мерсенна, S (G) содержит подгруппу, изоморфную (Z q х Z q ) h D2 n +i , и D 2 n +i действует точно на Z q х Z q ;

• (1б) p = 2 ⁿ — 1 — простое число Мерсенна, S(G) содержит подгруппу, изоморфную F 0 Z _p , где F — группа Фробениуса, изоморфная V p+i h Z _p ;

• 2.    P П S(G) П (P П S(G)) y = O p (G) для некоторого элемента у из G ив факторгруппе G = G/S (G) выполняются условия одного из следующих пунктов:

(1в) p = 2, q = 2 ⁿ + 1 — простое число Ферма, S (G) содержит подгруппу, изоморфную (Z q х Z q ) h Z 4 о D 2 n +i , и Z 4 о D 2 n +i действует точно на Z q х Z q ;

(1г) S(G) содержит подгруппу, изоморфную Q s о Q s о Q s h (Z 3 0 Z 3 ) , где | Z(Q s о Q s о Q s ) | = 2 и Z 3 х Z 3 действует на Q s о Q s о Q s как подгруппа из Hol (Q s о Q s о Q s ) *

(2а) p = 3 и группа G содержит нормальную подгруппу N, изоморфную подгруппе K, где P Q + (3) < K 6 (PQ + (3) h ( g ) ) t , t E N, где g — графовый автоморфизм порядка три группы P Н + (3) ;

(2б) p = 2 и группа G содержит компоненту, изоморфную одной из следующих групп:

• (2б1)    простой группе лиева типа над полем из q элементов, где q = 9 или q — простое число Ферма или Мерсенна;

• (2б2)    L 3 (4), L n (2), n > 3, ^(2), n > 7, F 4 (2), Е б (2), E 7 (2), E s (2), 2 F 4 (2) .

• 2.    Примеры

• 2.1.    Первая серия. Разрешимые группы.

Здесь мы приведем примеры разрешимых и почти простых групп G с 1 2 (G) = 0,1, 2. Заметим, что главная задача состоит в полном описании таких групп.

• 1.    p = 2.

• а)    Пусть G = Z 2 n +i h Z 2 k , где 2 ⁿ + 1 = p — простое число Ферма, а k 6 n, и G — группа Фробениуса. Тогда при k = n имеем l ₂ (Z ₂ n +_i h Z ₂ n ) = 1, при k = n — 1 имеем

l 2 (Z 2 n +i h Z 2 n -i ) = 2, а при k 6 n — 2 имеем 1 2 (Z 2 n +i h Z 2 k ) > 3. Следовательно, по лемме 1 l 2 ((Z 2 n +i h Z 2 n ) 0 Z 2 ) = 0, 1 2 (((Z 2 n +i h Z 2 n -i ) 0 Z 2 ) 0 Z 2 ) = 0, а при k 6 n — 2 имеем l 2 ((Z 2 n +1 h Z ₂ k ) 0 Z 2 ) > 3.

• б)    Пусть G = (Z 2 n -i x Z 2 n -1 ) hSD 2 n +2 , где SD 2 n +2 действует точно на Z 2 n -i x Z 2 n -i , и p = 2 ⁿ — 1 — простое число Мерсенна. Тогда 1 _p (G) = 0.

• 2.    p = 2 ⁿ — 1 — простое число Мерсенна. Пусть G = V 2 n h Z p , где G — группа Фробениуса. Тогда 1 _p (G) = 1 и по лемме 1 l _p (G 0 Z p ) = 0.

• 2.2.    Вторая серия. Неразрешимые группы.

• 1.    p = 2 [1, лемма 3.27]. Пусть G ' S _n , где S' n = A n — знакопеременная группа и n >  5. Тогда:

• (1)    l 2 (A 5 ) = №) = 1 2 (Aut (A 5 )) = 1;

(2а) 1 2 (А б )=4;

• (2б)    1 2 (S 6 ) = 1;

(2в) 1 2 (PGL 2 (9)) = 1;

(2г) 1 2 (PGL 2 (9)) = 2;

(2д) 1 2 (Aut (А б )) = 0;

• (3)    1 2 (Aut(A 7 )) > 3;

• (4)    1 2 (S 7 ) > 3;

• (5)    1 2 (А 8 ) = 1;

• (6)    1 2 (S 8 ) = 0;

• (7)    1 ₂ (A _n ) > 3 и 1 2 (S n ) > 3 при n >  9.

• 2.    p = 2 [1, лемма 3.18]. Пусть G ' Aut (L 2 (q)). Тогда:

• (1)    1 2 (G) = 1, если q = 2 ⁿ + 1 — простое число Ферма;

• (2)    1 2 ( G ) = 0, если q = 2 ⁿ — 1 — простое число Мерсенна;

• (3)    1 2 (Aut(L 2 (9))) = 0;

• (4)    1 2 ( G ) = 1, если q = 2 , q = 4 или q = 2 ⁿ , где n — нечетное число;

• (5)    1 2 (G) > 3 во всех остальных случаях.

• 3.    Доказательство теоремы

Пусть K ' U a (3). Так как Aut (U 3 (3)) ' G 2 (2) [4, с. 14], то по лемме 3.13 из [1] 1 2 (G 2 (2)) = 1. Вычислим число 1 ₂ (Ц з (3)). Для этого заметим, что число силовских 2-подгрупп из K ' и з (3), которые пересекаются с фиксированной силовской 2-подгруппой P нетривиально, совпадает с числом силовских 2-подгрупп из K , содержащих некоторую инволюцию t из P . Поскольку P ' Z 4 0 Z 2 и Q(P) ' Z 4 о D 8 [4, с. 14], то подгруппа P содержит семь инволюций, все они сопряжены с центральной инволюцией z и | Syl 2 (C(z) | = 3. По формуле для числа m силовских 2-подгрупп из G, содержащих инволюцию z [5, с. 121], имеем m = | z G П P || C(z) | / | N(P) | . Так как C (z) >  N(P ) = P , то | C(Z) | / | P | = | Syl 2 (C(z)) | =3 и m = 21.

Согласно [4, с. 14] группа K содержит две максимальные подгруппы Mi ' C(Z), причем O2(C(Z)) = Q(P) и M2 ' N(V), где V ' Z4 x Z4 и M2/V ' S3. Из строения M2 следует, что O2(M2) содержит три сопряженных в M2 инволюции, одна из которых равна z. Следовательно, Q(V) < Q(P) = O2(C(Z)). Таким образом, каждая из двух сопряженных с z инволюций из V добавляет к уже рассмотренным 21 силовской 2-подгруппе из K , содержащих z , еще по 16 силовских 2-подгрупп из G, которые пересекаются с подгруппой P нетривиально. Аналогично оставшиеся четыре инволюции из P добавят к уже рассмотренным по 21 — 3 = 18 силовских 2-подгрупп из K, которые пересекаются с P нетривиально. Значит, число силовских 2-подгрупп из K , которые пересекаются с подгруппой P не по единице, отличных от P, равно 20 + 2 • 16+4 • 18 = 124. Число всех силовских 2-подгрупп из G равно |G : N(P)| =33 • 7 = 189 [4, с. 14]. Значит, число силовских 2-подгрупп из G, которые пересекаются с P по единице, равно 188 — 124 = 64. Поэтому l2(K) = 64/32 = 2.

Пусть K ' L s (3). Вся необходимая информация о L s (3) находится в [4, с. 13]. В частности, силовская 2-подгруппа P из K изоморфна SD 16 — полудиэдральной подгруппе порядка 16, откуда следует, что Q(P) ' D 8 и содержит пять инволюций, которые сопряжены в G с центральной инволюцией z в нормализаторах двух четверных подгрупп V 1 и V 2 из K , где N (V i ) ' N (V 2 ) ' S 4 и | Syl 2 (C(z)) | = 3. Следовательно, в данном случае [5, с. 121] m = | z G П P || C(z) | / | N(P) | = 5 • 3 = 15.

Каждая из четырех оставшихся инволюций из P лежит в одной из подгрупп N (V 1 ) или N (V 2 ). Следовательно, подгруппа P пересекается нетривиально с 14 + 4 • (15 — 3) = 62 силовскими 2-подгруппами из K . Так как число силовских 2-подгрупп в K равно | G : N(P ) | =3 3 • 13 = 351, то число силовских 2-подгрупп из K , которые пересекаются с P по единице, равно 350 — 62 = 288 и l 2 ( K ) = 288 / 16 = 18.

Если мы рассмотрим Aut (K), то | Aut (K) : Inn (K) | =2 и инволюция t Е Aut (K) \ Inn (K) является представителем единственного сопряженного класса инволюций в этой разности, причем C (t) ' Z 2 х S 4 . Поэтому, отождествляя Inn (K) с K и обозначив си-ловскую 2-подгруппу из Aut (K) через S , имеем P = S П K и C p (t) = Q(P). Следовательно, [t, V 1 ] = [t, V ₂ ] = 1. Значит, | t ^p | =2 и сопряженная с t в P инволюция t ₁ также централизует Q(P). Под действием N (V i ) и N (V 2 ) мы получаем по три сопряженных с t и t 1 инволюции. Кроме того, t действует на подгруппу Q ' Q 8 из P , централизуя одну из подгрупп порядка четыре из P . Следовательно, t инвертирует каждую из двух оставшихся подгрупп порядка 4 из Q , что дает нам еще шесть инволюций. Таким образом, в Aut (K) \ Inn (K) двенадцать инволюций и все они сопряжены. Значит, m = |t ^G п S || C(t) | / | N(S) | = 12 • 16 • 3/32 = 9.

Так как t и t i лежат в V = O 2 (N(V i )),V 2 = O 2 (N(V 2 )) и O 2 (C(z)), то каждая из них добавляет по две силовских 2-подгруппы из G = Aut ( K ), которые пересекаются с S по h t 1 i или, соответственно, по h t 2 i . Каждая из оставшихся десяти инволюций лежит в O 2 (C(z)), но не лежит ни в O 2 (N(V i )), ни в O 2 (N(V 2 )). Таким образом, каждая из десяти таких инволюций добавляет 9 — 3 = 6 различных силовских 2-подгрупп из G, которые пересекаются по подгруппе, порожденной этой инволюцией, и тогда всего с подгруппой S пересекаются нетривиально 62 + 2 • 2 + 10 • 6 = 126 силовских 2-подгрупп из G. Значит, число орбит 1 2 (G) = (350 — 126)/32 = 7. Заметим, что полученные результаты подтверждены и компьютерными вычислениями.

В случае K ' L 4 (3), U 4 (3), PSp 6 (3), Q + (3) вычисления на компьютере показывают, что 1 2 (G) > 3.

Пусть K ' ^(3) или Q ^- (3). В обоих случаях G содержит 2-локальную подгруппу M , которая содержит силовскую 2-подгруппу из G, в которой O 2 (M) — абелева подгруппа и M/O 2 (M) является расширением U 4 (3) с помощью 2-подгруппы из Out (U 4 (3)). Как показано в предыдущем пункте, в этом случае l 2 (M/O 2 (M)) > 3. Ввиду [1, лемма 3.3] коммутативность O 2 (M) влечет, что O 2 (M) П O 2 (M) x = 1 для некоторого элемента x из G. Теперь по лемме 2 имеем l 2 (G) > 3.

В случае PSp ₄ (3) ' U 4 (2) по [1, лемма 3.13] l ₂ (PSp ₄ (3)) = 1. Компьютерные вычисления дают l 2 (Aut (PSp 4 (3)) = 1. Теорема доказана.

Замечание 1. В последнем пункте доказательства теоремы получено равенство l 2 (PSp 4 (3)) = l 2 (Aut(PSp 4 (3))) = 1.

Пусть G = Aut (PSp 4 (3)), K = Inn (PSp 4 (3)), S E Syl 2 (G) и P = S П K E Syl ₂ (K). Тогда N(S ) = S и по лемме 1 l ₂ (G 0 Z ₂ ) = 0. Однако Nk (P ) = P и поэтому нарушается условие в пункте (3) леммы 1. И хотя l ₂ (K) = 1, но 1 2 (K 0 Z 2 ) = 0. Действительно, Nk (P ) = P h hf i , где f — элемент порядка три. Тогда группа K 0 Z 2 содержит 2-ло-кальную подгруппу M ' (P h hf i ) 0 Z ₂ , O ₂ (M ) ' P x P и M/O ₂ (M ) ' Z 3 0 Z ₂ . Так как l 2 (M/O 2 (M )) = 1 и O 2 (M) П O 2 (M) ^x = 1 для некоторого элемента x из K , то очевидно, что 1 ₂ (K 0 Z ₂ ) > 0.

В то же время в случае K ' U 3 (3), l ₂ (K) =2 и l ₂ (Aut(K)) = 1 ив обоих случаях N(P ) = P и N(S ) = S для силовских 2-подгрупп из K и Aut (K) соответственно. Тогда по лемме 1 1 ₂ ((K 0 Z ₂ ) 0 Z ₂ ) = 1 ₂ (Aut (K) 0 Z ₂ ) = 0.

Замечание 2. Соответствующие примеры групп G лиева типа с 1 2 (G) 6 2 над полем порядка девять и простыми полями порядков, равных простому числу Ферма или простому числу Мерсенна, приведены в примерах второй серии.