О пирсовских слоях полуколец с нормальной инволюцией

Лицензировано по CC BY 4.0. Чтобы посмотреть копию этой лицензии, посетите a = 0. It is established that in Rickart (pq-Baer) *-semirings any involution is proper (semiproper). It is proved that in the presence of a semiproper involution, the set of all central complemented idempotents coincides with the set of all central projections, which can be used in the study of the Pierce sheaf of *-semirings. The main result of the paper is the proof of the following results: 1) an involution in a *-semiring 5 is proper if and only if it is proper in all stalks of the Pierce sheaf of *-semiring 5; 2) an involution in a *-semiring 5 whose Boolean algebra of central projections is finite is semiproper if and only if it is semiproper in all stalks of the Pierce sheaf of *-semiring 5.

Следуя Дж. Голану [1], под полукольцом нами понимается алгебраическая структура < 5,+,•>, если <  5,+> - коммутативная полугруппа, < 5,-> - полугруппа, операция умножения дистрибутивна относительно сложения с обеих сторон. В статье мы рассматриваем полукольца с аддитивным нулем 0, причем 0s = 0 = s0 для любого s Е 5, и единицей 1.

Пусть е Е 5 . Элемент е¹ называется дополнением к е , если е + е¹ = 1 и е • е¹ = е¹ • е = 0. Множество всех центральных дополняемых идемпотентов полукольца 5 обозначается через В5. Если положить е ф / = е¹f + е/¹, то < В5,ф,-> становится булевым кольцом. Если же положить е V / = е/¹ + / = е¹/ + е и е Л / = е/, то получим булеву решетку < В5,V,Л>.

Определение 1. Полукольцо 5 называется *- полукольцом (или полукольцом с инволюцией ), если существует антиавтоморфизм *:« н а* полукольца 5:

а** = а, (а + Ь)* = а* + Ь*, (аЬ)* = Ь*а*.

Далее 5 - произвольное *-полукольцо.

Определение 2. Дополняемый идемпотент е Е 5 называется проекцией , если е = е * ; множество всех проекций *-полукольца 5 обозначим через 5.

Образ элемента а Е 5 относительно инволюции * будем называть сопряжением элемента а.

Элемент а Е 5 называется самосопряженным , если он совпадает со своим сопряжением, то есть если а * = а. Элементы а, Ь Е 5 называются ортогональными , если аЬ = Ьа = 0.

Очевидно, 0 и 1 являются проекциями, а произведение самосопряженных элементов является самосопряженным в точности тогда, когда элементы коммутируют.

Укажем далее некоторые примеры *-полуколец.

Пример 1. Любое коммутативное полукольцо является *-полукольцом с инволюцией * такой, что а * = а (тождественная инволюция) для любого элемента полукольца.

Пример 2. Полукольцо матриц над произвольным коммутативным полукольцом является *-полукольцом, в котором под инволюцией понимается операция транспонирования.

Пример 3. Поле С комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения, в котором в качестве инволюции выступает операция комплексного сопряжения.

В частных случаях инволюция обладает тем свойством, что условие аа* = 0 влечет а = 0.

Действительно, в условиях примера 1 рассмотрим полукольцо натуральных чисел.

Тогда условие аа* = 0 означает а² =0, а значит а = 0.

В условиях примера 3 условие z • z = 0 для данного числа z = а + bi означает (а + bi) • (а — bi) = а² + b² = 0, откуда получим, что а = b = 0.

В условиях примера 2 рассмотрим полукольцо матриц над полукольцом натуральных чисел. Рассмотрим матрицу

	А =	/ аи   ••• \аП1  •	а 1п\ :  ) и АТ а пп/	/ а11  • \ аш •	а п1\ а пп/
Тогда
ААТ = ( \ аП 1	а 11 • ап	+ • + а 1п + -----+ а пп	• а 1п   •	аи • ап1 + • а п1 + •	" + а 1п • ■ ‘ + а пп	а пп\ )

Согласно условию, АА^Т = 0 , что означает, в частности, что элементы указанной матрицы, стоящие на главной диагонали, равны нулю. Следовательно, Ьц = а^ + ^ + а²_п = 0, откуда получим, что все элементы i-ой строки исходной матрицы равны нулю, поэтому нулевой окажется и матрица Л.

Определение 3 [2]. Если в полукольце S с инволюцией * выполняется импликация аа* = 0 ^ а = 0, то инволюция * называется нормальной (proper ).

Основываясь лишь на приведенном определении, можно заключить, что если в полукольце нет делителей нуля, то любая инволюция в нем является нормальной. Действительно, пусть в полукольце S без делителей нуля задана инволюция * и пусть для некоторого а Е S выполнено аа* = 0. Тогда ввиду отсутствия делителей нуля можно заключить, что а = 0 или а * = 0. Во втором случае, действуя инволюцией на указанное равенство, получим требуемое условие, а значит * - нормальная инволюция.

Исходя из этого, можно получить пример *-полукольца, в котором инволюция не является нормальной. Действительно, рассмотрим *-полукольцо Щх]/(х²) с тривиальной инволюцией - факторполукольцо полукольца М[х] по конгруэнции, при которой сравнимыми являются многочлены, имеющие равные коэффициенты при первой и нулевой степени переменной %. Для ненулевого элемента % указанного полукольца верно, что хх * = %² = 0, а значит указанная импликация не выполняется.

Однако это не означает, что нормальность инволюции влечет за собой отсутствие делителей нуля в полукольце. Достаточно рассмотреть полукольцо матриц с транспони-

рованием над множеством натуральных чисел. При этом, например, матрица А = является делителем нуля, так как А² = 0.

С

ц 0)

Таким образом, условие нормальности инволюции позволяет гарантировать, что в *-полукольце отсутствуют ненулевые самосопряженные нильпотентные элементы (определяются так же, как и для колец). Предположим, что в полукольце S с нормальной инволюцией нашелся нильпотентный самосопряженный элемент а, отличный от нуля. Тогда для некоторого п верно, что а^п = 0. Предположим, что п = 2к, тогда а^п = а^к ■ а^к = а^к ■ (а^кУ = 0 , что влечет а^к = 0 , противоречие. Предположим, что п = 2к + 1 , тогда рассмотрим b = а^к+1. Заметим, что Ь* = Ь. Тогда bb * = Ь² = а^п+1 = а^па = 0а = 0, откуда, согласно тому, что * является нормальной, получим Ь = 0. Следовательно, а^к+1 = 0 для к + 1 < 2к + 1, противоречие.

Определение 4 [3]. Если в полукольце S с инволюцией * выполняется импликация аSа* = 0 ^ а = 0,то инволюция * называется полунормальной ( semiproper ).

Отметим также, что если в полукольце S задана полунормальная инволюция *, то xSx = 0 влечет х = 0. Пусть xSx = 0. Тогда xsx * Sxs * x * = xsx * S(xsx * ) * = 0 для любого s Е S. Следовательно, в силу полунормальности инволюции * получим, что xSx* = 0, а значит x = 0.

Определение 5. Полукольцо S называется коммутативным в нуле , если в нем выполняется импликация аЬ = 0 ^ Ьа = 0.

Утверждение 1. В полукольце S любая нормальная инволюция является полунор-мальной. В коммутативных в нуле полукольцах указанные понятия совпадают.

Доказательство. Пусть в полукольце S задана нормальная инволюция *. Предположим, что для некоторого элемента а Е S верно, что аSа* = 0. Тогда, в частности, при s = а*а получим, что 0 = аа*аа* = (аа * )(аа * ) * откуда, в силу нормальности инволюции, можем заключить, что аа* = 0, а значит и а = 0.

Покажем вторую часть утверждения. Пусть в коммутативном в нуле полукольце S задана полунормальная инволюция *. Пусть нашелся такой элемент а Е S, что аа* = 0. Тогда для любого s Е S верно, что 0 = 0s = аа * s = а(а * s') = (а * s)а = а * s(а*)*. Следовательно, а*S(а*')* = 0, откуда, в силу полунормальности инволюции, можно заключить, что а * = 0, а значит и а = 0.

Для рассмотрения менее очевидных примеров полуколец с (полу)нормальной инволюцией * введем следующие определения.

Определение 6. Полукольцо S с инволюцией называется риккартовым (pq-бэров-ским ) * -полукольцом, если для любого а Е S найдется такая проекция е Е S , что ann r (а) = eS (ann_r(аS) = eS).

Через ann r (а) обозначен правый аннулятор элемента а , то есть множество таких элементов s Е S, что аs = 0. Через ann r (аS) обозначен правый аннулятор главного правого идеала, порожденного элементом а, то есть множество элементов t Е S таких, что для любого s Е S выполняется условие аst = 0.

Утверждение 2. Любая инволюция в риккартовом полукольце является нормальной.

Доказательство. Пусть в риккартовом полукольце задана инволюция * и пусть для некоторого элемента а Е S выполнено условие аа* = 0. Тогда а * Е ann r (а) = eS, а значит а* = еа* . Действуя инволюцией на указанное равенство, получим а = ае. Согласно определению, е Е ann_r(а), а значит а = ае = 0.

Аналогично можно установить, что верно и следующее.

Утверждение 3. Любая инволюция, заданная в pq-бэровском полукольце, является полунормальной.

Доказательство. Пусть в pq -бэровском полукольце задана инволюция * и пусть для некоторого элемента а Е S выполнено условие aSa* = 0. Тогда а* Е ann_r(aS) = eS, а значит а* = еа* . Действуя инволюцией на указанное равенство, получим а = ае . Согласно определению, е Е ann r (aS), а значит а = ае = 0.

Отметим также, что в [4] установлено, что для произвольного полукольца S с инволюцией возникают упорядоченное множество всех проекций S и две булевы решетки -всех центральных дополняемых идемпотентов BS и всех центральных проекций B*S соответственно. Понятно, что указанные булевы решетки связаны равенством B*S = BS П S в любом полукольце с заданной инволюцией *. В случае полуколец с (полу)нормальной инволюцией строение указанных решеток можно уточнить, о чем говорит следующее

Утверждение 4. Если в полукольце S задана ( полу ) нормальная инволюция *, то множества BS и B*S совпадают.

Доказательство. Очевидно, что B*S Q BS, поэтому достаточно показать лишь обратное включение. Учитывая утверждение 1, проведем доказательство лишь для случая, если в полукольце задана полунормальная инволюция. Выберем для этого произвольный центральный дополняемый идемпотент е Е BS, рассмотрим элемент h = е(е¹) * и сопряженный с ним элемент h* = е*е \ Пользуясь условием дополняемости элемента е, нетрудно показать, что (е¹) * = (е * )¹ . Тогда hSh * = e(e¹) * Se*e¹ = e(e * )¹Se * e¹ = ее^е*^*)¹ = 0 • S • 0 = 0. Изменение порядка множителей в третьем равенстве допустимо согласно условию центральности элемента е. Поскольку инволюция является по-лунормальной, получим h = 0 , следовательно, и h * = 0 . Таким образом, е * = е * (е + е¹) = е*е + е*е^- = е*е . Действуя инволюцией на полученное равенство, имеем е = (е*е~)* = е*е = е* , а значит е - самосопряженный элемент.

Как следствие, укажем, что в риккартовых и pq -бэровских * -полукольцах любой центральный дополняемый идемпотент является центральной проекцией.

Обратное утверждение при этом неверно. Рассмотрим трехэлементное полукольцо, где 0 < а < 1, сложение - выбор максимального элемента с нейтральным элементом 0. Коммутативное умножение имеет поглощающий элемент 0, нейтральный элемент 1, элемент а - нильпотентный элемент индекса 2. Зададим в полукольце S тривиальную инволюцию. Поскольку аа* = аа = 0 при а Ф 0, а в силу коммутативности умножения, можно заключить, что 0 = 0S = aaS = аВа = aSa * при а Ф 0, получим пример инволюции, которая не является ни нормальной, ни полунормальной. Однако в указанном полукольце множества центральных дополняемых идемпотентов и центральных проекций совпадают.

Центральные проекции в теории *-полуколец являются удобным инструментом для построения фактор-полуколец, инволюция в которых сохраняется. Обозначим через Max BS множество максимальных идеалов булева кольца BS . Для любого М Е Max BS определим конгруэнцию 0_М :

а = b (mod0_M) ^ ае = Ье для некоторого е Е BS \ М.

Действуя инволюцией на указанное равенство, получим, что а*е* = Ь*е*. Следовательно, элементы, сопряженные с а и Ь, эквивалентны по модулю указанной конгруэнции лишь в случае, если максимальный идеал М замкнут относительно инволюции. Это выполняется, в частности, когда BS = B*S. Будем называть конгруэнцию 0, для которой выполняется импликация aQb ^ a*Qb*, конгруэнцией, устойчивой относительно инволюции * (* -конгруэнцией). Фактор-полукольцо по * -конгруэнции будем называть фактор- *-полукольцом. Для каждого М Е Max BS полукольцо S/QM называется пирсовским слоем [5]. Заметим, что в * -полукольцах с (полу)нормальной инволюцией любая конгруэнция, согласно утверждению 5, устойчива относительно инволюции, а значит любой пирсовский слой является *-полукольцом.

Определение 7. Тройка (П, n,X) называется пучком * -полуколец , если выполняются следующие условия:

• 1)    П,X - топологические пространства;

• 2)    п: П ^ X - локальный гомеоморфизм;

• 3)    для любого х Е X П_х = п^-1(х) - полукольцо с инволюцией;

• 4)    сложение, умножение и инволюция, определенные поточечно, непрерывны;

• 5)    отображения, сопоставляющие каждому х Е X нуль и единицу из П_х , непрерывны.

Пространства П и X, указанные в определении, называются накрывающим и базисным соответственно, * -полукольца П_х называются слоями . Непрерывное отображение f: X ^ П, определенное на всем базисном пространстве, и такое, что f(x) Е П_х для любого х Е X, называется глобальным сечением .

Пусть базисным пространством пучка является Max B*S, а накрывающим - дизъюнктное объединение фактор-*-полуколец S/0_M, где М Е Max B * S. Такой пучок *-полу-колец называется пирсовским пучком * -полуколец [5]. В указанной работе установлено, что любое *-полукольцо *-изоморфно *-полукольцу глобальных сечений своего пирсов-ского пучка.

Нормальность инволюции может быть охарактеризована соответствующими свойствами инволюции в пирсовских слоях, о чем говорит следующая

Теорема 1. Инволюция в полукольце S является нормальной тогда и только тогда, когда она является нормальной в каждом пирсовском слое.

Доказательство. Докажем прямую импликацию. Пусть S - полукольцо с нормальной инволюцией. Пусть для некоторого максимального идеала М Е Max B * S и некоторого a_M Е S/Q_M верно, что a_Ma M = 0. Это означает, что для некоторого е Е B*S \ М выполнено aa * e = 0 . Тогда 0 = aa*e = aa*ee = (ae)(ae) * . Поскольку инволюция * является нормальной, получим, что ae = 0, а значит a_M = 0. Прямая импликация установлена.

Обратно, пусть все пирсовские слои *-полукольца S являются полукольцами с нормальной инволюцией. Рассмотрим s Е S такой, что ss* = 0 . Поскольку * -полукольцо S *-изоморфно *-полукольцу глобальных сечений своего пирсовского пучка, указанному элементу соответствует глобальное сечение S Е Г, для которого выполняется S • (S) * = 0. Отметим, что S(M) = s_M для любой точки М базисного пространства Max B*S . Также укажем, что инволюция в *-полукольце глобальных сечений определена поточечно, поэтому (S(M)) = £ * (М) = s M . Тогда, для любого МЕ Max B * S верно, что S(M) •

(S(M))t = SW • з*(М) = sm • sM = 0, откуда, в силу нормальности инволюции в пир-совских слоях, получим sM = S(M) = 0. Следовательно, глобальное сечение S совпадает с нулевым сечением в каждой точке, а значит 5 = 0 , поэтому инволюция в S является нормальной. Теорема доказана.

Попытки установить похожую взаимосвязь для полунормальной инволюции приводят к дополнительным ограничениям на структуру булевой алгебры центральных проекций.

Теорема 2. Рассмотрим следующие условия для инволюции * :

• 1)    инволюция * является полунормальной в S;

• 2)    инволюция * является полунормальной в каждом пирсовском слое *-полукольца S.

Тогда импликация 2) ^ 1) выполняется всегда, выполнение импликации 1) ^ 2) возможно в случае, когда булева алгебра B*S конечна.

Доказательство. Покажем выполнение импликации 2)^1) . Пусть для любого М 6 Max BS инволюция * в полукольце S /В_м является полунормальной. Рассмотрим а Е S такой, что aSa* = 0. Указанному элементу соответствует глобальное сечение а Е Г такое, что аГ(а) * = 0 . Тогда a_MS/б_Ma_м = 0 , в силу полунормальности инволюции в пирсовских слоях, получим, что а_м = 0 для любого М 6 Max B*S . Следовательно, а = 0, а значит и а = 0. Обратная импликация показана.

Покажем выполнение импликации 1) ^ 2) при условии конечности булевой алгебры B*S . Предположим, что для некоторого М Е Max B * S нашелся такой а_м Е S/в_M, что а_м • (S/6_M) • а*_м = 0 при а_м Ф 0. Тогда для любого 5 Е S найдется такая центральная проекция e_s Е B*S \ М, что a5a*e_s = 0. Рассмотрим произвольный атом f Е B*S \ М. Такой существует, поскольку М - собственный идеал решетки B * S. Для любого 5 Е S проекция е / лежит в М , и fe ± = 0 . Заметим, что а5а* = a5a*e S- , поэтому a5a*f = 0. Получаем (а/)5(а/) * = 0 для любого 5 Е S, откуда af = 0 и а_м = 0. Следовательно, прямая импликация выполняется. Теорема доказана.

Полученные в работе результаты естественным образом порождают ряд вопросов, требующих дальнейшего исследования. При доказательстве импликации 1) ^ 2) требуется локализовать элемент а Е S в отдельных слоях пирсовского пучка. Конечность булевой алгебры – достаточно сильное условие, открытым остается вопрос, можно ли ослабить предложенное условие? Можно ли охарактеризовать все полукольца, в которых любая инволюция (полу)нормальна? Являются ли риккартовы (рд-бэровские) полукольца с инволюцией максимальным таким классом?

Автор искренне благодарит научного руководителя, доктора физико-математических наук Чермных В. В., за постановку задачи, внимание к работе, конструктивные замечания при выполнении исследования.