О подгруппах, богатых трансвекциями

Говорят, что подгруппа H полной линейной группы G=GL(n,R) порядка n над кольцом R богата трансвекциями, если она содержит элементарные трансвекции tij(α)=e+αeij на всех позициях (i,j), i≠j (для некоторых α∈R, α≠0). Настоящая работа посвящена вопросам, связанным с подгруппами, богатыми трансвекциями. Известно, что если подгруппа H содержит матрицу-перестановку, соответствующую циклу длины n и элементарную трансвекцию позиции (i,j) такую, что (i-j) и n взаимно просты, то подгруппа H богата трансвекциями. В настоящей заметке доказывается, что условие взаимной простоты (i-j) и n является существенным. Мы показываем, что для n=2k, цикла π=(1 2 …n) и элементарной трансвекции t31(α), α≠0 группа ⟨(π),t31(α)⟩, порожденная элементарной трансвекцией t31(α) и матрицей-перестановкой (циклом) (π) не является подгруппой, богатой трансвекциями.