О подгруппах, богатых трансвекциями

Говорят, что подгруппа H полной линейной группы G = GL ( n, R) порядка n над кольцом R богата трансвекциями [1], если она содержит элементарные трансвекции t ij (a) = e + ae ij на всех позициях (i, j) , i = j (для некоторых a E R, a = 0 ). Настоящая работа посвящена вопросам, связанным с подгруппами, богатыми трансвекциями.

В [2] доказан следующий результат: если подгруппа H содержит матрицу-перестановку, соответствующую циклу длины n и элементарную трансвекцию позиции (i, j) такую, что НОД ( i — j,n ) = 1 , то подгруппа H богата трансвекциями.

Мы показываем (теорема 2), что условие НОД ( i — j,n ) = 1 является существенным. Точнее, для n = 2k , цикла п = (12 ...n ) и элементарной трансвекции t si (a) , a = 0, группа ( (n),t 3i (a) ) , порожденная элементарной трансвекцией t si (a) и матрицей-перестановкой (циклом) ( п ) не является подгруппой, богатой трансвекциями.

В работе приняты следующие обозначения: R — коммутативное кольцо с 1 ; если A и B — аддитивные подгруппы кольца R , то через AB обозначается аддитивная подгруппа

• ^#Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ, cоглашение № 075-02-2021-1552.

2. Сети, заданные в клеточной

кольца R, порожденная всеми произведениями ab, где a G A, b Е B; e = en — единичная матрица порядка n; eij — матрица, у которой на позиции (i,j) стоит 1 G R, а на остальных местах нули; tij (£) = e + ^eij — элементарная трансвекция, £ G R, £ = 0, i = j; 6ij — символ Кронекера; всякой перестановке п G Sn порядка n соответствует матрица-перестановка (п) порядка n, элементы которой определяются формулой (n)ij = 5in(j) для всех 1 С i,j С n; так, например, если перестановка п = (12 ... n) является циклом длины n, то матрица-перестановка (п) имеет вид форме

0		0	0    ..	.0	1
	1	0	0    ..	.0	0
(п) =	0	1	0    ..	.0	0
	... 0	... 0	... .. 0    ..	. ... .1	... 0

Пусть n = к • m , ст = (ст ^ ) — сеть аддитивных подгрупп коммутативного кольца R с 1

порядка n [1]. С разбиением n = m + ... + сети σ в клеточной форме:

m ( k

— слагаемых) числа n связана запись

ст = [ст] =

ст 11

_ст 21

ст ¹²

ст ²²

...

...

ст ^{1 к} \ ст ^{2 к}

,

...

\ст ^{к 1}

...

ст ^{к 2}

... ...

. . . σ ^kk

где ст = [ст] = (ст ^ij ) , ст ^ij — квадратные ( m х т )-таблицы аддитивных подгрупп кольца R , 1 С i, j С к. Ясно, что при m = 1 , k = n , мы получаем сеть ст = (CT ij ) .

Если S = ( s ij ) , L = ( l ij ) — две квадратные (m х т) -таблицы аддитивных подгрупп S ij , l ij , 1 С i, j С m, кольца R , то мы определяем их сумму и произведение естественным способом:

m

(S + L^ij — (sij + lij )), (S • L^ij — ^ ' sir • lrj • r=1

Определим произведение двух (к х к) -таблиц [ст] = (ст ^ij ) и [т] = (т ^ij ) вида (1) следующим естественным способом:

k

([ст][т ]) ‘^j = £ст"' т ^rj

.

r=1

В частности, при m = 1 , к = n , мы получаем произведение двух сетей ст = ( ст ^ ) и т = ( T ij ) аддитивных подгрупп порядка n :

n

(стт ) ij = ^ст ^г T rj .

r =1

Таблица (1) ст = [ст] = (ст ^ij ) является сетью, если ст ^ir ст ^rj С ст ^ij для всех 1 С i,r, j С к. Ясно, что ст = ( ст _ij ) — сеть ^^ ст • ст С ст . Далее, ст = [ст] = (ст ^ij ) — сеть ^^ [ст] • [ст] С [ст].

Из формулы [ст • ст] = [ст] • [ст] (см. [3, гл. 1, § 1]) вытекает следующая лемма.

Лемма 1. Система ст = (ст ^ ), 1 С i, j С n, аддитивных подгрупп Cт ij кольца R порядка n является сетью тогда и только тогда, когда система

[ст] = ([ст]rs) = (стrs),   1 С Г, s С к, квадратных (m х m)-таблиц стij является сетью порядка к (см. (1)).

• 3.    Слабо насыщенные сети

Система ст = ( CT ij ) , 1 С i, j С n , аддитивных подгрупп кольца R называется сетью (ковром ) над кольцом R порядка n , если CT ir CT rj С ст ^ при всех значениях индексов i , r , j. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью ( элементарный ковер ).

Приступим теперь к определению блочных матриц, которые мы будем рассматривать в нашей работе.

Итак, пусть n = km , k, m ^ 2 . Представим таблицу т = ( т ^ ) аддитивных подгрупп т ^ кольца R порядка n в виде блочной таблицы порядка k вида (1), на каждой позиции которой стоит квадратная таблица порядка m , в которой на диагонали стоит R , а на остальных местах 0 .

Предложение 1. Построенная таблица τ является сетью порядка n , которую мы называем слабо насыщенной .

• <1 Доказательство вытекает из леммы 1. Действительно, таблица т имеет клеточный вид [т] = (т ij ) : это квадратная таблица порядка k , у которой на каждой позиции (i, j) стоит ( m х m) -таблица т ^ij , в которой на диагонали стоит кольцо R , а на остальных местах 0 . Ясно тогда, что для любых i , r , j мы имеем т ir т ^rj = т ^ij . Следовательно, клеточная таблица [т] = ( т ^ij ) является сетью, а потому по лемме 1 т = ( т ^ ) является сетью порядка n . >

Рассмотрим пример этой конструкции для n = 6 , m = 2 , k = 3 :

/ R 0 R 0 R 0 \

0 R 0 R 0 R

R 0 R 0 R 0

^{т =} 0   R  0   R  0   R ^.

R 0 R 0 R 0

0 R 0 R 0 R

Прокомментируем слабо насыщенную сеть τ . Очевидно, что она симметрична, и на всех позициях главной диагонали стоит кольцо R . Далее, через d _s обозначим s -ю строку сети τ , параллельную главной диагонали (и в силу симметричности сети τ достаточно рассматривать строки, лежащие ниже главной диагонали). По построению строки d 2 , d a ,..., d m — нулевые, а строка d m+i состоит из кольца R ; строки d m+2 , d m+a , • • •, d 2 m — нулевые, а строка d 2m+i состоит из кольца R .

В общем виде строки d im+q , 2 С q С m , 0 С l С k - 1 , — нулевые (номер строки при делении на m дает в остатке 0, 2,..., m — 1 ), а строки d im+i , 1 С l С k - 1, состоят из кольца R (номер строки при делении на m дает в остатке 1 ).

Теорема 1. Пусть п = (12 ... n) — цикл длины n = km и т = (rj) — слабо насыщенная сеть порядка n , построенная выше ( см. предложение 1) , G(т ) — сетевая группа [4] . Тогда циклическая матрица-перестановка (п) нормализует построенную сетевую группу G ( т ) , а потому произведение ( (п)^(т) является группой. В частности, группа ( (п)^(т) содержится в нормализаторе N (т) сетевой группы G ( т ) .

• < Согласно предложению 1 [4] матрица-перестановка (п) нормализует построенную сетевую группу G(т) тогда и только тогда, когда т ^п = т , где сеть т ^п определяется формулой (т ^п ) ij = т _п(i),_п(j) . Таким образом, для доказательства предложения нам нужно показать, что т _п(i),_п(j) = т^ для любых i , j. В силу симметричности сети т достаточно доказать последнее равенство для i > j .

Рассмотрим τ ij , i > j , которая лежит в одной из строк d _s сети τ . Рассмотрим два случая:

• (a)    T ij лежит в нулевой строке d lm+q , 2 С q С m , 0 С l С к — 1 . Эта строка имеет вид

^T lm+q,1 ^T lm+q+1,2    • • • ^T n - 1,n - lm - q ^T n,n - lm - q+1    ⁰-

Имеем тогда (напомним, что п = (12 ... n ) — цикл длины n = km)

^T n(lm+q),n(1) = ^T lm+q+1,2 = ⁰,• • • , ^T n(n - 1),n(n - lm - q) = ^T n,n - lm - q+1 = ^0.

Далее, T n(_n),n(n - lm - q+1)   = T 1,n - im - q₊2 . В силу симметричности сети т имеем

^T 1,n - lm - q+2 — ^T n - lm - q+2,1 . Последний элемент лежит в строке ^d n — lm — q+2 — ^d m(k — l) — q+2 ^, но так как 2 С q С m, то номер строки m ( k — l) — q + 2 при делении на m не равен 1 , а потому d m(k - l) — q+2 нулевая строка. Поэтому ^T n(n),n(n - lm - q+1) ^{0 .}

Таким образом, мы показали, что если T ij принадлежит нулевой строке d lm+q , 2 С q С m , 0 С l С к — 1 , то T n(i),n(j) = 0 = T ij .

• (b)    Tij лежит в «единичной» строке dlm+1, 1 С l С к — 1. Эта строка имеет вид

4.    Группа, порожденная циклом и трансвекцией

^T lm+1,1 ^T lm+2,2    • • • ^T n - 1,n - lm - 1 ^T n,n - lm R^

Имеем тогда ( п = (12 • • • n ) — цикл длины n = km )

^T n(lm+1),n(1) = ^T lm+2,2 = R, • • • , ^T n(n - 1),n(n - lm - 1) = ^T n,n - lm = R

Далее, T n(n)^(n - lm) = T 1^ - lm+1 . В силу симметричности сети T имеем T 1,n - lm+1 = T _{n -} lm+1,1 . Последний элемент лежит в строке d _{n -} lm+1 = d _m(_{r -} l)+1 , но эта строка (а ее номер при делении на m дает в остатке 1 ) состоит из колец R . Поэтому T _{n - lm+1,1} = R , откуда ^T n(n),n(n - lm) = R .

Таким образом, мы показали, что если τ ij принадлежит «единичной» строке, то ^T n(i),n(j)     R ^T ij . ▻

В группе G = GL(2k,R) , n = 2k ^ 4 , рассмотрим подгруппу ( t s1 (a), (п) ) , где п = (123 • • • 2k) — цикл длины n = 2k , а Е R, а = 0 . Далее, рассмотрим матрицу-перестановку (п) и слабо насыщенную сеть т порядка n для n = 2 • k ( m = 2 , см. (1)):

	R 0	0 • R.	.. R •• 0	0 R
т =	...	... .	. ...	...
	R	0 •	.R	0
0		R.	•• 0	R

Теорема 2. Пусть R — произвольное коммутативное кольцо с 1 , в котором существует обратимый элемент 9 такой, что элемент 9 — 1 также обратим ( это так, например, если R — произвольное поле, отличное от поля F 2 из двух элементов), n = 2 k . Тогда группа { G ( t ), (п) ) не богата трансвекциями. В частности, группа ( (п),t з1 (a) ) не богата трансвекциями.

• <1 В силу теоремы 1 мы имеем ( G ( t ), (п) ) = ( (п) ) • G ( t ) С N (т) . Пусть t 12 (^) Е ( (п) ) • G ( t ) С N (т) для некоторого ^ = 0 . Тогда согласно предложению 5 [4] мы имеем ^ Е Ст 12 = 0 . ▻