О подпрямо неразложимых унарах с мальцевской операцией

f( р( x,y,z)) = р( f( х), J (у), f( z)).                              (2)

В работе В.К.Карташова [1] доказано, что на любом унаре (А/) можно ввести тернарную операцию р так, что алгебра (A, f, р) становится унаром с мальцевской операцией. Требуемая операция р определяется в [1] следующим образом: пусть (AJ) - произвольный унар, х.уеА, N - множество натуральных чисел, N_o=Nu/O). Положим М _{х v} ={ mU_ti\f" (х)= f" ( у)}, а также k(x,y) = minM_xv если №„*0 и к(х,у) = ау если М_{х v} = 0.

Положим далее

\z,ec№k(x,y)

[х,'если к(х,у) > k(y,z).                                    *

В дальнейшем подразумевается, что операция р определена указанным способом, а основные определения и обозначения, связанные с унарами, используются в соответствии с [2] и [3]. Напомним некоторые из них.

Через СопЧ обозначается решетка конгруэнций алгебры А , через V и Д - ее единичная и нулевая конгруэнции соответственно. Через аб обозначается класс конгруэнции 6, порожденный элементом а.

Если х - периодический элемент унара (A,j), то наименьшее из чисел t, для которых f'(x) = f^H"(x) при некоторых п>0, называется глубиной элемента х и обозначается через h(x). Наибольшая из глубин элементов называется глубиной унара. Понятие узлового элемента унара трактуется несколько шире, чем в [2]; элемент а называется узловым, если найдутся такие несовпадающие элементы Ь,с, отличные от а, что f(b) = a = f(c).

Пусть А *0, а^Х. Обозначим В = Хи{а}. Определим на В операцию f как f(x)=a для любого хе В. Обозначим полученный унар через U^ -

Пусть В - подунар унара А. Через 0_в обозначается конгруэнция унара {А,/}, определенная по правилу [5]: х6_ву для х. у еА выполнено тогда и только тогда, когда либо х=у, либо хе В.

Пусть v - узловой элемент унара (A,f), M_v - множество всех таких хе А , что f(x) = v. Через 9_Х. обозначается конгруэнция унара, определенная по правилу [2]: x9_v у для любых х,у еА верно тогда и только тогда, если либо х = у , либо х.у еМ, .

Теорема 1. Пусть {A,f,p} - унар с мальцевской операцией р, определенной по правилу (3). Решетка конгруэнций алгебры {A,f,p) является цепью тогда и только тогда, когда унар {A, f) удовлетворяет одному из следующих условий:

• 1)    операция / инъективна;

• 2)    {A,f) изоморфен С[ , где te N и {со};

• 3)    {A,f) - связный периодический унар, имеющий единственный узловой элемент, который является циклическим;

• 4)    {А,/} - связный непериодический унар, имеющий единственный узловой элемент;

• 5)    {А,/") - сумма одной компоненты вида (2)-(4) и произвольного числа компонент вида (1).

Докажем предварительно несколько лемм.

Лемма 1. Конгруэнция О унара {A,f) является атомарной конгруэнцией алгебры

Доказательство. Достаточно доказать, что отношение 0_v стабильно относительно операции р. Пусть х_х9_х.х₂, y_x9_vy,, ~_x0_x.z₂ для х,,х., .y^y,^,^ еД . Обозначим a_x-p(x_x,y_x,z_x), а₂= p(x-,,y₂,z₂). Предположим, что а_х,а, ^9_V. Тогда а_х*а₂, причем а, ёМ_г или а₂ CM_V. Из условия x_x9_vx₂ вытекает, что либо х, =х₂ , либо Х|,х₂еМ_г. В любом из этих случаев f(x_x) = f(x₂). Аналогично имеем f\y{y=fVy₂), f(z_x) = f(z₂). Тогда Яа₁)=Яр(х₁,у_|,г_|))=р(Ях)Лу_|)Дг_|))= р№₂),/(у₂),Яг₂))= Др(х₂,у₂,г₂))= Я«₂)- Отсюда кфз_х,аф=\; утверждения а_х £M_V и а₂ tM_T эквивалентны.

По определению (3) операции р достаточно рассмотреть 2 случая:

• 1)    Р(х_х.Уи'_х)=х_х. р = p(x₂,y₂,z₂) = z₂;

• 2)    p(x_x,y_x,zj = z_x. р = p(x-,,y,,z₂)=x,.

Рассмотрим первый случай. По предположению, x_x*z₂, х, tM, , z, tM_v. Последнее, учитывая определение отношения 9_Х , влечет х, =х, , z, =2, . При этом у, *у,, так как а, *а_г. Тогда у_х,у₂ еМ_х, и значит - J(у, ) = f(y₂)=v. Из условий р(х_х,у_х,г,)=x_)t р(х₂,у₂,<:₂)=^₂и определения (3) вытекают соотношения

к(х_х,у_х)> k(y_x,z_x), k(x₂,y₂)2).                      (4)

Докажем, что к^х_х,у_х)= к(х , у). Заметим, что так как х, tM, , а у, eM_v, то х.^у,, а значит - k(x_x,v_x)=n для некоторого п>0. Тогда f” (х_х) = /" (у,) и Г(х_х) + ГЧу_х) для всех т<п. ГиО= j"(у_х) = f"~'(v) = .f"”¹ (f(y₂)) = f (y₂) и значит - k(x_x,y,) Предположим, что найдется число mf^m(x}y=f ^т(уф Число т отлично от нуля, так как х, 4М_г , а у₂еМ_х.. Тогда f^m(_ix₁')=f^m(y₂)=f^m"^l(v')= ⁼f”{f(y_l))⁼f’"{y{) что противоречит условию к(х_х,у_х)= п.

Пусть теперь к(х_х,у,) = со. Предположим, что к(х_х,у₂) равно некоторому числу т>0. Тогда /'" (х_х) = /"' (у,) = f"~' (v ) = f""' ( f(у_х )) = f” (у_х), что противоречит условию к(х_х,у_х ) = со.

Таким образом, к(х_ру^кСх^у^кСх^у^. Аналогично, к(у_l,z.₁)=k(y₂,7.₁)=k(y₂,z.₂), что приводит к противоречию с условием (4). Второй случай рассматривается аналогично.

Предположим теперь, что найдется конгруэнция алгебры (A,f,p) такая, что Д<0<О_у. Тогда существует пара (i,c)eq_v, такая, что {Ь,с)£9. Так как Д<6, то (х₀,у₀)е6 для некоторых различающихся элементов х_о,у_оеА. По условию, (x_o,y_o)e0_v, а значит - АХо)=ДУо)^=г-Заметим, что и f{b}=v. Отсюда к{Ь,у₁ф=\=к{у_й,хф, а значит - p{b,y₆,x^=x₀. При этом р(Ь,уО,уО)=Ь, и из х₀6у₀ следует, что х₀9А Аналогично х₀6с и окончательно №с, что противоречит выбору элементов b и. с.

Лемма 2. Пусть унар (А,/) представляется как сумма компонент С и D, где С изоморфна (AJ) для некоторого г е N и /"со /, D - произвольный унар и В - подунар вида унара С’. Тогда конгруэнция 0_В унара (Аф) является атомом решетки Con (Л/, р).

Доказательство. Рассмотрим конгруэнцию 6_В унара {А,/} и докажем, что 0_ве е Con (AJ.p).

Пусть х^^, У_Х6_ЪУ_Р z,0_Bz₂ для элементов х_и х₂, у,, у₂, z,, ?₂еА. Обозначим а, = p(x_l,y₁,z_l), а, = p(x₂,y₂,z₂ ) и предположим, что (а_{, а₂) С 6_R. Как и в доказательстве леммы 1, без нарушения общности достаточно рассмотреть случай, когда а=х_х, a=z_r По предположению х, + z₂ и х, еВ , z₂ 4 В.

Последнее влечет х^С, так как в противном случае получаем {x_pz₂}eB. Тогда x^D. Поскольку fx)=Kz₂Y то и z₂eD. Тогда из условий х,0_вх₂, <:,6_вг₂ по определению отношения е_в следует, что х=х₂, z_x=Z_r Так как при этом p(x_vy_vz_xNp(x_py₂,z5, то У_х*У_г и У_хеВ. Так как CnD=0, то к(х_х,у_х)=со и k(y_x,z₂)=k(y_x,z_x)=«>. С другой стороны, из условия p(x_x,y_x,z_x)=x_x следует, что k(x_x,y_x)>k(y_x,z_x), что приводит к противоречию.

Атомарность конгруэнции 9В следует из ее определения.

Лемма 3. Пусть унар (A,f) изоморфен C'_h, где h>l, teNu{x}, х,уеЛ и x=f"(y) для некоторого т>0. Тогда к(х,у)< со верно в том и только в том случае, когда h\m.

Доказательство. Так как х=у равносильно к(х,у)=0, то можно считать, что т>0.

Необходимость. Допустим, что к(х,у) равен некоторому числу х>0. Тогда f(x)=f(y), Ьткуда ^^m(y)=f(y)- Обозначив b=f(y), получаем, что f"(b)=b. Таким образом, b - циклический элемент унара, а значит, h I m.

Достаточность. Пусть him. Тогда m=dh для некоторого deN₀. Обозначим узловой элемент унара через z. Если х,у — циклические элементы унара, то из x=f"(y) следует х=^'(У) и х=у, откуда к(х,у)=0.

Пусть теперь х - циклический элемент, а у не является циклическим. Тогда f^s(x)-Z для некоторого числа 0, что ^(u^z. Так как p-Az^x, то Т(и)=х. Из условий x=f^m(.y)~f⁶4y) и Р{и)=х следует, что f4u)⁼f^№(y\ Очевидно, что в рассматриваемом случае d>0, поскольку х*у. Так как операция f на нециклических элементах данного унара инъективна, то M=/^{d l,h}(y). Тогда z=f^⁼f*^w"'\yY С другой стороны, так как x=f ‘’^Дх), то z=fAx)=f^s+h(d-¹⁾(x). Таким образом, /в+ВД-Дх^Л^-Ду) и окончательно - ^x,y^s+h(d-l).

Пусть теперь s>t. Заметим, что m>h(y), так как х - циклический элемент. Отсюда, m=h(y)+r, г>0. Далее, х= /^,(у)= /^,<у)+г(у)= W^M)- f^r{zd, откуда rs. Так как f^s(x)=z и f^zd=x, то s+r=h. Учитывая, что r=m-h(y), получаем s+m-h(y)=h и s+dh-h(y)=h. Тогда s+(d-l)h-h(y)=0, откуда s+(d-l)h = h(y). В силу выбора элемента у имеем h(y)t, что ведет к противоречию.

Пусть теперь оба элемента х,у не являются циклическими. Тогда найдется число seN, такое, что f^x^z. Из условия х=/Ду) получаем P^+s(y)⁼Z- С другой стороны, f'^^s(x)=f^a(f(x))~f"(z)⁼T''(z)~Z- Тогда к(х,у)<тА-&, что завершает доказательство.

Далее, в леммах 4—7, будем считать, что — связный периодический унар, содержащий подунар вида С” для некоторого h>l и имеющий единственный узловой элемент г, который, очевидно, является циклическим.

Лемма 4. Если некоторый класс нетривиальной конгруэнции 0 унара содержит хотя бы два циклических элемента, то Уг¹ Con (Т,/,/?).

Доказательство. Пусть а,Ь - различные циклические элементы унара, абЬ. В силу нетривиальное™ 6 найдется такой элемент сеА, что (с,Ь)й9. Из (1) имеем р(с,а,а)=с. С другой стороны, из цикличности а,Ь следует, что k(a,b)=oo. Тогда p(c,a,b)=b, откуда вытекает, что отношение 0 не стабильно относительно операции р.

Лемма 5. Пусть OeCon(A,f,p), 0*V, a,beA. Тогда из adb следует, что k(a,b)

Доказательство. Предположим, что k(a,b)=oo. Так как 9*У, то найдется элемент cgb0. Тогда k(c,a)

Лемма 6. Любой неодноэлементный класс конгруэнции 9eCon(A,f,p) содержит циклический элемент.

Доказательство. Пусть Ь,с - различающиеся нециклические элементы А, Ь0с.

Рассмотрим сначала случай, когда один из элементов Ь,с выражается через другой. Примем для определенности, что с=/^я’(Ь) для некоторого т>0. Учитывая стабильность 0 относительно операции f получаем, что с0Л”(^с) для любого keN. Тогда при подходящем к выполнится условие km>h(c), откуда /^т(с) — искомый циклический элемент.

Пусть теперь Ьй(с) и Ьй(с). Предположим сначала, что h(b)=h(c)=m, meN. Разделим m на h с остатком: m=dh+r, где d>0, 0А, что ЛХХ^а. Тогда /^?(а)= у. Далее, /'(Ь^ /^(b^ v и Л(а)= /^lh(/^f(a))⁼ *'■ При этом ^(а)* /(b) для любых sе)- Если предположить, что /®(Ь)= /(с) для некоторого s

Рассмотрим h(b)*h(c). Без нарушения общности положим h(b)=h(c)+s, s>0. Разделим s на h с остатком: s=dh+r, d>0, 0 /(с) в силу единственности узлового элемента. Для любого числа п, такого, что n>h(b) и, следовательно, n=h(b)+m, m>0, верно следующее: /(b)= /(ЬЩДЬ^ /"(v), /^,Хс)= /<^ь>^+т(с)= ₌yn(c)+dh+r+m(_v^₌р_т^у р[_{о лемме} 5 _из Ь0с следует, что к(Ь,с)<<». Отсюда для некоторого n>h(b) должно выполниться равенство /(Ь)= /Дс), что влечет г=0. Таким образом, h(b)=h(c)+dh, откуда /^П(Ь)(Ь)= v = /ⁿ(^c>^+dh(c)= ^'^’(с) и окончательно - k(b,c)=h(b).

Разделим h(b) на h с остатком: h(b)=th+p, где t>0, 0

р(г). Тогда

Следствие. Пусть а - циклический элемент, b и с - нециклические. Тогда из аОЬ следует k(a,b)=h(b), а Ь0с влечет k(b,c)=max{h(b),h(c)}.

Лемма 7. Пусть (А,^ - связный периодический унар с единственным узловым элементом, содержащий цикл неединичной длины. Тогда решетка конгруэнций алгебры (A,f,p} является цепью.

Доказательство. Пусть 0_Р0, - несравнимые между собой конгруэнции алгебры (А/.р). Тогда аО^аО,, аО^аО, для некоторого аеЛ. Отсюда найдутся элементы Ь,сеЛ, такие, что аО/, a0₂b, (a,b)gO₂, (a,c)g0_P

Рассмотрим случай, когда а - циклический элемент. Тогда, по лемме 4, b и с не являются циклическими. Пусть h(b)>h(c). По следствию из леммы 6 имеем k(a,b)=h(b), k(a,c)=h(c), откуда p(c,a,b)=b. Учитывая, что а0,Ь и р(с,а,а)=с, получаем 60,0. Тогда а0,с, что противоречит условию. Случай h(b)

Пусть теперь а - нециклический элемент. По лемме 6 найдется циклический элемент zea0,.

Рассмотрим сначала случай, когда zea0₂ и, следовательно, zO₂c. По следствию из леммы 6 z0,b влечет k(z,b)=h(b), z0₂a - k(z,a)=h(a), z0₂c - k(z,c)=h(c). Так как c0,c, z0,a, bO,a, to p(c,z,b) 0_lp(c,a,a)=c, откуда p(c,z,b)=c, что влечет k(c,z)>k(z,b) и окончательно -h(c)>h(b). Аналогично из b0₂b, zO₂a, аО₂а следует, что h(b)>h(a). Тогда, по следствию из леммы 6, имеем k(b,c)=h(c), k(c,a)=h(c). Отсюда p(b,c,a)=a и, учитывая z0₂c, z0₂a, получаем a0₂b, что противоречит условию.

Пусть теперь zga02. По лемме 6 класс а02 содержит циклический элемент y*z. Из a0,z имеем k(a,z)=h(a), из а02у - k(a,y)=h(a). Учитывая, что у6,у, аО,а, z0,a, получаем p(y,a,z)0|p(y,a,a)=c, откуда z0,y, что противоречит выбору элемента z.

Лемма 8. Пусть <А, f> - связный унар, содержащий элемент а с условием f(a)=a, и единственный узловой элемент у, не совпадающий с а. Тогда решетка конгруэнций алгебры <А, f р> не является цепью.

Доказательство. Из условий леммы следует, что <А, О содержит собственный под-унар В вида С]¹, где ас В, причем для всех хеА\В выполняется f(x)*a. Докажем, что 0_BeCon.

Пусть х/^, у^, z/^ для х,, х₂, у₁у₂, г^^еА. Обозначим а =?(%,,у,,^), a=p(x₂,y₂,z₂) и предположим, что (а₁,а₂)^0₄. Как и в лемме 1, имеем, что /(а^^а^, и условия а^В, а₂^В эквивалентны.

Пусть а=х_х, a₂=z_r По предположению x^z,, х^В, z^B. Тогда из условий х_х9_вх₂, 2,6^2 следует, что х=х_р z,=z₂ Так как а, *а₂, то у_х*у₂, а значит, {y_tу₂,}=В. Пусть для определенности у=а. Тогда из х_хеВ, z^Z^B вытекает, что Ырс^пУу^, Ь^_х)>Ь(у_х\ и, следовательно, k(x_x,y_x')=h(_sx₁\ k(y_x,z₁)⁼h(z₁). Из условия к(а_х,а₂)=А следует, что /г(а_|)=й(а₂), а значит - A(x,)=A(^₂)=/z(z_l). Окончательно получаем к{х_х,у_х)= kvz5 и p(x₁,y_|,^,)=z₁=^:Z₂, что противоречит условию Xj*z₂-

Другие случаи рассматриваются аналогично.

Таким образом, 0₅еСоп(Д, / р), а поскольку по условию узловой элемент v унара не совпадает с а, то конгруэнции 6_В и 5 не сравнимы.

Следствие. Конгруэнция 0_В является атомом решетки Соп(Л, /, р).

Далее, в леммах 9-11, будем считать, что унар (А,/) связен и имеет единственный узловой элемент а, причем Да)=а.

Пусть иеМ₀. Определим на (A, /) бинарное отношение а_п по правилу: для х,уеА условие ха_пу выполняется в том и только том случае, если либо х=у, либо h(x) Очевидно, o_neCon(^).

Лемма 9. Отношение а_п является конгруэнцией алгебры (A, f р} при любом neN₀.

Доказательство. При л=0 утверждение очевидно.

Пусть леМ и х_хсх₂, у_ха_пу₂, zy\z₂ для х_х, х₂, у_х у₂, z, Z-^A. По условию либо х_х = х₂, либо h^x^n, h(x₂) Пусть х_х*х₂ и htpc^k, Мх^=т для некоторых k, weN₀. Тогда, учитывая, что а - единственный циклический элемент унара, имеем f^x^a, f"(x^=a. Так как к<п, т<п и Да)=о, то получаем, что /" "(х,)^ ”(х₂). Аналогично - /⁶(у,)=?(у₂), /’^,(z₁)=/’^,(z₂). Тогда р(/Дх₁),Л(у₁),/Дг_|))=р(/Дх₂),/Ду₂),/’’(г₂)), И из (2) вытекает f

py_pz^=f\p2,y₂,z)\

Лемма 10. Пусть 6еСоп(Л, /, р), (a,b)eQ и h(a) хбу.

Доказательство. Так как h(a) то k(a,b)=h(b). Пусть х,уеА. Число к(х, а) будет равно либо МД), либо А(х), но в любом из этих случаев по условию к(х,а)<МЬ)=к(а,Ь). Тогда из (3) получаем, что p(x,a,b)=b. В то же время p(x,b,b)=x, откуда хйЬ. Аналогично - уб b и окончательно - хбу.

Лемма 11. Решетка конгруэнций алгебры (A, f р) является цепью длины, равной глубине унара (A, f).

Доказательство. Докажем, что любая неединичная конгруэнция в алгебры (A, f, pj имеет вид о для некоторого neN0. ■

Очевидно, Д=о₀. Пусть О^Д. Допустим, что среди всех элементов, входящих в пары конгруэнции 0, найдется элемент Ь, имеющий максимальную глубину. Отсюда найдется пара (_Ь,с)е9, где Ь^с и й(й)>й(с), причем h(x) и h(y) для любых (х,у)еб. Тогда, по лемме 10, 6⁼о_ад.

Предположим теперь, что глубина элементов, принадлежащих парам конгруэнции 0, не ограничена в совокупности. Пусть (х,у)йб для некоторых х,уеА. По предположению найдется пара (Ь,с)е6, такая, что A(x)), МуИМЬ). Тогда из леммы 10 вытекает хбу, что противоречит предположению. Отсюда - 0=V.

Из определения конгруэнции a_n следует, что o_k ca_m верно тогда и только тогда, когда к<т. Последнее влечет утверждение леммы.

В леммах 12-14 будем считать, что унар (A, f) связен, имеет единственный узловой элемент v и не содержит циклических элементов.

Определим расстояние Нх) от элемента хе А до узлового элемента v следующим образом: г(х)=п, если /""(x)=v для некоторого пеА, Кх) = -п, если /Дг)=х и г(х)=0 при x=v.

Пусть neN - число, не превосходящее наибольшего среди расстояний от элементов унара до узлового элемента. Определим на (A, f) бинарное отношение у„ по правилу: для х,уеА условие хупу выполняется в том и только в том случае, если либо х=у, либо 0<г(х)=г(у)<и. Очевидно, уп - эквивалентность при любом пеА. Допустим, что хупу и х*у. Тогда r^x>=r^=d

Лемма 12. Для х,уеА условие г(х)*г(у) верно тогда и только тогда, когда к(х,у)=оо.

Доказательство. Необходимость. Пусть Дх)=5, r(y)=t, s*t. Предположим, что найдется nevV, такое, что /"”(х)= /"(у).

Пусть 5<0. Из определения расстояния до узла имеем х=/Дг). Если ?<0, то y=/"'(v) и, по предположению, f"^+s(.v)=f"^+l(v),^что противоречит условию отсутствия циклических элементов в унаре. Если же t>0, то f'(y)=v, откуда х^/’+^у), Р^Ду^ТЧу), ^чтоснова ведет к противоречию. Для х>0 рассуждения аналогичны.

Достаточность. Пусть r(x)=r(y)=d. Если d<0, то по определению расстояния до узла х=у и А'(х,у)=0. Если же d>0, то f4x)=v=f(yY Тогда k(x,y)=d

Лемма 13. Отношение у„ является конгруэнцией алгебры (A, f р} при любом neN₀ .

Доказательство. Пусть neN₀ и х/_лх₂, у^Уу z^,, д, для элементов х_р х₂, у_р у₂, z_P z₂ еА. Отсюда по определению отношения у_п имеем

Чх^^х), Д у,)=Ду₂), lYz^Kz).                         (6)

Обозначим а=р(х_р у_р z), а=р(х₂, у₂, z₂) и докажем, что отношение у_п стабильно относительно операции р.

Пусть Дх_;)=Ду_у). Предположим, что Чу)= d. Если d<0, то х = y,⁼z_P а из (6) получаем, что x=y=Zi=x₂=yy=z₂. Очевидно, тогда а,у„а₂. Если же d>0, то Цх_ру^=к^у _pz)=d и из (3) получаем а = z_r Из условий (б) имеем a=z₂ и окончательно - а^ а₂. При условии, что r^y^r^z), по лемме 12 получаем £(y,,z_;)=®, и из (3) следует, что a=z_P Из условий (б) вытекает a=z₂ и снова - а^а^

Пусть теперь Ахр^Ау). По лемме 12 имеем к(х,у)<сс. Если при этом r(y,)=r(z_;), то Цу_р z)<”, и а= х_Г Из (6) следует, что а = х₂. Тогда а,у_па₂. Если же r(y_;)*r(z,), то к(у_р z)^, а = Zp а = z₂,H снова а^, а,.

Лемма 14. Решетка конгруэнций алгебры (Л, f, р) является цепью.

Доказательство. Пусть 6 - произвольная нетривиальная конгруэнция алгебры (Д/р) и х,уеА.

Предположим, что найдется пара (6,с)е9, такая, что г(Ь) * г(с). По лемме 12 k(b,c)=*. Тогда р(х,Ь,с)=с, р(у,Ь,с)=с. При этом p(x,b,b)~x, p(y,b,b)=y. Так как p(x,b,c)Qp(x,b,b), то с0х, и аналогично - сбу. Отсюда 0=V, что противоречит выбору 6.

Таким образом, для любой пары (b,c)eQ имеем r(b)=r(c). Предположим, что найдется такой элемент zgA, не эквивалентный элементу с, что r(c)—r(z)- Тогда c=p(z,b,c)Qp(z,b,b)=z, что ведет к противоречию.

Изложенное выше показывает, что любая нетривиальная конгруэнция алгебры (,A,fp) совпадает с отношением у_п при подходящем п.

Из определения конгруэнции у_п следует, что у_п с у_т верно тогда и только тогда, когда п<т. Таким образом, Соп(Л, f, р) является цепью.

Лемма 15. Пусть унар (A, f) представляется в виде суммы В+С, где В - произвольная неинъективная компонента связности, а С - сумма любого числа компонент, операция f в которых инъективна. Тогда любая нетривиальная конгруэнция алгебры (A,fp) является расширением некоторой конгруэнции компоненты В.

Доказательство. Пусть а - нетривиальная конгруэнция алгебры (А, / р). Докажем, что все элементы компоненты связности С порождают по этой конгруэнции только одноэлементные классы.

Пусть сначала компонента С является одноэлементным унаром и С={а}. Предположим, что aab для всех be В. Так как а нетривиальна, то найдется пара (u,v)ga , причем и*а, v* а. Последнее влечет u,veB, откуда, по предположению, иаа, vaa, что противоречит выбору элементов u,v.

Таким образом, существует be В, такой, что (a, b)ga. Предположим, что аас для некоторого сеВ. Так как элемент а лежит в отдельной компоненте связности, то k(b,a)=k(a,c)=co . Тогда р(Ь,а,с)=с. В то же время p(b,c,c)—b, что влечет cab. По предположению, тогда aab, что противоречит условию.

Пусть теперь компонента С является неодноэлементной.

Предположим, что найдутся a,beC, a^b, aab. Пусть х,уе\. Так как операция f на С инъективна, то к(а,Ь)=к>. Отсюда p(x,a,b)=b. Тогда b=p(x,a,b)ap(x,a,a)=x. Аналогично -bay. Тогда a=V, что противоречит условию.

Пусть иеВ, teC и zau для некоторого zeC. По доказанному выше, (z,t)^a. Так как ZeC и иеВ, то k(z,u)=®. Отсюда p(t,z,u)=u. С другой стороны, p(t,z,z)~t. Тогда uat, что противоречит условию (z,t)^a.

Следствие. Решетка конгруэнций алгебры (A, f р), указанной в лемме, изоморфна решетке Соп(В, f р) с присоединенной внешней единицей.

Доказательство теоремы 1. Необходимость. По лемме 1 достаточно рассмотреть уна-ры, содержащие единственный узловой элемент либо совсем не содержащие узлов.

Предположим, что унар (AJ) содержит единственный узловой элемент v и при этом не изоморфен ни одному из унаров, перечисленных в пунктах 2)-5) условия теоремы.

Если унар (A, f) связен, то содержит элемент a*v, такой, что f(a)=a. Тогда Соп<Д f р) не является цепью в силу леммы 8.

Если же (A, f) несвязен, то его можно представить как сумму компоненты D, содержащей узловой элемент, и некоторого числа компонент, сумму которых обозначим через Е. При этом либо подунар D неизоморфен ни одному из унаров, перечисленных в пунктах 2)-4) условия теоремы, либо операция f на подунаре Е не инъективна.

В первом случае компонента D будет удовлетворять условиям леммы 8, а значит иметь несравнимые между собой конгруэнции. Расширяя их до конгруэнций унара А, получаем, что Con (A, f р) не является цепью.

Во втором случае компонента Е будет содержать подунар, изоморфный С/, где teN и со. Обозначая через В его подунар, изоморфный С¹,, из леммы 2 получаем, что отношение 9_В является конгруэнцией алгебры (A, f р). В то же время, по лемме 1, 9_v -конгруэнция на (A, f р). При этом У и 9_В не сравнимы, так как v и В лежат в разных компонентах связности.

Достаточность. Для случаев (1), (2) утверждение вытекает из леммы 1 [4, с.281] и теоремы 1 [4, с.283] соответственно. Остальные утверждения следуют из лемм 7,11,14 и следствия из леммы 15.

Теорема 2. Класс подпрямо неразложимых алгебр (A, f р) с операцией р, определенной по правилу (3), совпадает с классом алгебр (A, f, р), решетка конгруэнций которых является цепью.

Доказательство. Достаточно показать, что класс подпрямо неразложимых алгебр (A, f р) включается в класс алгебр, решетка конгруэнций которых является цепью.

Из леммы 1 следует, что если унар (A, f) содержит более одного узлового элемента, то алгебра (A, f, р) не является подпрямо неразложимой. Таким образом, достаточно рассмотреть унары, не удовлетворяющие условиям теоремы 1 и содержащие единственный узловой элемент либо совсем не содержащие узлов.

В связном случае — это унар (A, f), содержащий элемент а, такой, что f(a)~a, и единственный узловой элемент, не совпадающий с а. Из леммы 1 и следствия из леммы 8 вытекает, что тогда алгебра (A, f р) не является подпрямо неразложимой.

В несвязном случае рассуждаем, как при доказательстве необходимого условия теоремы 1, учитывая при этом леммы 1 и 2.

Автор выражает глубокую благодарность В.А.Артамонову и В.К.Карташову за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.