О полиномах Магарам
Автор: Кусраева Залина Анатольевна, Тасоев Батрадз Ботазович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.14, 2012 года.
Бесплатный доступ
Установлен вариант теоремы Радона --- Никодима и обоснована конструкция магарамова расширения для положительных ортогонально аддитивных полиномов в векторных решетках.
Степень векторной решетки, ортогонально аддитивный полином, полином магарам, магарамово расширение, теорема радона --- никодима
Короткий адрес: https://sciup.org/14318399
IDR: 14318399
Текст научной статьи О полиномах Магарам
В последние годы значительный интерес вызывают порядковые свойства полиномов в векторных решетках, см., например, [3, 7, 5, 11, 14, 15, 20]. Наибольший прогресс достигнут в изучении класса ортогонально аддитивных полиномов. В частности, в [3] получено представление однородных полиномов в виде композиции положительного оператора и специального однородного полинома степенного вида. Этот же результат переоткрыт в [11]. Представление указанного вида фактически сводит исследование положительных ортогонально аддитивных однородных полиномов к изучению линейных положительных операторов в векторных решетках и степенного отображения в f -алгебрах.
В цикле работ Д. Магарам построена теория положительных операторов, см. обзор [18]. В частности, в [19] введены порядково непрерывные операторы в пространствах измеримых функций, сохраняющие порядковые отрезки, которые ныне принято называть операторами Магарам. В работе [17] часть теории Магарам была распространена на линейные положительные операторы в K -пространствах и, в частности, была установлена теорема типа Радона — Никодима для этого класса операторов. В [1] предложена конструкция магарамова расширения, позволяющая произвольный линейный положительный оператор расширить до оператора Магарам (подробности в [2]; см. также [16]).
Цель настоящей заметки — получить вариант теоремы Радона — Никодима и обосновать конструкцию магарамова расширения для однородных положительных ортогонально аддитивных полиномов. Необходимые сведения о векторных решетках и положительных операторах имеются в книгах [2, 4].
-
© 2012 Кусраева З. А., Тасоев Б. Б.
-
2. Степень векторной решетки
Напомним понятие степени векторной решетки, см. [6, 8].
Определение 1. Пусть 2 6 s Е N и E — архимедова векторная решетка. Пара (E s ® , 0 s ) называется s-ой степенью E, если выполнены следующие условия:
-
1) E s ® — архимедова векторная решетка;
-
2) 0 s : E s ^ E s ® — ортосимметричный решеточный s-морфизм, называемый каноническим полиморфизмом или каноническим s -морфизмомом степени s;
-
3) для любой архимедовой векторной решетки F и любого ортосимметричного решеточного s-морфизма у : E s ^ F существует единственный решеточный гомоморфизм S : E s ® ^ F такой, что S о 0 s = у.
Это определение введено в [6]. Там же установлено, что для любой архимедовой векторной решетки E и любого натурального 2 6 s Е N существует единственная с точностью до решеточного изомофизма s-ая степень (E s ' , 0 s ). Для удобства полагают также E 1 ® = E и 0 1 = I e . Обозначим символом i := i s отображение x ^ x 0 | x | 0 ... 0 | x | .
Ниже потребуются следующие полезные свойства степени векторной решетки. Выражения вида (x s + y s ) s и | x s — y s | s понимаются в смысле однородного функционального исчисления [9, 13], т. е. для элементов x и y равномерно полной векторной решетки полагают
(xs + ys) s := y(x, y), |xs — ys|s := ^(x, y), где у, ^ : Rs ^ R — положительно однородные непрерывные функции, определяемые формулами: у(а, в) := (as + вs)1/s, ^(а, в) := |as — вs|1/s и as := |a|s sgn(a).
Лемма 1. Если векторная решетка E равномерно полна, то i = i s — нелинейный ортогонально аддитивный порядковый изоморфизм из E на E s ® , сохраняющий модуль ( = | i(x) | = i( | x | )) и умножение на — 1 ( = i( — x) = — i(x)) . Более того,
i((x s + y s ) s ) = i(x) + i(y) (x,y Е E).
C См. [12, теорема 3.1]. B
Лемма 2. Пусть E — равномерно полная векторная решетка и 1 6 s Е N . Для каждого т Е Orth “ (E) оператор Т:= i о т о i 1 является ортоморфизмом из Orth ^ (E s ® ) , причем D (т) = i( D (т)) , где D (т) С E — область определения т. Отображение т ^ т является изоморфизмом упорядоченных множеств Orth “ (E) и Orth “ (E s ® ) .
C Здесь можно провести те же соображения, что и в [12, теорема 3.4]. B
Замечание 1. Отображение т ^ т из леммы 2 осуществляет также изоморфизм f -алгебры Orth ^ (E) s ® на f -алгебру Orth ^ (E s ® ).
Лемма 3. Пусть F — равномерно полная векторная решетка 1 6 s Е N . Тогда существует единственная с точность до решеточного изоморфизма равномерно полная векторная решетка F ° такая, что F есть s-ая степень F ° , т. е. (F ° ) s ® = F.
C Доказательство проводится аналогично [12, теорема 3.3]. B
Лемма 4. Пусть E, F, F° и s — те же, что и в леммах 2 и 3. Для любого инъективного решеточного гомоморфизма h : Es® ^ F существует инъективный решеточный гомоморфизм j : E ^ F° такой, что h(xi 0 ... 0 xs) = j (xi)0 . ..0 j(xs) (xi, ...,xs Е E), где 0 : Es ^ Es® и 0 : F° ^ F = (F°)s® — канонические s-морфизмы.
C См. [8, предложение 2.4]. B
-
3. Ортогонально аддитивные полиномы
Введем основной объект данной статьи — однородный полином. Подробно о полиномах см. [10]. Всюду ниже E и F — архимедовы векторные решетки и 1 6 s Е N .
Определение 2. Отображение P : E ^ F называется однородным полиномом степени s (или s-однородным полиномом), если существует s-линейный оператор у : E s ^ F , такой что
P (x) = ^(x, ..., x) (x Е E ).
Полином P называют положительным, если ^(x i ,..., x s ) > 0 для всех x i , ...,x s Е E + , и регулярным, если он представим в виде разности двух положительных полиномов.
Определение 3. Однородный полином P называют ортогонально аддитивным , если для любых x,y Е E выполняется
| x | Л | у | 0 ^ P (x + у) = P (x) + P (у).
Обозначим символом Р ОГ ( s E,F ) множество всех регулярных ортогонально аддитивных полиномов из E в F , упорядоченное конусом всех положительных полиномов. Если векторная решетка F порядково полна, то Р О(SE,F ) — K -пространство.
Примером s -однородного ортогонально аддитивного положительного полинома служит канонический полином x ^ x s ® := x 0 ... 0 x (x Е E), где 0 — канонический s-морфизм степени E s ® . В [3, теорема 3] установлено, что при не очень обременительных условиях любой регулярный s-однородный ортогонально аддитивный полином допускает представление в виде композиции линейного регулярного оператора и канонического полинома.
Теорема 1. Пусть E и F — равномерно полные векторные решетки. Тогда для любого ортогонально аддитивного регулярного s-однородного полинома P : E ^ F существует единственный линейный регулярный оператор S : = S p : E s ® ^ F такой, что
P (x) = S(x s ® ) (x Е E). (1)
Более того, отображение P ^ S p есть решеточный изоморфизм РТ О ( s E, F ) на L r (E s ® , F ) .
Определение 4. Пусть E и F — векторные решетки, а P : E ^ F — положительный ортогонально аддитивный полином. Говорят, что P сохраняет порядковые отрезки или обладает свойством Магарам, если для любых x Е E + и 0 6 f 6 P (x) Е F + существует 0 6 e 6 x такой, что f = Pe или, короче, P ([0, x]) = [0,Px]. Полином P называют полиномом Магарам , если он порядково непрерывен и обладает свойством Магарам.
-
4. Теорема Радона — Никодима
В доказательстве теоремы Радона — Никодима для полиномов нам понадобится следующий вспомогательный факт.
Лемма 5. Пусть E и F — некоторые K-пространства и P : E ^ F положительный ортогонально аддитивный полином, причем P (x) = S (x s ® ) (x Е E ) для некоторого линейного положительного оператора S : E s ® ^ F. Тогда P является полиномом Магарам в том и только в том случае, когда S также является оператором Магарам.
C Предположим сначала, что S[0, u] = [0, S(u)] для любого 0 6 u Е Es®. Возьмем такие x Е E+ и f Е F+, что f 6 P(x) = S(xs®). В силу нашего предположения существует v 6 xs® такой, что S(v) = f. Если взять y := i-1 (v), то 0 6 у 6 x, v = ys® и, стало быть, f = S(v) = S(ys®) = P(y). Наоборот, если P сохраняет порядковые отрезки и f 6 S(u) для некоторого u Е Es®, то для x:= i-1(u) имеем u = xs®, f 6 S(u) = P(x), а значит, существует 0 6 y 6 x, для которого f = P(y). Положив v := i(y), приходим к требуемому: 0 6 v 6 u и f = S(v).
Далее заметим, что отображение x ^ x s ® порядково непрерывно (ср. [12, предложение 3.2 (3)]), поэтому из порядковой непрерывности S вытекает порядковая непрерывность P . В то же время, если P порядково непрерывен и u a ^ 0, u a Е E s ® , то x a := l -1 (u a ) I 0 и S(u a ) = P (x a ) I 0. B
Теорема 2 (Теорема Радона — Никодима для ортогонально аддитивных полиномов) . Пусть E и G — некоторые K -пространства, а P и Q — положительные s -однородные ортогонально аддитивные полиномы из E в G . Если Q — полином Магарам, то эквивалентны следующие утверждения:
-
(1) P Е { Q}^ ;
-
(2) P (x) Е { Q(x) } ±± для всех x Е E;
-
(3) существует ортоморфизм 0 6 p Е Orth “ (E) такой, что
- P(x) = Q(px) (x Е D(p));
-
(4) существует возрастающая последовательность положительных ортоморфиз мов (p n ) , p n Е Orth(E) + , такая, что имеет место представление:
-
5. Магарамово расширение положительного полинома
P (x) = sup Q(p n x) (x Е E + ). n
C Нужно лишь показать, что каждое из утверждений (1)–(4) эквивалентно соответствующему утверждению из теоремы Люксембурга — Шэпа, см. [2, теоремы 3.4.9]. В силу теоремы 1 существуют линейные положительные операторы S, T : E s ® ^ F такие, что P (x) = S(x s ® ) и Q(x) = T (x s ® ) для всех x Е X. По лемме 5 T — оператор Магарам и S Е { T } х± . В соответствии с теоремой Люксембурга — Шэпа мы можем подобрать такой ортоморфизм 0 6 p Е Orth “ (E s ® ), что S (x) = T (px) (x Е D (/>)). Ввиду леммы 2 найдется 0 6 p Е Orth ^ (E), для которого p = p. Из всего сказанного видно, что для любого 0 6 x Е D (p) = i( D (p)) справедлива цепочка равенств:
P (x) = S (x s ® ) = T (px s ® ) = T (i о p о i -1 i(x)) = T((px)s® ) = Q(px).
Для произвольного x Е D (p~), учитывая ортогональную аддитивность Q имеем P (x) = P (x + ) + ( — 1) s P (x - ) = Q(px + ) + ( — 1) s Q(px - ) = Q(px + — px - ) = Q(px). Ясно также, что если P | d (p) = Q о p, P Е { Q } ±± . Таким образом доказана эквивалентность (1) и (3). Остальные эквивалентности доказываются аналогично с помощью привлечения соответствующих пунктов из теоремы Люксембурга — Шэпа и лемм 2 и 3. B
Применим теперь тот же прием, что и в предыдущем параграфе, к конструкции магарамова расширения однородного положительного полинома.
Теорема 3 (О магарамовом расширении положительного ортогонально аддитивного полинома). Пусть E — равномерно полная векторная решетка, F — произвольное K-пространство и P : E ^ F — существенно положительный ортогонально аддитивный s-однородный полином. Тогда существуют единственное с точностью до решеточного изоморфизма K -пространство E, инъективный решеточный гомоморфизм j из E в E и существенно положительный ортогонально аддитивный s-однородный полином Магарам P : E ^ F, удовлетворяющие следующим условиям:
-
(1) порядковый идеал в E, порожденный множеством j(E ) , совпадает с E;
-
(2) существует o-непрерывный булев гомоморфизм т : P(F) ^ P(E) такой, что
- пP(x) = P(т(п)jx) (x Е E, п Е P(F));
-
(3) j (E) плотна в E в том смысле, что для любых z Е E и 0 < Е Е R существуют z e Е E, разбиение (п ^ ) ^е= С P(F) проектора [P ( | z | )] Е P(F) и семейство (x ^ ) ^е= С E такие, что
- ze = o-X т(п^)j00)> P(|zs - zs|1/s) 6 eP(|z|)-
- §GE
-
<1 Вновь воспользуемся представлением (1): P (x) = S (x s ® ) (x Е E), где S : E s ® ^ F — существенно положительный линейный оператор. Применим процедур у м агарамова расширения к оператору S (см. [2, §3.5]): существуют K -пространство E s ® , инъективный решеточный гомоморфизм h : E s ® ^ E s ® и существенно положительный оператор Ма-гарам S : E s ® ^ F , удовлетворяющие равенству
S (u) = S о h(u) (u Е E s ® ). (2)
Согласно лемме 3, с у щест вуе т единственная с точностью до решет очн ого изоморфизма векторная решетка E := (E s ® ) ° , s-ая степень которой совпадает с E s ® ; символически, (E) s ® = E s ® . Поэтому решетки (E) s ® и E s ® отождествляются и можем считать, что оператор S определен на (E) s ® и h действует из E s ® в E s ® . Как уже отмечалось в [12, предложение 3.2 (1)] векторн а я решетка и ее s -ая степень порядково полны или нет одновременно, следовательно, E — K -пространство. Положим по определению
P (x): = S (x s ® ) (x Е E ). (3)
Из [12, предложение 4.4 (4)] видно, что отображение P : E ^ F является существенно положительным ортогонально аддитивным s -однородным полиномом Магарам.
В силу леммы 4 существует инъективный решеточный гомоморфизм j : E ^ E, для которого выполняются соотношения h о । = । о j, h(xs®) = (jx)s® (x Е E).(4)
Напомним также следующее свойс т во оператора Магарам: существует o -непрерывный булев гомоморфизм n : P(F) ^ P(E s ® ), для которого (см. [2, теорема 3.5.2]):
nS(u) = S(n(n)u) (u Е Es®, п Е P(F)).(5)
Кроме того, существует изоморфизм v из P((E)s®) на P(E) такой, что п о । = । о v(п), n(xs®) = (v(n)x)s® (п Е P(Es®), x Е E^).(6)
Очевидно, что т := v о n — o-непрерывный булев гомоморфизм из P(E) в P(E). Следовательно, учитывая формулы (1)-(6), для произвольного п Е P(F) выводим:
P (т(п)j(x)) - S ( (т (п)j (x)) s ® ) - S о n (п) ( j (x) s ® )
= (пS о h)(x s ® ) = пS(j (x) s ® ) ( = (пS)(x s ® ) = пP(x).
Утверждение 3 (2) следует из того, что E s 0 есть идеал, порожденный множеством h(E s 0 ) [2, §3.5]. В самом деле, отображение i : E ^ E s 0 устанавливает взаимнооднозначное соответствие между идеалами (полосами) в E и E s 0 . Очевидно, что т : = v ◦ п — булев изоморфизмом из P(F) в P(E). Следовательно, множества j (E) и j(E) s 0 = h(E s 0 ) порождают один и тот же идеал.
Покажем плотность E в указанном смысле. Пусть z Е E и е > 0. Тогда i(z) G Es0 и в силу [2, §3.5.1], [2, §3.5.2] существуют ие Е E80, разбиение (п^)ge= С P(F) проектора [P(|z|)] Е P(F) и семейство (х^)^е= С E такие, что ие = о-^2п(п^)h(ix§)), S(|iz - ue|) 6 eS(|iz|). (7)
§ G E
Обозначим через ze : = i-1 (ue) Е E. Тогда, привлекая (4), (6) и (7), убеждаемся, что т(п)ze (=) (|-1п(п§)i)i-1(ue) = i-1 п(п^)h(ix^) = (i-1 п(п^)i)j(x£) - т(п)j(х5)
для всех £ Е Е и, стало быть, z e совпадает с порядковой суммой семейства (т(п )j(x ^ )) ^ е = . Далее, | iz — iz e | = | iz + i( - z e ) | = i( | z s — z | | 1/s ) в силу леммы 1 и, следовательно, P ( | z s — z | | 1/s ) = (S ◦ i)( | z s — z | | 1/s ) = S( | iz — iz e | ) 6 eS ( | iz | ) = eP ( | z | ) . Единственность E следует из утверждения 3(3). >
Лемма 6. Пусть E, E, F, P, P и j — те же, что и в теореме 1 . Для каждого полинома Q Е { P }^ существует единственный полином Q Е { P }^ такой, что Q(x) = Q(jx) для в с ех x ∈ E. Соответствие Q 7→ Q осуществляет изоморфизм K -пространств { P } ⊥⊥ и { P } ⊥⊥ .
-
<1 Пусть P (х) = S (x s 0 ) (х Е E). Полоса { P }^ в P O ( s E, F) решеточно изоморфна полосе { S } ±± в L r (E, F) по теореме 1. В силу [2, теорема 3.5.4] полоса { S } ±± решеточно изоморфна полосе { S } ^^ в U(E s 0 , F ). И вновь по теореме 1 полосы { S } ^^ и { P } ⊥⊥ также изоморфны. Ко м позиция трех указанных изоморфизмов и есть искомый изоморфизм полос { P }^ и { P }^ . >
Теорема 4. Пусть E, E, F, P, P и j — те же, что и в теореме 1 . Для любого полинома Q Е P O ( s E, F ) равносильны следующие утверждения:
-
(1) Q ∈ { P } ⊥⊥ ;
-
(2) существует единственный ортоморфизм р Е Orth ro (E) такой, что Q(x) = P (p(jx)) (х Е j -1 ( D (р))); _
-
(3) существует последовательность ортоморфизмов (p n ) в Orth(E) такая, что Q(x) = sup n P(p n (jx')') для всех х Е E + .
< Следует из леммы 6 и теорем 2 и 3. >
Замечание 2. Теоремы 1 и 2 получены Кусраевой З. А., а теоремы 3 и 4 — Тасое-вым Б. Б.
Авторы выражают искреннюю благодарность рецензенту за критические замечания, повлекшие за собой значительное улучшение первоначального варианта заметки.
Список литературы О полиномах Магарам
- Акилов Г. П., Колесников Е. В., Кусраев А. Г. Порядково непрерывное расширение положительного оператора//Сиб. мат. журн.-1988.-Т. 29, № 5.-С. 24-55.
- Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.-М.: Наука, 2003.-619 с.
- Кусраева З. А. О представлении ортогонально аддитивных полиномов//Сиб. мат. журн.-2011.-Т. 52, № 2.-С. 315-325.
- Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators.-London: Acad. Press Inc., 1985.-xvi+367 p.
- Benyamini Y., Lassalle S., Llavona J. G. Homogeneous orthogonally additive polynomials on Banach lattices//Bull. London Math. Soc.-2006.-Vol. 38, № 3.-P. 459-469.
- Boulabier K., Buskes G. Vector lattice powers: f-algebras and functional calculus//Communication in Algebra.-2006.-Vol. 34.-P. 1435-1442.
- Bu Q., Buskes G. Polynomials on Banach lattices and positive tensor products spaces//J. Math. Anal. Appl.-2012.-Vol. 388.-P. 845-862.
- Buskes G., Kusraev A. G. Representation and extension of orthoregular bilinear operators//Vladikavkaz Math. J.-2007.-Vol. 9, № 1.-P. 16-29. %9
- Buskes G., de Pagter B., van Rooij A. Functional calculus in Riesz spaces//Indag. Math. (N.S.).-1991.-Vol. 4, № 2.-P. 423-436.
- Dineen S. Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces.-Berlin: Springer, 1999.-543 p.
- Ibort A., Linares P., Llavona J. G. A Representation Theorem for Orthogonally Additive Polynomials on Riesz Spaces.-2012.-arXiv:1203.2379vl.
- Kusraev A. G. A Radon-Nikodym type theorem for orthosymmetric bilinear operators//Positivity.-2010.-Vol. 14, № 2.-P. 225-238.
- Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces. Vol. 2. Function Spaces.-Berlin etc.: Springer-Verlag, 1979.-243 p.
- Linares P. Orthogonal additive polynomials and applications//PhD. Departamento de Analisis Matematico. Universidad Complutense de Madrid.-2009.-105 p.
- Loan J. Polynomials on Riesz spaces//J. Math. Anal. and Appl.-2010.-Vol. 364.-P. 71-78.
- Luxemburg W. A. J., de Pagter B. Maharam extension of positive operators and f-algebras//Positivity.-2001.-Vol. 6, № 2.-P. 147-190.
- Luxemburg W. A. J., Schep A. A Radon-Nikodym type theorem for positive operators and a dual//~Indag. Math.-1978.-Vol. 10.-P. 357-375.
- Maharam D. On positive operators//Contemporary Math.-1984.-Vol. 26.-P. 263-277.
- Maharam D. The representation of abstract integrals//Trans. Amer. Math. Soc.-1953.-Vol. 75, № 1.-P. 154-184.
- Perez-Garcia D., Villanueva I. Orthogonally additive polynomials on spaces of continuous functions//J. Math. Anal. Appl.-2005.-Vol. 306, № 1.-P. 97-105.