О полиномах Магарам

В последние годы значительный интерес вызывают порядковые свойства полиномов в векторных решетках, см., например, [3, 7, 5, 11, 14, 15, 20]. Наибольший прогресс достигнут в изучении класса ортогонально аддитивных полиномов. В частности, в [3] получено представление однородных полиномов в виде композиции положительного оператора и специального однородного полинома степенного вида. Этот же результат переоткрыт в [11]. Представление указанного вида фактически сводит исследование положительных ортогонально аддитивных однородных полиномов к изучению линейных положительных операторов в векторных решетках и степенного отображения в f -алгебрах.

В цикле работ Д. Магарам построена теория положительных операторов, см. обзор [18]. В частности, в [19] введены порядково непрерывные операторы в пространствах измеримых функций, сохраняющие порядковые отрезки, которые ныне принято называть операторами Магарам. В работе [17] часть теории Магарам была распространена на линейные положительные операторы в K -пространствах и, в частности, была установлена теорема типа Радона — Никодима для этого класса операторов. В [1] предложена конструкция магарамова расширения, позволяющая произвольный линейный положительный оператор расширить до оператора Магарам (подробности в [2]; см. также [16]).

Цель настоящей заметки — получить вариант теоремы Радона — Никодима и обосновать конструкцию магарамова расширения для однородных положительных ортогонально аддитивных полиномов. Необходимые сведения о векторных решетках и положительных операторах имеются в книгах [2, 4].

• © 2012 Кусраева З. А., Тасоев Б. Б.

• 2.    Степень векторной решетки

Напомним понятие степени векторной решетки, см. [6, 8].

Определение 1. Пусть 2 6 s Е N и E — архимедова векторная решетка. Пара (E s ® , 0 s ) называется s-ой степенью E, если выполнены следующие условия:

• 1)    E s ® — архимедова векторная решетка;

• 2)    0 s : E s ^ E s ® — ортосимметричный решеточный s-морфизм, называемый каноническим полиморфизмом или каноническим s -морфизмомом степени s;

• 3)    для любой архимедовой векторной решетки F и любого ортосимметричного решеточного s-морфизма у : E ^s ^ F существует единственный решеточный гомоморфизм S : E ^s ® ^ F такой, что S о 0 s = у.

Это определение введено в [6]. Там же установлено, что для любой архимедовой векторной решетки E и любого натурального 2 6 s Е N существует единственная с точностью до решеточного изомофизма s-ая степень (E s ' , 0 s ). Для удобства полагают также E 1 ® = E и 0 1 = I e . Обозначим символом i := i s отображение x ^ x 0 | x | 0 ... 0 | x | .

Ниже потребуются следующие полезные свойства степени векторной решетки. Выражения вида (x ^s + y s ) s и | x ^s — y ^s | s понимаются в смысле однородного функционального исчисления [9, 13], т. е. для элементов x и y равномерно полной векторной решетки полагают

(xs + ys) s := y(x, y), |xs — ys|s := ^(x, y), где у, ^ : Rs ^ R — положительно однородные непрерывные функции, определяемые формулами: у(а, в) := (as + вs)1/s, ^(а, в) := |as — вs|1/s и as := |a|s sgn(a).

Лемма 1. Если векторная решетка E равномерно полна, то i = i _s — нелинейный ортогонально аддитивный порядковый изоморфизм из E на E ^s ® , сохраняющий модуль ( = | i(x) | = i( | x | )) и умножение на — 1 ( = i( — x) = — i(x)) . Более того,

i((x s + y s ) s ) = i(x) + i(y) (x,y Е E).

C См. [12, теорема 3.1]. B

Лемма 2. Пусть E — равномерно полная векторная решетка и 1 6 s Е N . Для каждого т Е Orth “ (E) оператор Т:= i о т о i ¹ является ортоморфизмом из Orth ^ (E s ® ) , причем D (т) = i( D (т)) , где D (т) С E — область определения т. Отображение т ^ т является изоморфизмом упорядоченных множеств Orth “ (E) и Orth “ (E s ® ) .

C Здесь можно провести те же соображения, что и в [12, теорема 3.4]. B

Замечание 1. Отображение т ^ т из леммы 2 осуществляет также изоморфизм f -алгебры Orth ^ (E) ^s ® на f -алгебру Orth ^ (E ^s ® ).

Лемма 3. Пусть F — равномерно полная векторная решетка 1 6 s Е N . Тогда существует единственная с точность до решеточного изоморфизма равномерно полная векторная решетка F ° такая, что F есть s-ая степень F ° , т. е. (F ° ) ^s ® = F.

C Доказательство проводится аналогично [12, теорема 3.3]. B

Лемма 4. Пусть E, F, F° и s — те же, что и в леммах 2 и 3. Для любого инъективного решеточного гомоморфизма h : Es® ^ F существует инъективный решеточный гомоморфизм j : E ^ F° такой, что h(xi 0 ... 0 xs) = j (xi)0 . ..0 j(xs) (xi, ...,xs Е E), где 0 : Es ^ Es® и 0 : F° ^ F = (F°)s® — канонические s-морфизмы.

C См. [8, предложение 2.4]. B

• 3.    Ортогонально аддитивные полиномы

Введем основной объект данной статьи — однородный полином. Подробно о полиномах см. [10]. Всюду ниже E и F — архимедовы векторные решетки и 1 6 s Е N .

Определение 2. Отображение P : E ^ F называется однородным полиномом степени s (или s-однородным полиномом), если существует s-линейный оператор у : E ^s ^ F , такой что

P (x) = ^(x, ..., x) (x Е E ).

Полином P называют положительным, если ^(x i ,..., x s ) > 0 для всех x i , ...,x _s Е E ₊ , и регулярным, если он представим в виде разности двух положительных полиномов.

Определение 3. Однородный полином P называют ортогонально аддитивным , если для любых x,y Е E выполняется

| x | Л | у | 0     ^ P (x + у) = P (x) + P (у).

Обозначим символом Р ОГ ( ^s E,F ) множество всех регулярных ортогонально аддитивных полиномов из E в F , упорядоченное конусом всех положительных полиномов. Если векторная решетка F порядково полна, то Р О(^SE,F ) — K -пространство.

Примером s -однородного ортогонально аддитивного положительного полинома служит канонический полином x ^ x s ® := x 0 ... 0 x (x Е E), где 0 — канонический s-морфизм степени E ^s ® . В [3, теорема 3] установлено, что при не очень обременительных условиях любой регулярный s-однородный ортогонально аддитивный полином допускает представление в виде композиции линейного регулярного оператора и канонического полинома.

Теорема 1. Пусть E и F — равномерно полные векторные решетки. Тогда для любого ортогонально аддитивного регулярного s-однородного полинома P : E ^ F существует единственный линейный регулярный оператор S : = S p : E ^s ® ^ F такой, что

P (x) = S(x ^s ® ) (x Е E).                                  (1)

Более того, отображение P ^ S p есть решеточный изоморфизм Р^Т _О ( ^s E, F ) на L ^r (E ^s ® , F ) .

Определение 4. Пусть E и F — векторные решетки, а P : E ^ F — положительный ортогонально аддитивный полином. Говорят, что P сохраняет порядковые отрезки или обладает свойством Магарам, если для любых x Е E ₊ и 0 6 f 6 P (x) Е F + существует 0 6 e 6 x такой, что f = Pe или, короче, P ([0, x]) = [0,Px]. Полином P называют полиномом Магарам , если он порядково непрерывен и обладает свойством Магарам.

• 4.    Теорема Радона — Никодима

В доказательстве теоремы Радона — Никодима для полиномов нам понадобится следующий вспомогательный факт.

Лемма 5. Пусть E и F — некоторые K-пространства и P : E ^ F положительный ортогонально аддитивный полином, причем P (x) = S (x s ® ) (x Е E ) для некоторого линейного положительного оператора S : E ^s ® ^ F. Тогда P является полиномом Магарам в том и только в том случае, когда S также является оператором Магарам.

C Предположим сначала, что S[0, u] = [0, S(u)] для любого 0 6 u Е Es®. Возьмем такие x Е E+ и f Е F+, что f 6 P(x) = S(xs®). В силу нашего предположения существует v 6 xs® такой, что S(v) = f. Если взять y := i-1 (v), то 0 6 у 6 x, v = ys® и, стало быть, f = S(v) = S(ys®) = P(y). Наоборот, если P сохраняет порядковые отрезки и f 6 S(u) для некоторого u Е Es®, то для x:= i-1(u) имеем u = xs®, f 6 S(u) = P(x), а значит, существует 0 6 y 6 x, для которого f = P(y). Положив v := i(y), приходим к требуемому: 0 6 v 6 u и f = S(v).

Далее заметим, что отображение x ^ x s ® порядково непрерывно (ср. [12, предложение 3.2 (3)]), поэтому из порядковой непрерывности S вытекает порядковая непрерывность P . В то же время, если P порядково непрерывен и u _a ^ 0, u _a Е E ^s ® , то x a := l ^-1 (u a ) I 0 и S(u a ) = P (x a ) I 0. B

Теорема 2 (Теорема Радона — Никодима для ортогонально аддитивных полиномов) . Пусть E и G — некоторые K -пространства, а P и Q — положительные s -однородные ортогонально аддитивные полиномы из E в G . Если Q — полином Магарам, то эквивалентны следующие утверждения:

• (1)    P Е { Q}^ ;

• (2)    P (x) Е { Q(x) } ^±± для всех x Е E;

• (3)    существует ортоморфизм 0 6 p Е Orth “ (E) такой, что

• P(x) = Q(px) (x Е D(p));

• (4)    существует возрастающая последовательность положительных ортоморфиз мов (p n ) , p n Е Orth(E) ₊ , такая, что имеет место представление:

• 5.    Магарамово расширение положительного полинома

P (x) = sup Q(p n x) (x Е E + ). n

C Нужно лишь показать, что каждое из утверждений (1)–(4) эквивалентно соответствующему утверждению из теоремы Люксембурга — Шэпа, см. [2, теоремы 3.4.9]. В силу теоремы 1 существуют линейные положительные операторы S, T : E ^s ® ^ F такие, что P (x) = S(x s ® ) и Q(x) = T (x s ® ) для всех x Е X. По лемме 5 T — оператор Магарам и S Е { T } ^х± . В соответствии с теоремой Люксембурга — Шэпа мы можем подобрать такой ортоморфизм 0 6 p Е Orth “ (E ^s ® ), что S (x) = T (px) (x Е D (/>)). Ввиду леммы 2 найдется 0 6 p Е Orth ^ (E), для которого p = p. Из всего сказанного видно, что для любого 0 6 x Е D (p) = i( D (p)) справедлива цепочка равенств:

P (x) = S (x s ® ) = T (px s ® ) = T (i о p о i ^-1 i(x)) = T((px)^s® ) = Q(px).

Для произвольного x Е D (p~), учитывая ортогональную аддитивность Q имеем P (x) = P (x ⁺ ) + ( — 1) ^s P (x ^- ) = Q(px ⁺ ) + ( — 1) ^s Q(px ^- ) = Q(px ⁺ — px ^- ) = Q(px). Ясно также, что если P | d (_p) = Q о p, P Е { Q } ^±± . Таким образом доказана эквивалентность (1) и (3). Остальные эквивалентности доказываются аналогично с помощью привлечения соответствующих пунктов из теоремы Люксембурга — Шэпа и лемм 2 и 3. B

Применим теперь тот же прием, что и в предыдущем параграфе, к конструкции магарамова расширения однородного положительного полинома.

Теорема 3 (О магарамовом расширении положительного ортогонально аддитивного полинома). Пусть E — равномерно полная векторная решетка, F — произвольное K-пространство и P : E ^ F — существенно положительный ортогонально аддитивный s-однородный полином. Тогда существуют единственное с точностью до решеточного изоморфизма K -пространство E, инъективный решеточный гомоморфизм j из E в E и существенно положительный ортогонально аддитивный s-однородный полином Магарам P : E ^ F, удовлетворяющие следующим условиям:

• (1)    порядковый идеал в E, порожденный множеством j(E ) , совпадает с E;

• (2)    существует o-непрерывный булев гомоморфизм т : P(F) ^ P(E) такой, что

• пP(x) = P(т(п)jx) (x Е E, п Е P(F));

• (3)    j (E) плотна в E в том смысле, что для любых z Е E и 0 < Е Е R существуют z _e Е E, разбиение (п ^ ) ^_е= С P(F) проектора [P ( | z | )] Е P(F) и семейство (x ^ ) ^_е= С E такие, что

• ze = o-X т(п^)j00)> P(|zs - zs|1/s) 6 eP(|z|)-
• §GE

• <1    Вновь воспользуемся представлением (1): P (x) = S (x ^s ® ) (x Е E), где S : E ^s ® ^ F — существенно положительный линейный оператор. Применим процедур у м агарамова расширения к оператору S (см. [2, §3.5]): существуют K -пространство E ^s ® , инъективный решеточный гомоморфизм h : E ^s ® ^ E ^s ® и существенно положительный оператор Ма-гарам S : E ^s ® ^ F , удовлетворяющие равенству

S (u) = S о h(u) (u Е E ^s ® ).                                (2)

Согласно лемме 3, с у щест вуе т единственная с точностью до решет очн ого изоморфизма векторная решетка E := (E ^s ® ) ° , s-ая степень которой совпадает с E ^s ® ; символически, (E) ^s ® = E ^s ® . Поэтому решетки (E) ^s ® и E ^s ® отождествляются и можем считать, что оператор S определен на (E) ^s ® и h действует из E ^s ® в E s ® . Как уже отмечалось в [12, предложение 3.2 (1)] векторн а я решетка и ее s -ая степень порядково полны или нет одновременно, следовательно, E — K -пространство. Положим по определению

P (x): = S (x s ® ) (x Е E ).                                 (3)

Из [12, предложение 4.4 (4)] видно, что отображение P : E ^ F является существенно положительным ортогонально аддитивным s -однородным полиномом Магарам.

В силу леммы 4 существует инъективный решеточный гомоморфизм j : E ^ E, для которого выполняются соотношения h о । = । о j, h(xs®) = (jx)s® (x Е E).(4)

Напомним также следующее свойс т во оператора Магарам: существует o -непрерывный булев гомоморфизм n : P(F) ^ P(E s ® ), для которого (см. [2, теорема 3.5.2]):

nS(u) = S(n(n)u) (u Е Es®, п Е P(F)).(5)

Кроме того, существует изоморфизм v из P((E)s®) на P(E) такой, что п о । = । о v(п), n(xs®) = (v(n)x)s® (п Е P(Es®), x Е E^).(6)

Очевидно, что т := v о n — o-непрерывный булев гомоморфизм из P(E) в P(E). Следовательно, учитывая формулы (1)-(6), для произвольного п Е P(F) выводим:

^{P (т(п)j(x))} - ^S ( ^{(т (п)j (x))} s ® ) - ^{S о} n ^(п) ( ^{j (x)} s ® )

= (пS о h)(x ^s ® ) = пS(j (x) ^s ® ) ( = (пS)(x ^s ® ) = пP(x).

Утверждение 3 (2) следует из того, что E s ⁰ есть идеал, порожденный множеством h(E s ⁰ ) [2, §3.5]. В самом деле, отображение i : E ^ E s ⁰ устанавливает взаимнооднозначное соответствие между идеалами (полосами) в E и E s ⁰ . Очевидно, что т : = v ◦ п — булев изоморфизмом из P(F) в P(E). Следовательно, множества j (E) и j(E) s ⁰ = h(E s ⁰ ) порождают один и тот же идеал.

Покажем плотность E в указанном смысле. Пусть z Е E и е > 0. Тогда i(z) G Es0 и в силу [2, §3.5.1], [2, §3.5.2] существуют ие Е E80, разбиение (п^)ge= С P(F) проектора [P(|z|)] Е P(F) и семейство (х^)^е= С E такие, что ие = о-^2п(п^)h(ix§)), S(|iz - ue|) 6 eS(|iz|).                       (7)

§ G E

Обозначим через ze : = i-1 (ue) Е E. Тогда, привлекая (4), (6) и (7), убеждаемся, что т(п)ze (=) (|-1п(п§)i)i-1(ue) = i-1 п(п^)h(ix^) = (i-1 п(п^)i)j(x£) - т(п)j(х5)

для всех £ Е Е и, стало быть, z _e совпадает с порядковой суммой семейства (т(п )j(x ^ )) ^ е = . Далее, | iz — iz _e | = | iz + i( - z _e ) | = i( | z ^s — z | | ^1/s ) в силу леммы 1 и, следовательно, P ( | z ^s — z | | ^1/s ) = (S ◦ i)( | z ^s — z | | ^1/s ) = S( | iz — iz _e | ) 6 eS ( | iz | ) = eP ( | z | ) . Единственность E следует из утверждения 3(3). >

Лемма 6. Пусть E, E, F, P, P и j — те же, что и в теореме 1 . Для каждого полинома Q Е { P }^ существует единственный полином Q Е { P }^ такой, что Q(x) = Q(jx) для в с ех x ∈ E. Соответствие Q 7→ Q осуществляет изоморфизм K -пространств { P } ^⊥⊥ и { P } ^⊥⊥ .

• <1    Пусть P (х) = S (x ^{s 0} ) (х Е E). Полоса { P }^ в P O ( ^s E, F) решеточно изоморфна полосе { S } ^±± в L ^r (E, F) по теореме 1. В силу [2, теорема 3.5.4] полоса { S } ^±± решеточно изоморфна полосе { S } ^^ в U(E s ⁰ , F ). И вновь по теореме 1 полосы { S } ^^ и { P } ^⊥⊥ также изоморфны. Ко м позиция трех указанных изоморфизмов и есть искомый изоморфизм полос { P }^ и { P }^ . >

Теорема 4. Пусть E, E, F, P, P и j — те же, что и в теореме 1 . Для любого полинома Q Е P O ( s E, F ) равносильны следующие утверждения:

• (1)    Q ∈ { P } ^⊥⊥ ;

• (2)    существует единственный ортоморфизм р Е Orth ^ro (E) такой, что Q(x) = P (p(jx)) (х Е j ^-1 ( D (р)));                                                       _

• (3)    существует последовательность ортоморфизмов (p n ) в Orth(E) такая, что Q(x) = sup n P(p n (jx')') для всех х Е E ₊ .

< Следует из леммы 6 и теорем 2 и 3. >

Замечание 2. Теоремы 1 и 2 получены Кусраевой З. А., а теоремы 3 и 4 — Тасое-вым Б. Б.

Авторы выражают искреннюю благодарность рецензенту за критические замечания, повлекшие за собой значительное улучшение первоначального варианта заметки.