О полиномиальных дифференциальных уравнениях второго порядка на окружности, не имеющих особых точек
Бесплатный доступ
Рассматриваются автономные дифференциальные уравнения второго порядка, правые части которых являются полиномами степени n относительно первой производной с периодическими непрерывными коэффициентами, и соответствующие векторные поля на цилиндрическом фазовом пространстве. Свободный член и старший коэффициент полинома предполагаются не обращающимися в нуль, что равносильно отсутствию особых точек векторного поля. Рассматриваются грубые уравнения, для которых топологическая структура фазового портрета не меняется при малых возмущениях в классе рассматриваемых уравнений. Доказано, что уравнение является грубым тогда и только тогда, когда все его замкнутые траектории являются гиперболическими. Грубые уравнения образуют открытое и всюду плотное множество в пространстве рассматриваемых уравнений. Показано, что при n > 4 уравнение степени n может иметь сколь угодно много предельных циклов. При n = 4 определяется возможное число предельных циклов в случае, когда свободный член и старший коэффициент уравнения имеют противоположные знаки.
Дифференциальное уравнение второго порядка, полиномиальная правая часть, цилиндрическое фазовое пространство, число предельных циклов, грубость
Короткий адрес: https://sciup.org/147232854
IDR: 147232854 | УДК: 517.925 | DOI: 10.14529/mmph200404
On polynomial differential equations of the second order on a circle without singular points
In this paper, autonomous differential equations of the second order are considered, the right-hand sides of which are polynomials of degree n with respect to the first derivative with periodic continuously differentiable coefficients, and the corresponding vector fields on the cylindrical phase space. The free term and the leading coefficient of the polynomial is assumed not to vanish, which is equivalent to the absence of singular points of the vector field. Rough equations are considered for which the topological structure of the phase portrait does not change under small perturbations in the class of equations under consideration. It is proved that the equation is rough if and only if all its closed trajectories are hyperbolic. Rough equations form an open and everywhere dense set in the space of the equations under consideration. It is shown that for n > 4 an equation of degree n can have arbitrarily many limit cycles. For n = 4, the possible number of limit cycles is determined in the case when the free term and the leading coefficient of the equation have opposite signs.
Список литературы О полиномиальных дифференциальных уравнениях второго порядка на окружности, не имеющих особых точек
- Ройтенберг, В.Ш. О полиномиальных дифференциальных уравнениях второго порядка на окружности без особых точек / В.Ш. Ройтенберг // Математика и естественные науки. Теория и практика: межвуз. сб. науч. тр. - Ярославль: Изд. дом ЯГТУ, 2017. - Вып. 12. - С. 77-91.
- Плисс, В.А. О числе периодических решений уравнения с полиномиальной правой частью / В.А. Плисс // ДАН СССР. - 1959. - Т. 127, № 5. - С. 965-968.
- Neto, A.L. On the Number of Solutions of the Equation for which x(0)=x(1) / A.L. Neto // Inventiones mathematicae. - 1980. - Vol. 59, no. 2. - P. 67-76.
- Панов, А.А. О разнообразии отображений Пуанкаре для кубических уравнений с переменными коэффициентами / А.А. Панов // Функциональный анализ и приложения. - 1999. - Т. 33, № 4. - С. 84-88.
- Casull, A. Limit Cycles for Generalized Abel Equations / A. Casull, A. Guillamon // J. Bifurcation and Chaos. - 2006. - Vol. 16, no. 12. - P. 3737-3745.
- Ройтенберг, В.Ш. О числе периодических решений некоторых полиномиальных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / В.Ш. Ройтенберг // Вестник Бурятского государственного университета. - 2020. - № 1. - С. 28-34.
- Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука, 1967. - 487 с.
- Robinson, C. Structural stability of vector fields / C. Robinson // Annals of Mathematics. Second Series. - 1974. - Vol. 99, no. 1. - P. 154-175.
- Бибиков, Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Н. Бибиков. - Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1981. - 232 с.
- Периодические решения дифференциальных уравнений / Г.Г. Иванов, Г.В. Алфёров, В.С. Королёв, Е.А. Селицкая // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. - 2019. - Вып. 3 (46). - С. 5-15.
