О полугруппах, порождаемых задачей коши для гиперболических дифференциально-разностных уравнений с отклонениями пространственных переменных

В настоящей работе исследуются вопросы корректной разрешимости задачи Коши для модельного гиперболического дифференциально-разностного уравнения вида.

д2

u(ж,t) = £u(ж,t) + J(ж,t), (ж, t) Е R х (0, +^),                  (1)

ot2

и(ж, +0) = ио (ж), пДж, +0) = и1(ж), ж Е R^d,                       (2)

где

N

£и(ж, t) = Аи(ж, t) + ^{[а/г (и(ж - hk, t) + и(ж + hk , t))] + [i((bk, Vu(ж - hk, t)+ k=1

+(bk, Vu(ж + hk, t)))] + [с/(Аи(ж - hk, t) + Аи(ж + hk , t))]} - ки(ж, t).

Здесь ak, с / ,k Е R w hk >  0 при каждом k Е 1,..., N, a bk Е R^d - вектор в R^d при каждом k Е 1,..., N.J - числовая функция. з аданная на множестве (0, + то ) х R^d. а и - неизвестная числовая функция, заданная на области (0, + то ) х R^d. Областью определения оператора £. действующего и:з D(£) С Н в Н. является гильбертово пространство W2(R^d) = Н 2( R^d).

В работе [6] для дифференциально-разностного оператора, введен аналог понятия эллиптичности, используемый в теории дифференциальных операторов.

Оператор -£ называется сильно эллиптическим, если существуют такие константы Со >  0 и до > 0, что для любого и Е Н² выполняется неравенство ^(-£и,и) > СоІЫІ^і ^-7оН^иНя-

Свойство дифференциально-разностного оператора, быть сильно эллиптическим играет ключевую роль в вопросах разрешимости задачи Коши для дифференциально-разностных уравнений параболического типа. (см. [5]).

В настоящей работе мы рассмотрим свойство сильной эллиптичности дифференциально-разностного оператора, как условие корректной разрешимости задачи Коши для дифференциально-разностных уравнений гиперболического типа.

Оператор -£ называется строго положительным, если существует такая константа «о > 0 . что для любого и Е Н ² выполняется неравенство (-£и, и) >  а о||и|| у.

Мы предполагаем, что оператор -£ является сильно эллиптическим и строго положительным, и полагаем -£ = A2, где A - строго положительный оператор в гильбертовом пространстве Н с областю определения Н 1. Последнее предположение приводит к тому, что оператор A имеет ограниченный самосопряженный обратный A-1.

• 2.    О корректной разрешимости задачи Коши

Лемма 1. Для сильной эллиптичности оператора —С достаточно выполнения неравенства с = |с1| + ... + ^n | < 2- Если, кроме того, выполнено неравенство к > 2a + (1 — 2 с ) ^{- 1} | Ь |², то onератор —С является строго поломсителиным.

Действительно, оператор —С унитарно эквивалентен оператору умножения М^ на функцию

N             NN

• V(s) = S2(1 +2У^ Cj cos(hjs)) — 2s У2 bj cos(hjs) — 2 ^ aj cos(hjs) + к, j=1                   j=1j=1

т.к.   M ^   =    T (—С)Т ^-1. Поэтому для сильной эллиптичности оператора

• —С достаточно существования постоянной C q   >    0, такой, что неравенство

N        '         NN s2(1 + 2 52 Cj cos(hjs)) — 2s 52 bj cos(hjs) — 2 52 aj cos(hjs) + к > CQs2 справедливо j=1                    j=1j=1

при любом s E R.

Следовательно, достаточным условием сильной эллиптичности оператора —С является строгая положительность коэффициента при квадратичном слагаемом, то есть неравенство с = |C11 + ... + | c n | < 2-

Если последнее неравенство выполнено, то для строгой положительности оператора —С достаточно выполнения неравенства inf ^(s) > 0, которое следует из неравенства 2а + (1 — 2с)^-1 |b|²<  к.

Пусть R - сепарабельное гильбертово пространство, A - самосопряженный положительный оператор в гильбертовом пространстве, действующий в пространстве R = ^(R^), имеющий компактный обратный, I единичный опера тор в пространстве R и а^ , h^, k E 1, п - вещественные числа.

Превратим область определения Dom(A^p ) оператора А^(3 >  0) в гильбертовом пространстве Нр, введя на Dom(A^ ) нор му || • || = | А^ • ||. Через q q обозначим нижнюю грань оператора А.

Обозначим через L2,₇((a, b), R )( —to <  а < b < +то) пространство вектор-функций со значениями в R, снабженное нормой

• ¹    / IIl 2 , ₇ (( «,ь ) ,^ ) = (J_b exp^(—27^{t) 1} / ⁽t) II² dt^    ,7 > 0.

Через W^₇((a, b),A^l ) обозначим пространство вектор-функций co значениями в R, таких, что A^ju^(2-j)(t) E L₂,₇((a, b), R), j = 0,1, 2,..., I; с нормой

• ^{1    u} НщД ((сі,Ь ) ,А¹ ) = ^(|l ^{u (2)} IIl 2 , ₇ (( о.,Ь ) ; Н ) ^{+(| A u} ҺІ2,₇ (( «,ь ) , ^ ) ^{) 1 / 2} , ⁷ > ^0.

Согласно теореме о следах (см. [4] гл. I, а также [1]), справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. Если I E N и и E W^ ((a, b), A^z), то существует u(a + 0) E D(A^i- 1) такое, что lim |u(t) — u(a + 0)| _— i = 0. Наоборот, если u q E D(A^1- 1) при неквтором I E N, t^ci+Q                    А 2

то существует функция и E W2>^((a,b),A^l ) такая, что _flim_Q |u(t) — u_Q| _д1 -1 = 0.

Поставим задачу определить решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2) в предположении, что / E L2,₇(R+) и оператор является строго положительным и сильно эллиптическим. Последнее предположение приводит к тому, что оператор A имеет ограниченный самосопряженный обратный оператор A^-1.

Определение 1. Функцию u(t) будем называть сильным решением задачи Коши (1)(2), если она принадлежит пространству W^(R+, A²) при некотором у Е R, удовлетворяет уравнению (1) и тождественно удовлетворяет условию (2). Из определения (1) и леммы (2) вытекает следующее утверждение.

Лемма 3. Если функция и Е W^(R+, A² ) является решением задачи Коши (1)—(2), то существует предел и(+0) Е Н2 функции и при t ^ +0 и пр>едел и'(+0) Е Н2 се производной и’ пр>и t ^ +0.

В связи с утверждением леммы (3) всюду далее мы предполагаем, что задача Коши (1), (2) исследуется при следующих предположениях и₀ ЕН 2 и и1 ЕН 2. Нетрудно проверить с помощью непосредственной подстановки следующее утверждение.

Лемма 4. Пусть uq Е Н 2 u ui € Н 2.

Функция и Е W₂²₇(R+, A ²) является решени-

ем задачи Коши (1)-(2) тогда и только тогда, когда функция «(t) = е ^7tu(t), t принадлеэюит пространству W2(R+, A ²) и является решением задачи Коши:

Е

R+,

v(x, t) + 2y;|-v(x, t) = L v(x, t) + fv (x, t), (x, t) Е R^d x (0, +ro), at²            at

гдс /7

g(t,x) =

^^f, а £₇

-Д е 2 [cos(At)vo + A 1 sin(At)v1].

и(+0) = uq, и' (+0) = ui — уио, = L — 72I. Поле)жпм u(x, t)

w(x,t) + g(x,t),

где

Замечание 1. Так как в силу леммы 4 и₀ = и₀ Е Н 3 и «1 = и1 леммы 2 функция g принадлежит пространству и Е W^(R+, A ²).

—

7U0 Е Н 2. то в силу

Лемма 5. Функция и Е W2(R₊, A² ) является решением задачи Коши (3)-(4) тогда и только тогда, когда функция w = и — g принадлеэюит пространству W^(R₊, A²) и является решением задачи Коши:

—w(x, t) + 27—w(x, t) = L7-(x, t) + F7(x, t),  (x, t) Е (0, +to) x Rd, at             at

w(+0) = 0, -t(+0) = 0,

где F^ = /₇ + L₇ g — l^²g — 2уd^^ g, а предельные соотношения (6) выполняются в пространствах и₀ Е Н 2 и и1 Е Н 2 соответственно.

Так как w(+0) = 0, -t (+0) = 0, то будем искать решение уравнения (6) в виде

w(x,t) = A ¹ 1 sin(A(t — s))e ^{7(t s)}Z(x,s)ds.

Покажем, что если w(x,t) определяется равенством (7), то w(+0) = 0, wt(+0) = 0.

Лемма 6. Для функции (7) справедливы следующие равенства:

• 1)    --(x,t) = / cos(A(t — s))e ^{7(t s)}Z(x,s)ds — yw(x,t), ^dt         Jo

• 2)    “tt— (x,t) = Z(x,t) — A²w(x,t)+y²w(x,t) — 2y / cos(A(t — s))e ^{v(t s)}Z(x,s)ds. ^dt                                                   0

Следствие. Функция (7) удовлетворяет равенству

ч^ ^(ж,^t) + ⁽у² + ^А2)ш⁽ж,^t) + Зуу^^(ж,^t) = ^{Z (ж},^t) ot²                                ot

и условиям w(x, +0) = 0, wt(x, 0) = 0.

Лемма 7. Если w(x,t) Е W2(R+,A²), w(+0) = 0, w_t (+0) = 0, то функция Z из равенства (7) удовлетворяет условию Z Е L₂(R₊,H ). Наоборот, если Z Е L₂(R+,H ), то функция w, определяемая равенством (7), удовлетворяет условиям w(x,t) Е w2(R+, А²), w(+0) = 0, w_t (+0) = 0, которые выполняются в пространствах

u q Е H 2 и и₁ Е H 2 соответственно.

Утверждение леммы (7) следует из леммы (2) и леммы (6).

Лемма 8. Функция w Е W2 (R₊, А²) является решением задачи Коши (5)-(6) тогда и только тогда, когда функция Z Е L₂(R₊,H ) удовлетворяет уравнению

Z = F^ .

Доказательство. Подставив (8) в (5),

получим

Z (x,t) = F7 (x,t) = f7 —

(А² + у ² I )д

—

Э²д . . _п Эд . . _9t2 ^(x,^{t) — 2y}dt ^(x,^t).

Поэтому согласно леммы 7

w(x,t) = А ¹ у sin(А(t — s))e^{7(t s)}F₇(x,s)ds.

Тогда в силу леммы 4

u(x, t) = w(x, t) + g(x, t), u(x, t) = e^7t u(x, t).

Теорема 1. Пусть —L - сильно эллиптический и строго полоэюительный оператор в гильбертовом пространстве H. Тогда если u q Е H 2 и и₁ Е H2, f Е L₂,₇(R₊,H) и —L = А², то задача Коши (1)~(2) имеет в пространстве W2,₇(R₊, А²) единственное решение, которое допускает представление

u(x,t) = e7t[g(x, t) + А 1 у sin(А(t — s))e 7(t s)F7 (x, s)ds], где F7 определено равенством (10).

Доказательство. Задача Коши (1)-(2) эквивалентна задачам Коши (3)-(4) и (5)—(6), которые, в свою очередь, эквивалентны уравнению (9), имеющему единственное решение.

Замечание 2. Теорема 1 справедлива и при у = 0, т.е. если f Е L2(R+,H ), то задача Коши (1)-(2) имеет единственное решение u(x,t) из пространства W2(R+, А²).

• 3. Полугруппа, порождаемся задачей Коши

Покажем, что однородная задача Коши (1)-(2) (то есть задача Коши с f = 0), имеющая единственное решение из пространства W^(R+, А2) при произвольных начальных условиях uQ Е D(А2) и и1 Е D(А2), задает полугруппу в гильбертовом пространстве начальных данных

К = D(А 2) ®D(A 2).

Рассмотрим однопараметрическое семейство преобразований U(t), t > 0, гильбертова пространства К, сопоставляющее каждому начальному условию (uq,u1) Е К упорядоченную пару функций (u(-, t), u't(-, t)), г де u(x,t), (x, t) G R x R+ - решение задачи Коши (l)-(2) с начальными условиями (uo,U1) G К.

Лемма 9. Если (uo , u₁) G К и u(x,t), u(x,t) G R x R₊ - решение задачи Коши (1)(2) с начальными условиями (uo,u₁) G К, то для любого t >  0 выполняется условие ^(u(^^,t),ut⁽^^{,t)) G К}-

Утверждение этой леммы следует из леммы 2, то есть из теормы о следах [4], гл. I. Определим на пространстве К функционал энергии равенством

^{Е (u}o^,ui⁾ — Н^АиоНя ⁺ ll^u1 НН.

Теорема 2. Однопараметрическое семейство преобразований U (t), t > 0, является полугруппой в пространстве К, сохраняющей значение функционала энергии.

Доказательство. Пусть и - решение задачи Коши (1)-(2) для однородного уравнения с начальными условиями (uo,U1) G К, существование и единственность которого установлено теоремой 1.

Определим функцию w(s) — s² + 2 ^= а^ cos(shk ), отделенную, согласно лемме 1, от нуля снизу.

Через   L2,7 (R+,L2,w )   обозначим гильбертово пространство отображений и G L2,7(R+,L2) таких, что юи G ^2,7(R+, L2), наделенное нормой

ІМІІм (R+,L2,„)

+^

^— / ^е-27‘⁽/ o         R

w(s) |u(s, t)l²ds)dt.

Напомним, что Т - преобразование Фурье по пространственным переменным - унитарное преобразование пространства Н. Для дальнейшего доказательства теоремы 2 используем две леммы.

Лемма 10. Если u(x,t) G W^(R+,A²), ^т0 Т(A²u)(s,t) — w(s)U(s,t), причем И^{2 u} Wl_m (R+ ,Н ) ^— ll^U IIl₂, ₇ (R+,L2,„)-

Утверждение следует из унитарности преобразования Фурье Т в пространстве Н и определений норм пространств W^(R+,A²) и L₂,₇ (R+,L₂,_W).

Положим U(s,t) — Т(u(t, x))(s). Тогда поскольку функция u(x,t) является решением задачи Коши (1)—(2), то функция U (s,t) является решением следующей задачи:

U (s,t) — w(s)U(s,t), (s,t) GR x R+,                        (12)

ot2

d

U (s, 0)—uo(s), —U (s, 0) — ui(s).                            (13)

Решение задачи Коши (12)—(13) существует, единственно и определяется равенством

U (t, s) — Uo(s) cos(w(s)t) + -u₁(s)(w(s)) ¹ sin(w(s)t).

Лемма 11. Если (uo,u₁) G К и и - решение задачи Коши (1)—(2), то для любого t >  0 выполняется равенство Е (u(t),u^(t)) — Е (uo,u₁).

Доказательство. Согласно (14) справедливо равенство

Ut (s,t) — — uo(s)w(s) sin w(s)t + -u1(s) cos(w(s)t), поэтому lU‘(s,t)l2 + |w(s)U (s,t)|2 — |U1(s)|2 + |w(s)Uo (s) |2, откуда в силу унитарности преобразования Фурье и леммы 10 следует сохранение значений функционала энергии 11 на решении u(x,t) и утверждении леммы (11).

Однопараметрическое семейство преобразований U(t), t > 0, сопоставляющее начальным условиям (по(ж), п1(ж)) G К значения (п(ж, t), u'_t(x, t)) решения задачи Коши (1)—(2), является полугруппой преобразований пространства К в силу теоремы 1 о существовании и единственности решений задачи Коши, причем в силу леммы 11 операторы полугруппы являются изометрическими преобразованиями пространства К. Теорема 2 доказана.

Замечание 3. Преобразования полугруппы U (t), t > 0, являются обратимыми, поэтому она однозначно продолжаема до группы.

Замечание 4. Преобразования полугруппы могут быть продолжены по непрерывности с пространства К на гильбертово пространство Н ф Н 1.