О полугруппе операторов Сильченко

Всюду в работе через X обозначено комплексное банахово пространство, через End X — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X. Через LR(X ) обозначим множество линейных отношений [1-4] на пространстве X. Под полугруппой операторов понимается сильно непрерывная операторнозначная функция

T : (0, го) ^ End X со свойством

T(t + s) = T (t) T (s) при всех t, s > 0.

Под ядром и образом полугруппы понимаются соответственно подпространства

Ker T = p| Ker T(t) и Im T = [J Im T (t), t> 0                           t> 0

где Ker T (t) — ядро, а Im T (t) — образ оператора T (t). В классическом смысле [5] понимается инфинитезимальный оператор A o полугруппы операторов T :

A o : D(A o ) С X ^ X,

D(A 0 ) =

x Е X : 3 lim t—*0+

T (t)x — x t

A o x =

lim t——0+

T (t)x — x t

Если полугруппа операторов является вырожденной [1, 2, 4, 6–9], т. е. подпространство Ker T ненулевое, то оператор A 0 имеет неплотную область определения, и, как правило,

спектр a(Ao) оператора Ao заполняет всю комплексную плоскость. Кроме того, опе- ратор A0 может быть незамыкаемым в классе операторов, а функция (преобразование

Лапласа полугруппы T)

∞

λ 7→

j е-ХтT(т) dT не обязательно является резольвентой оператора A0 . Более того, она может не быть резольвентой никакого линейного оператора. В результате возникают сложности с использованием спектральной теории инфинитезимального оператора для исследования свойств полугруппы. В последнее время для исследования полугрупп операторов применяется подход, основанный на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы (см. [1, 2, 4, 6, 7, 9]). Данный подход является эффективным с точки зрения применения спектральной теории генератора полугруппы для исследования свойств полугруппы. В частности, в статье [2] вводится определение и приводятся примеры генераторов полугруппы операторов, изучаются их общие свойства.

Согласно статье [2], введем в рассмотрение следующее подпространства:

X c (T) = {x G X:

lim T (t)x = x|, t→ 0+

X1(T ) = xx G X:

j k T(t)x k dt <  to 0

η

X1(T) =

x G X i (T):

lim —    T (t)xdt = x

η→ 0+ η и дадим ряд определений.

Определение 1. Строгим инфинитезимальным оператором или инфинитезимальным оператором в смысле Феллера полугруппы T называется линейный оператор

A _o : D(A ₀ ) С X ^ X,

D(A o ) = { x G D(A o ): A o x G X c (T ) } , A o x = A o x.

Таким образом, имеет место включение A 0 ⊂ A 0 .

Определение 2. Старшим генератором полугруппы T называется отношение A ∈ LR(X ), состоящее из пар (x,y) G X x X со свойствами:

• 1)    x G Im T ;

• 2)    верны равенства:

t

T (t)x

• - T (s)x = j T (т)ydT,

  0 < s 6 t <  to.

  
  

s

Определение 3. Генератором полугруппы T называется отношение A из LR(X ), удовлетворяющее условиям:

• 1)    A 0 ⊂ A ⊂ A;

• 2)    A перестановочно с операторами T (t), t >  0, т. е. (T(t)x,T(t)y) G A для всех (x, y) G A и всех t > 0.

• 2.    Определение и свойства полугруппы операторов Сильченко класса A(^)

Определение 4. Генератор A полугруппы T называется базовым , если резольвентное множество p(A) генератора A содержит полуплоскость

Cw = {A G C : Re A > w} для некоторого w ∈ R.

Множество генераторов полугруппы T обозначено через Gen(T).

Важность базового генератора обусловлена возможностью использования его резольвенты при исследовании свойств полугруппы. Отметим также, что при таком определении генератора полугруппы отсутствуют какие-либо априорные предположения относительно характера поведения полугруппы в окрестности нуля.

В работе используется генератор A c G Gen(T), который определяется (см. [2]) как сужение старшего генератора A на подпространство X c (T ) х X c (T ).

Отметим [2], что генератор A G Gen(T) является оператором тогда и только тогда, когда полугруппа T невырожденная.

Полугруппы операторов с неплотным образом и суммируемой особенностью в нуле систематически исследовались воронежским математиком Ю. Т. Сильченко. Поэтому данный класс полугрупп называется в настоящей работе его именем. Дадим точное определение.

Определение 5. Пусть D — неплотное подпространство из X. Полугруппой опера торов Сильченко класса A(^) называется операторнозначная функция

T: (0, го) ^ End X со следующими свойствами:

• 1)    T (t + s) = T (t)T(s) для всех t, s > 0;

• 2)    Im T (t) C D для каждого t >  0;

• 3)    lim _t , 0. T (t)x = x для каждого x G D ;

• 4)    k T(t) k 6 ^(t) для каждого t >  0, где ^ — некоторая суммируемая на [0,1] функция.

Всюду далее через T обозначена полугруппа операторов Сильченко класса A(^). Из определения следует, что Im T C D , причем образ полугруппы Im T плотен в D . Кроме того, полугруппа T сильно непрерывна при t > 0 [8]. Поэтому величина k T(t) k равномерно по t ограничена на каждом компактном отрезке [а, в], 0 < а 6 в <  го [5, лемма 10.2.1]. Таким образом, функцию у можно считать непрерывной на (0, го ).

Далее полугруппа T исследуется с применением подхода [2], основанного на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы операторов. Согласно классификации из монографии [5 с. 524], полугруппа T относится к классу (E). Поэтому полугруппа T обладает базовым генератором [2]. Так как X i (T) = X, то из [9] следует

Теорема 1. Для того чтобы инфинитезимальный оператор A 0 был замкнут, необходимо и достаточно, чтобы

Im A o C X i (T).

Свойства подпространства D непосредственно влияют на свойства полугруппы T. В частности, верна

Теорема 2. Пусть D — замкнутое подпространство в X . Тогда инфинитезимальный оператор A q замкнут.

Также из [9] следует

Теорема 3. Для того чтобы инфинитезимальный оператор A q был не замыкаем в классе операторов, необходимо и достаточно, чтобы

Im A ₀ П Ker T = { 0 } .

Так как подпространство D не плотно в X, то верна

Теорема 4. Спектр u ( A q ) инфинитезимального оператора A q заполняет всю комплексную плоскость.

C Так как D = X, то Im(A o — AI) С Im T = X для любого Л G C. Поэтому ct ( A q ) = C. B

Для каждого x ∈ X определим функцию

τ фх : [0, го) ^ [0, го), фх(и) = sup - те(о,1] — j T(s + u)x ds о

Лемма 1. Для каждого x G X функция ф _х суммируема на [0,1].

• C Для каждого x G X и — >  0 функция

^ т : [0, го ) ^ X, К (и)

абсолютно непрерывна. Функция

Пт : [0, го) ^ [0, го), непрерывна. Для каждого n ∈ N положим фХ,П(и) = SUP Пт(и) = Птп (и), т е[1/п,1]

7→

т + и

• — У T (s)xds

u

П т ^{( и )}

= к ^ т (и) к

где —n существуют и принадлежат [1/n, 1]. Тогда функции Пт-n измеримы для каждого n∈Nи фх(и) = lim фхДи), n→∞ для каждого u. Следовательно, функция ψx измерима.

Из непрерывности на (0,1] и суммируемости на [0,1] функции у следует, что

u + т

lim —    to(s) ds du

J у т - q+ — J J

^(u) du <  го .

u

о

Следовательно,

У ф _х (и) du <  го . >  о

Из суммируемости функции ψ _x для каждого x ∈ X и [2, теорема 4] следует

Теорема 5. Пусть A — базовый генератор полугруппы T. Тогда lim

П ' 0-

ч

η

T ( t )R(X, A )x dT

∞ j . ■T(T)xdT

для любого x ∈ X. В частности,

∞

R(X, A )x = — j c^-Xt T ( t )xdT,                          ( * )

если R(X, A )x E X (T ).

Следствие 1. Пусть A — базовый генератор полугруппы T и D(A ) С X(T ). Тогда для любого x ∈ X ∞

R(X, A )x = — ^ c^-Xt T ( t )xdT.

Так как X i (T ) = X, то из [2, теорема 7] следует

Теорема 6. Генератор A c полугруппы T является базовым, C w ( _T ) С p(A c ) и резольвента R(X, A c ) генератора A c имеет представление

∞

R(X, A c )x =

j e ^-- ^T ^dt, 0

x E X, X E C _{w ( T} ) .

Следствие 2. Пусть A — базовый генератор полугруппы T и D(A ) С X (T ). Тогда A = A c .

Отметим, что если дополнительно потребовать выполнения условия

∞ ^ ^(t) dt <  to , 0

то iR U C o С p(A c ) и представление ( * ) резольвенты имеет место для любых X E iR U C o и x ∈ X.

В следующей теореме приводится достаточное условие для того, чтобы генераторы A _c и A совпадали.

Теорема 7. Пусть функция ^ ограничена на [0,1]. Тогда A c = A.

C Положим T(0) = I. Тогда sup kT(t)k 6 sup ^(t) 6 M < to.

te [o , i]                   te [o , i]

Из принципа равномерной ограниченности заключаем, что X c (T ) = X c (T ), поэтому X c (T ) = Im T. Согласно определениям генераторов, получаем A = A c . B

Ясно, что в случае ограниченности функции ϕ старший генератор также является базовым и для любого x E X имеет место представление ( * ).

В следующем примере посчитаны генераторы A q , A q , A c , A. Показано, что A q = A q , A c = A.

Пример. Пусть X — пространство сдвоенных числовых последовательностей v = { (x n ,y n ),n € N } , для которых конечна норма

∞ kvkx = X (" '|xn| + Ш), в € (0,1).

n =1

Введем в X следующие подпространства:

Y = {v € X : x 1 = y1 = 0},

∞

D = J v € Y : kvkD = Xna(ne|xn| + |yn|) < го, a > в k n=2                                    '

Отметим, что Y = Y = X. Полугруппу определим формулой

T : (0, го ) ^ End X,

T(t)v = {(an(t),bn(t)^-^^)t, n € n}, x € X, где a1(t) = b1 (t) = 0, и an(t) = xn cos nt — yn sin nt, t> 0, n > 2, bn (t) = xn sin nt + yn cos nt, t > 0, n > 2.

Для случая в = 1/2 данный пример рассмотрен в [8]. Функция T есть полугруппа операторов Сильченко класса A(^) с функцией у : (0, го) ^ (0, го), ^(t) = 2ввe-et-e.

Кроме того, имеют место следующие включения:

D ( A _q ) С D при a <  1 + в,

D ( A _q ) D D при a > 1 + в,

D ( A _q ) = D при a = 1 + в.

При этом D = D ( A q ) = Y.

Пусть v = { (x _n ,y _n ), n € N) } € D ( A q ) . Тогда по определению

Aqv = T0(0)v = {(cn, dn),n € N}, где c1 = d1 = 0, и

Cn = (in1+e — n)xn — nyn, n > 2, dn = nxn + (in1+e — n)yn, n > 2.

Область определения D ( A q ) инфинитезимального оператора A q имеет вид

∞

D ( A q ) = { v € Y : X (n ^e | (in ^{1+ e} - n)x n - ny n | + | nx n + (in ^{1+ e} — n)y n|) <  го >  n =2

= |v € Y : Xn ^{1+ e} (n ³ | x n | + | y „ | ) <  го} .

n =2

Подпространство X c (T) имеет вид

∞

Xc(T) = К G Y : Xne(|xn| + |yn|) < а. к n=2                        '

Следовательно,

∞

D(Ao) = j v G Y : X n1+2e(|xn| + |yn|) < а к n=2

Таким образом, A o = A o •

Прежде чем считать старший генератор A полугруппы операторов T, отметим, что

∞

ImT = К G Y : X (|xnl + W)e-Yn < a, y > 0 > n=2

и Im T = Y •

Следуя определению, старший генератор A G Gen(T) состоит из пар (v, u) G X x X со свойствами:

• 1)    v G Im T = Y ;

• 2)    верны равенства

t

T (t)v — T (s)v = ^ T ( t )udT, 0 < s 6 t <  a.

s

Полагая v = { (x n ,y n ),n G N } и вычисляя выражения справа и слева, находим, что последовательность u имеет вид:

u = {(gn, hn),n G N}, где gi = h1 = 0, и gn = (-n + in1+e)xn - nyn, n > 2, hn = nxn + (—n + in1+e)yn, n > 2.

В частности, любая пара (0,u), где u G Ker T , принадлежит A.

Согласно определению, D(A c ) = X c (T) П D(A). Так как X c (T) C Y = Im T, то

D(A c ) = L G Y : XXn ^e ( | x n | + | y n | ) <  a} .

n =2

Следовательно, генератор A c G Gen(T) состоит из пар (v,u) G X x X со свойствами:

• 1)    последовательность v = { (x _n , y _n ), n G N } удовлетворяет условиям:

∞ xi = У1 = 0 и Xne(|xnl + 1Уп1) < a;

n =2

• 2)    последовательность u имеет вид:

u = {(gn, hn), n G N}, где gi = hi = 0 и gn = (- П + in1+e)Xn - nyn, n > 2, hn = nxn + ( - n + in1+e)yn, n > 2.

Таким образом, A c = A.

Отметим, что «многозначность» генераторов A _c и A (в случае вырожденной полугруппы T ) привносится за счет ядра полугруппы Ker T.

Резольвента генератора A _c имеет вид:

R(A, Ac)v = {(wn,zn), n E N}, где w1 = z1 = 0 и wn = 1 ( xn — 1 yn )----1— + 1 ( xn + 1 yn )----1----’

2 \ i ) Y n — A + in 2 \ i ) Y n — A — in

• z n = о ( “x n ⁺ y n )              ' о ^— “x n ^{+ y}n )      ;   ~

2 \ i       ) Yn — A + in 2 \ i       ) Yn — A — in где Yn = —n + in1+e, n > 2. Имеют место оценки

| w n | 6

| x n | + | y n |

| Re A + n | ’

| Z n | 6

| X n | + | У п |

| Re A + n | ’

n >  2.

Отсюда получаем оценку резольвенты

∞∞

| Re A + n | | Re A + n |

(|x n | + | y n |) 6 4 k v k x .

kR(A’ Ac)vkxc(T) = £ne(|w„l + |zn|) 6 4£ n=2                   n=2

Следовательно,

a(A c ) = a p (A c ) = {A E C : A = A n = — n + in ^{1+ e} ± in, n >  2}

и sup kR(A, Ac)k 6 4.

AEp ( A c )