О полугруппе операторов Сильченко
Автор: Чшиев Аслан Григорьевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.15, 2013 года.
Бесплатный доступ
Исследуется класс полугрупп операторов с суммируемой особенностью в нуле и неплотным образом. Применяется подход, основанный на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы. Установлено существование базового генератора, получено представление резольвенты базового генератора в явном виде.
Полугруппа операторов, генератор полугруппы, линейное отношение
Короткий адрес: https://sciup.org/14318447
IDR: 14318447
Текст научной статьи О полугруппе операторов Сильченко
Всюду в работе через X обозначено комплексное банахово пространство, через End X — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X. Через LR(X ) обозначим множество линейных отношений [1-4] на пространстве X. Под полугруппой операторов понимается сильно непрерывная операторнозначная функция
T : (0, го) ^ End X со свойством
T(t + s) = T (t) T (s) при всех t, s > 0.
Под ядром и образом полугруппы понимаются соответственно подпространства
Ker T = p| Ker T(t) и Im T = [J Im T (t), t> 0 t> 0
где Ker T (t) — ядро, а Im T (t) — образ оператора T (t). В классическом смысле [5] понимается инфинитезимальный оператор A o полугруппы операторов T :
A o : D(A o ) С X ^ X,
D(A 0 ) =
x Е X : 3 lim t—*0+
T (t)x — x t
A o x =
lim t——0+
T (t)x — x t
Если полугруппа операторов является вырожденной [1, 2, 4, 6–9], т. е. подпространство Ker T ненулевое, то оператор A 0 имеет неплотную область определения, и, как правило,
спектр a(Ao) оператора Ao заполняет всю комплексную плоскость. Кроме того, опе- ратор A0 может быть незамыкаемым в классе операторов, а функция (преобразование
Лапласа полугруппы T)
∞
λ 7→
j е-ХтT(т) dT не обязательно является резольвентой оператора A0 . Более того, она может не быть резольвентой никакого линейного оператора. В результате возникают сложности с использованием спектральной теории инфинитезимального оператора для исследования свойств полугруппы. В последнее время для исследования полугрупп операторов применяется подход, основанный на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы (см. [1, 2, 4, 6, 7, 9]). Данный подход является эффективным с точки зрения применения спектральной теории генератора полугруппы для исследования свойств полугруппы. В частности, в статье [2] вводится определение и приводятся примеры генераторов полугруппы операторов, изучаются их общие свойства.
Согласно статье [2], введем в рассмотрение следующее подпространства:
X c (T) = {x G X:
lim T (t)x = x|, t→ 0+
X1(T ) = xx G X:
j k T(t)x k dt < to 0
η
X1(T) =
x G X i (T):
lim — T (t)xdt = x
η→ 0+ η и дадим ряд определений.
Определение 1. Строгим инфинитезимальным оператором или инфинитезимальным оператором в смысле Феллера полугруппы T называется линейный оператор
A o : D(A 0 ) С X ^ X,
D(A o ) = { x G D(A o ): A o x G X c (T ) } , A o x = A o x.
Таким образом, имеет место включение A 0 ⊂ A 0 .
Определение 2. Старшим генератором полугруппы T называется отношение A ∈ LR(X ), состоящее из пар (x,y) G X x X со свойствами:
-
1) x G Im T ;
-
2) верны равенства:
t
T (t)x
-
- T (s)x = j T (т)ydT,
0 < s 6 t < to.
s
Определение 3. Генератором полугруппы T называется отношение A из LR(X ), удовлетворяющее условиям:
-
1) A 0 ⊂ A ⊂ A;
-
2) A перестановочно с операторами T (t), t > 0, т. е. (T(t)x,T(t)y) G A для всех (x, y) G A и всех t > 0.
-
2. Определение и свойства полугруппы операторов Сильченко класса A(^)
Определение 4. Генератор A полугруппы T называется базовым , если резольвентное множество p(A) генератора A содержит полуплоскость
Cw = {A G C : Re A > w} для некоторого w ∈ R.
Множество генераторов полугруппы T обозначено через Gen(T).
Важность базового генератора обусловлена возможностью использования его резольвенты при исследовании свойств полугруппы. Отметим также, что при таком определении генератора полугруппы отсутствуют какие-либо априорные предположения относительно характера поведения полугруппы в окрестности нуля.
В работе используется генератор A c G Gen(T), который определяется (см. [2]) как сужение старшего генератора A на подпространство X c (T ) х X c (T ).
Отметим [2], что генератор A G Gen(T) является оператором тогда и только тогда, когда полугруппа T невырожденная.
Полугруппы операторов с неплотным образом и суммируемой особенностью в нуле систематически исследовались воронежским математиком Ю. Т. Сильченко. Поэтому данный класс полугрупп называется в настоящей работе его именем. Дадим точное определение.
Определение 5. Пусть D — неплотное подпространство из X. Полугруппой опера торов Сильченко класса A(^) называется операторнозначная функция
T: (0, го) ^ End X со следующими свойствами:
-
1) T (t + s) = T (t)T(s) для всех t, s > 0;
-
2) Im T (t) C D для каждого t > 0;
-
3) lim t , 0. T (t)x = x для каждого x G D ;
-
4) k T(t) k 6 ^(t) для каждого t > 0, где ^ — некоторая суммируемая на [0,1] функция.
Всюду далее через T обозначена полугруппа операторов Сильченко класса A(^). Из определения следует, что Im T C D , причем образ полугруппы Im T плотен в D . Кроме того, полугруппа T сильно непрерывна при t > 0 [8]. Поэтому величина k T(t) k равномерно по t ограничена на каждом компактном отрезке [а, в], 0 < а 6 в < го [5, лемма 10.2.1]. Таким образом, функцию у можно считать непрерывной на (0, го ).
Далее полугруппа T исследуется с применением подхода [2], основанного на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы операторов. Согласно классификации из монографии [5 с. 524], полугруппа T относится к классу (E). Поэтому полугруппа T обладает базовым генератором [2]. Так как X i (T) = X, то из [9] следует
Теорема 1. Для того чтобы инфинитезимальный оператор A 0 был замкнут, необходимо и достаточно, чтобы
Im A o C X i (T).
Свойства подпространства D непосредственно влияют на свойства полугруппы T. В частности, верна
Теорема 2. Пусть D — замкнутое подпространство в X . Тогда инфинитезимальный оператор A q замкнут.
Также из [9] следует
Теорема 3. Для того чтобы инфинитезимальный оператор A q был не замыкаем в классе операторов, необходимо и достаточно, чтобы
Im A 0 П Ker T = { 0 } .
Так как подпространство D не плотно в X, то верна
Теорема 4. Спектр u ( A q ) инфинитезимального оператора A q заполняет всю комплексную плоскость.
C Так как D = X, то Im(A o — AI) С Im T = X для любого Л G C. Поэтому ct ( A q ) = C. B
Для каждого x ∈ X определим функцию
τ фх : [0, го) ^ [0, го), фх(и) = sup - те(о,1] — j T(s + u)x ds о
Лемма 1. Для каждого x G X функция ф х суммируема на [0,1].
-
C Для каждого x G X и — > 0 функция
^ т : [0, го ) ^ X, К (и)
абсолютно непрерывна. Функция
Пт : [0, го) ^ [0, го), непрерывна. Для каждого n ∈ N положим фХ,П(и) = SUP Пт(и) = Птп (и), т е[1/п,1]
7→
т + и
-
— У T (s)xds
u
П т ( и )
= к ^ т (и) к
где —n существуют и принадлежат [1/n, 1]. Тогда функции Пт-n измеримы для каждого n∈Nи фх(и) = lim фхДи), n→∞ для каждого u. Следовательно, функция ψx измерима.
Из непрерывности на (0,1] и суммируемости на [0,1] функции у следует, что
u + т
lim — to(s) ds du
J у т - q+ — J J
^(u) du < го .
u
о
Следовательно,
У ф х (и) du < го . > о
Из суммируемости функции ψ x для каждого x ∈ X и [2, теорема 4] следует
Теорема 5. Пусть A — базовый генератор полугруппы T. Тогда lim
П ' 0-
ч
η
T ( t )R(X, A )x dT
∞ j . ■T(T)xdT
для любого x ∈ X. В частности,
∞
R(X, A )x = — j c-Xt T ( t )xdT, ( * )
если R(X, A )x E X (T ).
Следствие 1. Пусть A — базовый генератор полугруппы T и D(A ) С X(T ). Тогда для любого x ∈ X ∞
R(X, A )x = — ^ c-Xt T ( t )xdT.
Так как X i (T ) = X, то из [2, теорема 7] следует
Теорема 6. Генератор A c полугруппы T является базовым, C w ( T ) С p(A c ) и резольвента R(X, A c ) генератора A c имеет представление
∞
R(X, A c )x =
j e -- T ^dt, 0
x E X, X E C w ( T ) .
Следствие 2. Пусть A — базовый генератор полугруппы T и D(A ) С X (T ). Тогда A = A c .
Отметим, что если дополнительно потребовать выполнения условия
∞ ^ ^(t) dt < to , 0
то iR U C o С p(A c ) и представление ( * ) резольвенты имеет место для любых X E iR U C o и x ∈ X.
В следующей теореме приводится достаточное условие для того, чтобы генераторы A c и A совпадали.
Теорема 7. Пусть функция ^ ограничена на [0,1]. Тогда A c = A.
C Положим T(0) = I. Тогда sup kT(t)k 6 sup ^(t) 6 M < to.
te [o , i] te [o , i]
Из принципа равномерной ограниченности заключаем, что X c (T ) = X c (T ), поэтому X c (T ) = Im T. Согласно определениям генераторов, получаем A = A c . B
Ясно, что в случае ограниченности функции ϕ старший генератор также является базовым и для любого x E X имеет место представление ( * ).
В следующем примере посчитаны генераторы A q , A q , A c , A. Показано, что A q = A q , A c = A.
Пример. Пусть X — пространство сдвоенных числовых последовательностей v = { (x n ,y n ),n € N } , для которых конечна норма
∞ kvkx = X (" '|xn| + Ш), в € (0,1).
n =1
Введем в X следующие подпространства:
Y = {v € X : x 1 = y1 = 0},
∞
D = J v € Y : kvkD = Xna(ne|xn| + |yn|) < го, a > в k n=2 '
Отметим, что Y = Y = X. Полугруппу определим формулой
T : (0, го ) ^ End X,
T(t)v = {(an(t),bn(t)^-^^)t, n € n}, x € X, где a1(t) = b1 (t) = 0, и an(t) = xn cos nt — yn sin nt, t> 0, n > 2, bn (t) = xn sin nt + yn cos nt, t > 0, n > 2.
Для случая в = 1/2 данный пример рассмотрен в [8]. Функция T есть полугруппа операторов Сильченко класса A(^) с функцией у : (0, го) ^ (0, го), ^(t) = 2ввe-et-e.
Кроме того, имеют место следующие включения:
D ( A q ) С D при a < 1 + в,
D ( A q ) D D при a > 1 + в,
D ( A q ) = D при a = 1 + в.
При этом D = D ( A q ) = Y.
Пусть v = { (x n ,y n ), n € N) } € D ( A q ) . Тогда по определению
Aqv = T0(0)v = {(cn, dn),n € N}, где c1 = d1 = 0, и
Cn = (in1+e — n)xn — nyn, n > 2, dn = nxn + (in1+e — n)yn, n > 2.
Область определения D ( A q ) инфинитезимального оператора A q имеет вид
∞
D ( A q ) = { v € Y : X (n e | (in 1+ e - n)x n - ny n | + | nx n + (in 1+ e — n)y n|) < го > n =2
= |v € Y : Xn 1+ e (n 3 | x n | + | y „ | ) < го} .
n =2
Подпространство X c (T) имеет вид
∞
Xc(T) = К G Y : Xne(|xn| + |yn|) < а. к n=2 '
Следовательно,
∞
D(Ao) = j v G Y : X n1+2e(|xn| + |yn|) < а к n=2
Таким образом, A o = A o •
Прежде чем считать старший генератор A полугруппы операторов T, отметим, что
∞
ImT = К G Y : X (|xnl + W)e-Yn < a, y > 0 > n=2
и Im T = Y •
Следуя определению, старший генератор A G Gen(T) состоит из пар (v, u) G X x X со свойствами:
-
1) v G Im T = Y ;
-
2) верны равенства
t
T (t)v — T (s)v = ^ T ( t )udT, 0 < s 6 t < a.
s
Полагая v = { (x n ,y n ),n G N } и вычисляя выражения справа и слева, находим, что последовательность u имеет вид:
u = {(gn, hn),n G N}, где gi = h1 = 0, и gn = (-n + in1+e)xn - nyn, n > 2, hn = nxn + (—n + in1+e)yn, n > 2.
В частности, любая пара (0,u), где u G Ker T , принадлежит A.
Согласно определению, D(A c ) = X c (T) П D(A). Так как X c (T) C Y = Im T, то
D(A c ) = L G Y : XXn e ( | x n | + | y n | ) < a} .
n =2
Следовательно, генератор A c G Gen(T) состоит из пар (v,u) G X x X со свойствами:
-
1) последовательность v = { (x n , y n ), n G N } удовлетворяет условиям:
∞ xi = У1 = 0 и Xne(|xnl + 1Уп1) < a;
n =2
-
2) последовательность u имеет вид:
u = {(gn, hn), n G N}, где gi = hi = 0 и gn = (- П + in1+e)Xn - nyn, n > 2, hn = nxn + ( - n + in1+e)yn, n > 2.
Таким образом, A c = A.
Отметим, что «многозначность» генераторов A c и A (в случае вырожденной полугруппы T ) привносится за счет ядра полугруппы Ker T.
Резольвента генератора A c имеет вид:
R(A, Ac)v = {(wn,zn), n E N}, где w1 = z1 = 0 и wn = 1 ( xn — 1 yn )----1— + 1 ( xn + 1 yn )----1----’
2 \ i ) Y n — A + in 2 \ i ) Y n — A — in
-
z n = о ( “x n + y n ) ' о — “x n + yn ) ; ~
2 \ i ) Yn — A + in 2 \ i ) Yn — A — in где Yn = —n + in1+e, n > 2. Имеют место оценки
| w n | 6
| x n | + | y n |
| Re A + n | ’
| Z n | 6
| X n | + | У п |
| Re A + n | ’
n > 2.
Отсюда получаем оценку резольвенты
∞∞
| Re A + n | | Re A + n |
(|x n | + | y n |) 6 4 k v k x .
kR(A’ Ac)vkxc(T) = £ne(|w„l + |zn|) 6 4£ n=2 n=2
Следовательно,
a(A c ) = a p (A c ) = {A E C : A = A n = — n + in 1+ e ± in, n > 2}
и sup kR(A, Ac)k 6 4.
AEp ( A c )
Список литературы О полугруппе операторов Сильченко
- Баскаков А. Г., Чернышов К. И. Спектральная теория линейных отношений и вырожденные полугруппы//Мат. сборник.-2002.-Т. 193, \No 11.-C. 3-42.
- Баскаков А. Г. Линейные отношения как генераторы полугрупп операторов//Мат. заметки.-2008.-Т. 84, \No 2.-C. 175-192.
- Cross R. Multivalued linear operators.-N.Y.: M. Dekker, 1998.-335 p.
- Баскаков А. Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов//Функцион. анализ. СМФН.-2004.-Т. 9.-C. 3-151.
- Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы.-М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.-830 c.
- Чшиев А. Г. Теорема Герхарта -Прюсса для некоторого класса вырожденных полугрупп операторов//Мат. заметки.-2013.-Т.~94, \No 3.-С. 426-440.
- Бичегкуев М. С. К теории бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов//Алгебра и анализ.-2010.-Т. 22, \No 2.-C. 1-13.
- Сильченко Ю. Т. Полугруппы с неплотно заданным производящим оператором//Изв. вузов. Математика.-2005.-\No 7.-C. 57-62.
- Чшиев А. Г. Об условиях замкнутости и условиях замыкаемости инфинитезимальных операторов некоторых классов полугрупп операторов//Изв. вузов. Математика.-2011.-\No 8.-C. 77-85.