О порождаемости группы $ PSL_n (Z) $ тремя инволюциями, две из которых перестановочны

Основным результатом статьи является

Теорема 1. Проективная специальная линейная группа PSL n (Z ) , n >  2, над кольцом целых чисел Z тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда n >  5.

Группы, порожденные тремя инволюциями, две из которых перестановочны, будем называть (2 х 2,2)-порожденными, причем не исключаются случаи, когда какие-то две или даже все три инволюции совпадают. Ясно, что если какая-то группа допускает нетривиальный гомоморфный образ, который не является (2 х 2,2)-порожденной группой, то она также не будет (2 х 2,2)-порождена. Поэтому в силу гомоморфизма PSL n (Z ) на PSL n (Z n ) утверждение теоремы для n = 2, 3, 4 вытекает из того, что группы PSL 2 (7), PSL 3 (2), PSL 4 (2) не являются (2 х 2,2)-порожденными [1]. Для n >  5 порождающие тройки инволюций, две из которых перестановочны, группы PSL n (Z ) выписываются явно, причем, если n = 2(2k + 1), то порождающие тройки инволюций берутся из SL n (Z ). Таким образом, при n >  5 и n = 2(2k + 1) получаем более сильное утверждение: группа SL n (Z ) является (2 х 2,2)-порожденной. Ранее [4] М. К. Тамбурини и П. Цукка доказали (2 х 2,2)-порождаемость группы SL n (Z ) при n >  14. Теорема 1 анонсировалась в [2].

1.    Обозначения и вспомогательные результаты

Здесь фиксируются некоторые специальные элементы из общей линейной группы GL _n (Z ) над кольцом целых чисел Z . Для элементов из PSL _n (Z ) будем также использовать матричную запись, считая при этом два элемента равными, если они различаются лишь умножением на скалярную матрицу из SL _n (Z ).

Как обычно, через t j (k), k Е Z , i = j , будем обозначать трансвекции, т. е. матрицы E _n + ke ij , где E _n — единичная (n х n)-матрица, а e j — матричные единицы. Следующая лемма хорошо известна (см., например, [3, c.107]).

Лемма 1.	Группа SL n (Z) порождается трансвекциями t ij (1) , i = j, i, j	= 1, 2, . .	. , n .
Пусть
/ 0	0   ...    0    0    1 \           / 0    0   ...    0    0	1 \
0	0  ...  0  10           10  ...  0  0	0
т =   0	0   ...    1    0    0     , ц =     0    1   ...    0    0	0       .
... 1	...   ...   ...   ...   ...                   ...   ...   ...   ...   ... 0   ...    0    0    0                  0    0   ...    0    1	... 0

Матрица τ — инволюция, а µ имеет порядок n и действует сопряжениями регулярно на следующем множестве трансвекций:

M = { t i n (1), t i +i i (1), i = 1, 2,... ,n - 1 } .

Коммутируя между собой трансвекции из множества M , можно получить все трансвек-ции t ij (1). Следовательно, множество M порождает группу SL n (Z ). Более того, справедлива

Лемма 2. Группа SLn(Z) порождается одной из трансвекций tin(1), ti+ii(1), tn-in(1), tii+i(1), i = 1,2,...,n - 1, и мономиальной матрицей пц для любой (1, — 1) -диагональной матрицы п с условием, что пц Е SLn(Z).

Здесь и далее под (1, — 1)-диагональной матрицей понимается диагональная матрица с элементами ± 1 по диагонали.

В следующем параграфе наряду с матричной записью элементов из групп SL n (Z ) и PSL _n (Z) будем использовать терминологию групп Шевалле, рассматривая SL n (Z ) и PSL _n (Z) соответственно как универсальную и присоединенную группу Шевалле типа A n - 1 .

Пусть Ф — система корней типа A i с базой П = { r i , Г 2 ,..., r i } , l = n — 1.

Группа Шевалле A i (Z ) (универсальная или присоединенная) типа A i над кольцом целых Z порождается своими корневыми элементами x r (1), r Е Ф.

Для любого r Е Ф и t = 0 положим nr (t) = xr (t)x-r (—t-1)xr (t), nr = nr (1), hr (—1) = n2.

Отображение ti+ii(t) ^ Xri(t), i = 1, 2,..., l, t Е Z, продолжается до изоморфизма группы SLn(Z) на универсальную группу Шевалле Al (Z), а выписанные выше мономиальные матрицы т и ц являются соответственно прообразами элементов wg и w из группы Вейля W при естественном гомоморфизме мономиальной подгруппы N на группу W, где wg(r) Е Ф- для любого r Е Ф+, а w = wr1 wr2 .. .wrl. Здесь Ф+ — положительные корни, а Ф- — отрицательные корни. Поэтому лемму 2 можно переформулировать в терминах групп Шевалле.

Лемма 3. Группа Шевалле Ai(Z) порождается любым корневым x±ri(1), ri Е П, x±(r1+ +rl)                                    (1)

и мономиальным n _w элементами, если w = w _r 1 w _r 2 ... w r l .

В статье приняты следующие сокращения:

a b = bab ^-1 , [a, b] = aba ^-1 b ^-1 .

2.    Порождающие тройки инволюций при n > 5

Пусть τ и µ такие же как в первом параграфе. Матрицы τ и

/ 0    0

0    0

0    1    0 \

1    0    0

Т h ---        . . . . . .

0    00

0    01/

являются инволюциями, но не всегда лежат SL n (Z ) (это зависит от их размерности). Подберем (1,-1)-диагональные матрицы η 1 и η 2 так, чтобы матрицы η 1 τ и η 2 τµ лежали в SL n (Z), а их образы в PSL n (Z ) были бы инволюциями. Выбираем n i , П 2 следующим образом:

при n -4k + 1 (— 5, 9,...) ni — П2 — EnS при n — 2(2k + 1) + 1 (— 7,11,...) ni — -En, n2 — EnS при n — 4k (—8,12,...) ni — En, П2 — diag(En-i, -1);

при n — 2(2k + 1) (— 6,10,...) n i — diag( - E 2 k +i , E 2 k +i ), n 2 — E n -

Пусть a — t2i(-1)tn-in(-1) diag(-1, En-2, -1), при n — 5, 6, a — t2i(1)tn-in(1) diag(1, -1, -1, En—6, -1, -1,1), при n > 7, в — niT, при n > 5,

Y — n 2 Th, при n >  5.

Утверждения следующей леммы проверяются непосредственно.

Лемма 4. Пусть α , β , γ — такие как и выше. Тогда:

• 1)    ав — ва;

• 2)    a, y — инволюции из SL _n (Z ) ;

• 3)    в — инволюция из SL _n (Z ) , если n — 2(2k + 1) ;

• 4)    если n — 2(2k + 1), то в ² — -E n и, следовательно, образ в является инволюцией в PSL n (Z ) .

В следующих параграфах 3–5 показывается, что инволюции α , β , γ порождают группу PSL _n (Z ) при n > 7, n — 6 и n — 5 соответственно. Далее будет полезно следующее замечание. В силу построения вY — П з Ц для некоторого (1, - 1)-диагонального элемента η 3 . Поэтому по лемме 2 доказательство теоремы 1 можно свести к проверке предположения следующей леммы.

Лемма 5. Если группа, порожденная инволюциями α, β, γ, содержит одну из транс-векций tin (1), ti+ii (1), tn-in(1), tii+i(1), i — 1, 2,...,n - 1, в терминологии групп Шевалле один из корневых элементов x±ri (1), ri € П, x±(ri +-----+rl) (1), то она совпадает с группой PSLn(Z).

Вычисления показывают, что при l >  6

a ⁿ = X r 2 ( ± 1)x r _{1 +}__{+ r i} ( ± 1)h r 3 ( - !)h r l С — ¹), a ⁿ 2 = Х г з ( ± 1)x — r i ( ± 1)h r 4 С - 1)h r i + ••• + r i ( — 1), [^a, ^a^ ] = x r i + r 2 ⁽ ± ^1)x r i ++ r _{l -1} ⁽ ± 1), ⁽[^a, ^{а П ]а П} ) = ^Х Г 1 + Г 2 + Г 3 ⁽ ± ^1)x r 2 ⁽ ± ^1)х г 2 + г з ⁽ ± ^1)x r 2 +----- + Г 1- 1 ⁽ ± ^1),

9 = (([a,a ⁿ ]a ⁿ 2 ) ² ) ⁿ = ^Х Г 2 + Г 3 + Г 4 ⁽ ± ^1)х Г 3 ⁽ ± ^1)х Г з + Г 4 ⁽ ± ^1)х Г з +-----+ Г 1 ( ± 1),

• ^[9, ^[a, ^а П ^]] = ^Х Г 1 + Г 2 + Г 3 ⁽ ± ^1)х г 1 + г 2 + г з + г 4 ⁽ ± ^1)x r i ++ r i ⁽ ± ^1).

Пусть l >  7. Тогда

^[а, ^{[9, [а}, ^{а П ]]]} = x r i + ^^^ + r i- 1 ( ± 1),

^[a, ^{[9, [а,а П ]]] в} = x -^r i ( ± 1),

[[9, [a,a ⁿ ]], [a, [9, [a,a ⁿ ]]] ^e ] = x_n( ± 1).

Таким образом, в силу леммы 5 теорема 1 доказана для n >  8.

Пусть l = 6. Используя предыдущие вычисления, справедливые при l = 6, получаем

^[a, ^[9, ^[a, ^а П ^]]] — x r i +-----+ Г 5 ⁽ ± ^1)х г 1 + г 2 + г з + г 4 ⁽ ± ²⁾,

^[a, ^{[9, [a}, ^а П ^]]]^ — ^х — Г 2 Г 6 ⁽ ± ^1)x - г з — Г 4 — Г 5 — Г 6 ⁽ ± ²⁾, ^{[[9, [a}, ^{а П} 11, ^[a, ^{[9, [a}, ^{а П ]]] в ]} = x r i ⁽ ± ^1)x r i + r 2 ⁽ ± ²⁾,

(X r ₁ ( ± 1)X r ₁ + r ₂ ( ± 2)) ^П = X r 2 ( ± 1)X r 2 + r 3 ( ± 2),

^[x r i ⁽ ± ^1)x r i + r 2 ⁽ ± ^2),x r 2 ⁽ ± ^1)х Г 2 + г з ⁽ ± ^2)] = x r i + r 2 ⁽ ± ^1)х Г 1 + Г 2 + г з ⁽ ± ²⁾,

^[a,x r i + r 2 ⁽ ± ^1)x r i + r 2 + r 3 ⁽ ± ^2)] = x r i + r 2 ⁽ ± ²⁾.

Сейчас легко получаем, что корневой элемент x _{r i} (1) лежит в группе, порожденной инволюциями α, β, γ, и остается только воспользоваться леммой 5. Таким образом, для n >  7 теорема 1 доказана.

4.    Доказательство теоремы 1 для n = 6

В этом параграфе наряду с матричной записью элементов из группы SL g (Z) будем использовать и терминологию групп Шевалле. Это удобно для быстрого контроля матричных вычислений, хотя в некоторых длинных произведениях (коммутаторах), для того чтобы точно указать знак у коэффициента трансвекции (корневого элемента), входящей в правую часть равенства, без матричного представления трудно обойтись.

Пусть a, в, Y, т, ^, П 1 , П 2 такие как и в параграфах 1 и 2. Тогда при n = 6

П 1 = diag( - 1, - 1, - 1,1,1,1), П 2 = E n ,

/ -1  0  0  00

110 0 0

0 0 100

0  0  0  10

0  0  0  01

- 1

-- x r i ^{( 1)x} - Г 5 ^{( 1)h} r i +-----+ Г 5 ⁽ 1),

/0	0	0	0	0	— 1		0	0	0	0	1	0
0	0	0	0	— 1	0		0	0	0	1	0	0
я      0	0	0	— 1	0	0		0	0	1	0	0	0
в —   0	0	1	0	0	0	— П 1 т,	Y —   0	1	0	0	0	0	— П 2 ТЦ — ТЦ
0	1	0	0	0	0		1	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0		0	0	0	0	0	1

	0	0	0	0	0	— 1
	— 1	0	0	0	0	0
	0	— 1	0	0	0	0
n =	0	0	1	0	0	0	— eY — П 1 Т • ТЦ — nm
	0	0	0	1	0	0
V	0	0	0	0	1	0

— ⁿ1 h r i+----- + Г 5 ^{( 1)h} r 2 + r 3 + r 4 ⁽ l)h r 3 ^{( 1)n} r i ⁿ r 2 ■■■ ⁿ r 5 •

Пусть M — ha, в, Yi Вычисления показывают, что an — Xr2 (±1)xri+-+r5(±1)hr3 (-1)hr5 (—1), a^2 — Хгз (±1)x-ri (±1)hr4 (-l)hri+-+Г5 (-1), \а,аП ] — xri+r2 (±1)xri+—+Г4 (±1), [a, аП]n — xr2+r3 (±1)xr2++Г5 (±1), \a,an ]n2 — ХГ3+Г4 (±1)x-ri-r2 (±1), [a,an ]n3 — ХГ4+Г5 (±1)х-г2-гз (±1).

Так как корневые элементы x _{r i} + r ₂ (£ 1 ) и x _{r i}+_____ + r ₄ (£ 2 ), а также x _r 3 + r ₄ (£ 3 ) и x _{-r i -} r ₂ (£ 4 ) перестановочны и их произведения лежат в M для любых £ 2 , £ 4 — ± 1 при подходящих £ 1 , £ 3 — ± 1, зависящих от £ 2 , £ 4 , то положив £ 4 — — 1 и подобрав соответствующим образом £ 2 , получим включение

6 = [a,a ⁿ ][a,a ⁿ ] ⁿ 2 [a,a ⁿ ] ¹ — X r _i + r ₂ (£ 2 )x - r _i - r ₂ ( — 1)x r _i + r ₂ ( — £ 2 ) € M.

При £2 — 1, 6 — n r i + r 2 X r i + r 2 (— 2), а при £2 — —1 6 — X r i + r 2 (— 2)n r i + r 2 .

Рассмотрим только первый случай, второй рассматривается аналогично, нужно только 6 заменить на 6-1 . В этом случае имеем a5 — x-r2 (±1)x-r5 (±1)x-ri-r2 (±2)hri (—1)h(r4)(—1), 9 = ([a, an]n • a5)2 — xr4(±1)x-r2-r3(±2),

0 ⁿ — x r ₅ ( ± 1)x - r ₃ - r ₄ ( ± 2),

9 ^en — (9 ⁿ ) ^e — x - r i ( ± 1)х г 2 + г з ( ± 2), (9 ^en ) ^{n - 1} — xn + • •• + Г 5 ( ± 1)x r _i + r ₂ ( ± 2), 6((9 ^en ) ^{n - 1} ) ± 1 — n r i + r 2 x _{r i} +.„+ r 5 ( ± 1), (6((9 ^en ) ^{n - 1} ) ± 1 ) ² — h r i + r 2 ( — 1)Х Г 3 + Г 4 + Г 5 ( ± 1)x _{r i} + ... + r 5 ( ± 1), (6((9 ^en ) ^{n - 1} ) ± 1 ) ² • (9 ^en ) ^{n - 1} — h r i + Г 2 ( — 1)Х Г 3 + Г 4 + Г 5 ( ± 1)x r i + r 2 ( ± 2), ((6((9 ^en ) ^{n - 1} ) ± 1 ) ² • (9 ^en ) ^{n - 1} ) ² — X r i + r 2 ( ± 4),

^(x r i +-----+ r 5 ⁽ ± ^1)x r i + r 2 ( ± ^2))±

• X r i + r 2 ( ± 4) — X r i + ^^• + Г 5 ( ± 2),

(x r i ++ Г 5 ( ± 2^{)) П} — ^Х - Г 2 ( ± 2), W’² , ^(x - r 2 ⁽ ± ²⁾⁾] ^{— Х} - Г 1 - Г 2 ⁽ ± ²⁾, ^(х - Г 1 - Г 2 ( ± ^{2)) 5    — Х} Г 1 + Г 2 ( ± ²⁾1

^(х + Г 1 + Г 2 ⁽ ± ^{2)) П — Х} Г 2 + г з ⁽ ± ²⁾,

• (Х Г 2 + Г 3 ( ± 2)) ± ¹ — x - r i ( ± 1).

Сейчас остается только применить лемму 5. Таким образом, для n — 6 теорема 1 доказана.

5.    Доказательство теоремы 1 для n — 5

Пусть α, β, γ, τ, µ, η1, η2 такие как и в параграфах 1 и 2, матрицы η1 , η2 единичные и, следовательно, а n = в?- Тогда при n — 5

Вычисления показывают,

\a, a ⁿ ] —

\a, [a, a ⁿ ] ⁿ ] —

V

V

-

1 0

1 0

1 0

0 0

0 1

\

/

,

\a, a ⁿ ] ⁿ —

V

- 1

1 0

0 0

0 1

\

/

,

- 1

- 2

1 0

0 0

0 1

\\a,a ⁿ ] ⁿ , \a, \a,a ⁿ ] ⁿ Г 1 ]

— t 42 (1),

, \a, \a,a ⁿ ] ⁿ ] ⁿ 1

/

V

- 2

1 0

0 0

0 1

- 1

,

(t 42 (1)) ⁿ 3 — t 25 (1),

\t 42 ^(1),t 25 ^{(1)] e —}

t 21 (1).

a —

(	- 1	0	0	0	0				0	0	0	0	1
	1	1	0	0	0				0	0	0	1	0
	0	0	1	0	0		, в — т —		0	0	1	0	0
	0	0	0	1	1				0	1	0	0	0
1	0	0	0	0	- 1				1	0	0	0	0

,

Y — тц —

0	0	0	1	0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	0	1	0	0	0	0
0	1	0	0	0	, n — ц —   0	1	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	1	0	0	0	1	0

.

что

• Сейчас остается лишь применить лемму 5.