О порождаемости группы $ PSL_n (Z) $ тремя инволюциями, две из которых перестановочны
Автор: Нужин Яков Нифантьевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.10, 2008 года.
Бесплатный доступ
Доказано, что проективная специальная линейная группа PSL_n(Z), n\geq 2, над кольцом целых чисел Z тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда n\geq 5.
Кольцо целых чисел, специальная линейная группа, порождающие элементы
Короткий адрес: https://sciup.org/14318236
IDR: 14318236
Текст научной статьи О порождаемости группы $ PSL_n (Z) $ тремя инволюциями, две из которых перестановочны
Основным результатом статьи является
Теорема 1. Проективная специальная линейная группа PSL n (Z ) , n > 2, над кольцом целых чисел Z тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда n > 5.
Группы, порожденные тремя инволюциями, две из которых перестановочны, будем называть (2 х 2,2)-порожденными, причем не исключаются случаи, когда какие-то две или даже все три инволюции совпадают. Ясно, что если какая-то группа допускает нетривиальный гомоморфный образ, который не является (2 х 2,2)-порожденной группой, то она также не будет (2 х 2,2)-порождена. Поэтому в силу гомоморфизма PSL n (Z ) на PSL n (Z n ) утверждение теоремы для n = 2, 3, 4 вытекает из того, что группы PSL 2 (7), PSL 3 (2), PSL 4 (2) не являются (2 х 2,2)-порожденными [1]. Для n > 5 порождающие тройки инволюций, две из которых перестановочны, группы PSL n (Z ) выписываются явно, причем, если n = 2(2k + 1), то порождающие тройки инволюций берутся из SL n (Z ). Таким образом, при n > 5 и n = 2(2k + 1) получаем более сильное утверждение: группа SL n (Z ) является (2 х 2,2)-порожденной. Ранее [4] М. К. Тамбурини и П. Цукка доказали (2 х 2,2)-порождаемость группы SL n (Z ) при n > 14. Теорема 1 анонсировалась в [2].
1. Обозначения и вспомогательные результаты
Здесь фиксируются некоторые специальные элементы из общей линейной группы GL n (Z ) над кольцом целых чисел Z . Для элементов из PSL n (Z ) будем также использовать матричную запись, считая при этом два элемента равными, если они различаются лишь умножением на скалярную матрицу из SL n (Z ).
Как обычно, через t j (k), k Е Z , i = j , будем обозначать трансвекции, т. е. матрицы E n + ke ij , где E n — единичная (n х n)-матрица, а e j — матричные единицы. Следующая лемма хорошо известна (см., например, [3, c.107]).
Лемма 1. |
Группа SL n (Z) порождается трансвекциями t ij (1) , i = j, i, j |
= 1, 2, . . |
. , n . |
Пусть |
|||
/ 0 |
0 ... 0 0 1 \ / 0 0 ... 0 0 |
1 \ |
|
0 |
0 ... 0 10 10 ... 0 0 |
0 |
|
т = 0 |
0 ... 1 0 0 , ц = 0 1 ... 0 0 |
0 . |
|
... 1 |
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 1 |
... 0 |
Матрица τ — инволюция, а µ имеет порядок n и действует сопряжениями регулярно на следующем множестве трансвекций:
M = { t i n (1), t i +i i (1), i = 1, 2,... ,n - 1 } .
Коммутируя между собой трансвекции из множества M , можно получить все трансвек-ции t ij (1). Следовательно, множество M порождает группу SL n (Z ). Более того, справедлива
Лемма 2. Группа SLn(Z) порождается одной из трансвекций tin(1), ti+ii(1), tn-in(1), tii+i(1), i = 1,2,...,n - 1, и мономиальной матрицей пц для любой (1, — 1) -диагональной матрицы п с условием, что пц Е SLn(Z).
Здесь и далее под (1, — 1)-диагональной матрицей понимается диагональная матрица с элементами ± 1 по диагонали.
В следующем параграфе наряду с матричной записью элементов из групп SL n (Z ) и PSL n (Z) будем использовать терминологию групп Шевалле, рассматривая SL n (Z ) и PSL n (Z) соответственно как универсальную и присоединенную группу Шевалле типа A n - 1 .
Пусть Ф — система корней типа A i с базой П = { r i , Г 2 ,..., r i } , l = n — 1.
Группа Шевалле A i (Z ) (универсальная или присоединенная) типа A i над кольцом целых Z порождается своими корневыми элементами x r (1), r Е Ф.
Для любого r Е Ф и t = 0 положим nr (t) = xr (t)x-r (—t-1)xr (t), nr = nr (1), hr (—1) = n2.
Отображение ti+ii(t) ^ Xri(t), i = 1, 2,..., l, t Е Z, продолжается до изоморфизма группы SLn(Z) на универсальную группу Шевалле Al (Z), а выписанные выше мономиальные матрицы т и ц являются соответственно прообразами элементов wg и w из группы Вейля W при естественном гомоморфизме мономиальной подгруппы N на группу W, где wg(r) Е Ф- для любого r Е Ф+, а w = wr1 wr2 .. .wrl. Здесь Ф+ — положительные корни, а Ф- — отрицательные корни. Поэтому лемму 2 можно переформулировать в терминах групп Шевалле.
Лемма 3. Группа Шевалле Ai(Z) порождается любым корневым x±ri(1), ri Е П, x±(r1+ +rl) (1)
и мономиальным n w элементами, если w = w r 1 w r 2 ... w r l .
В статье приняты следующие сокращения:
a b = bab -1 , [a, b] = aba -1 b -1 .
2. Порождающие тройки инволюций при n > 5
Пусть τ и µ такие же как в первом параграфе. Матрицы τ и
/ 0 0
0 0
0 1 0 \
1 0 0
Т h --- . . . . . .
0 00
0 01/
являются инволюциями, но не всегда лежат SL n (Z ) (это зависит от их размерности). Подберем (1,-1)-диагональные матрицы η 1 и η 2 так, чтобы матрицы η 1 τ и η 2 τµ лежали в SL n (Z), а их образы в PSL n (Z ) были бы инволюциями. Выбираем n i , П 2 следующим образом:
при n -4k + 1 (— 5, 9,...) ni — П2 — EnS при n — 2(2k + 1) + 1 (— 7,11,...) ni — -En, n2 — EnS при n — 4k (—8,12,...) ni — En, П2 — diag(En-i, -1);
при n — 2(2k + 1) (— 6,10,...) n i — diag( - E 2 k +i , E 2 k +i ), n 2 — E n -
Пусть a — t2i(-1)tn-in(-1) diag(-1, En-2, -1), при n — 5, 6, a — t2i(1)tn-in(1) diag(1, -1, -1, En—6, -1, -1,1), при n > 7, в — niT, при n > 5,
Y — n 2 Th, при n > 5.
Утверждения следующей леммы проверяются непосредственно.
Лемма 4. Пусть α , β , γ — такие как и выше. Тогда:
-
1) ав — ва;
-
2) a, y — инволюции из SL n (Z ) ;
-
3) в — инволюция из SL n (Z ) , если n — 2(2k + 1) ;
-
4) если n — 2(2k + 1), то в 2 — -E n и, следовательно, образ в является инволюцией в PSL n (Z ) .
В следующих параграфах 3–5 показывается, что инволюции α , β , γ порождают группу PSL n (Z ) при n > 7, n — 6 и n — 5 соответственно. Далее будет полезно следующее замечание. В силу построения вY — П з Ц для некоторого (1, - 1)-диагонального элемента η 3 . Поэтому по лемме 2 доказательство теоремы 1 можно свести к проверке предположения следующей леммы.
Лемма 5. Если группа, порожденная инволюциями α, β, γ, содержит одну из транс-векций tin (1), ti+ii (1), tn-in(1), tii+i(1), i — 1, 2,...,n - 1, в терминологии групп Шевалле один из корневых элементов x±ri (1), ri € П, x±(ri +-----+rl) (1), то она совпадает с группой PSLn(Z).
Вычисления показывают, что при l > 6
a n = X r 2 ( ± 1)x r 1 +_+ r i ( ± 1)h r 3 ( - !)h r l С — 1), a n 2 = Х г з ( ± 1)x — r i ( ± 1)h r 4 С - 1)h r i + ••• + r i ( — 1), [a, a^ ] = x r i + r 2 ( ± 1)x r i ++ r l -1 ( ± 1), ([a, а П ]а П ) = Х Г 1 + Г 2 + Г 3 ( ± 1)x r 2 ( ± 1)х г 2 + г з ( ± 1)x r 2 +----- + Г 1- 1 ( ± 1),
9 = (([a,a n ]a n 2 ) 2 ) n = Х Г 2 + Г 3 + Г 4 ( ± 1)х Г 3 ( ± 1)х Г з + Г 4 ( ± 1)х Г з +-----+ Г 1 ( ± 1),
-
[9, [a, а П ]] = Х Г 1 + Г 2 + Г 3 ( ± 1)х г 1 + г 2 + г з + г 4 ( ± 1)x r i ++ r i ( ± 1).
Пусть l > 7. Тогда
[а, [9, [а, а П ]]] = x r i + ^^^ + r i- 1 ( ± 1),
[a, [9, [а,а П ]]] в = x -^r i ( ± 1),
[[9, [a,a n ]], [a, [9, [a,a n ]]] e ] = xn( ± 1).
Таким образом, в силу леммы 5 теорема 1 доказана для n > 8.
Пусть l = 6. Используя предыдущие вычисления, справедливые при l = 6, получаем
[a, [9, [a, а П ]]] — x r i +-----+ Г 5 ( ± 1)х г 1 + г 2 + г з + г 4 ( ± 2),
[a, [9, [a, а П ]]]^ — х — Г 2 Г 6 ( ± 1)x - г з — Г 4 — Г 5 — Г 6 ( ± 2), [[9, [a, а П 11, [a, [9, [a, а П ]]] в ] = x r i ( ± 1)x r i + r 2 ( ± 2),
(X r 1 ( ± 1)X r 1 + r 2 ( ± 2)) П = X r 2 ( ± 1)X r 2 + r 3 ( ± 2),
[x r i ( ± 1)x r i + r 2 ( ± 2),x r 2 ( ± 1)х Г 2 + г з ( ± 2)] = x r i + r 2 ( ± 1)х Г 1 + Г 2 + г з ( ± 2),
[a,x r i + r 2 ( ± 1)x r i + r 2 + r 3 ( ± 2)] = x r i + r 2 ( ± 2).
Сейчас легко получаем, что корневой элемент x r i (1) лежит в группе, порожденной инволюциями α, β, γ, и остается только воспользоваться леммой 5. Таким образом, для n > 7 теорема 1 доказана.
4. Доказательство теоремы 1 для n = 6
В этом параграфе наряду с матричной записью элементов из группы SL g (Z) будем использовать и терминологию групп Шевалле. Это удобно для быстрого контроля матричных вычислений, хотя в некоторых длинных произведениях (коммутаторах), для того чтобы точно указать знак у коэффициента трансвекции (корневого элемента), входящей в правую часть равенства, без матричного представления трудно обойтись.
Пусть a, в, Y, т, ^, П 1 , П 2 такие как и в параграфах 1 и 2. Тогда при n = 6
П 1 = diag( - 1, - 1, - 1,1,1,1), П 2 = E n ,
/ -1 0 0 00
110 0 0
0 0 100
0 0 0 10
0 0 0 01
- 1
-- x r i ( 1)x - Г 5 ( 1)h r i +-----+ Г 5 ( 1),
/0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
— 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
— 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||
я 0 |
0 |
0 |
— 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
в — 0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
— П 1 т, |
Y — 0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
— П 2 ТЦ — ТЦ |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
— 1 |
||
— 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
— 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
n = |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
— eY — П 1 Т • ТЦ — nm |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||
V |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
— n1 h r i+----- + Г 5 ( 1)h r 2 + r 3 + r 4 ( l)h r 3 ( 1)n r i n r 2 ■■■ n r 5 •
Пусть M — ha, в, Yi Вычисления показывают, что an — Xr2 (±1)xri+-+r5(±1)hr3 (-1)hr5 (—1), a^2 — Хгз (±1)x-ri (±1)hr4 (-l)hri+-+Г5 (-1), \а,аП ] — xri+r2 (±1)xri+—+Г4 (±1), [a, аП]n — xr2+r3 (±1)xr2++Г5 (±1), \a,an ]n2 — ХГ3+Г4 (±1)x-ri-r2 (±1), [a,an ]n3 — ХГ4+Г5 (±1)х-г2-гз (±1).
Так как корневые элементы x r i + r 2 (£ 1 ) и x r i+_____ + r 4 (£ 2 ), а также x r 3 + r 4 (£ 3 ) и x -r i - r 2 (£ 4 ) перестановочны и их произведения лежат в M для любых £ 2 , £ 4 — ± 1 при подходящих £ 1 , £ 3 — ± 1, зависящих от £ 2 , £ 4 , то положив £ 4 — — 1 и подобрав соответствующим образом £ 2 , получим включение
6 = [a,a n ][a,a n ] n 2 [a,a n ] 1 — X r i + r 2 (£ 2 )x - r i - r 2 ( — 1)x r i + r 2 ( — £ 2 ) € M.
При £2 — 1, 6 — n r i + r 2 X r i + r 2 (— 2), а при £2 — —1 6 — X r i + r 2 (— 2)n r i + r 2 .
Рассмотрим только первый случай, второй рассматривается аналогично, нужно только 6 заменить на 6-1 . В этом случае имеем a5 — x-r2 (±1)x-r5 (±1)x-ri-r2 (±2)hri (—1)h(r4)(—1), 9 = ([a, an]n • a5)2 — xr4(±1)x-r2-r3(±2),
0 n — x r 5 ( ± 1)x - r 3 - r 4 ( ± 2),
9 en — (9 n ) e — x - r i ( ± 1)х г 2 + г з ( ± 2), (9 en ) n - 1 — xn + • •• + Г 5 ( ± 1)x r i + r 2 ( ± 2), 6((9 en ) n - 1 ) ± 1 — n r i + r 2 x r i +.„+ r 5 ( ± 1), (6((9 en ) n - 1 ) ± 1 ) 2 — h r i + r 2 ( — 1)Х Г 3 + Г 4 + Г 5 ( ± 1)x r i + ... + r 5 ( ± 1), (6((9 en ) n - 1 ) ± 1 ) 2 • (9 en ) n - 1 — h r i + Г 2 ( — 1)Х Г 3 + Г 4 + Г 5 ( ± 1)x r i + r 2 ( ± 2), ((6((9 en ) n - 1 ) ± 1 ) 2 • (9 en ) n - 1 ) 2 — X r i + r 2 ( ± 4),
(x r i +-----+ r 5 ( ± 1)x r i + r 2 ( ± 2))±
• X r i + r 2 ( ± 4) — X r i + ^^• + Г 5 ( ± 2),
(x r i ++ Г 5 ( ± 2)) П — Х - Г 2 ( ± 2), W’2 , (x - r 2 ( ± 2))] — Х - Г 1 - Г 2 ( ± 2), (х - Г 1 - Г 2 ( ± 2)) 5 — Х Г 1 + Г 2 ( ± 2)1
(х + Г 1 + Г 2 ( ± 2)) П — Х Г 2 + г з ( ± 2),
• (Х Г 2 + Г 3 ( ± 2)) ± 1 — x - r i ( ± 1).
Сейчас остается только применить лемму 5. Таким образом, для n — 6 теорема 1 доказана.
5. Доказательство теоремы 1 для n — 5
Пусть α, β, γ, τ, µ, η1, η2 такие как и в параграфах 1 и 2, матрицы η1 , η2 единичные и, следовательно, а n = в?- Тогда при n — 5
Вычисления показывают,
\a, a n ] —
\a, [a, a n ] n ] —
V
V
-
1 0
1 0
1 0
0 0
0 1
\
/
,
\a, a n ] n —
V
- 1
1 0
0 0
0 1
\
/
,
- 1
- 2
1 0
0 0
0 1
\\a,a n ] n , \a, \a,a n ] n Г 1 ]
— t 42 (1),
, \a, \a,a n ] n ] n 1
/
V
- 2
1 0
0 0
0 1
- 1
,
(t 42 (1)) n 3 — t 25 (1),
\t 42 (1),t 25 (1)] e —
t 21 (1).
a —
( |
- 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|||
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||||
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
, в — т — |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|||
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||||
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- 1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
,
Y — тц —
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
, n — ц — 0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
.
что
-
Сейчас остается лишь применить лемму 5.
Список литературы О порождаемости группы $ PSL_n (Z) $ тремя инволюциями, две из которых перестановочны
- Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2//Алгебра и логика.-1990.-Т. 29, № 2.-С. 192-206.
- Нужин Я. Н. О (2\times 2,2)-порождаемости групп Шевалле над кольцом целых чисел//Межд. сем. по теории групп, посвященный 70-летию А. И. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина.-Екатеринбург, 2001.-С. 168-169.
- Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.-М.: Мир, 1975.-262 с.
- Tamburini M. C., Zucca P. Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of Which Commute//J. of Algebra.-1997.-V. 195.-P. 650-661.