О порождаемости группы $ PSL_n (Z) $ тремя инволюциями, две из которых перестановочны

Автор: Нужин Яков Нифантьевич

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 1 т.10, 2008 года.

Бесплатный доступ

Доказано, что проективная специальная линейная группа PSL_n(Z), n\geq 2, над кольцом целых чисел Z тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда n\geq 5.

Кольцо целых чисел, специальная линейная группа, порождающие элементы

Короткий адрес: https://sciup.org/14318236

IDR: 14318236

Текст научной статьи О порождаемости группы $ PSL_n (Z) $ тремя инволюциями, две из которых перестановочны

Основным результатом статьи является

Теорема 1. Проективная специальная линейная группа PSL n (Z ) , n >  2, над кольцом целых чисел Z тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда n >  5.

Группы, порожденные тремя инволюциями, две из которых перестановочны, будем называть (2 х 2,2)-порожденными, причем не исключаются случаи, когда какие-то две или даже все три инволюции совпадают. Ясно, что если какая-то группа допускает нетривиальный гомоморфный образ, который не является (2 х 2,2)-порожденной группой, то она также не будет (2 х 2,2)-порождена. Поэтому в силу гомоморфизма PSL n (Z ) на PSL n (Z n ) утверждение теоремы для n = 2, 3, 4 вытекает из того, что группы PSL 2 (7), PSL 3 (2), PSL 4 (2) не являются (2 х 2,2)-порожденными [1]. Для n >  5 порождающие тройки инволюций, две из которых перестановочны, группы PSL n (Z ) выписываются явно, причем, если n = 2(2k + 1), то порождающие тройки инволюций берутся из SL n (Z ). Таким образом, при n >  5 и n = 2(2k + 1) получаем более сильное утверждение: группа SL n (Z ) является (2 х 2,2)-порожденной. Ранее [4] М. К. Тамбурини и П. Цукка доказали (2 х 2,2)-порождаемость группы SL n (Z ) при n >  14. Теорема 1 анонсировалась в [2].

1.    Обозначения и вспомогательные результаты

Здесь фиксируются некоторые специальные элементы из общей линейной группы GL n (Z ) над кольцом целых чисел Z . Для элементов из PSL n (Z ) будем также использовать матричную запись, считая при этом два элемента равными, если они различаются лишь умножением на скалярную матрицу из SL n (Z ).

Как обычно, через t j (k), k Е Z , i = j , будем обозначать трансвекции, т. е. матрицы E n + ke ij , где E n — единичная (n х n)-матрица, а e j — матричные единицы. Следующая лемма хорошо известна (см., например, [3, c.107]).

Лемма 1.

Группа SL n (Z) порождается трансвекциями t ij (1) , i = j, i, j

= 1, 2, . .

. , n .

Пусть

/ 0

0   ...    0    0    1 \           / 0    0   ...    0    0

1 \

0

0  ...  0  10           10  ...  0  0

0

т =   0

0   ...    1    0    0     , ц =     0    1   ...    0    0

0       .

...

1

...   ...   ...   ...   ...                   ...   ...   ...   ...   ...

0   ...    0    0    0                  0    0   ...    0    1

...

0

Матрица τ — инволюция, а µ имеет порядок n и действует сопряжениями регулярно на следующем множестве трансвекций:

M = { t i n (1), t i +i i (1), i = 1, 2,... ,n - 1 } .

Коммутируя между собой трансвекции из множества M , можно получить все трансвек-ции t ij (1). Следовательно, множество M порождает группу SL n (Z ). Более того, справедлива

Лемма 2. Группа SLn(Z) порождается одной из трансвекций tin(1), ti+ii(1), tn-in(1), tii+i(1), i = 1,2,...,n - 1, и мономиальной матрицей пц для любой (1, — 1) -диагональной матрицы п с условием, что пц Е SLn(Z).

Здесь и далее под (1, 1)-диагональной матрицей понимается диагональная матрица с элементами ± 1 по диагонали.

В следующем параграфе наряду с матричной записью элементов из групп SL n (Z ) и PSL n (Z) будем использовать терминологию групп Шевалле, рассматривая SL n (Z ) и PSL n (Z) соответственно как универсальную и присоединенную группу Шевалле типа A n - 1 .

Пусть Ф — система корней типа A i с базой П = { r i , Г 2 ,..., r i } , l = n 1.

Группа Шевалле A i (Z ) (универсальная или присоединенная) типа A i над кольцом целых Z порождается своими корневыми элементами x r (1), r Е Ф.

Для любого r Е Ф и t = 0 положим nr (t) = xr (t)x-r (—t-1)xr (t), nr = nr (1), hr (—1) = n2.

Отображение ti+ii(t) ^ Xri(t), i = 1, 2,..., l, t Е Z, продолжается до изоморфизма группы SLn(Z) на универсальную группу Шевалле Al (Z), а выписанные выше мономиальные матрицы т и ц являются соответственно прообразами элементов wg и w из группы Вейля W при естественном гомоморфизме мономиальной подгруппы N на группу W, где wg(r) Е Ф- для любого r Е Ф+, а w = wr1 wr2 .. .wrl. Здесь Ф+ — положительные корни, а Ф- — отрицательные корни. Поэтому лемму 2 можно переформулировать в терминах групп Шевалле.

Лемма 3. Группа Шевалле Ai(Z) порождается любым корневым x±ri(1), ri Е П, x±(r1+ +rl)                                    (1)

и мономиальным n w элементами, если w = w r 1 w r 2 ... w r l .

В статье приняты следующие сокращения:

a b = bab -1 , [a, b] = aba -1 b -1 .

2.    Порождающие тройки инволюций при n > 5

Пусть τ и µ такие же как в первом параграфе. Матрицы τ и

/ 0    0

0    0

0    1    0 \

1    0    0

Т h ---        . . . . . .

0    00

0    01/

являются инволюциями, но не всегда лежат SL n (Z ) (это зависит от их размерности). Подберем (1,-1)-диагональные матрицы η 1 и η 2 так, чтобы матрицы η 1 τ и η 2 τµ лежали в SL n (Z), а их образы в PSL n (Z ) были бы инволюциями. Выбираем n i , П 2 следующим образом:

при n -4k + 1 (— 5, 9,...) ni — П2 — EnS при n — 2(2k + 1) + 1 (— 7,11,...) ni — -En, n2 — EnS при n — 4k (—8,12,...) ni — En, П2 — diag(En-i, -1);

при n — 2(2k + 1) (— 6,10,...) n i — diag( - E 2 k +i , E 2 k +i ), n 2 E n -

Пусть a — t2i(-1)tn-in(-1) diag(-1, En-2, -1), при n — 5, 6, a — t2i(1)tn-in(1) diag(1, -1, -1, En—6, -1, -1,1), при n > 7, в — niT, при n > 5,

Y — n 2 Th, при n >  5.

Утверждения следующей леммы проверяются непосредственно.

Лемма 4. Пусть α , β , γ — такие как и выше. Тогда:

  • 1)    ав ва;

  • 2)    a, y — инволюции из SL n (Z ) ;

  • 3)    в инволюция из SL n (Z ) , если n — 2(2k + 1) ;

  • 4)    если n — 2(2k + 1), то в 2 -E n и, следовательно, образ в является инволюцией в PSL n (Z ) .

В следующих параграфах 3–5 показывается, что инволюции α , β , γ порождают группу PSL n (Z ) при n > 7, n — 6 и n — 5 соответственно. Далее будет полезно следующее замечание. В силу построения вY — П з Ц для некоторого (1, - 1)-диагонального элемента η 3 . Поэтому по лемме 2 доказательство теоремы 1 можно свести к проверке предположения следующей леммы.

Лемма 5. Если группа, порожденная инволюциями α, β, γ, содержит одну из транс-векций tin (1), ti+ii (1), tn-in(1), tii+i(1), i — 1, 2,...,n - 1, в терминологии групп Шевалле один из корневых элементов x±ri (1), ri € П, x±(ri +-----+rl) (1), то она совпадает с группой PSLn(Z).

Вычисления показывают, что при l 6

a n = X r 2 ( ± 1)x r 1 +_+ r i ( ± 1)h r 3 ( - !)h r l С 1), a n 2 = Х г з ( ± 1)x r i ( ± 1)h r 4 С - 1)h r i + ••• + r i ( 1), [a, a^ ] = x r i + r 2 ( ± 1)x r i ++ r l -1 ( ± 1), ([a, а П П ) = Х Г 1 + Г 2 + Г 3 ( ± 1)x r 2 ( ± 1)х г 2 + г з ( ± 1)x r 2 +----- + Г 1- 1 ( ± 1),

9 = (([a,a n ]a n 2 ) 2 ) n = Х Г 2 + Г 3 + Г 4 ( ± 1)х Г 3 ( ± 1)х Г з + Г 4 ( ± 1)х Г з +-----+ Г 1 ( ± 1),

  • [9, [a, а П ]] = Х Г 1 + Г 2 + Г 3 ( ± 1)х г 1 + г 2 + г з + г 4 ( ± 1)x r i ++ r i ( ± 1).

Пусть l >  7. Тогда

, [9, [а, а П ]]] = x r i + ^^^ + r i- 1 ( ± 1),

[a, [9, [а,а П ]]] в = x -^r i ( ± 1),

[[9, [a,a n ]], [a, [9, [a,a n ]]] e ] = xn( ± 1).

Таким образом, в силу леммы 5 теорема 1 доказана для n >  8.

Пусть l = 6. Используя предыдущие вычисления, справедливые при l = 6, получаем

[a, [9, [a, а П ]]] — x r i +-----+ Г 5 ( ± 1)х г 1 + г 2 + г з + г 4 ( ± 2),

[a, [9, [a, а П ]]]^ — х Г 2 Г 6 ( ± 1)x - г з Г 4 Г 5 Г 6 ( ± 2), [[9, [a, а П 11, [a, [9, [a, а П ]]] в ] = x r i ( ± 1)x r i + r 2 ( ± 2),

(X r 1 ( ± 1)X r 1 + r 2 ( ± 2)) П = X r 2 ( ± 1)X r 2 + r 3 ( ± 2),

[x r i ( ± 1)x r i + r 2 ( ± 2),x r 2 ( ± 1)х Г 2 + г з ( ± 2)] = x r i + r 2 ( ± 1)х Г 1 + Г 2 + г з ( ± 2),

[a,x r i + r 2 ( ± 1)x r i + r 2 + r 3 ( ± 2)] = x r i + r 2 ( ± 2).

Сейчас легко получаем, что корневой элемент x r i (1) лежит в группе, порожденной инволюциями α, β, γ, и остается только воспользоваться леммой 5. Таким образом, для n 7 теорема 1 доказана.

4.    Доказательство теоремы 1 для n = 6

В этом параграфе наряду с матричной записью элементов из группы SL g (Z) будем использовать и терминологию групп Шевалле. Это удобно для быстрого контроля матричных вычислений, хотя в некоторых длинных произведениях (коммутаторах), для того чтобы точно указать знак у коэффициента трансвекции (корневого элемента), входящей в правую часть равенства, без матричного представления трудно обойтись.

Пусть a, в, Y, т, ^, П 1 , П 2 такие как и в параграфах 1 и 2. Тогда при n = 6

П 1 = diag( - 1, - 1, - 1,1,1,1), П 2 = E n ,

/ -1  0  0  00

110 0 0

0 0 100

0  0  0  10

0  0  0  01

- 1

-- x r i ( 1)x - Г 5 ( 1)h r i +-----+ Г 5 ( 1),

/0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

я      0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

в —   0

0

1

0

0

0

П 1 т,

Y —   0

1

0

0

0

0

П 2 ТЦ ТЦ

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

n =

0

0

1

0

0

0

— eY — П 1 Т ТЦ nm

0

0

0

1

0

0

V

0

0

0

0

1

0

n1 h r i+----- + Г 5 ( 1)h r 2 + r 3 + r 4 ( l)h r 3 ( 1)n r i n r 2 ■■■ n r 5

Пусть M — ha, в, Yi Вычисления показывают, что an — Xr2 (±1)xri+-+r5(±1)hr3 (-1)hr5 (—1), a^2 — Хгз (±1)x-ri (±1)hr4 (-l)hri+-+Г5 (-1), \а,аП ] — xri+r2 (±1)xri+—+Г4 (±1), [a, аП]n — xr2+r3 (±1)xr2++Г5 (±1), \a,an ]n2 — ХГ3+Г4 (±1)x-ri-r2 (±1), [a,an ]n3 — ХГ4+Г5 (±1)х-г2-гз (±1).

Так как корневые элементы x r i + r 2 1 ) и x r i+_____ + r 4 2 ), а также x r 3 + r 4 3 ) и x -r i - r 2 4 ) перестановочны и их произведения лежат в M для любых £ 2 , £ 4 ± 1 при подходящих £ 1 , £ 3 ± 1, зависящих от £ 2 , £ 4 , то положив £ 4 1 и подобрав соответствующим образом £ 2 , получим включение

6 = [a,a n ][a,a n ] n 2 [a,a n ] 1 — X r i + r 2 2 )x - r i - r 2 ( 1)x r i + r 2 ( £ 2 ) M.

При £2 — 1, 6 — n r i + r 2 X r i + r 2 (— 2), а при £2 — —1 6 — X r i + r 2 (— 2)n r i + r 2 .

Рассмотрим только первый случай, второй рассматривается аналогично, нужно только 6 заменить на 6-1 . В этом случае имеем a5 — x-r2 (±1)x-r5 (±1)x-ri-r2 (±2)hri (—1)h(r4)(—1), 9 = ([a, an]n • a5)2 — xr4(±1)x-r2-r3(±2),

0 n — x r 5 ( ± 1)x - r 3 - r 4 ( ± 2),

9 en — (9 n ) e — x - r i ( ± 1)х г 2 + г з ( ± 2), (9 en ) n - 1 — xn + • •• + Г 5 ( ± 1)x r i + r 2 ( ± 2), 6((9 en ) n - 1 ) ± 1 — n r i + r 2 x r i +.„+ r 5 ( ± 1), (6((9 en ) n - 1 ) ± 1 ) 2 — h r i + r 2 ( 1)Х Г 3 + Г 4 + Г 5 ( ± 1)x r i + ... + r 5 ( ± 1), (6((9 en ) n - 1 ) ± 1 ) 2 (9 en ) n - 1 — h r i + Г 2 ( 1)Х Г 3 + Г 4 + Г 5 ( ± 1)x r i + r 2 ( ± 2), ((6((9 en ) n - 1 ) ± 1 ) 2 (9 en ) n - 1 ) 2 — X r i + r 2 ( ± 4),

(x r i +-----+ r 5 ( ± 1)x r i + r 2 ( ± 2))±

X r i + r 2 ( ± 4) — X r i + ^^• + Г 5 ( ± 2),

(x r i ++ Г 5 ( ± 2)) П Х - Г 2 ( ± 2), W’2 , (x - r 2 ( ± 2))] — Х - Г 1 - Г 2 ( ± 2), - Г 1 - Г 2 ( ± 2)) 5    — Х Г 1 + Г 2 ( ± 2)1

+ Г 1 + Г 2 ( ± 2)) П — Х Г 2 + г з ( ± 2),

Г 2 + Г 3 ( ± 2)) ± 1 — x - r i ( ± 1).

Сейчас остается только применить лемму 5. Таким образом, для n — 6 теорема 1 доказана.

5.    Доказательство теоремы 1 для n — 5

Пусть α, β, γ, τ, µ, η1, η2 такие как и в параграфах 1 и 2, матрицы η1 , η2 единичные и, следовательно, а n = в?- Тогда при n — 5

Вычисления показывают,

\a, a n ] —

\a, [a, a n ] n ] —

V

V

-

1 0

1 0

1 0

0 0

0 1

\

/

,

\a, a n ] n

V

- 1

1 0

0 0

0 1

\

/

,

- 1

- 2

1 0

0 0

0 1

\\a,a n ] n , \a, \a,a n ] n Г 1 ]

— t 42 (1),

, \a, \a,a n ] n ] n 1

/

V

- 2

1 0

0 0

0 1

- 1

,

(t 42 (1)) n 3 — t 25 (1),

\t 42 (1),t 25 (1)] e

t 21 (1).

a

(

- 1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

, в т

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

- 1

1

0

0

0

0

,

Y — тц

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

, n — ц —   0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

.

что

  • Сейчас остается лишь применить лемму 5.

Список литературы О порождаемости группы $ PSL_n (Z) $ тремя инволюциями, две из которых перестановочны

  • Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2//Алгебра и логика.-1990.-Т. 29, № 2.-С. 192-206.
  • Нужин Я. Н. О (2\times 2,2)-порождаемости групп Шевалле над кольцом целых чисел//Межд. сем. по теории групп, посвященный 70-летию А. И. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина.-Екатеринбург, 2001.-С. 168-169.
  • Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.-М.: Мир, 1975.-262 с.
  • Tamburini M. C., Zucca P. Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of Which Commute//J. of Algebra.-1997.-V. 195.-P. 650-661.
Статья научная