О порождении некоторых матричных групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны
Автор: Шаипова Т.Б.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.27, 2025 года.
Бесплатный доступ
Группу, порожденную тремя инволюциями, две их которых перестановочны, назовем (2×2,2)-порожденной. Известно, что специальная линейная группа SLn(Z+iZ) над кольцом целых гауссовых чисел Z+iZ (соответственно ее фактор-группа по центру PSLn(Z+iZ)) является (2×2,2)-порожденной тогда и только тогда, когда n≥5 и n≠6 (соответственно когда n≥5). Ясно, что общая линейная группа GLn(Z+iZ) не является (2×2,2)-порожденной, поскольку в ней есть матрицы с определителем, отличным от ±1, а определитель любой ее инволюции равен ±1. Известно также, что группа PGLn(Z+iZ) является (2×2,2)-порожденной тогда и только тогда, когда n≥5 и 4 не делит n. В данной статье задача о (2×2,2)-порожденности рассматривается для группы матриц GL±1n(Z+iZ) с определителем ±1 над кольцом целых гауссовых чисел и ее фактор-группы по центру PGL±1n(Z+iZ).
Общая и проективная линейные группы, кольцо целых гауссовых чисел, порождающие тройки инволюций
Короткий адрес: https://sciup.org/143184868
IDR: 143184868 | УДК: 512.54 | DOI: 10.46698/a1967-7824-2561-m
On the Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of which Commute
A group generated by three involutions two of which commute, is called (2×2, 2)-generated. It is known that the special linear group SLn(Z+iZ) over the ring of the Gaussian integers Z+iZ (respectively, its quotient group by the center PSLn(Z+iZ)) is (2×2, 2)-generated if and only if n > 5 and n 6= 6 (respectively, when n > 5). It is clear that the general linear group GLn(Z+iZ) is not (2×2, 2)-generated, since it contains matrices with determinant different from ±1, and the determinant of any of its involutions is equal to ±1. It is also known that the group PGLn(Z + iZ) is generated by three involutions if and only if two of them commute when n > 5 and 4 does not divide n. In this paper we consider the problem on (2 × 2, 2)-generation for the matrix group GL±1 n (Z + iZ) with determinant ±1 over the ring of the Gaussian integers and for its quotient group by the center PGL±1 n (Z + iZ).
