О построении областей устойчивости решений дифференциальных уравнений, зависящих от параметров

В статье рассматривается задача о построении областей устойчивости точек равновесия дифференциальных уравнений, зависящих от параметров. Основными объектами исследования являются автономные и неавтономные периодические системы вида dx

— = A(а,в ) x + a ( x , а,в ), x е R 2 ,     (1)

dt dx

— = A ( t , а,в ) x + a ( x , t , а,в ), x е R ². (2) dt

В уравнении (1) предполагается, что

– постоянная матрица A ( α , β ) и функция a ( x , α , β ) гладко (непрерывно дифференцируемо) зависят от двух скалярных параметров α и β ;

‘ Статья написана по материалам международного симпозиума "Дифференциальные уравнения. Сто лет математической науке Урала". Пермь. 16–19 мая 2016.

– нелинейность a ( x , α , β ) гладко зависит от x и равномерно по параметрам α и β удовлетворяет соотношению:

I a ( x , а, в )|| = O (| | x | |²) при || x || ^ 0.

В уравнении (2) предполагается, что

– матрица A ( t , α , β ) и a ( x , t , α , β ) гладко зависят от двух скалярных параметров α и β и непрерывны по t ;

– нелинейность a ( x , t , α , β ) гладко зависит от x и равномерно по t , α и β и удовлетворяет соотношению

||a ( x , t , а , в )|| = O (|| x ||²) при || x || ^ 0;

– матрица A ( t , α , β )   и функция

a ( x , t , α , β ) являются периодическими по t :

A ( t + T , а , в ) - A ( t , а , в ), a ( x , t + T , а , в ) = a ( x , t , а , в ).

Здесь и ниже символ ||-|| обозначает евклидовы нормы векторов и квадратных матриц.

Уравнения (1) и (2) при всех значениях параметров α и β имеют точку равновесия x = 0, которая при одних значениях параметров может быть устойчивой, а при других – неустойчивой. Связное множество G в плоскости параметров ( α , β ) будем называть областью устойчивости (областью неустойчивости) точки равновесия x = 0 системы (1) или (2), если для любого ( а , в ) е G эта точка является устойчивой (неустойчивой). Границы областей устойчивости и неустойчивости, как правило, представляют собой некоторые кривые γ , при переходе через которые в окрестности точки равновесия x = 0 системы (1) или (2) возможны различные бифуркационные явления (см., напр., [1–3]).

Задача о построении областей устойчивости и неустойчивости и границ между ними является одной из важных и интересных задач теории дифференциальных уравнений и ее приложений. Здесь предложены эффективные методы исследования, решен ряд важных с теоретической и практической точек зрения задач (см., например, [3–6] и имеющуюся там библиографию).

Следует отметить, что большинство известных работ относится к автономным уравнениям [7–11]. Существенно менее изучены эти задачи для неавтономных уравнений с периодическими коэффициентами, хотя к таким задачам приводят многие важные вопросы теории и практики. Основная проблема здесь в сложности задачи построения мультипликаторов, явное построение которых возможно лишь в самых простых случаях. Известные результаты, как правило, относятся к исследованию конкретных уравнений (см. [5, 6, 12]).

В настоящей статье предлагается новый общий подход, позволяющий получать приближенные формулы в задаче построения границ областей устойчивости систем (1) и (2). Подход основан на модификации метода М. Розо [13] и асимптотических формулах теории возмущений линейных операторов [14, 15].

Предлагаемый в статье подход может быть модифицирован и для решения поставленных задач в более общих условиях. Например, для ситуаций, когда системы (1) и (2) являются N — мерными, т.е. в них x е R N , или для уравнений, заданных в комплексном N пространстве C .

• 2.    Автономное уравнение

• 1⁰.    A ₀ имеет простое собственное значение 0 , а другое ее собственное значение является отрицательным;

• 2⁰.    A ₀ имеет пару простых собственных значений ± iю₀, где т ₀ >  0.

• 2.1.    Случай 1⁰. Пусть сначала выполнено условие 1⁰. Обозначим через e и g собственные векторы матрицы A ₀ и транспонированной матрицы A ₀ * соответственно, отвечающие собственному значению 0 . Эти векторы можно считать нормированными равенствами: 11 ^ 11 = 1 и ( e , g ) = 1 . Здесь и ниже символ (•,•) обозначает скалярное произведение векторов.

Рассмотрим сначала автономное уравнение (1). Предполагается, что при некоторых а = а ₀ и в = в ₀ матрица A ₀ = A (а ₀, в ₀) удовлетворяет одному из условий:

В этих условиях, как правило, точка ( α ₀ , β ₀ ) лежит на границе γ ₀ областей устойчивости G_s и неустойчивости G_n системы (1). Приведем подход, позволяющий локально определить границу γ ₀ и области G_s и G_n .

Положим,

$1=(Ааe, g), $ 2 =(Ae e, g), здесь А'а и А'р - производные матрицы A(α , β) , вычисленные в точке (α0 , β0 ) . Ниже будем предполагать, что выполнено соотношение:

$ 12 + $ 22 * 0 . (3)

Тогда уравнение

$ 1 cos ф + $ ₂ sin ф = 0 (4) имеет на промежутке 0 <  ф <  2п в точности два решения ф = ф* и ф = ф* + п .

Теорема 1 . Пусть выполнены условия 1⁰ и (3). Пусть ф* — решение уравнения (4). Тогда

– через точку (α0 , β0 ) плоскости (α , β) проходит единственная гладкая кривая γ0 , являющаяся границей областей устойчи- вости Gs и неустойчивости Gn точки равновесия x = 0 системы (1);

– параметрически заданная прямая а = а 0 + ^ cos ф*, в = в0 + ^ sin ф* является касательной к кривой γ0 .

Зададимся произвольным ф ₀ е [ 0,2 п ) таким, чтобы

Л ₀ = q cos ф ₀ + д ₂ sin ф ₀ * 0 .

Теорема 2 . Пусть выполнены условия 1⁰ и (3). Тогда решение x = 0 системы (1) будет асимптотически устойчивым при всех малых | ^ | таких, что ^Л₀ <  0 ; оно будет неустойчивым, если ^Л₀ >  0 .

Иными словами, параметрически заданная прямая а = а 0 + ^cos ф0, в = в0 + ^sin ф 0 при малых µ содержится в области устойчивости Gs (в области неустойчивости Gn ) точки равновесия x = 0 системы (1), если ^Л0 < 0 (если ^Л0 > 0).

• 2.2.    Случай 2⁰ . Рассмотрим теперь случай, когда выполнено условие 2⁰ . В этом случае существуют ненулевые векторы e,g , e *, g * е R ² такие, что выполняются равенства:

A 0 ⁽ e ⁺ ig ) = i H^(l e ⁺ ig ) ,

*     *          *                      *          *

A 0 ⁽ e ⁺ ig ) = - i® 0⁽ e ⁺ ig ) .

Эти векторы можно считать нормированными равенствами

II e ll = 1 g ll = 1, ⁽ e ’ e * ) = ⁽ g ’ g * ) = 1,

( e , g *) =⁽ g , e *) = 0.

Положим, ni = (Аа e, e *)+(Аа g, g *), n 2 =(Aee,e *)+(Ae g, g *);

здесь A а и A e - производные матрицы A ( α , β ) , вычисленные в точке ( α ₀ , β ₀ ) . Ниже будем предполагать, что выполнено соотношение

П 2 + П 2 * 0 .              (5)

Тогда уравнение n1cosф + n2 sinф = 0         (6)

имеет на промежутке 0 <  ф <  2п в точности два решения ф = ф * и ф = ф* + п .

Теорема 3. Пусть выполнены условия 2⁰ и (5). Пусть ф* - решение уравнения (6). Тогда

– через точку ( α ₀ , β ₀ ) плоскости ( α , β ) проходит единственная гладкая кривая γ ₀ , являющаяся границей областей устойчивости G_s и неустойчивости G_n точки равновесия x = 0 системы (1);

– параметрически заданная прямая а = а 0 + ^ cos ф*, в = в0 + ^ sin ф* является касательной к кривой γ0 .

Зададимся произвольным ф ₀ е [ 0,2 п ) таким, чтобы

Л ₀ = n 1 cos ф ₀ + n ₂ sin ф ₀ * 0.

Теорема 4 . Пусть выполнены условия 2⁰ и (5). Тогда решение x = 0 системы (1) будет асимптотически устойчивым при всех малых | ^ таких, что ^Л₀ <  0 ; оно будет неустойчивым, если ^Л₀ >  0 .

Другими словами, параметрически заданная прямая а = а 0 + ^ cos ф0, в = в0 + ^ sin ф 0 при малых µ содержится в области устойчивости Gs (в области неустойчивости Gn ) точки равновесия x = 0 системы (1), если ^Л0 < 0 (если ^Л0 > 0).

• 3. Неавтономное уравнение

• 3.1.    Случай 1⁰ . Пусть сначала выполнено условие 1⁰ . Как и выше, обозначим через e и g собственные векторы матрицы A ₀ и транспонированной матрицы A ₀ * соответственно, отвечающие собственному значению 0 (см. п. 2.1).

Рассмотрим теперь неавтономное уравнение (2). Для простоты будем предполагать, что при а = а ₀ и в = 0 0 матрица A ₀ = A ( t , а ₀, в ₀) от ■ не зависит. В этом случае матрица A ( t , α , β ) может быть представлена в виде

A ( t , а , в ) = A 0 + ( а - а 0 ) A 1 ( t ) +

+ ( в — в 0 ) B 1 ( t ) + A 2 ( t , а , в ),       (7)

где А ₀ – постоянная матрица, матрицы A ₁( t ) , B ₁( t ) и A ₂( t , α , β ) являются T - периодическими по t , при этом матрица A ₂ ( t , α , β ) равномерно по t удовлетворяет соотношению

I A 2 ( t , а , в )|| = O (( а - а , )² + ( в - в » ) 2 ) при ( а , в ) ^ ( а 0 , в 0 ) .

Будем считать, что для матрицы A ₀ выполнено одно из указанных в п. 2.2 условий 00 1 или 2 .

Положим,

TT

£ 1 = f ⁽ A 1 ⁽ t ) e , g ) dt , £ 2 = ( ⁽ B i ⁽ t ) e , g ) dt ^. 00

Ниже будем предполагать, что выполнено соотношение

£ 12 + £ 22 * 0 .                  (8)

Тогда уравнение

£ 1 cos ^ + £ ₂ sin у = 0         (9)

имеет на промежутке 0 <  у <  2п в точности два решения: у = у* и у = у* + п .

Теорема 5. Пусть выполнены условия 1 0 и (8). Пусть у - решение уравнения (9). Тогда

– через точку ( α ₀ , β ₀ ) плоскости ( α , β ) проходит единственная гладкая кривая γ ₀ , являющаяся границей областей устойчивости G_s и неустойчивости G_n точки равновесия x = 0 системы (2);

– параметрически заданная прямая а = а0 + и. cos у*, в = в0 + ^ sin у* является касательной к кривой γ0 .

Зададимся произвольным у ₀ е [ 0,2 п ) таким, чтобы Л₀ = £ 1 cos у ₀ + £ ₂ sin у ₀ * 0.

Теорема 6. Пусть выполнены условия 1⁰ и (8). Тогда решение x = 0 системы (2) будет асимптотически устойчивым при всех малых | ^ | таких, что ^Л₀ <  0 ; оно будет неустойчивым, если ^^ 0 >  0 .

Иначе говоря, параметрически заданная прямая а = а0 + i.i cosу0, в = в0 + ^ sin у0

при малых µ содержится в области устойчивости G_s (в области неустойчивости G_n )

точки равновесия x = 0 системы (2), если ^^ 0 <  0 (если ^^ 0 >  0 ).

• 3.2.    Случай 2⁰ . Рассмотрим теперь случай, когда для системы (2) выполнено условие 2⁰ . Другими словами, пусть матрица A ₀ из (7) имеет пару простых собственных значений: ± iю₀ , где ю ₀ >  0 .

• 2.1⁰.    A ₀ имеет пару простых собственных значений ± iю₀ , где ю ₀ >  0 и πk

В неавтономном случае условие 2⁰ следует разделять на два случая:

• ю ₀ * — , к - натуральное число;

• 2.2⁰.    A ₀ имеет пару простых собст- πk

венных значений ± гю0, где ю0 = — при не- котором натуральном k .

Случай 2.1⁰ будем называть нерезонансным, а случай 2.2⁰ - резонансным. Здесь ограничимся рассмотрением только нерезонансного случая.

Таким образом, пусть выполнено условие 2.1⁰ . Как и выше, обозначим через e , g , e* , g * е R ² собственные векторы матрицы A ₀ и транспонированной матрицы A 0 соответственно, отвечающие собственному значению ± iю₀ (см. п. 2.2).

Положим,

T

П 1 = f ^[( A 1 ⁽ t ) ^e , ^e * ) ^{+ (} A 1 ⁽ t ) g , g * ^)] dt , 0

T

П 2 = f ^[( B 1 ⁽ t ) e , e *) ^{+ (} B 1 ⁽ t ) g , g * ^)] dt . 0

Ниже будем предполагать, что выполнено соотношение

П12 + П 22 * 0 (10) Тогда уравнение n1cosу + n2 sin у = 0 (11) имеет на промежутке 0 < у < 2п в точности два решения у = у* и у = у* + п .

Теорема 7. Пусть выполнены условия 2.1⁰ и (10). Пусть у' — решение уравнения (11). Тогда

– через точку ( α ₀ , β ₀ ) плоскости ( α , β ) проходит единственная гладкая кривая γ ₀ , являющаяся границей областей устойчивости и неустойчивости G_n точки равновесия x = 0 системы (2);

• – параметрически заданная прямая

a = a 0 + ^ cos ф , в = в ₀ + ^ sin Ф* является касательной к кривой γ ₀ .

Зададимся произвольным ф ₀ e [ 0,2 ^ ) таким, чтобы

Л₀ = n 1 cos ф ₀ + П ₂ sin Ф₀ * 0.

Теорема 8. Пусть выполнены условия 2.1 0 и (10). Тогда решение x = 0 системы (2) будет асимптотически устойчивым при всех малых | ^ | таких, что ^Л₀ <  0 ; оно будет неустойчивым, если ^Л₀ >  0 .

Другими словами, параметрически заданная прямая a = a 0 + i.i cos ф0, в = во + ^ sin Ф 0

при малых µ содержится в области устойчивости G_s (в области неустойчивости G_n ) точки равновесия x = 0 системы (2), если (если ^Л₀ >  0 ).

В настоящей работе приведен подход, позволяющий в явном виде строить касательные к границам областей устойчивости точек равновесия дифференциальных уравнений (1) и (2). Как отмечалось выше, в основе этого подхода лежит модификация метода М. Розо [13] и асимптотические формулы теории возмущений линейных операторов [14, 15].

Указанный подход может быть развит в направлении построения границ областей устойчивости более высокого порядка точности.