О предельном значении гауссовой кривизны минимальной поверхности на бесконечности

DOI:

9 (    /‘.(х,у)     ^ , £/ дх V1 + I ▽ /(х,у)|2     9у

^/ ‘ _у ^{( х,}у)

V ¹ + I ▽ /(х,у) | ²

)    “■

заданное над односвязной областью D, ограниченной двумя кривыми L 1 и L 2 , выходящими из одной точки и уходящими в бесконечность. Будем считать, что /(х, у) G С 2 (D).

Комплекснозначную функцию h(x,y) = h 1 (x,y) + ih ₂ (x, у) называют голоморфной в метрике поверхности, если она удовлетворяет системе уравнений Бельтрами в метрике

этой поверхности (см.: [7, с. 10]). В случае графиков решений, удовлетворяющих (1), эти уравнения имеют вид dh2           /‘X(x,y)f‘y(x,y) dhi            1 + /‘ж2(x,y) dhi

51 (^x,y> - V 1 + lv /(x.y)^ ax^{(x,y) -} V i + iv /(x,y)^ 15

dh2,    .

d (x,y)

^{1 + /} y ² (^x,y⁾    dh i

,                  : —— ( x, y )

• V 1 + l v /(x,y) | ^{2 dx}

-

У Х (^уК ^{( x,} y) dh i    _A

,                   : —— ( x, y ) .

• V 1 + | v /(x,y) | ² dy

Возьмем произвольно точку (x ₀ ,y ₀ ) G D и введем в рассмотрение однозначные в D функции, существование которых показано в работе [5]:

^{( x,}y ) y^(x,y^)— J

(x o ,y o )

( ^Х,у ) g^{( x,} y^{) —} J

(х о ,у о )

f x ⁽t ^,s)^/ y ^{( t,S}    _;j ^{1 + f} ‘ у ^(t,s)

■УГГЛУТМТ2    vi + lv/ (t,s)|2

1 + / ‘ X (t,s)        ,   ^/ X (M^⁽t^{,s )}

dt IdS.

V 1 + l v / (t,s) | ²       V 1 + lv / (t,s) l ²

Известно, что комплекснозначная функция Z — ^ + in, где

^ — x + g(x,y) n — У + u(x,y),

является голоморфной в метрике минимальной поверхности и осуществляет введение на графике z — / (x,y) изотермических координат ( £ , n ) (см.: [5]).

Отображение (2) не уменьшает евклидово расстояние между точками. А именно, для любой пары точек (x ₁ ,y ₁ ) и (x ₂ ,y ₂ ) будет выполнено неравенство [5]:

(^2 — ^1)2 + (n2 — n1)2 > (x2 — x1)2 + (y2 — y1)2, где (^i,n1), (^2,П2) — образы точек (x1,y1) и (x2,y2) соответственно. Из вышесказанного заключаем, что отображение Z(x,y) — однолистно в D, причем образом D в плоскости переменных (^, n) будет некоторая область D, ограниченная кривыми U1 и U2, выходящими из одной точки и уходящими в бесконечность. Здесь L\ и U2 — образы граничных кривых L1 и L2 соответственно.

Пользуясь теоремой Линделефа для функций, голоморфных в неограниченных областях (см.: [3, с. 322]), сформулируем вспомогательную теорему.

Теорема 1. Пусть функция h(^, n)— голоморфна в области D, ограниченной кривыми L1 и L2, выходящими из одной точки и уходящими в бесконечность. Если функция h(^,n) непрерывна на кривых L’ 1 и L’2 и h(^,n) ^ 0     ((^,n) ^ то, (^,n) G L‘п),     п — 1,2, то h(^, n) ^ 0 при (^, n), стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D'.

Тогда, на основании теоремы 1, для функций, голоморфных в метрике поверхности г = /(ж,у), будет справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть функция h(ж, у) — голоморфна в метрике поверхности г = /(ж, у) в области D, ограниченной кривыми L1 и L2, выходящими из одной точки и уходящими в бесконечность. Если функция h(ж, у) непрерывна на кривых L1 и L2 и h(ж,у) ^ 0, ((ж, у) ^ то, (ж, у) G Ln), п = 1, 2, то h(ж, у) ^ 0 при (ж, у), стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D.

Доказательство. Если функция h(ж, у) голоморфна в метрике поверхности г = /(ж, у), то сложная функция h(ж( ^ , п ),у( ^ , п )) будет голоморфной в области D в традиционном понимании. Здесь ж = ж( ^ , п ), у = у( ^ , п ) — отображение, обратное к отображению (2). Голоморфная в области D функция h( Vп ) = h(ж( ^ , п ),у( ^ , п )) является непрерывной на кривых L 1 и L 2 и удовлетворяет условиям теоремы 1, следовательно, h( ^ , п ) ^ 0 при ( Vп ), стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D ’ . А значит, функция h(ж,у) ^ 0 при (ж,у), стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D.

Обозначим К (ж, у) гауссову кривизну минимальной поверхности г = / (ж, у). Отметим, что К (ж, у) <  0. Так как / (ж, у) имеет непрерывные вторые производные вплоть до границы области D, то гауссова кривизна К (ж, у) непрерывна в D. Используя полученные результаты, выводим, что при вышеуказанных предположениях на минимальную поверхность г = /(ж, у) будет справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Если гауссова кривизна К (ж, у) минимальной поверхности (1) на кривых L 1 и L 2 удовлетворяет условиям

К (ж,у) ^ 0    ((ж,у) ^ то, (ж,у) G LJ,     п = 1, 2, то К (ж, у) ^ 0 при (ж, у), стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D.

Доказательство. Рассмотрим комплекснозначную функцию

—

.          / у ^(ж,у)

г------------------ .                                                 .

1 + V 1 + IV / (ж,у) | ²

Х(ж,у) =-----,   (ж,у)     =

^,У) 1 + V 1 + IV /(ж,у) | 2

Известно [7, с. 113], что данная функция является голоморфной в метрике минимальной поверхности г = /(ж, у) и через производную функции х(ж, у) по параметру Z = ^ + г п выражается гауссова кривизна поверхности К (ж, у). Причем

| / с ^(ж,у^{)| 2}

— лг/тоуп! ■ ▽ .лж._У) ² ) 2

(1 + / г+^Жур) ⁴ .

Так как

(1 + IV / (ж,у) | ² ) ²_

(1 + V 1 + IV / (ж,у) | ² ) ⁴

то из равенства (3) и условий теоремы на гауссову кривизну следует, что на кривых L 1 и L 2 функция | х ^ (х, у) 1 непрерывна и представляется как произведение бесконечно малой и ограниченной функций. Следовательно, на кривых L 1 и L 2 получаем, что | х £ (х, у) 1 ^ 0, ((х,у) ^ то ). Тогда голоморфная в метрике поверхности функция х' ^ (х, У) непрерывна на кривых L 1 и L 2 и

Х' с (х,у) ^ 0 ((х,у) ^ то , (х,у) G L_n ), п = 1, 2.

Используя теорему 2 для функции х' ^ (х,У), выводим, что х ^ (х,У) ^ 0 при (х, у), стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D. Тогда, учитывая равенство (3) и неравенство (4), для гауссовой кривизны минимальной поверхности будет выполнено, что К(х,у) ^ 0 при (х, у), стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D.