О представлении операторов обобщённого дифференцирования Гельфонда - Леонтьева в односвязной области

Под оператором обобщённого дифференцирования Гельфонда — Леонтьева (ООД) понимаем линейный непрерывный в H(G) оператор, действующий на последовательности степеней по правилу Dzn := dn xzn 1, л eN, DI := 0 [6]. При этом функция d (z) := ^dnzn называется порож дающей функцией ООД. Пространство операторов Гельфонда — Леонтьева обозначим ^GL (^) 1 ^ диссертации [7] получена такая характеризация и представление ООД.

ЛЕММА 1. Определённое на последовательности степеней {z”J отображение D‘.Dzⁿ‘.= d_n__Yz^{n l}, лей, Dl:=0, расширяется до линейного непрерывного в H(G^ тогда и только тогда, когда ряд d (z) := ^d_nzⁿ сходится в окрестности начала координат, и функциональ-

< £, аналитически продолжается в каждую односвязную об- ласть G'n х Gn, л е N. Имеет место интегральное представление

Работа выполнена в рамках инициативной НИР.

Назовём мультипликатором множества С_г с С по множеству G, сС множество MyG_vGyy.= \z eC\z -G^G-^. Для мультипликатора справедливо равенство (G^ -Cf¹) ¹ ^М y3_vG^ [9]. В частности, мультипликатором множества G назовём множество MyGy^z eC\z-G lG[. Очевидно, leM(Gy

ТЕОРЕМА. Пусть Сесть односвязная область. В случае несвязного мультипликатора M^G) всегда найдётся ООД, для которого функция d (f) многозначная, а в случае связного M(G) * {1} функция dy') локально аналитическая и однозначная на GG' V

Основная часть. В следующей лемме доказаны необходимые свойства мультипликатора области и получено аналитическое описание класса односвязных областей, мультипликатор которых содержит спираль.

ЛЕММА 2. Пусть G — односвязная область в с, тогда:

• 1)    множество M(C)U{0}U{oc} замкнуто;

• 2)    если единичная окружность S (0,1) с М (G ), то G = D (0, /?) либо G = С.

Обратно, если G = D (0, /?) или G = С, то соответственно М (С) = 0 (0,1) и М (G ) = С;

• 3)    пусть мультипликатор M(G) является связным, тогда:

• а)    пусть 0 е М (G ). 3s >0 D(0,e)cM(G) о G ограничена. Если G не ограничена и ?ьС,то0еС и M(G) с 0(0,1);

• б)    в случае 0 г G существует спираль с началом в точке 1, наматывающаяся на точку 0 или на точку оо s :=|z = expire ^!₽0'[: г > 0?с М(С), ф₀ ^nk + ^j и существует полунепрерывная

Фо L I J                                      7 z

сверху на (-so,-ко) функция к^ со связной областью определения {х : к (х)< со), которая определяет область G по формуле G = {z = exp {re”'}: к у sin (ф₀ - ф)) <  г cos (ф₀ - ф));

• в)    в случае 0 е G существует наматывающаяся на точку 0 спираль 8 с М (G ), П/ < ф₀< Зп/, и (-2псозф₀) — периодическая полунепрерывная сверху на (-со,-ко) функция У(ху которая задаёт границу области G по формуле

ГС = jexpl/q (х)со5ф0 + /q(x)s^0---— / >:хе(^о,-ко) >;

• 4)    дополнение G' в случае |ф₀ - п| < ^ представляет собой пучок спиралей с вершиной в беско

нечности, а в случае |ф₀| < % ^{— П}У^{ЧОК с} вершиной в нуле.

Доказательство. Большая часть утверждений 1) — За) доказана в [7]. Прочие доказываются аналогичным образом.

Докажем 36). Так как континуум G содержит точки 0, оо, то на С можно выделить ветвь функции и/ = Inz, являющуюся однолистной и открытой. Область R := In С односвязная. При этом мультипликатор М(С) преобразуется в вычет s(R) этой области R: z-GcGa- In z+RcR. s (/?) = InM (G ). По условию точка 0 = Ini e R является предельной для мультипликатора s (Я).

По лемме [9] существует луч / := j гёр°': г >0 ks(R). Тогда спираль s :=0V^M(GV

фо I L J J

Если бы (p₀=n/r + >V, то s :={z = exp{+r/!: г>0! = 5(0,1)сМ(С), и по пункту 3) G = D(0,R^, что невозможно по условию. Согласно лемме [8] R задаётся полунепрерывной сверху КЗ ^ зс^+зс) функцией к^ со связной областью определения [x:/r(x)R = {и/ = ге^ф': к (г sin (ф₀ - ф)) < г cos (ф₀ - ф)}. Обратное конформное отображение z =е™ даёт такое представление исходной области G.

G = ^z = exp {и/} = expire”'[: к (г51п(ф₀ -ф))< гсоз(ф₀ -ф)}.

Зв) Продолжим lnz из какой-либо точки области G | {0}. Получим аналитическую функцию и/ = Lnz на римановой поверхности /^ с логарифмической точкой ветвления z = 0. и/ = Lnz однолистно и открыто отображает /^ на 2п/ -периодическую односвязную область R := Ln (G \ {0}), содержащую некоторую левую полуплоскость 1ти/<о. Покажем, что множество s (R) := Ln (M(G}\ {0}) совпадает с вычетом области R. Выберем и/₀ := In z₀ + 2пАг/, z₀ е М (С) \ {0} и ^ :=lnz_x +2п//, z_x е(?\{0}. Так как z_Q-z_xeG, то по определению и/₀ + w_x = Inz₀ • z_x + 2п (к + /) i e R . To есть s (R) состоит из точек вычета области. Остаётся показать, что s(R) содержит все точки вычета.

Пусть и/0 0 и Vи/ := Inz + 2п // еR w0+w eR. Положим z0 := e"° => zoz eeR = G \{0}. Так как z0 • 0 e G, to z0 e M(G) =^ и/0 = lnz0 es(/?). Так как 1 есть предельная точка М((?), то 0 — предельная точка s(R^ => ^0e^z3r^ s^ сМ(С) => существует полунепрерывная сверху на (-зо,-н») функция к^ со связной областью определения {х :/г(х)<оо}, которая яв ляется границей области R :=/?-ехр<(%-ф0)л: R = \z = x + yi:к(x)

G \ {0} = ^z = ехр{и/} = expire”'[: /г(гз1п(ф₀ -ф))< гсоз(ф₀ -ф)}.

= к

Пусть j I t £ f go i ~Нзо) уравнение 2п/ -периодической границы области R. Из того, L/ = f что точки kQ(t^ + ti, £0(f) + (f+2п)/еГ7? следует, что их образы х + к (х)/ := ^к0 (f) + ti)exp{(ф0 - ^ /}, хх + к (х,)/ := ^к0 (t) + (t + 2п)/)ехр{(ф0 - г^)/} е Г^.

Расписывая эти равенства, получаем системы:

fx = к₀ (t) sin ф₀ -1 cos ф₀(х_х = к₀ (t + 2п) sin ф₀ - (t + 2п) cos ф₀ = х - 2п cos ф₀

[Ar (х) = к₀ (f) cos фу +1 sin ф₀' [Ar (x_t) = k₀ (f + 2n) cos ф₀ + (t + 2n) sin ф₀ = к (x) + 2n sin ф₀

То есть функция к^ удовлетворяет функциональному уравнению Аг(х-2псо5ф₀) = А'(х) + 2п51пф₀. Обозначим ^(х^Аг^ + ффо-х полунепрерывную сверху на ( +со) функцию. Так как к_х (х - 2пcosф₀) = к (х), то она (-2пcos ф₀) -периодическая.

„ tk₀ (tA = /с(х)со5ф₀ +хз1пф₀

Решение первой системы {     , х                   даёт уравнение границы области:

[t = к(x)sinф₀ -хcosф₀

ГС = {ехр ^о (f) + ti^: t е (^ю, +x)j = ехр^/r(х)созфо + х sin ф0) + (/г (x)sin ф0 -хсо8ф0)/} :х е (-со,-ко

^ I у)г*нсгп -L Uk I у icinrh _ /х^ । л ।^.иь t^q i^ I **^ I^ J^'''Ч*о

• 4)    Комплексную плоскость, в которой находятся М(С),С, обозначим c_z; комплексную плоскость, в которой находятся R := In С (LnG), s (/?), обозначим c_w ; наконец, комплексную плоскость, в которой находятся R :=R -ехр{(% -ф₀)/{ обозначим г. Последняя задаётся полуне-ф₀        W z )

прерывной сверху функцией к(х), а её мультипликатор содержит луч /п/2. vxeC„ вертикальная прямая Rei/ = х распадается на луч х + к (х)/ + (/п/21 {01) ^R и не пересекающуюся с R остав-Х          ’ Фо                                        Фо шуюся часть. Эта прямая поворотом на угол Фо - ^, преобразуется в прямую, которая состоит из луча

(х + А'(х)/)ехр[(ф0 -%)/) + к

\ {0} с R = In С и оставшейся части, не пересекающейся с

/? =1пС. В свою очередь последняя прямая с помощью 2п/-периодического отображения х=ехр{и/{ преобразует в спирали z = г^9”0^ ехр{х//со5ф0{, проходящие через точки ехр{х//со5ф0{ единичной окружности и наматывающиеся на точки 0 и оо. При этом луч

LcsiR преобразуется в спираль s = {exp{tcosф₀ +t sinф₀/: t > 01 = {r^1+t9(p°' 1 с M(C), ko-

V Фо/                                     Фо                                             1        ’ торая наматывается на 0, если |ф0 - п| < ^, и на оо, если |ф0| < ^. Поэтому область Gв первом случае представляет собой пучок спиралей с вершиной в нуле, а во втором — пучок с вершиной на бесконечности. Дополнение G' наоборот, в случае |ф0 - п| < ^ есть пучок спиралей с вершиной на бесконечности, а в случае |ф0| < ^ — ПУЧОК с вершиной в нуле. Отсюда, в частности, следует связность любого пересечения zxG'1 П^2(?'1, zx,z2 eG. Лемма доказана.

Доказательство теоремы. Выберем по точке в двух компонентах связности вычета s((S)

^i е К_х, ^₂ е К_г, и образуем линейный оператор

[Lx](z|s?>±H^Wdl,+x,(o)infti,J- Г х(0^1п[^л

FLll(z) = 0, FLi/l(z) = ln 2^ , FLi/nll(z)= [ vn 2dv = ^——-

L J \       ' L J V /       7   ' L J V / J             n -1 7"-1

z/^2             11   1VL>142

Его порождающая функция d (z) := In

локально аналитическая на GG'¹ = (М(С))'

но мно

гозначная, так как при обходе переменной годной из компонент Ki значение d^ изменится на слагаемое 2п/.

Пусть теперь мультипликатор М (G) связный и * {1}. Согласно лемме 1 функция d (Q ана литическая в окрестности нуля и аналитически продолжается в каждую область z • G’NY, z eGn, no формуле

Огтэртг*а  лниз’эзти  опио^идиипстц  ^тпгп  птнАлу/оима  иэ x^l»। асi <-^i   ди1ха5а i в   идпиимочмис id  a i ui и   i i^aj^U/ izixCHrizi   no

GG* 1 = (м1. Пусть L eGG' \ L ^0, и для LLeG', zvz,eG G= — = — d^^kjj^z^ на z^G^.n d(^) = ^k^-.z^ на z2-С^1. По теореме единственности то-

ГЛЭ П (( I — ¹ к  L 7 — ^z к  ^z 7     1-1Э СВСЭиНМ ИНМПНЫРЫТР ГГГИПкППГП MUHWWTD3

। да и I ц । ~      _f Zi — —~      _f       па ивяэнии kumi iumcm i с и i rudi i ui и мпижссi ва

^Z1*^N I I ^Z2 ' ^N '

В силу пункта 4 леммы 2 множество zxG,x W^G’"1 связное, и потому находится в этой связной компоненте. В частности, в точке £0

'2 или

тА^—к^у

Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. В частном случае М((?) = (0,1) теорема была доказана в [6], а в случае, когда Gесть звёздная относительно начала координат область — в работе [10].

Заключение. Получено геометрическое описание односвязных областей G, имеющих связный мультипликатор. Этот класс областей характеризуется тем, что ядро любого ООД Гельфонда — Леонтьева из £_а (G) порождается однозначной аналитической функцией.