О представлении определенных интегралов значениями функции и ее производных
Автор: Шустов Виктор Владимирович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.22, 2020 года.
Бесплатный доступ
Рассмотрена задача интегрирования функции на основе ее приближения двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита. Получены квадратурные формулы для общего случая, когда порядки производных, заданных в концевых точках отрезка, могут быть не равны друг другу. Представлена формула для остаточного члена, и на этой основе дана оценка погрешности численного интегрирования. Приведены примеры интегрирования функций с данными о погрешности и ее оценке. Проведено сравнение двухточечного приближения интегралов с методом, основанным на использовании формулы Эйлера - Маклорена. Cравнение метода двухточечного интегрирования с подходом, основанном на использовании формулы Эйлера - Маклорена, показало, что для достаточно гладких функций точность двухточечного интегрирования существенно выше, чем по формуле Эйлера - Маклорена. Приведен пример интеграла, для которого его приближения, полученные с использованием формулы Эйлера - Маклорена, расходятся, а полученные по формуле двухточечного интегрирования сходятся и достаточно быстро. Отметим также, что в отличие от формулы Эйлера - Маклорена, формула двухточечного интегрирования применима и в случае, когда максимальные порядки производных на концах отрезка интегрирования могут быть не равными друг другу, что важно в практических приложениях.
Квадратура функций, двухточечный интерполяционный многочлен эрмита, квадратурные формулы с использованием производных, оценка погрешности интегрирования, формула эйлера - маклорена, сходимость приближений
Короткий адрес: https://sciup.org/143170645
IDR: 143170645 | УДК: 519.644 | DOI: 10.46698/v5909-5966-1536-u
On representation of certain integrals using the values of a function and its derivatives
The problem of integrating a function on the basis of its approximation by two-point Hermite interpolation polynomials is considered. Quadrature formulas are obtained for the general case, when the orders of the derivatives given at the endpoints of the segment can be not equal to each other. The formula for the remainder term is presented and the error of numerical integration is estimated. Examples of integrating functions with data on error and its estimation are given. A two-point approximation of the integrals is compared with a method based on the Euler-Maclaurin formula. Comparison of the two-point integration method with the approach based on the use of the Euler-Maclaurin formula showed that for sufficiently smooth functions the accuracy of two-point integration is significantly higher than by the Euler-Maclaurin formula. An example of an integral is given for which its approximations obtained using the Euler-Maclaurin formula diverge, and those obtained by the formula two-point integration converge quickly enough. We also note that, in contrast to the Euler-Maclaurin formula, the two-point integration formula is also applicable in the case when the maximum orders of the derivatives at the ends of the integration interval may not be equal to each other, which is important in practical applications.
Список литературы О представлении определенных интегралов значениями функции и ее производных
- Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 1. М.: Физматлит, 1962. 464 с.
- Гончаров В. И. Теория интерполирования и приближения функций. М.: Гостехтеориздат, 1934. 316 с.
- Микеладзе Ш. Е. Численные методы математического анализа. М.: Гостехтеориздат, 1953. 528 с.
- Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1987. 248 с.
- Калитки Н. Н. Численные методы: учеб. пособие. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 592 с.
- Никольский С. М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988. 256 с.
- Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1970. 800 с.
- Шустов В. В. О приближении функций двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2015. Т. 55, № 7. C. 1091-1108.
- DOI: 10.7868/S004446691504016X
- Шустов В. В. О представлении интегралов значениями функции и ее производных на основе использования двухточечных многочленов Эрмита // Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование: тез. докл. XIII Междунар. науч. конф. (пос. Дивноморское, 7-14 сентября 2016 г.). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2016. С. 85-87.
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. СПб.: Изд-во "Лань", 2010. 608 с.
- Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. 2. М.: Высшая школа, 1970. 592 с.
- Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. 1. М.: Высшая школа, 1981. 584 с.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 832 с.
- Шустов В. В. О представлении интегралов значениями функции и ее производных на основе использования двухточечных многочленов Эрмита // Мат. форум. Т. 11. Исследование по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям; ЮМИ ВНЦ РАН.-Москва: РАН, 2017. С.113-122. (Итоги науки. Юг России).
