О представлении в интегральном виде решений одного дифференциального уравнения с особенностями в коэффициентах

Автор: Ситник Сергей Михайлович

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 4 т.12, 2010 года.

Бесплатный доступ

Рассматриваются представления в интегральном виде решений одного дифференциального уравнения с особенностями в коэффициентах, содержащего оператор Бесселя. Доказывается существование интегральных представлений определенного вида для указанных решений методом последовательных приближений с использованием операторов преобразования. По сравнению с известными ранее результатами допускаются потенциалы с сильными сингулярностями в начале координат. Также по сравнению с известной схемой Б. М. Левитана функция Грина выражается не через общую гипергеометрическую функцию, а более конкретно через функцию Лежандра, что позволяет избежать неизвестных постоянных в оценках.

Еще

Операторы преобразования, оператор бесселя, функция грина, гипергеометрическая функция, функция лежандра, сингулярные потенциалы.

Короткий адрес: https://sciup.org/14318330

IDR: 14318330

Текст научной статьи О представлении в интегральном виде решений одного дифференциального уравнения с особенностями в коэффициентах

В различных разделах математики и теоретической физики применяются методы теории операторов преобразования (см. [1–5] и подробную библиографию в [6–8]).

Рассмотрим задачу о построении оператора преобразования S α вида

S α

u(r) = u(r) + У r

P (r, t)u(t) dt,

определенного на любых функциях u Е C 2 (0, го) и сплетающего операторы B a — q(r) и B α по формуле

S a (B a — q(r))u = B a S a U.                              (2)

Здесь B α — оператор Бесселя

B a u = u " (r) + u'(r), a >  0. r

Сформулированная задача о построении оператора преобразования по существу эквивалентна задаче о нахождении решений дифференциального уравнения, коэффициенты которого имеют особенность в начале координат,

B a v(r) - q(r)v(r) + Av(r) = 0

(c) 2010 Ситник С. М.

через решения невозмущенного уравнения u(r), причем ищутся решения, представимые в виде (1) с некоторым ядром P (r, t). Выбор пределов интегрирования в представлении (1) приводит к тому, что искомое решение и его производная имеют ту же асимптотику, что и невозмущенное решение на бесконечности при выполнении очевидных требований к ядру P (r, t).

Представление решений однородного уравнения (4) по формуле (1) обычно называется представлением Йоста. Возможность такого представления с достаточно «хорошим» ядром P для широкого класса потенциалов q(r) лежит в основе классических методов решения обратных задач квантовой теории рассеяния [9–11].

Данный тип задач имеет долгую историю. Существование представления Йоста, сохраняющего асимптотику при r → ∞, впервые было доказано для уравнения Штурма — Лиувилля (а = 0, q — суммируемая функция) Б. Я. Левиным в [12]. Операторы преобразования для оператора Бесселя впервые на русском языке были подробно изучены в широко известной работе Б. М. Левитана [13], и далее в их изучение основной вклад вносили математики харьковской школы. Случай непрерывной q, а >  0, подробно рассмотрен в различных аспектах в работах А. С. Сохина [14–17], а также ряда других авторов (см. подробнее [6]). Оригинальная методика для решения поставленной задачи была разработана В. В. Сташевской [18], что позволило ей включить в рассмотрение сингулярные потенциалы с оценкой в нуле |q(r)| 6 cx -3/2+e , Е >  0 при целых а, это методика получила широкое развитие. В работе автора [19] условия на q(r) были ослаблены до оценки |q(r)| 6 C/r 2 методом Сташевской.

Вместе с тем во многих математических и физических задачах необходимо рассматривать сильно сингулярные потенциалы, например, допускающие произвольную степенную особенность в нуле. В настоящей работе сформулированы результаты по интегральному представлению решений уравнений с подобными сингулярными потенциалами. Полученные результаты являются развитием известных ранее в следующих направлениях.

  • 1.    Найдено интегральное представление решений для дифференциального уравнения с сингулярным потенциалом, имеющим достаточно произвольную особенность в начале координат. От потенциала требуется лишь мажорируемость определенной функцией, суммируемой на бесконечности. В частности, к классу допустимых в данной работе относятся: сингулярный потенциал q = r -2 , сильно сингулярный потенциал со степенной особенностью q = r -2-e , е >  0, потенциалы Юкавы типа q = e -ar /r, потенциалы Баргма-на и Батмана — Шадана [11] и ряд других. При этом на функцию q(r) не накладывается никаких дополнительных условий типа быстрой осцилляции в начале координат или знакопостоянства, что позволяет изучать притягивающие и отталкивающие потенциалы единым методом.

  • 2.    Доказательство существования оператора преобразования или интегрального представления решений возмущенного уравнения, что одно и то же, проводится по существу по известной схеме из работы Б. М. Левитана [13]. Мы вносим небольшое усовершенствование в эту схему, так как используемую в доказательстве функцию Грина как оказалось можно выразить не только через общую гипергеометрическую функцию Гаусса, но и более конкретно через функцию Лежандра, что позволяет избавиться от неопределенных постоянных в оценках из [13].

  • 3.    Ранее рассматривались лишь случаи одинаковых пределов (оба вида [0; a] или [a; го]) в основном интегральном уравнении для ядра оператора преобразования. В данной работе впервые показано, что можно рассматривать случай различных пределов в основном интегральном уравнении. Именно такая расстановка пределов и позволила охватить более широкий класс потенциалов с особенностями в нуле. Кроме того, указан-

  • ный способ позволяет рассматривать решения с более общими начальными условиями.
  • 4.    Изложенная техника полностью переносится и на задачу о построении неклассических операторов обобщенного сдвига. Данная задача по существу эквивалентна выражению решений уравнения

B a,x u(x, y) - q(x)u(x, y) = B e,y u(x, y) (5)

через решения невозмущенного волнового уравнения при наличии дополнительных условий, обеспечивающих корректность. Такие представления получаются уже из факта существования операторов преобразования и изучались для несингулярного случая (a = в = 0) в [20, 21] как следствия теории обобщенного сдвига. Интересная оригинальная методика для получения подобных представлений также в несингулярном случае разработана в работах А. В. Боровских [22, 23]. Из результатов настоящей работы следуют интегральные представления некоторого подкласса решений уравнения (5) в общем сингулярном случае для достаточно произвольных потенциалов с особенностями в начале координат, причем оценки для решений не содержат неопределенных постоянных. Как уже отмечалось, три задачи о построении оператора преобразования, представлении решений возмущенного уравнения и нахождении оператора обобщенного сдвига по существу эквивалентны, поэтому далее результаты приводятся для задачи о построении оператора преобразования. Отметим, что при более ограничительных условиях на потенциал ранее автором были получены результаты, опубликованные в [24, 25].

Основные результаты

Введем новые переменные и функции по формулам:

€ = t+T п = -

-

r

-, € п> 0;

к(r,-) = (-) p (r,t), и(€,п) = к (€ - п, € + п).

Обозначим v = a — 1. Таким образом, для обоснования представления (1), для решения уравнения (4) достаточно определить функцию и(€,п). Известно [14, 24, 26], что если существует дважды непрерывно дифференцируемое решение u(€, п) интегрального уравнения

u ( ^,n) = - 2 У R v (s, 0; ^,n)q ( s) ds

ξ

∞η

- J ds У q(s + т)R v ( s,t ; €,n)u(s,T) dT,

при условиях

мулам (6) через

P (r, t) определяется по фор-это решение и(€,п). Функция Rn = Ra-1 является функцией Римана,

возникающей при решении следующей задачи для сингулярного гиперболического уравнения

д2и(€,п)   4a(a — 1)€п д€дп      (€2 — п2)2

(€ 2 -

и ( ^,п) = q ( + пМ^п),

u(€, 0) = — 2 У q(s) ds. ξ

Эта функция известна в явном виде, она выражается через гипергеометрическую функцию Гаусса 2 F 1

_ / s2 - п2 e - т 2 \ v                s 2 - < 2

П 2 - т2

• < 2 - т 2

R v (s 2 - т 2 • < 2 - n2) 2 F4 V, s 2 - n 2

Это выражение упрощено в [24], где показано, что функция Римана в рассматриваемом случае выражается через функцию Лежандра по формуле

R v ^,т,е,п) = P v 1+Ц , A = П- ---2 •       .              (7)

\ 1 - А/        е 2 - т 2 s 2 - n 2

Основное содержание статьи составляет

Теорема 1. Пусть функция q(r) Е C 1 (0, го) удовлетворяет условию

| q ( s + т )1 6 |p( s )l

(V s, т,

0 < т < s

),

|p(t)| dt < го

( v е > о).

ξ

Тогда существует интегральное представление вида (1), ядро которого удовлетворяет оценке

।PMl 6 (0а 2 / Pa-1 У ' +       - r2) )Wy)|dy t+r

1 -   1 7„   (УУ? + r2) - (t2 - r2?!,,,,/ x exp

(—) 2 / Pa-1 (2^-----1) \Pto\dy t + r                                                                         •

При этом ядро оператора преобразования P (r, t) , а также решение уравнения (4) являются дважды непрерывно дифференцируемыми на (0, го) по своим аргументам.

Перечислим классы потенциалов, для которых выполнены условия (8). Если |q(s)| монотонно убывает, то можно принять p(s) = |q(s)|. Для потенциалов с произвольной особенностью в начале координат и возрастающих при 0 < r < M (например, кулоновских q = - Г ), которые обрезаны нулем на бесконечности, q(r) = 0, r >  M , можно принять p(s) = |q(M)|, s M , p(s) = 0, s M . Условию (8) будут также удовлетворять потенциалы с оценкой q(s + т ) 6 c|q(s)|. На возможность подобного усиления теоремы 1 внимание автора обратил В. В. Катрахов.

Замечание. Фактически при доказательстве приведенной теоремы не нужен явный вид функции Римана (7). Используется только существование функции Римана, ее положительность и некоторое специальное свойство монотонности. Эти факты являются довольно общими, поэтому полученные результаты можно обобщить на достаточно широкий класс дифференциальных уравнений.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 . Тогда для ядра оператора преобразования P (r, t) справедлива оценка

| P ( r,t ) l 6 2 ( r ) P a- 1 ( t-^+rr" ) / | P ( У ) | dy

r

x exp

[2 (t^)Pa- 1 (t^)/^

r

Отметим, что при r ^ 0 ядро интегрального представления может иметь экспоненциальную особенность.

Для класса потенциалов со степенной сингулярностью вида

q(r) = r ( -2e+1 ) , в> 0

полученные оценки можно упростить не снижая их точности.

Теорема 3. Рассмотрим потенциал вида (9) . Тогда теорема 1 выполняется с оценкой

.P (r t)| 6 (t Г Г(в 4 р - в ( ti±r 2 ^ ехр [(L—IА Г(в)4 в-1 р - в ( « 2 +^\1 .

,        V / (t 2 - г 2 ) в а 1 \ 2tr )           r / (t 2 - г 2 ) в а 1 \ 2tr

Данная оценка получается после довольно длинных вычислений с использованием знаменитой теоремы Слейтер — Маричева [27], которая помогает вычислить в терминах гипергеометрических функций необходимые интегралы после их сведения к свертке Меллина.

Эта оценка была получена в работе [19] для потенциала q(r) = cr -2 , для которого в = 2 . Как следует из [24], в этом случае функция Лежандра P v 1/2 (z) может быть выражена через элементарные функции. Поэтому и соответствующая оценка может быть выражена через элементарные функции.

Другим потенциалом для которого рассматриваемая оценка оценка может быть выражена через элементарные функции, является потенциал вида q(r) = r -2в+1 , для которого в = a — 1.

Список литературы О представлении в интегральном виде решений одного дифференциального уравнения с особенностями в коэффициентах

  • Carroll R. Transmutation, scattering theory and special functions.-Amsterdam-New York: North-Holland Publ. Company, 1982.-457 p.
  • Carroll R. Transmutation theory and applications.-Amsterdam-New York: North-Holland Publ. Company, 1986.-351 p.
  • Gilbert R., Begehr H. Transformations, transmutations and Kernel functions. Vol. 1-2.-Harlow: Longman, 1992.-399 p.
  • Фаге Д. К., Нагнибида Н. И. Проблема эквивалентности обыкновенных дифференциальных операторов.-Новосибирск: Наука, 1977.-280 с.
  • Марченко В. А. Операторы Штурма -Лиувилля и их приложения.-Киев: Наукова Думка, 1977.-331 с.
  • Ситник С. М. Операторы преобразования и их приложения//Исследования по современному анализу и математическому моделированию/Ред. Ю. Ф. Коробейник, А. Г. Кусраев.-Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008.-C. 226-293.
  • Ситник С. М. Решение задачи об унитарном обобщении операторов преобразования Сонина-Пуассона//Научные ведомости Белгородского государственного университета.-2010.-Вып. 18, № 5 (76).-С. 135-153.
  • Ситник С. М. Метод факторизации операторов преобразования в теории дифференциальных уравнений//Вестн. СамГУ. Естеств. серия.-2008.-Т. 67, № 8/1.-С. 237-248.
  • Агранович З. С., Марченко В. А. Обратная задача теории рассеяния.-Харьков: изд. ХГУ, 1960.-268 с.
  • Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма -Лиувилля.-М.: Наука, 1984.-240 с.
  • Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния.-М.: Мир, 1980.-408 с.
  • Левин Б. Я. Преобразования типа Фурье и Лапласа при помощи решений дифференциального уравнения второго порядка//Докл. АН СССР.-1956.-Т. 106, № 2.-С. 187-190.
  • Левитан Б. М. Разложения по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье//УМН.-1951.-Т. 6, вып. 2.-С. 102-143.
  • Сохин А. С. Об одном классе операторов преобразования//Тр. физ.-тех. ин-та низких температур АН УССР.-1969.-Вып. 1.-С. 117-125.
  • Сохин А. С. Обратные задачи рассеяния для уравнений с особенностью//Тр. физ.-тех. ин-та низких температурур АН УССР.-1971.-Вып. 2.-С. 182-233.
  • Сохин А. С. Обратные задачи рассеяния для уравнений с особенностями специального вида//Теория функций, функциональный анализ и их приложения.-1973.-№ 17.-C. 36-64.
  • Сохин А. С. О преобразовании операторов для уравнений с особенностью специального вида//Вестн. Харьковского ун-та.-1974.-№ 113.-C. 36-42.
  • Сташевская В. В. Об обратной задаче спектрального анализа для дифференциального оператора с особенностью в нуле//Уч. зап. Харьковского мат. об-ва.-1957.-№ 5.-С. 49-86.
  • Ситник С. М. Операторы преобразования для дифференциального выражения Бесселя.-Воронеж: Воронеж. ун-т, 1987.-28 с. Деп. в ВИНИТИ № 535-В87.
  • Левитан Б. М. Применение операторов обобщенного сдвига к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка//Успехи мат. наук.-1949.-Т. 29, № 4:1.-C. 3-112.
  • Левитан Б. М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения.-М.: ГИФМЛ, 1962.-324 с.
  • Боровских А. В. Формула распространяющихся волн для одномерной неоднородной среды//Диф. уравнения.-2002.-Т. 38.-№ 6.-С. 758-767.
  • Боровских А. В. Метод распространяющихся волн//Тр. семинара им. И. Г. Петровского.-2004.-Вып. 24.-С. 3-43.
  • Ситник С. М. Оператор преобразования и представление Йоста для уравнения с сингулярным потенциалом.-Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 1993.-21 c.-(Препринт).
  • Катрахов В. В., Ситник С. М. Оценки решений Йоста одномерного уравнения Шредингера с сингулярным потенциалом//Докл. АН СССР.-1995.-Т. 340, № 1.-С. 18-20.
  • Маричев О. И., Килбас А. А., Репин О. А. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами.-Самара: Изд-во СамГЭУ, 2008.-163 с.
  • Маричев О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций.-Минск: Наука и техника.-1978.-312 с.
Еще
Статья научная