О представлении в интегральном виде решений одного дифференциального уравнения с особенностями в коэффициентах

В различных разделах математики и теоретической физики применяются методы теории операторов преобразования (см. [1–5] и подробную библиографию в [6–8]).

Рассмотрим задачу о построении оператора преобразования S _α вида

S α

∞ u(r) = u(r) + У r

P (r, t)u(t) dt,

определенного на любых функциях u Е C ² (0, го) и сплетающего операторы B _a — q(r) и B _α по формуле

S a (B a — q(r))u = B a S a U.                              (2)

Здесь B _α — оператор Бесселя

B _a u = u " (r) + u'(r), a >  0. r

Сформулированная задача о построении оператора преобразования по существу эквивалентна задаче о нахождении решений дифференциального уравнения, коэффициенты которого имеют особенность в начале координат,

B _a v(r) - q(r)v(r) + Av(r) = 0

(c) 2010 Ситник С. М.

через решения невозмущенного уравнения u(r), причем ищутся решения, представимые в виде (1) с некоторым ядром P (r, t). Выбор пределов интегрирования в представлении (1) приводит к тому, что искомое решение и его производная имеют ту же асимптотику, что и невозмущенное решение на бесконечности при выполнении очевидных требований к ядру P (r, t).

Представление решений однородного уравнения (4) по формуле (1) обычно называется представлением Йоста. Возможность такого представления с достаточно «хорошим» ядром P для широкого класса потенциалов q(r) лежит в основе классических методов решения обратных задач квантовой теории рассеяния [9–11].

Данный тип задач имеет долгую историю. Существование представления Йоста, сохраняющего асимптотику при r → ∞, впервые было доказано для уравнения Штурма — Лиувилля (а = 0, q — суммируемая функция) Б. Я. Левиным в [12]. Операторы преобразования для оператора Бесселя впервые на русском языке были подробно изучены в широко известной работе Б. М. Левитана [13], и далее в их изучение основной вклад вносили математики харьковской школы. Случай непрерывной q, а >  0, подробно рассмотрен в различных аспектах в работах А. С. Сохина [14–17], а также ряда других авторов (см. подробнее [6]). Оригинальная методика для решения поставленной задачи была разработана В. В. Сташевской [18], что позволило ей включить в рассмотрение сингулярные потенциалы с оценкой в нуле |q(r)| 6 cx ^-3/2+e , Е >  0 при целых а, это методика получила широкое развитие. В работе автора [19] условия на q(r) были ослаблены до оценки |q(r)| 6 C/r ² методом Сташевской.

Вместе с тем во многих математических и физических задачах необходимо рассматривать сильно сингулярные потенциалы, например, допускающие произвольную степенную особенность в нуле. В настоящей работе сформулированы результаты по интегральному представлению решений уравнений с подобными сингулярными потенциалами. Полученные результаты являются развитием известных ранее в следующих направлениях.

• 1.    Найдено интегральное представление решений для дифференциального уравнения с сингулярным потенциалом, имеющим достаточно произвольную особенность в начале координат. От потенциала требуется лишь мажорируемость определенной функцией, суммируемой на бесконечности. В частности, к классу допустимых в данной работе относятся: сингулярный потенциал q = r ^-2 , сильно сингулярный потенциал со степенной особенностью q = r ^-2-e , е >  0, потенциалы Юкавы типа q = e ^-ar /r, потенциалы Баргма-на и Батмана — Шадана [11] и ряд других. При этом на функцию q(r) не накладывается никаких дополнительных условий типа быстрой осцилляции в начале координат или знакопостоянства, что позволяет изучать притягивающие и отталкивающие потенциалы единым методом.

• 2.    Доказательство существования оператора преобразования или интегрального представления решений возмущенного уравнения, что одно и то же, проводится по существу по известной схеме из работы Б. М. Левитана [13]. Мы вносим небольшое усовершенствование в эту схему, так как используемую в доказательстве функцию Грина как оказалось можно выразить не только через общую гипергеометрическую функцию Гаусса, но и более конкретно через функцию Лежандра, что позволяет избавиться от неопределенных постоянных в оценках из [13].

• 3.    Ранее рассматривались лишь случаи одинаковых пределов (оба вида [0; a] или [a; го]) в основном интегральном уравнении для ядра оператора преобразования. В данной работе впервые показано, что можно рассматривать случай различных пределов в основном интегральном уравнении. Именно такая расстановка пределов и позволила охватить более широкий класс потенциалов с особенностями в нуле. Кроме того, указан-

• ный способ позволяет рассматривать решения с более общими начальными условиями.

• 4.    Изложенная техника полностью переносится и на задачу о построении неклассических операторов обобщенного сдвига. Данная задача по существу эквивалентна выражению решений уравнения

B a,x u(x, y) - q(x)u(x, y) = B e,y u(x, y) (5)

через решения невозмущенного волнового уравнения при наличии дополнительных условий, обеспечивающих корректность. Такие представления получаются уже из факта существования операторов преобразования и изучались для несингулярного случая (a = в = 0) в [20, 21] как следствия теории обобщенного сдвига. Интересная оригинальная методика для получения подобных представлений также в несингулярном случае разработана в работах А. В. Боровских [22, 23]. Из результатов настоящей работы следуют интегральные представления некоторого подкласса решений уравнения (5) в общем сингулярном случае для достаточно произвольных потенциалов с особенностями в начале координат, причем оценки для решений не содержат неопределенных постоянных. Как уже отмечалось, три задачи о построении оператора преобразования, представлении решений возмущенного уравнения и нахождении оператора обобщенного сдвига по существу эквивалентны, поэтому далее результаты приводятся для задачи о построении оператора преобразования. Отметим, что при более ограничительных условиях на потенциал ранее автором были получены результаты, опубликованные в [24, 25].

Основные результаты

Введем новые переменные и функции по формулам:

€ = t+T ’ п = -

-

r

-, € >  п> 0;

к(r,-) = (-) p (r,t), и(€,п) = к (€ - п, € + п).

Обозначим v = a — 1. Таким образом, для обоснования представления (1), для решения уравнения (4) достаточно определить функцию и(€,п). Известно [14, 24, 26], что если существует дважды непрерывно дифференцируемое решение u(€, п) интегрального уравнения

∞

^{u (} ^,n) = ^- 2 У R v ⁽s, 0; ^,n)q ⁽ s) ds

ξ

∞η

- J ds У q(s + т)R v ( s,t ; €,n)u(s,T) dT,

при условиях

мулам (6) через

<тP (r, t) определяется по фор-это решение и(€,п). Функция Rn = R_a-1 является функцией Римана,

возникающей при решении следующей задачи для сингулярного гиперболического уравнения

д2и(€,п)   4a(a — 1)€п д€дп      (€2 — п2)2

(€ 2 -

^{и (} ^,п) = q ^{( €} + пМ^п),

∞ u(€, 0) = — 2 У q(s) ds. ξ

Эта функция известна в явном виде, она выражается через гипергеометрическую функцию Гаусса 2 F 1

_ / s2 - п2 e - т 2 \ ^v                s ² - < 2

П ² - т²

• < 2 - т 2

R ^v (s ² - т ² • < ² - n²) ² F4 ^V, ^VЛ s ² - n ²

Это выражение упрощено в [24], где показано, что функция Римана в рассматриваемом случае выражается через функцию Лежандра по формуле

R v ^,т,е,п) = P v 1+Ц , A = П- ---2 •       .              (7)

\ 1 - А/        е ² - т ² s ² - n ²

Основное содержание статьи составляет

Теорема 1. Пусть функция q(r) Е C 1 (0, го) удовлетворяет условию

∞

^| q ^{( s} + ^т )1 6 |p^{( s )}l

(V s, т,

0 < т < s

),

|p(t)| dt < го

( v е > о).

ξ

Тогда существует интегральное представление вида (1), ядро которого удовлетворяет оценке

∞

।PMl 6 (0а 2 / Pa-1 У ' +       - r2) )Wy)|dy t+r

1 -   1 7„   (УУ? + r2) - (t2 - r2?!,,,,/ x exp

(—) 2 / Pa-1 (2^-----1) \Pto\dy t + r                                                                         •

При этом ядро оператора преобразования P (r, t) , а также решение уравнения (4) являются дважды непрерывно дифференцируемыми на (0, го) по своим аргументам.

Перечислим классы потенциалов, для которых выполнены условия (8). Если |q(s)| монотонно убывает, то можно принять p(s) = |q(s)|. Для потенциалов с произвольной особенностью в начале координат и возрастающих при 0 < r < M (например, кулоновских q = - Г ), которые обрезаны нулем на бесконечности, q(r) = 0, r >  M , можно принять p(s) = |q(M)|, s <  M , p(s) = 0, s >  M . Условию (8) будут также удовлетворять потенциалы с оценкой q(s + т ) 6 c|q(s)|. На возможность подобного усиления теоремы 1 внимание автора обратил В. В. Катрахов.

Замечание. Фактически при доказательстве приведенной теоремы не нужен явный вид функции Римана (7). Используется только существование функции Римана, ее положительность и некоторое специальное свойство монотонности. Эти факты являются довольно общими, поэтому полученные результаты можно обобщить на достаточно широкий класс дифференциальных уравнений.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 . Тогда для ядра оператора преобразования P (r, t) справедлива оценка

∞

^{| P ( r},^{t ) l 6} 2 ( r ) P a- 1 ( t-^+rr" ) / ^| P ⁽ У ^{) | dy}

r

∞

x exp

[2 (t^)Pa- 1 (t^)/^

r

Отметим, что при r ^ 0 ядро интегрального представления может иметь экспоненциальную особенность.

Для класса потенциалов со степенной сингулярностью вида

q(r) = r ( ^-2e+1 ) , в> 0

полученные оценки можно упростить не снижая их точности.

Теорема 3. Рассмотрим потенциал вида (9) . Тогда теорема 1 выполняется с оценкой

.P (r t)| 6 ⁽t Г ^Г(в 4 р - в ⁽ ti±r 2 ^ _ехр [⁽L—IА Г(в)4 ^в-1 р - в ⁽ « 2 +^\1 .

^,        V / (t ² - г ² ) ^{в а 1} \ 2tr )           r / (t ² - г ² ) ^{в а 1} \ 2tr

Данная оценка получается после довольно длинных вычислений с использованием знаменитой теоремы Слейтер — Маричева [27], которая помогает вычислить в терминах гипергеометрических функций необходимые интегралы после их сведения к свертке Меллина.

Эта оценка была получена в работе [19] для потенциала q(r) = cr ^-2 , для которого в = 2 . Как следует из [24], в этом случае функция Лежандра P _v ^1/2 (z) может быть выражена через элементарные функции. Поэтому и соответствующая оценка может быть выражена через элементарные функции.

Другим потенциалом для которого рассматриваемая оценка оценка может быть выражена через элементарные функции, является потенциал вида q(r) = r ^-2в+1 , для которого в = a — 1.