О преобразованиях Дарбу для функций Бесселя

В работе рассматриваются условия обратимости элементарных преобразований линейных дифференциальных уравнений вида: Аф = Аф, где А — дифференциальный оператор n-го порядка, имеющий вид

А — ao(x)Dx + ai(x)Dx   + ... + an(x),   Dx —

x          x

Эти преобразования определяются дифференциальными подстановками

A—*A—*

ф — В1ф,  ф — B2^, где B1 и B2 — дифференциальные операторы (вообще говоря, произвольного порядка) и позволяют переходить от исходного уравнения Аф — Аф к эквивалентному уравнению Аф — Аф, и наоборот. Обратимые преобразования решений уравнения Аф — Аф

(ф 2019 Аллахвердян А. А.

называются в современной литературе преобразованиями Дарбу. Они используются для построения солитоноподобных решений дифференциальных уравнений.

Если дифференциальный оператор B1 имеет нулевой порядок, то, как легко видеть, преобразование сводит оператор A к оператору A = b(x) о A о b-1(x), где b(x) — произвольная достаточно гладкая функция. В случае, когда B1 является оператором первого порядка, соответствующее преобразование имеет вид ф = (bo(x)Dx + b1(x))ф,

а оператор B 2 имеет порядок n — 1. Здесь уже функции b o (x) и b i (x) не являются произвольными и вопрос об условиях обратимости является нетривиальным. Достаточные условия обратимости преобразования (3) указаны в теореме 1.

Далее в статье рассматривается применение преобразований Дарбу к функциям Бесселя. В этом случае они сводятся к уравнению

(f (x) + e)(f(x) — (в + 1))= x2, где f (x) — решение уравнения Риккати, связанного с уравнением Бесселя (теорема 2). Последнее уравнение позволяет определить дробно-линейное преобразование решений уравнения Риккати, а неподвижные точки этого отображения приводят к последовательности рациональных решений уравнения Риккати.

В конце первого раздела рассматривается вопрос о разрешимости уравнения Риккати (теорема 2) в классе формальных рядов. Показывается, что уравнение однозначно разрешимо в классе формальных степенных рядов следующего вида:

_     1   в ²     1    в ²      1     в 4     7в 2     13

f ^(t)= z ⁺2 ⁺ 2Z - 8z - 2 2 ' 8   - , 3 ' 8   - 61 3 ⁺ "'

Найдены значения β , при которых формальные ряды сходятся и дают все рациональные решения данного уравнения. ^∗

• 2.    Уравнение Бесселя

Справедлива следующая теорема, которая обобщает результаты, полученные Шредингером в работах [1, 2], на случай дифференциальных операторов произвольного порядка. Обобщение этой теоремы на случай операторов высокого порядка рассматривалось ранее в [3, § 4.2.2], но в другой формулировке.

Теорема 1. Уравнение для собственных функций Aф = Аф при А = 0 допускает обратимую замену вида (3) с коэффициентами b o (x) = 1 и b i (x) = D _x (log ^(x)) , где ^(x) € ker A.

В основе данной теоремы лежит следующая известная лемма (см., например [3, § 4.2.2, лемма 17]) о представлении дифференциального оператора A.

Лемма 1. Дифференциальный оператор A порядка n >  1 представим в виде A = A(D x — g(x)) в том и только том случае, если g = D _x (log^(x)) , где ^(x) € ker A, A — оператор (n — 1) -го порядка.

Итак, докажем теорему о собственных функциях.

• ^∗ Можно показать, что асимптотические ряды для функций Бесселя, используемые в [4], эквивалентны (4).

• <1 Доказательство теоремы 1. Рассмотрим уравнение Аф = Хф, согласно лемме 1 его можно переписать в виде

Аф = Хф,                                 (5)

где ф = (D x — д(х))ф. Из формулы (5) имеем, что

Хф = a o (x)) ^{n - 1)} + 5 1 (х)ф ^{( п - 2)} + ... + а _п - 1 (х)ф = ^ O i (x)^ ^{( n - ( i +1))} .       (6)

i=0

Домножив слева обе части уравнения (5) на (D x — g(x)), получим

Хф) =

[е dx i=0

офх)ф ^{( п -}^ ⁺¹⁾⁾ j + g(x) [^ЕS i (x) V> ^{- ( i +1))}j

= Аф.

Полученное уравнение (7) при Х = 0 имеет тот же порядок, что и исходное Аф = Хф, но другие коэффициенты.

Таким образом, доказано, что уравнение Аф = Хф, Х = 0, допускает замену ф = (D x — д(х))ф, если g = (log ^(x)) x , ^(x) € ker А и то, что данная замена обратима. >

Рассмотрим уравнение Аф = Хф, когда А — оператор второго порядка. Применяя теорему 1, запишем оператор A в виде

А = a o (x)D X + a 1 (x)D x + a ₂ (x).

Произведем замену ф = е ^ ф в данном уравнении и будем считать коэффициент при D X , равным 1. Тогда оператор A , определяемый формулой (8), примет вид

А = D X + q(x).

Найдем как связана функция q(^) с функцией g(-). Для этого применим теорему 1 к (9):

А = ( D x + g ( x ))( D x — g ( x ))

= D X + g(x)D x — g(x)D x — g ‘ (x) — g ² (x) = d X — g ‘ (x) — g ² (x).

Таким образом, функция q(^) удовлетворяет уравнению Риккати g‘(x) + g2(x) — q(x) = 0.                                   (10)

Уравнением Риккати, связанным с уравнением Аф = Хф, называется уравнение для ψ логарифмической производной f = ^:

^a 0 f' ^{+ a} 0 f ^{2 + a} 1 f ^{+ (a} 2 ^{— Х)} = 0.                           ⁽¹¹⁾

В случае, когда оператор A имеет вид (9), уравнение Риккати, связанное с уравнением

Аф = Хф, запишется в виде f ‘ + f2 + q(x) + Х = 0, f = —, ψ где q(^) удовлетворяет уравнению (10).

В дальнейшем будем рассматривать применения теоремы 1 в случае, когда оператор A является оператором Эйлера, т. е.

A = e mt P _m {D _t ) = e mt^ D m + P i D m - 1 + ... + P m ),              (12)

где p i e C.

Лемма 2. Если A = e ^mt P _m (D _t ), B = e ^nt Q n (D _t ), то суперпозиция операторов Эйлера A и B запишется в виде

A _о B = e ^{( m + n ) t} U m ₊ n (D t ) , U m+n (D t ) = P m (D t + n)Q n (D t ).

Отметим, что вместо замены ф = (b^Dx + Ь1)ф в случае, когда A определяется формулой (12) используется оператор Эйлера первого порядка ф = e\Dt + с)ф, c e C.                            (13)

Итак, рассмотрим случай, когда оператор A имеет вид

1 в ²

A = D x ⁺ D x 2 ■                              ⁽¹⁴⁾

Замечание 1. Уравнение Aф = Хф, в котором A определяется формулой (14) называется уравнением Бесселя [5]. Используя замену x = e ^{- t} ,

Dx = -e-tDt, DX = e2t(Dt2 + Dt), оператор, определяемый формулой (14), преобразуем в оператор Эйлера

A = e^D t - в ² ).

Применив лемму 2 к данному оператору

A = e t (D t - (в + 1)) о e t (D t - в),                          (15)

уравнение Aф = Хф можно переписать в следующем виде:

e\D t - в - 1) о ^(D t + в)Ф = Хф.                      (16)

Таким образом, уравнение Бесселя является уравнением для собственных функций оператора Эйлера.

Применив теорему 1 к уравнению (16), находим et(Dt + в)ф = ф, et(Dt - (в + 1))ф = Хф.

Теперь перепишем уравнения (17) в терминах f = (log ф)t и f = (log ф)t, получим ф = et(f + в)Ф,  Хф = etf - (b + 1)),

^{(f +} 3'^{)(f - (в + 1))} = ^Х •^{e 2 t} .

Без ограничения общности, считая Х = 1 в последнем уравнении, докажем основную теорему.

Теорема 2. Соотношение

---—

(f + e)(f - (в + 1)) — e

2t

, в € C,

устанавливает эквивалентность двух уравнений Риккати:

f t + f 2 — в ² + e

2t

<>

f t + f ² — (в + 1)

+e

2t

.

,—-

⊳ Выразим f из (19):

.—-

f—

e

2t

f + в

+ (в + 1L

Продифференцируем (21) по t:

.—-

f t —

-2e ^{- 2 t}

(f + в ) - f t e

2t

Заметим, что

Подставим (23) в (22). Тогда

.—-

f t —

e

(f + в) ²

f t —

β ²

-

-

e

2t

f + в

-

f t

e

2t

(f + в)²’

f ² + e

2t

.

-

-

e

2t

f +в

+

e

2t ^f - ^в

f +в

-

4t

.—-

e

4t

(f+в)2’

(f+в) ²

-

f t

-

e

2t

f +в

+

e

_{2 t} f - в

f + в’

Возведем равенство (21) в квадрат

f ² —

e

-

4t

(f + в) ²

+ 2(в + 1)

e

2t

f + в

+ (в + 1) 2 .

Следовательно,

e

4t

.——

(f+в) ²

—f

-

2(в + 1)

e

2t

f + в

-

(в + 1) ² .

Таким образом, согласно (25) и

имеем

.——

-

f t - 2

e

2t

f + в

+e

2t ^f

-

β

.——

Итак,

f + в

—f

-

2(в + 1)

e

2t

f + в

-

(в + 1) ² ,

.——

.——

f t + f

— (в + 1) 2 + e

2 t

-2 + f - в + 2(в + 1)

f + в

.

f t + f ² — (в + 1) 2 + e

2 t

. ▻

.——

Заменив в формуле (21) f j — f j+i , последовательно подставляя вместо в последова-

тельность чисел β 1 , β 2 , . . . , β j , . . ., получим рекуррентную формулу для последователь-

ности функций f j :

^f j+i ^— ^+1 ⁺

x ²

f j + 3

которую можно записать в виде непрерывной дроби (ср. [6])

f j+1 = ^в j+1 ⁺

x ²

2вз +-- j    2βj-1+

x ²

x2

TT" ^2βj-2^{+ x2}

Утверждение 1. Отображение f -^ f , определяемое (19) из теоремы 2 , имеет неподвижную точку

---ч f = f

при (в + 1) 2 = в ² .

⊳ В случае (27)

и (19), решая квадратные уравнения, мы находим, что f = f± = 2 ± x, в =

-

• ¹,    в + 1 = 1,

2’ P 2’

f t + f 2 = 4 + x ² (x = e t )

Нетрудно заметить, что f ± = f ± . >

Используя, как и выше, нумерацию, мы введем обозначения

• ^в 1 = 2, ^в j+1 = ^в j ⁺ 1, j = 1,²,•• •, ^ ^в j = j

_x 2                     ₁

• ^{f j +1} = ^+1 ⁺ f^, ^{f 1} = ^{— x} 2 •

-

• 2^,

Очевидно, что эта формула дает последовательность рациональных решений уравнения

Риккати теоремы 2:

3 x ²

2 + 1 - x •

Аналогично можно определить f 3 , f 4 , . . .:

5    x ² (1 — x)    9   _      7x + 2

2 ⁺ x ² — 3x + 3 = 2 ⁺ x ⁺ x ² — 3x + 3 ’

41 x          x ² — 10

" 12 - 6 ⁺ 12x 3 — 42x 2 + 60x — 30 ’ '''

Для того чтобы доказать, что найдены все рациональные решения уравнения Риккати ft + f 2 = в2 + e-2t,

можно использовать следующую лемму, в которой строятся два формальных решения уравнения (30) при любом β ∈ C. Эти решения представляют собой формальные ряды по степеням _z ¹ (см. [4, § 24]).

Лемма 3. Формальные решения уравнения Риккати ft + f 2 = в2 + k2e-2t определены однозначно, с точностью до выбора знака k ∈ C, и записываются в виде формальных степенных рядов с постоянными коэффициентами по вспомогательной переменной z = ke-t:

∞ f = z + 2 + E j                      (31)

j =1

⊳ Подставим f, определяемое из (31), в уравнение Риккати (30), предварительно подсчитав f _t и f ² :

∞

γi · i ft = zt + A

∞     ∞∞ f2 = 1 + z + 2 .2 у Y + у Yi + у ^ +2 у YiYj.

^                    / -J zl / -J zl / -J z 2i ' ^ Zi+j

1           1           1

Таким образом,

∞                  ∞     ∞∞ zt + у YiT- + 1 + z + Z2 + 2zy Y + у ^ + у 4 + 2 у YY = в2 zi 4                         zi         z^         z2z^+j

1                                     1           1           1

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, найдем значения γ i :

^{Y 1} = 2 ( ^e 2 -4 ) ’ ^{Y 2} = -1 ( ^e 2 -4 ) ’ ^Y 3 = -4 ( ^e 4 -2^e 2 ⁺ H ) ’•••’

2Yi+i + (i + 1)Yi + 2^ YjYj‘ = 0. ▻ j+j′=i

Отметим, что для последовательности β j , определенной в (29), ряд (31) сходится и определяет рациональные функции f j из формулы (29). Например, полагая в (31) в ² = 4 , находим f i = —e -t + 2 , интегрируя уравнение ^ 1 = —e -t + 2 , получим, что ^ i = e ^{- ke - t + 1}2 ^t . Можно проверить, что эта функция с точностью до обозначений совпадает с экспоненциальной производящей функцией полиномов Чебышева [7, § 5.2.1]

^∞ k ⁿ

Re exp <  ke ⁶ >  = V^ —-T n (x).                         (33)

I J z—< n!

n =0

Напомним, что многочлены Чебышева определяются следующим уравнением:

T n (x) = cos(n0),   x = cos 9,

и удовлетворяют следующей рекуррентной формуле:

2xT n (x) = T n -i (x) + T n +i (x).

Произведя замену f n = T n - ¹ — x, последнее рекуррентное соотношение можно записать в следующем виде:

^(f n ^{— x)(f} n+1 ^{+ x)} = ^{— 1                             (35)}

Заметим, что уравнения (35) и (19) схожи.

• 3.    Заключение

Теорема 1 и формула (13) сводят задачу о функциях Бесселя к задаче о собственных функциях операторов Эйлера и своеобразной алгебре многочленов. Представляется интересным обобщение теоремы 2 на спектральные задачи третьего порядка. Можно показать также, что формальные ряды из леммы 3 применимы к задаче об асимптотических разложениях функций Бесселя и их обобщений.