О преобразованиях Дарбу для функций Бесселя
Автор: Аллахвердян Алина Альбертовна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.21, 2019 года.
Бесплатный доступ
В работе обсуждаются элементарные преобразования Дарбу функций Бесселя. В теореме 1 мы приводим уточненную формулировку общего метода факторизации, восходящего к Э. Шредингеру, и вводим в рассмотрение взаимосвязанные дифференциальные подстановки B1 и B2. В основной теореме 2 рассматриваются уравнения Бесселя - Риккати и элементарные преобразования Дарбу сводятся к дробно-линейным отображениям. Показано, что неподвижная точка такого отображения порождает рациональные по x решения уравнений Бесселя - Риккати из теоремы 2. Отметим, что функции Бесселя рассматриваются в данной работе как собственные функции Aψ=λψ операторов Эйлера вида A=e2t(D2t+a1Dt+a2) с постоянными коэффициентами a1 и a2. Это позволяет (лемма 3) построить асимптотические решения уравнений Бесселя - Риккати в виде степенных рядов по обратным степеням z=kx, k2=λ, x=e-t. Мы показываем, что эти формальные ряды по обратным степеням спектрального параметра k=λ--√ сходятся, если существуют рациональные решения уравнений Бесселя - Риккати из теоремы 2.
Функция бесселя, обратимое преобразование дарбу, непрерывные дроби, оператор эйлера, уравнение риккати
Короткий адрес: https://sciup.org/143168806
IDR: 143168806 | DOI: 10.23671/VNC.2019.3.36456
Текст научной статьи О преобразованиях Дарбу для функций Бесселя
В работе рассматриваются условия обратимости элементарных преобразований линейных дифференциальных уравнений вида: Аф = Аф, где А — дифференциальный оператор n-го порядка, имеющий вид
А — ao(x)Dx + ai(x)Dx + ... + an(x), Dx —
x x
Эти преобразования определяются дифференциальными подстановками
A—*A—*
ф — В1ф, ф — B2^, где B1 и B2 — дифференциальные операторы (вообще говоря, произвольного порядка) и позволяют переходить от исходного уравнения Аф — Аф к эквивалентному уравнению Аф — Аф, и наоборот. Обратимые преобразования решений уравнения Аф — Аф
(ф 2019 Аллахвердян А. А.
называются в современной литературе преобразованиями Дарбу. Они используются для построения солитоноподобных решений дифференциальных уравнений.
Если дифференциальный оператор B1 имеет нулевой порядок, то, как легко видеть, преобразование сводит оператор A к оператору A = b(x) о A о b-1(x), где b(x) — произвольная достаточно гладкая функция. В случае, когда B1 является оператором первого порядка, соответствующее преобразование имеет вид ф = (bo(x)Dx + b1(x))ф,
а оператор B 2 имеет порядок n — 1. Здесь уже функции b o (x) и b i (x) не являются произвольными и вопрос об условиях обратимости является нетривиальным. Достаточные условия обратимости преобразования (3) указаны в теореме 1.
Далее в статье рассматривается применение преобразований Дарбу к функциям Бесселя. В этом случае они сводятся к уравнению
(f (x) + e)(f(x) — (в + 1))= x2, где f (x) — решение уравнения Риккати, связанного с уравнением Бесселя (теорема 2). Последнее уравнение позволяет определить дробно-линейное преобразование решений уравнения Риккати, а неподвижные точки этого отображения приводят к последовательности рациональных решений уравнения Риккати.
В конце первого раздела рассматривается вопрос о разрешимости уравнения Риккати (теорема 2) в классе формальных рядов. Показывается, что уравнение однозначно разрешимо в классе формальных степенных рядов следующего вида:
_ 1 в 2 1 в 2 1 в 4 7в 2 13
f (t)= z +2 + 2Z - 8z - 2 2 ' 8 - , 3 ' 8 - 61 3 + "'
Найдены значения β , при которых формальные ряды сходятся и дают все рациональные решения данного уравнения. ∗
-
2. Уравнение Бесселя
Справедлива следующая теорема, которая обобщает результаты, полученные Шредингером в работах [1, 2], на случай дифференциальных операторов произвольного порядка. Обобщение этой теоремы на случай операторов высокого порядка рассматривалось ранее в [3, § 4.2.2], но в другой формулировке.
Теорема 1. Уравнение для собственных функций Aф = Аф при А = 0 допускает обратимую замену вида (3) с коэффициентами b o (x) = 1 и b i (x) = D x (log ^(x)) , где ^(x) € ker A.
В основе данной теоремы лежит следующая известная лемма (см., например [3, § 4.2.2, лемма 17]) о представлении дифференциального оператора A.
Лемма 1. Дифференциальный оператор A порядка n > 1 представим в виде A = A(D x — g(x)) в том и только том случае, если g = D x (log^(x)) , где ^(x) € ker A, A — оператор (n — 1) -го порядка.
Итак, докажем теорему о собственных функциях.
-
∗ Можно показать, что асимптотические ряды для функций Бесселя, используемые в [4], эквивалентны (4).
-
<1 Доказательство теоремы 1. Рассмотрим уравнение Аф = Хф, согласно лемме 1 его можно переписать в виде
Аф = Хф, (5)
где ф = (D x — д(х))ф. Из формулы (5) имеем, что
Хф = a o (x)) n - 1) + 5 1 (х)ф ( п - 2) + ... + а п - 1 (х)ф = ^ O i (x)^ ( n - ( i +1)) . (6)
i=0
Домножив слева обе части уравнения (5) на (D x — g(x)), получим
Хф) =
[е dx i=0
офх)ф ( п -^ +1)) j + g(x) [ЕS i (x) V> - ( i +1))j
= Аф.
Полученное уравнение (7) при Х = 0 имеет тот же порядок, что и исходное Аф = Хф, но другие коэффициенты.
Таким образом, доказано, что уравнение Аф = Хф, Х = 0, допускает замену ф = (D x — д(х))ф, если g = (log ^(x)) x , ^(x) € ker А и то, что данная замена обратима. >
Рассмотрим уравнение Аф = Хф, когда А — оператор второго порядка. Применяя теорему 1, запишем оператор A в виде
А = a o (x)D X + a 1 (x)D x + a 2 (x).
Произведем замену ф = е ^ ф в данном уравнении и будем считать коэффициент при D X , равным 1. Тогда оператор A , определяемый формулой (8), примет вид
А = D X + q(x).
Найдем как связана функция q(^) с функцией g(-). Для этого применим теорему 1 к (9):
А = ( D x + g ( x ))( D x — g ( x ))
= D X + g(x)D x — g(x)D x — g ‘ (x) — g 2 (x) = d X — g ‘ (x) — g 2 (x).
Таким образом, функция q(^) удовлетворяет уравнению Риккати g‘(x) + g2(x) — q(x) = 0. (10)
Уравнением Риккати, связанным с уравнением Аф = Хф, называется уравнение для ψ логарифмической производной f = ^:
a 0 f' + a 0 f 2 + a 1 f + (a 2 — Х) = 0. (11)
В случае, когда оператор A имеет вид (9), уравнение Риккати, связанное с уравнением
Аф = Хф, запишется в виде f ‘ + f2 + q(x) + Х = 0, f = —, ψ где q(^) удовлетворяет уравнению (10).
В дальнейшем будем рассматривать применения теоремы 1 в случае, когда оператор A является оператором Эйлера, т. е.
A = e mt P m {D t ) = e mt^ D m + P i D m - 1 + ... + P m ), (12)
где p i e C.
Лемма 2. Если A = e mt P m (D t ), B = e nt Q n (D t ), то суперпозиция операторов Эйлера A и B запишется в виде
A о B = e ( m + n ) t U m + n (D t ) , U m+n (D t ) = P m (D t + n)Q n (D t ).
Отметим, что вместо замены ф = (b^Dx + Ь1)ф в случае, когда A определяется формулой (12) используется оператор Эйлера первого порядка ф = e\Dt + с)ф, c e C. (13)
Итак, рассмотрим случай, когда оператор A имеет вид
1 в 2
A = D x + D x 2 ■ (14)
Замечание 1. Уравнение Aф = Хф, в котором A определяется формулой (14) называется уравнением Бесселя [5]. Используя замену x = e - t ,
Dx = -e-tDt, DX = e2t(Dt2 + Dt), оператор, определяемый формулой (14), преобразуем в оператор Эйлера
A = e^D t - в 2 ).
Применив лемму 2 к данному оператору
A = e t (D t - (в + 1)) о e t (D t - в), (15)
уравнение Aф = Хф можно переписать в следующем виде:
e\D t - в - 1) о ^(D t + в)Ф = Хф. (16)
Таким образом, уравнение Бесселя является уравнением для собственных функций оператора Эйлера.
Применив теорему 1 к уравнению (16), находим et(Dt + в)ф = ф, et(Dt - (в + 1))ф = Хф.
Теперь перепишем уравнения (17) в терминах f = (log ф)t и f = (log ф)t, получим ф = et(f + в)Ф, Хф = etf - (b + 1)),
(f + 3')(f - (в + 1)) = Х •e 2 t .
Без ограничения общности, считая Х = 1 в последнем уравнении, докажем основную теорему.
Теорема 2. Соотношение
---—
(f + e)(f - (в + 1)) — e
2t
, в € C,
устанавливает эквивалентность двух уравнений Риккати:
f t + f 2 — в 2 + e
2t
<>
f t + f 2 — (в + 1)
+e
2t
.
,—-
⊳ Выразим f из (19):
.—-
f—
e
2t
f + в
+ (в + 1L
Продифференцируем (21) по t:
.—-
f t —
-2e - 2 t
(f + в ) - f t e
2t
Заметим, что
Подставим (23) в (22). Тогда
.—-
f t —
e
(f + в) 2
f t —
β 2
-
-
e
2t
f + в
-
f t
e
2t
(f + в)2’
f 2 + e
2t
.
-
-
e
2t
f +в
+
e
2t f - в
f +в
-
4t
.—-
e
4t
(f+в)2’
(f+в) 2
-
f t
-
e
2t
f +в
+
e
2 t f - в
f + в’
Возведем равенство (21) в квадрат
f 2 —
e
-
4t
(f + в) 2
+ 2(в + 1)
e
2t
f + в
+ (в + 1) 2 .
Следовательно,
e
4t
.——
(f+в) 2
—f
-
2(в + 1)
e
2t
f + в
-
(в + 1) 2 .
Таким образом, согласно (25) и
имеем
.——
-
f t - 2
e
2t
f + в
+e
2t f
-
β
.——
Итак,
f + в
—f
-
2(в + 1)
e
2t
f + в
-
(в + 1) 2 ,
.——
.——
f t + f
— (в + 1) 2 + e
2 t
-2 + f - в + 2(в + 1)
f + в
.
f t + f 2 — (в + 1) 2 + e
2 t
. ▻
.——
Заменив в формуле (21) f j — f j+i , последовательно подставляя вместо в последова-
тельность чисел β 1 , β 2 , . . . , β j , . . ., получим рекуррентную формулу для последователь-
ности функций f j :
f j+i — ^+1 +
x 2
f j + 3
которую можно записать в виде непрерывной дроби (ср. [6])
f j+1 = в j+1 +
x 2
2вз +-- j 2βj-1+
x 2
x2
TT" 2βj-2+ x2
Утверждение 1. Отображение f -^ f , определяемое (19) из теоремы 2 , имеет неподвижную точку
---ч f = f
при (в + 1) 2 = в 2 .
⊳ В случае (27)
и (19), решая квадратные уравнения, мы находим, что f = f± = 2 ± x, в =
-
-
1, в + 1 = 1,
2’ P 2’
f t + f 2 = 4 + x 2 (x = e t )
Нетрудно заметить, что f ± = f ± . >
Используя, как и выше, нумерацию, мы введем обозначения
-
в 1 = 2, в j+1 = в j + 1, j = 1,2,•• •, ^ в j = j
x 2 1
-
f j +1 = ^+1 + f^, f 1 = — x 2 •
-
-
2,
Очевидно, что эта формула дает последовательность рациональных решений уравнения
Риккати теоремы 2:
3 x 2
2 + 1 - x •
Аналогично можно определить f 3 , f 4 , . . .:
5 x 2 (1 — x) 9 _ 7x + 2
2 + x 2 — 3x + 3 = 2 + x + x 2 — 3x + 3 ’
41 x x 2 — 10
" 12 - 6 + 12x 3 — 42x 2 + 60x — 30 ’ '''
Для того чтобы доказать, что найдены все рациональные решения уравнения Риккати ft + f 2 = в2 + e-2t,
можно использовать следующую лемму, в которой строятся два формальных решения уравнения (30) при любом β ∈ C. Эти решения представляют собой формальные ряды по степеням z 1 (см. [4, § 24]).
Лемма 3. Формальные решения уравнения Риккати ft + f 2 = в2 + k2e-2t определены однозначно, с точностью до выбора знака k ∈ C, и записываются в виде формальных степенных рядов с постоянными коэффициентами по вспомогательной переменной z = ke-t:
∞ f = z + 2 + E j (31)
j =1
⊳ Подставим f, определяемое из (31), в уравнение Риккати (30), предварительно подсчитав f t и f 2 :
∞
γi · i ft = zt + A
∞ ∞∞ f2 = 1 + z + 2 .2 у Y + у Yi + у ^ +2 у YiYj.
^ / -J zl / -J zl / -J z 2i ' ^ Zi+j
1 1 1
Таким образом,
∞ ∞ ∞∞ zt + у YiT- + 1 + z + Z2 + 2zy Y + у ^ + у 4 + 2 у YY = в2 zi 4 zi z^ z2z^+j
1 1 1 1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, найдем значения γ i :
Y 1 = 2 ( e 2 -4 ) ’ Y 2 = -1 ( e 2 -4 ) ’ Y 3 = -4 ( e 4 -2e 2 + H ) ’•••’
2Yi+i + (i + 1)Yi + 2^ YjYj‘ = 0. ▻ j+j′=i
Отметим, что для последовательности β j , определенной в (29), ряд (31) сходится и определяет рациональные функции f j из формулы (29). Например, полагая в (31) в 2 = 4 , находим f i = —e -t + 2 , интегрируя уравнение ^ 1 = —e -t + 2 , получим, что ^ i = e - ke - t + 12 t . Можно проверить, что эта функция с точностью до обозначений совпадает с экспоненциальной производящей функцией полиномов Чебышева [7, § 5.2.1]
∞ k n
Re exp < ke 6 > = V^ —-T n (x). (33)
I J z—< n!
n =0
Напомним, что многочлены Чебышева определяются следующим уравнением:
T n (x) = cos(n0), x = cos 9,
и удовлетворяют следующей рекуррентной формуле:
2xT n (x) = T n -i (x) + T n +i (x).
Произведя замену f n = T n - 1 — x, последнее рекуррентное соотношение можно записать в следующем виде:
(f n — x)(f n+1 + x) = — 1 (35)
Заметим, что уравнения (35) и (19) схожи.
-
3. Заключение
Теорема 1 и формула (13) сводят задачу о функциях Бесселя к задаче о собственных функциях операторов Эйлера и своеобразной алгебре многочленов. Представляется интересным обобщение теоремы 2 на спектральные задачи третьего порядка. Можно показать также, что формальные ряды из леммы 3 применимы к задаче об асимптотических разложениях функций Бесселя и их обобщений.
Список литературы О преобразованиях Дарбу для функций Бесселя
- Schrodinger E. A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions // Proc. Roy. Irish Acad. 1940-1941. Vol. A.46. P. 9-16.
- Schrodinger E. Further studies on solving eigenvalue problems by factorization // Proc. Roy. Irish Acad. 1940-1941. Vol. A.46. P. 183-206.
- Shabat A. Symmetries of spectral problems // Lect. Notes Phys. 2009. Vol. 767. P. 139-173. DOI: 10.1007/978-3-540-88111-7_5
- Ильин А. М., Данилин А. Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009. 248 с.
- Ватсон Дж. Н. Теория бесселевых функций. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1945.
- Flajolet P., Schott R. Non-overlapping partitions, continued fractions, bessel functions and a divergent series // Europ. J. Combinatorics. 1990. Vol. 11, № 5. P. 421-432. DOI: 10.1016/S0195-6698(13)80025-X
- Mason J. C., Handscomb D. C. Chebyshev Polynomials. Boca Raton, FL: Chapman