О приближении почти периодических функций некоторыми суммами
Автор: Хасанов Юсуфали Хасанович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.19, 2017 года.
Бесплатный доступ
В работе изучаются некоторые вопросы приближения почти периодических функций двух переменных частичными суммами Фурье и суммами типа Марцинкевича в равномерной метрике, когда показатели Фурье рассматриваемых функций имеют предельную точку в бесконечности. Точнее рассматривается равномерная почти периодическая функция двух переменных, показатели Фурье которой имеют единственную предельную точку в бесконечности. Доказывается, что частичная сумма данного ряда с весовой функцией Φσ(t,z) (σ>0) представима в интегральной форме. Весовая функция Φσ(t,z) является произвольной, вещественной, непрерывной, четной и при x=y=0 принимает значение 1, а в случае, когда либо |x|≥σ, либо |y|≥σ равна нулю. Сначала доказывается почти периодичность рассматриваемой функции f(x,y) и, используя формулу обращения Фурье, для этой функции определяются коэффициенты Фурье. Затем исследуется вопрос об отклонении заданной функции f(x,y) от частичных сумм ее ряда Фурье, в зависимости от скорости стремления к нулю величины наилучшего приближения функции тригонометрическими полиномами ограниченной степени. Далее аналогичным образом устанавливается оценка сверху величины отклонения равномерной почти периодической функции от сумм Марцинкевича.
Почти периодическая функция, приближение функции, суммы марцинкевича, коэффициенты фурье, показатели фурье, предельные точки в бесконечности
Короткий адрес: https://sciup.org/143162441
IDR: 143162441 | DOI: 10.23671/VNC.2018.4.9170
Текст научной статьи О приближении почти периодических функций некоторыми суммами
Через Lp (1 6 p 6 то) обозначим пространство измеримых 2п-периодических по каждой из переменных функций f (x,y) для которых существует копенная норма
2π 2π
kf (x,y)kLp = * j j If(x,y)|p dxdy
1 p
>< то (1 6 p < то),
kf(x,y- L.. = vrai sup |f (x.y)1 < то,
x,y ii ряд Фурье функции f (x,y) E Lp (1 6 p 6 то) -
∞∞
5252 Ак,1(х,у),
(i.i)
k=0 l=0
где Ak,i(x,y) = ak,i cos kx cos ly + bk^ sin kx cos ly + Ck,i cos kx sin ly + dk,i sin kx sin ly, ak,i, bk,b ck,b dk,l — коэффпцпеитьi Фурье функции f (x,y)
И. Марцинкевич [1] впервые рассмотрел вопрос о поведении сумм вида
1 n
Mn(f; x, У) = —у 52 Sk,k(f; x У), n + 1 k=0
где Sk,k (f ; x,y) - частичные с уммы порядка k по каждой из переменных ряда (1.1) функции f (x, y) € Lp (1 6 p 6 то). В частности, Марцинкевичем было установлено, что если f (x, y) - непрерывная функция по совокупности переменных, то
Rn(f )L^ = Ilf(x, У) - Mn(f ; x, У) 11L^ ^ 0, n - м.
В работе Л. В. Жижиашвили [2] были даны некоторые оценки скорости стремления к нулю величины
Rn(f
)Lp
= Ilf(х,У) -
Mn(f
;
x,y)kLp
(1
6
to
)
.
U-2)
Исследование поведения отклонения функции двух переменных
f
(x, y)
€ Lp
(1 6
p
6 то) от сумм вида ∞
Wr
(f
;
x, У)
= (1 - r)
X
rk
Sk,k(f
; x,y) (0< r< 1)
k=0 при r ^ 1 было проведено в работе В. Таберского [3]. Некоторым уточнениям результатов Л. В. Жижиашвили и Р. Таберского посвящена, работа. М. Ф. Тимана, и Г. Гаймназаро-ва. [4]. В работе М. Ф. Тимана, и В. Г. Пономаренко [5] для случая треугольных матриц {^k,n} установлены оценки снизу величины где Rn(f; ^К = n f (x, У) - 52 ^k,nSk,k(f S x У) k=0 Йк,п — I
(k+1)r
-
kr
(n+1)r
0
,
Lp
k
6 n;
k>n
(1 6
p
6
to
)
,
при любом натуральном r. В этой же работе приведены некоторые уточнения оценок из работ [2] и [3], и при любом натуральном r и 1
< p < то
получены следующие точные порядковые равенства:
где Rn(f S ^)Lp - ш(1) Lp
+
Шг^)
Lp
41)(f;
t)Lp
= sup
|h|6t r Е <-1rv (v )f ex+vh,y) v=0 Lp
шГ2) (f;
t)Lp
= sup
|h|6t r
E <-1rv (v )f (x,y+
vh)
v=0 Lp 2. Основные результаты В настоящей статье устанавливаются оценки сверху величины отклонения одного класса, почти периодических функций двух переменных от сумм типа. Марцинкевича, в равномерной метрике.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция
f
(x,y) (—то
< x, у <
то) называется
равномерной почти периодической функцией,
если для каждого
е >
0 можно указать такое число l =
1
(
e),
что в каждом интервале длины l найдется хотя бы одно число т, для которого
|f (x + т, у) — f (x, у)| < е равномерно по
у,
|f
(x,y
+
т
) — f (x, у)| < е равномерно по x.
Пусть B - класс равномерных почти периодических функций и ряд Фурье функции f (x, у) Е B имеет вид ∞∞ f (x,y) ~ Е Е A(Xm , Дn)exp(i(Xm x + Дпу)), (2.1) m=-^ n=-^ где
A(Xm,
Дп)
TT
Tlin^
4^2 j j f
(x,y)exp(—
i(Xm
x +
Дпу))
dxdy
-T -T
— коэффициенты Фурье функции f(x, у), a
{pmYm= ^.-
{Xn}n=-^ — показатели Фурье (спектр функции), которые имеют предельную точку в бесконечности, т. е.
Хо = До = 0;
X—m =
—Xm, Д-n = —Дп; lim
Xm =
то, lim Дп = то;
m→∞ n→∞
Xm
< Xm+1
(m
— 0, 1, 2, . . .), Дп < Дп+1 (n — 0, 1, 2, . . .).
Через
Sa,a
(f; x,y) обозначим частичную сумму ряда (2.1), т. е.
Sa,a(f; x,y) = Е Е
A(Xm
, Дп) exp(i(Xm x + Дпу)).
|λm |6σ |µn|6σ Положим
Ua(f ;ф; x,y) = Е Е
A(Xm
, Дп)Фа (Xm, Дп) exp(i(Xm x + ДпУ)),
|λm|6σ |µn |6σ где Фа(t, z) — произвольная, вещественная, непрерывная четная функция, для которой выполнены следующие условия:
1) Фст(0, 0) = 1;
2) Фа(t, z) = 0 щ:>и |t| >
ст
л.
th
|z| > а;
3>
^ст(t, z) Е
L2
(
—to
,
то), (2.2)
где CXD CXD ^ст(u, v) = Фа(t, z) exp(—i(ut + vz)) dtdz. 4n2 -∞-∞
Лемма 1.
Если
f (x,y) G
B. то
∞∞
Ua(f
; Ф;
x,y) = J" I
f (x + t, y + z)0a(t, z)
dt dz.
-∞ -∞ C Пусть ∞∞ fa(x,y)= / /
f (x + t, y +
z)ua(t,
z)
dt dz.
-∞ -∞
Тогда в силу (2.2) равномерно по
у
имеем
∞∞
.0(x +
Ey)
-
fa
(x,y)| 6 У У
-∞ -∞
|f(x +
t
+
т,у
+
z)
- f (x +
t,y
+ z) |
\0a(t,z)\dtdz
6 sup f (x +
T,y)
x,y
∞∞
- f
M\
У У |0a(t,z)|
-∞ -∞ dt dz. Аналогично равномерно no x будем иметь |fa (x,y + T) ∞∞
-
fa
(x,y)| 6 У У
-∞ -∞
|f(x +
t,y
+
z
+
т
) - f(x +
t,y
+ z) | |0a(t, z)|
dtdz
∞∞
sup If (x,y +
т
x,y
) -
f
(x,y)| У У
\0a
(t, z) |
dtdz.
-∞ -∞
Следовательно,
fa
(x,y) является равномерной почти периодической функцией.
Пусть
Aa
(Am,цп) - коэффициент Фурье функций
fa(x,y)
соответствующий показателям Am 11 цп. Имеем
TT
4^2 /
1 fa
(x,y)exP(—i(Amx + ^пУ))
dxdy
-T -T T T = 4^2// T T ∞∞
У У
f
(x + t, У + z)0a(t, z) dtdz
-∞ -∞
exp(-i(Amx + Цпу))
dx dy
∞∞
= *t
(t,z)
-∞ -∞ TT j j f (x + t,y + z)exp(-i(Amx + Цпу)) dxdy -T -T dt dz ∞∞ j j 0a (t,z)exp(-i(Amt + ^nz)) -∞-∞
T
+t
T
+z
4T2 / /
f (x, y) exp(-i(Amx +
Цпу
))
dx dy
-
T
+t
-
T
+z
dt dz. Внутренний интеграл является допредельным выражением для коэффициентов Фурье <1>упктцш f (x,y). а по (формуле обращения Фурье ∞∞
У У 0a (t,z)exp(-i(Am
t
+ ^nz))
dtdz = Фст(Ат ,Цп).
-∞ -∞ Отсюда получим, что
a
ct
(Am, Дп) = A(Am, Дп)Ф
ст
(Am, Дп).
Таким образом, fCT (x,y) = E E A(Am, ^п)Фст(Am, Дп) exp(i(AmX + ДпУ))-|λm|6σ |µn|6σ
Так как
fCT
(x,y) является почти периодической <рункниеп. то лемма 1 доказана. B
Пусть B - пространство всех ограниченных и равномерно почти периодических в плоскости переменных x, у функций f (x, у) с нормой kf kB = sup |f(x,y)|. -∞ Рассмотрим величину R(f;ф) = kUCT(f;ф;x,y) - f(x,y)kB, в которой ∞∞ Uct(f; Ф; x,y)= j j f (x + t,y + z)Фст(t,z) dtdz, -∞ -∞ ∞ Фст(t, z) = 4ПП2 j ^CT(u)Ku(t, z) du, (2-4) Ku(t, z) = 4 cos(ut)—^—- + cos(uz) sin(ut) t , ^CT(u) — некоторая четная функция. абсолютно интегрируемая на. интервале (0, то) при каждом фиксированном а > 0 и такая, что ∞∞ j j |фст(t, z)| dtdz < то, -∞ -∞ ∞∞ j j Фст(t, z) dtdz = 1. -∞ -∞ (2.5) Далее исследуем вопрос о поведении величины (2.3) в зависимости от скорости стремления к нулю величины наилучшего приближения ECT,CT(f) (при а ^ то) для случаев, когда в качестве ^ст (u) выбраны функции 1, ^ст (и) = Уст,а (u) = < σ-|u| σ-a 0, |u| 6 a (0 < a < а); a < |u| < a; |u| > σ. (2.6) Лемма 2. Если функция ^CT(u) = ^CT,a(u) определена равенством (2.6), то справед лива. оценка ∞∞ / / |Фст(t,z)| -∞ -∞ dtdz 6 Ca +a, σ-a - (2.7) где C — константа. C Доказательство леммы 2 дано в работе [С]. B Теорема 1. Если f (x,y) Е Ви ya (u) = ya,a (u) определена равенством (2.6), то при любом Л (0 < Л < a < ст) справедлива оценка, kUa(f;Ф;x,y) — f (x,y)kB 6 cCT+aМдО)в, σ-a B (2.8) где Ua(f; Ф; x, y) определена равенством (2.4). a Ел,ли)в = ^ , A(λm,µn) f (х,У) — E E A(Xm, Pn) exp(i(Amx + ^ny)) |λm|6Λ |µn|6Λ — наилучшее приближение функций f (x, у) Е В тригонометрическими полиномами степени по выше Л. C - константа. C Так как согласно (2.-5) ∞∞ 4^ J Фа(t, z) dtdz = 1, то умножая обе части этого равенства на f (x, y) и вычитая полученное равенство из (2.4), получим A„ (f; x, y) = Ua(f;Ф; x y) — f(x, y) ∞∞ = У У f (x + t,y + z)Фa(t, z) dtdz — 4 -∞ -∞ ∞∞ = У j hf (x + t,y + z)+ f (x — ∞∞ j j f (x,y)Фa(t,z) dt dz t,y + z) + f (x + t,y — z) ∞∞ + f (x — t,y - z)i Фа(t, z) dtdz — 4 У У f (x,y)Фa(t, z) dtdz ∞∞ = У j hf (x + t,y + z) + f (x — t,y + z) + f (x + t, y — z) 00 ∞∞ + f (x — t,y - z) — 4f (x, y)i Ф„ (t, z) dtdz = j j ^x,y (f; t, z)Фa (t, z) dt dz, где ^x,y(f; t, z) = f (x + t,y + z) + f (x — t, y + z) + f (x + t,y — z) + f (x — t,y — z) — 4f (x, y). Пусть теперь ТЛ,Л(х,У) = E E Bm,n exp(i(\mx + Pny)) |λm|6Λ |µn|6Λ — произвольный тригонометрический полином и 0 < Л < a < ст. Тогда в силу леммы 1 имеет место равенство ∞∞ Tл,л(x,y)=У j Ta^(x + t,y + z)Фa(t, z) dtdz. -∞ -∞ Покажем, что для полинома Тл,л(х,у) имеет место соотношение ∞∞ У У ^х,у(Тл,л; t,z)Фa(t,z) dtdz = 0. Действительно, на. основании (2.5) имеем ∞∞ У У ^x,y(Тл,л; t, z)Фa(t,z) dtdz ∞∞ j j hтл,л(x + t,y + z) + тл,л(х - t,y + z) + тл,л(х + t,y - z) 00 + Тл,л(х - t, У — z) — 4ТкДх, y) Ф„ (t, z) dt dz ∞∞ ∞∞ j j Тл,л(х,у)Ф^(t,z) dtdz -∞ -∞ j j Тл,л(х + t,y + z^CT(t,z) dtdz -∞ -∞ ∞∞ Поэтому △a(f; x ,y) = Тл,л(х,у) - Тл,л (xy) / у -∞ -∞ Фа(t, z) dt dz = 0. ∞∞ = j j ^xy h(f — Тл,л); t; zi Фст (t, z) dtdz. (2.9) Пусть теперь Тлд(х,у) — полином, осуществляющий наилучшее приближение порядка Л. т. е. kf(x,y)- ТЛ,Л(х,У)кВ = EЛ,Л(f )В. Тогда. k^x,y[(f - Тл,л); t; z] кв 6 8Eл,л(f )в. (2.Ю) Из (2.7), (2.10) и (2.9) получаем оценку (2.8), что и доказывает теорему 1. в Теперь докажем утверждение, которое является аналогом результата. Л. В. Жижиа-швили [2] и дает оценку снизу величины (1.2) для функций f (x,y) € B. Теорема 2. Пусть f (x,y) — равномерная почти периодическая функция с показателями Фурье, имеющими предельные точки на бесконечности, т. е. Am ^ ж, pn ^ то. Тогда справедлива оценка 1 n f(x, y)- n+д 52 Sk,k(f; x, y) n k=0 B n —1 E Ek,k (f )b , k=0 где C — константа, а величина Ek,k(f )в определена в (1>оруддпровкс теоремвт 1. C Пусть 2m 6 n 6 2m+1. Тогда Rn(f)b = 1 n f(x У) - ;r+T X Sk,k(f;x у) n k=0 n + 1 n X f (x,y) - Sk,k(f; x,y)) k=0 B B n + 1 m—1 2v+1—1 X X f (x,y) - Sk,k(f; x,y)) + f(x,y) ν=0 k=2ν - n So,o(f; x,y)+ X f(x, у)-Sk,k(f; x, у) n+1 m-1 X 2VA ^ 2V ν=0 2v+1 -1 B X f(x^-Sk,k(f; x,y)) +лл 1 (f(x'y) - S f; x'y)) 1b+лл B n X f((x,y)-Sk,k(f; x,y)) B (2.11) Пусть Sk,k(f; x,y) — полипом, осуществляющий паплучшее приближение порядка 2V — 1. т. е. 2v+1-1 X (f(х,у) — Sk,k(f;х,у)) 6 CE2V-1,2V-i(f)b. (2.12) Тогда. n У2 (f(х,У) — Sk,k(f;х,У)) 6 C(n — 2m)E;m-i,2m-i(f)b. (2.13) Из соотношений (2.12), (2.13) и (2.11) получим Cm-1 1 n — 2m Rn(f)B6n + 1 X 2 E2V-1,2V-1(f)B+n + 1 E0,0(f)B+ Cn + 1 E2m — 1,2m-1(f )B ν=0 C n + 1 m-1 X2VE2V — 1,2V — 1(f)B+ ν=0 1 2m n+T E°,°(f )b + Cn+r E2m —1,2m —1(f)B 2m “T1J XEk,k(f )B+ n+yE0,0(f )B6 k=1 2m nCr X Ek,k (f )b 6 k=0 n n+1 E Ek,k (f )b . ▻ k=0 В заключение отметим, что теоремы 1 и 2 приводились ранее автором без доказательства. в работе [7].
Список литературы О приближении почти периодических функций некоторыми суммами
- Marcinkewisz I. Sur une method remarquable de soummation des series doubles de Fourier//Collecfed papers. Warszawa, 1964. P. 527-538.
- Жижиашвили Л. В. О суммировании двойных рядов Фурье//Сиб. мат. журн. 1967. Т. 8, № 3. C. 548-564.
- Taberski R. Abel summability of double Fourier series//Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Msth. Astron. Et phys. 1970. Vol. 18, № 6. P. 307-314.
- Тиман М. Ф., Гаймназаров Г. Уклонение периодических функций двух переменных от некоторых полиномов//Докл. АН Тадж. ССР. 1972. Т. 15, № 5. C. 6-8.
- Тиман М. Ф., Пономаренко В. Г. О приближении периодических функций двух переменных суммами типа Марцинкевича//Изв. вузов. Математика. 1975. № 9. C. 59-67.
- Пономаренко В. Г. О приближении функций, равномерно непрерывных на всей вещественной плоскости//Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 1. С. 86-97.
- Хасанов Ю. Х. О приближении почти периодических функций двух переменных//Изв. вузов. Математика. 2010. № 12. C. 82-86.