О приближении почти периодических функций некоторыми суммами

Через Lp (1 6 p 6 то) обозначим пространство измеримых 2п-периодических по каждой из переменных функций f (x,y) для которых существует копенная норма

2π 2π

kf ^(x,y)kLp = * j j If^(x,y^)|p dxdy

1 p

>< то (1 6 p <  то),

kf⁽x,y- L.. = vrai sup ^|f (x.y)¹ < ^то,

x,y ii ряд Фурье функции f (x,y) E Lp (1 6 p 6 то) -

∞∞

5252 ^Ак,1^(х,у),

(i.i)

k=0 l=0

где Ak,i(x,y) = ak,i cos kx cos ly + bk^ sin kx cos ly + Ck,i cos kx sin ly + dk,i sin kx sin ly, ak,i, bk,b ck,b dk,l — коэффпцпеитьi Фурье функции f (x,y)

И. Марцинкевич [1] впервые рассмотрел вопрос о поведении сумм вида

1 n

Mn^(f; x, У) = —у 52 Sk,k^(f; x У^), n ^{+ 1} k=0

где Sk,k (f ; x,y) - частичные с уммы порядка k по каждой из переменных ряда (1.1) функции f (x, y) € Lp (1 6 p 6 то). В частности, Марцинкевичем было установлено, что если f (x, y) - непрерывная функция по совокупности переменных, то

Rn^(f )L^ = Ilf^(x, У) - Mn^(f ; x, У) 11L^ ^ 0, n - м.

В работе Л. В. Жижиашвили [2] были даны некоторые оценки скорости стремления к нулю величины

Rn^(f )Lp = Ilf^(х,У) ^- Mn^(f ; ^x,y)kLp ⁽¹

^{6 to )} .                 U-2)

Исследование поведения отклонения функции двух переменных f (x, y) € Lp (1 6 p 6 то) от сумм вида ∞

Wr ^(f ; x, У) = ^{(1 - r)} X rk Sk,k^(f ; ^x,y) ⁽⁰< ^r< 1)

k=0

при r ^ 1 было проведено в работе В. Таберского [3]. Некоторым уточнениям результатов Л. В. Жижиашвили и Р. Таберского посвящена, работа. М. Ф. Тимана, и Г. Гаймназаро-ва. [4]. В работе М. Ф. Тимана, и В. Г. Пономаренко [5] для случая треугольных матриц {^k,n} установлены оценки снизу величины где

Rn(f; ^К =

n f (x, У) - 52 ^k,nSk,k(f S x У) k=0

Йк,п —

I

(k+1)^r - k^r (n+1)^r

0 ,

Lp

k 6 n; k>n

(1 6 p 6 to ) ,

при любом натуральном r. В этой же работе приведены некоторые уточнения оценок из работ [2] и [3], и при любом натуральном r и 1 < p < то получены следующие точные порядковые равенства:

где

Rn(f S ^)Lp - ш(1)

Lp

+ _Шг^)

Lp

4¹)^(f; t)Lp = sup

|h|6t

r

Е <-1rv (v )f ex+vh,y)

v=0

Lp

шГ^{2) (f}; t)Lp = sup

|h|6t

r

E <-1r^v (v )f (x,y+ vh)

v=0

Lp

2. Основные результаты

В настоящей статье устанавливаются оценки сверху величины отклонения одного класса, почти периодических функций двух переменных от сумм типа. Марцинкевича, в равномерной метрике.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x,y) (—то < x, у <  то) называется равномерной почти периодической функцией, если для каждого е >  0 можно указать такое число l = 1 ( e), что в каждом интервале длины l найдется хотя бы одно число т, для которого

|f (x + т, у) — f (x, у)| < е равномерно по у,

|f (x,y + т ) — f (x, у)| < е равномерно по x.

Пусть B - класс равномерных почти периодических функций и ряд Фурье функции f (x, у) Е B имеет вид ∞∞ f (x,y) ~ Е Е A(Xm , Дn)exp(i(Xm x + Дпу)),              (2.1)

m=-^ n=-^

где

^A(Xm, ^Дп)

TT

Tlin^ 4^2 j j f (x,y)exp(— i(Xm x + Дпу)) dxdy

-T -T

— коэффициенты Фурье функции f(x, у), a {pmYm= ^.- {X_n}n=-^ — показатели Фурье (спектр функции), которые имеют предельную точку в бесконечности, т. е.

Хо = До = 0;   X—m = —Xm,  Д-n = —Дп;   lim Xm = то, lim Дп = то;

m→∞       n→∞

^Xm < ^Xm+1 ^(m — ⁰, 1, ², . . ^.), ^Дп < ^Дп+1 ⁽ⁿ — ⁰, 1, ², . . ^.).

Через S_a,_a (f; x,y) обозначим частичную сумму ряда (2.1), т. е.

Sa,a^(f; ^x,y) = Е Е A(Xm , Дп) exp(i(Xm x + Дпу)).

|λm |6σ |µn|6σ

Положим

Ua^(f ;^ф; ^x,y) = Е Е A(Xm , Дп)Фа (Xm, Дп) exp(i(Xm x + ДпУ)),

|λm|6σ |µn |6σ где Фа(t, z) — произвольная, вещественная, непрерывная четная функция, для которой выполнены следующие условия:

• 1)    Ф_ст(0, 0) = 1;

• 2)    Ф_а(t, z) = 0 щ:>и |t| >  ст л. th |z| > а;

3>

^_ст(t, z) Е L² ( —to , то),                                     (2.2)

где

CXD CXD

^ст(u, v) =             Фа(t, z) exp(—i(ut + vz)) dtdz.

4n2

-∞-∞

Лемма 1. Если f (x,y) G B. то

∞∞

Ua(f ; Ф; x,y) = J" I

f (x + t, y + z)0_a(t, z) dt dz.

-∞ -∞

C Пусть

∞∞ fa(x,y)= / /

f (x + t, y + z)u_a(t, z) dt dz.

-∞ -∞

Тогда в силу (2.2) равномерно по у имеем

∞∞

.0^{(x +} Ey) - ^fa ^(x,y^)| 6 У У

-∞ -∞

|f(x + t + т,у + z) - f (x + t,y + z) | \0_a(t,z)\dtdz

6 sup f (x + T,y) x,y

∞∞

^{- f} M\ У У ^|0a^(t,z)|

-∞ -∞

dt dz.

Аналогично равномерно no x будем иметь

|fa (x,y + T)

∞∞

- fa (x,y)| 6 У У

-∞ -∞

|f(x + t,y + z + т ) - f(x + t,y + z) | |0a(t, z)| dtdz

∞∞

sup If (x,y + т x,y

) ^{- f (}x^,y^)| У У

\0_a (t, z) | dtdz.

-∞ -∞

Следовательно, f_a (x,y) является равномерной почти периодической функцией.

Пусть A_a (Am,ц_п) - коэффициент Фурье функций f_a(x,y) соответствующий показателям Am 11 ц_п. Имеем

TT

4^2 / 1 fa (x,y)^exP(—i(Amx + ^пУ)) dxdy

-T -T

T

T

= 4^2//

T

T

∞∞

У У f (x + t, У + z)0a(t, z) dtdz

-∞ -∞

exp(-i(Amx + Цпу)) dx dy

∞∞

=        *t (t,z)

-∞ -∞

TT j j f (x + t,y + z)exp(-i(Amx + Цпу)) dxdy

-T -T

dt dz

∞∞ j j 0a (t,z)exp(-i(Amt + ^nz))

-∞-∞

T +t T +z

4T2 / /

f (x, y) exp(-i(Amx + Цпу )) dx dy

- T +t - T +z

dt dz.

Внутренний интеграл является допредельным выражением для коэффициентов Фурье

<1>упктцш f (x,y). а по (формуле обращения Фурье

∞∞

У У 0a (t,z)exp(-i(Am t + ^nz)) dtdz = Ф_ст(Ат ,Цп).

-∞ -∞

Отсюда получим, что

a ct ^(Am^, Дп) = A(Am^, Дп)Ф ст ^(Am, Дп).

Таким образом, fCT (x,y) = E E A(Am, ^п)Фст(Am, Дп) exp(i(AmX + ДпУ))-|λm|6σ |µn|6σ

Так как f_CT (x,y) является почти периодической <рункниеп. то лемма 1 доказана. B

Пусть B - пространство всех ограниченных и равномерно почти периодических в плоскости переменных x, у функций f (x, у) с нормой kf kB =     sup    |f(x,y)|.

-∞

Рассмотрим величину

R(f;ф) = kUCT(f;ф;x,y) - f(x,y)kB, в которой

∞∞

Uct(f; Ф; x,y)= j j f (x + t,y + z)Фст(t,z) dtdz,

-∞ -∞

∞

Фст(t, z) = 4ПП2 j ^CT(u)Ku(t, z) du,

(2-4)

Ku(t, z) = 4 cos(ut)—^—- + cos(uz)

sin(ut)

t

,

^_CT(u) — некоторая четная функция. абсолютно интегрируемая на. интервале (0, то) при каждом фиксированном а > 0 и такая, что

∞∞ j j |фст(t, z)| dtdz < то,

-∞ -∞

∞∞ j j Фст(t, z) dtdz = 1.

-∞ -∞

(2.5)

Далее исследуем вопрос о поведении величины (2.3) в зависимости от скорости стремления к нулю величины наилучшего приближения E_CT,_CT(f) (при а ^ то) для случаев, когда в качестве ^_ст (u) выбраны функции

1,

^ст (и) = Уст,а (u) = <

σ-|u| σ-a

0,

|u| 6 a (0 < a < а); a < |u| < a;

|u| > σ.

(2.6)

Лемма 2. Если функция ^CT(u) = ^CT,a(u) определена равенством (2.6), то справед лива. оценка

∞∞

/ / |Фст(t,z)|

-∞ -∞

dtdz 6 C^{a +}a, σ-a

-

(2.7)

где C — константа.

C Доказательство леммы 2 дано в работе [С]. B

Теорема 1. Если f (x,y) Е Ви ya (u) = ya,a (u) определена равенством (2.6), то при любом Л (0 < Л < a < ст) справедлива оценка, kUa(f;Ф;x,y) — f (x,y)kB 6 cCT+aМдО)в, σ-a

B

(2.8)

где U_a(f; Ф; x, y) определена равенством (2.4). a

Ел,ли)в = ^ ,

A(λ_m,µ_n)

^{f (х,}У) ^— E E A(Xm, Pn) exp(i(Amx + ^ny)) |λm|6Λ |µn|6Λ

— наилучшее приближение функций f (x, у) Е В тригонометрическими полиномами степени по выше Л. C - константа.

C Так как согласно (2.-5)

∞∞

4^ J Фа(t, z) dtdz = 1, то умножая обе части этого равенства на f (x, y) и вычитая полученное равенство из (2.4), получим

A„ (f; x, y) = Ua(f;Ф; x y) — f(x, y)

∞∞

= У У f (x + t,y + z)Ф_a(t, z) dtdz — 4

-∞ -∞

∞∞

= У j h^{f (x +} t,y ^{+ z)+ f (x —}

∞∞ j j f (x,y)Фa(t,z) dt dz

t,y + z) + f (x + t,y — z)

∞∞

+ f (x — t,y

-

z)i Ф_а(t, z) dtdz — 4 У У f (x,y)Ф_a(t, z) dtdz

∞∞

= У j hf (x + t,y + z) + f (x — t,y + z) + f (x + t, y — z) 00

∞∞

+ f (x — t,y

-

z) — 4f (x, y)i Ф„ (t, z) dtdz = j j ^x,y (f; t, z)Фa (t, z) dt dz, где

^x,y(f; t, z) = f (x + t,y + z) + f (x — t, y + z) + f (x + t,y — z) + f (x — t,y — z) — 4f (x, y).

Пусть теперь

^ТЛ,Л^(х,У) = E E Bm,n exp(i(\mx + Pny))

|λm|6Λ |µn|6Λ

— произвольный тригонометрический полином и 0 < Л < a < ст. Тогда в силу леммы 1 имеет место равенство

∞∞

Tл,л(x,y)=У j Ta^(x + t,y + z)Фa(t, z) dtdz.

-∞ -∞

Покажем, что для полинома Тл,л(х,у) имеет место соотношение

∞∞

У У ^х,у(Тл,л; t,z)Фa(t,z) dtdz = 0.

Действительно, на. основании (2.5) имеем

∞∞

У У ^x,y(Тл,л; t, z)Фa(t,z) dtdz

∞∞ j j hтл,л(x + t,y + z) + тл,л(х - t,y + z) + тл,л(х + t,y - z) 00

+ Тл,л(х - t, У — z) — 4ТкДх, y) Ф„ (t, z) dt dz

∞∞

∞∞ j j Тл,л(х,у)Ф^(t,z) dtdz

-∞ -∞

j j Тл,л(х + t,y + z^_CT(t,z) dtdz

-∞ -∞

∞∞

Поэтому

△a^(f; x ,y)

= Тл,л(х,у) - Тл,л

(xy) / у

-∞ -∞

Ф_а(t, z) dt dz = 0.

∞∞

= j j ^xy h(f — Тл,л); t; zi Ф_ст (t, z) dtdz.

(2.9)

Пусть теперь Тлд(х,у) — полином, осуществляющий наилучшее приближение порядка Л. т. е.

kf^(x,y)^{- Т}Л,Л^(х,У^)кВ = ^EЛ,Л^(f )В.

Тогда.

k^x,y[(f - Тл,л); t; z] кв 6 8Eл,л(f )в.

(2.Ю)

Из (2.7), (2.10) и (2.9) получаем оценку (2.8), что и доказывает теорему 1. в

Теперь докажем утверждение, которое является аналогом результата. Л. В. Жижиа-швили [2] и дает оценку снизу величины (1.2) для функций f (x,y) € B.

Теорема 2. Пусть f (x,y) — равномерная почти периодическая функция с показателями Фурье, имеющими предельные точки на бесконечности, т. е. Am ^ ж, pn ^ то. Тогда справедлива оценка

1 n

^f(x, y)^- n+д 52 Sk,k^(f; x, y)

n    k=0

B

n

—1 E Ek,k (f )b , k=0

где C — константа, а величина Ek,k(f )в определена в (1>оруддпровкс теоремвт 1.

C Пусть 2m 6 n 6 2m+1. Тогда

Rn(f)b =

1 n

^f(x У) - ;r+T X Sk,k^(f;x у)

ⁿ    k=0

n + 1

n

X ^{f (}x,y) - Sk,k^(f; ^x,y))

k=0

B

B

n + 1

m—1 2^v+1—1

X X ^{f (x,}y) ^- Sk,k^(f; x,y)) + ^f(x,y) ν=0 k=2^ν

-

n

So,o^(f; ^x,y⁾⁺ X f⁽x, у)^-Sk,k^(f; x, у)

n+1

m-1

X 2VA

^  2V

ν=0

2v+1 -1

B

X ^f(x^^-Sk,k^(f; ^x,y))

⁺лл ¹ (^f(x'^{y) - S} f^{; x}'^y)) 1b⁺лл

B

n

X ^f((x,y)^-Sk,k^(f; ^x,y))

B

(2.11)

Пусть Sk,k(f; x,y) — полипом, осуществляющий паплучшее приближение порядка 2^V — 1.

т. е.

2v+1-1

X (f(х,у) — Sk,k(f;х,у))    6 CE2V-1,2V-i(f)b.

(2.12)

Тогда.

n

У2 (f(х,У) — Sk,k(f;х,У))    6 C(n — 2m)E;m-i,2m-i(f)b.         (2.13)

Из соотношений (2.12), (2.13) и (2.11) получим

C^m-1                    1             n — 2^m

Rn^(f)B⁶n + 1 X ² E2^V-1,2^V-1^(f)B⁺n + 1 E0,0^(f)B^{+ C}n + 1 E2^m — 1,2^m-1^(f )B ν=0

C n + 1

m-1

X2^VE2^V — 1,2^V — 1^(f)B⁺

ν=0

1                 2m n+T E°,°(f )b + Cn+r

E2^m —1,2^m —1^(f)B

2m

“T1J XEk,k^(f )B⁺ n+yE0,0^(f )B⁶ k=1

2m nCr X Ek,k (f )b 6

k=0

n n+1 E Ek,k (f )b . ▻ k=0

В заключение отметим, что теоремы 1 и 2 приводились ранее автором без доказательства. в работе [7].