О приближении почти-периодических функций Степанова средними Марцинкевича

DOI:

Как известно [1], величина

D s p ^{{/ ( ж ) }} =   sup ( ¹ W    ^1/ (ж) - g ⁽ x)\^pdx \

— ^<Х<^ I t Jx                   J называется S — расстоянием порядка р (р > 1), соответствующим длинам почти-пери-одов /. Под Sp-пространством, или пространством почти-периодических функций Степанова, понимается совокупность функций, для которых можно указать последовательность тригонометрических сумм {^^(^)}

п

Р п (х) = ^С к ехр(г Л к х)

к=1

таких, что lim DsP{/(х) - Рп(х)} = 0. п^^

Пусть /(х) Е S _p с рядом Фурье вида

∞

/(х) - £ А                                  (1)

п = -^

где { Л _п } — показатели Фурье, которые имеют единственную предельную точку в бесконечности, то есть

Л о = 0, Л - п = - А п ,  lim Л п = то , Л п <  Л п+1 (п = 1, 2,...).

п ^^

Так как (см. [1, теорема 5.2.5]) при всяком Л _п функция / (х)е^-г' ^Л " ^ж есть S _p -почти-перио-дическая функция, то существует средние значения

А_п = lim Г /(х)е ^{- г Л п Ж} dx — ^п т -х 2Т --t^{j v} '

коэффициенты Фурье функции /(х).

Через

S . (/;х)= ^ I -     (о- > 0)

| Л „ |< ^

обозначим частичную сумма ряда (1).

Пусть Ф ^ (^) — произвольная, вещественная непрерывная четная функция, и такая, что

• 1)    Ф . (0) = 1;

• 2)    Ф _с (1) = 0, при | t | <  ff;

3)Ф , (t) Е Ь( -то ; то ),                                (2)

где

^Ф ^Ы = Л Г Ф ^ (^)е ^- ’^и* dt.

2 П -га

Тогда положим иа(/; ф;х)= ^   1.-Ф. \ . .     .

^|Л т |< У

В дальнейшем нам понадобиться следующее вспомогательное предложение.

Лемма 1. Если / (ж) Е S _p (р >  1) , то

∞

U _c ^{( /} ; у; ^{ж )} = I

-∞

/ (ж + t)Ф _G (t)dt.

Доказательство. Положим

Л(ж) = Г / (ж + t^ _a (t)dt.

-∞

Пусть ж0 — произвольное действительное число и / = 1. Тогда в силу (2), используя неравенство Гельдера, имеем с хо+1

Г |№ + ^т

J Х 0

• Х0 + 1

Ж 0

| / ^ (ж + т) — /_ff(ж) | ^p dж j     <

ж + t + т) — /(ж + t) | • |^CT(t)\dt^ dж^

< / sup f 0 | /(ж + т) — /(ж) | ^р dж \   • ( f Фе/ ' " dt \ / .

I х J^o               JU —о

Отсюда следует, что функция / ^ (ж) является S _p -почти-периодической.

Пусть Вт — коэффициент Фурье функций /^(ж), соответствующий показателям Ат. Имеем ф Г^У-d = ф WТ W f“ /(ж + t)»,(t)dtl е—°-"di = 2^    т                      21Т

=J —О ^ф ’ ^{( t )} [ 21J — ^Тт ^{/ ( ж + t ) e — 1 Л т}'^& ] ^dt = 0 ^ф " (‘> [ 21J — ^ТТ + ,

/(ж)е ^{— i Л m ( х + ^ )} dжj dt =

∞

= J° Ф ^ (t)e ^{— iX m t}

21 J ^Т + L / ⁽ж> ^{е —} * ^{X m} * ^dX 21   — Т + t

dt.

Внутренний интеграл является допредельным выражением для коэффициентов Фурье функции /(ж) Е S _p , а по формуле обращения Фурье

J 0 Ф ^ (t)e ^{iX m t} dt = Ф ^ (Л т ).

Отсюда получим, что

^В т   ^ т

• ^Ф ^ ⁽ ^ т ).

Таким образом,

/ , (ж) = 52 ^ т Ф ^ (^ т )е ^^ ^{т Х} | ^ т |^ ^

Так как / ^ (ж) является S _p -почти-периодической функцией, то лемма доказана.

Основные результаты

Пусть S _p (R) — пространство всех ограниченных функций f (ж) G S _p (р >  1) с нормой

Ilf (ж)1к =

sup   (у Г     | f(ж) | ^р dж\ .

— ^ ^ t ^X

Рассмотрим величину

R ^{( f} ; ^{ж )} = Н^У; ф ; ^{ж ) — f ( ж )} ^ _{5 р} ,

в которой

^(f; ф ; ж) =      f (ж + t)Ф ст (t)dt,

-∞

Ф ст (t) = 1- Г ф ст (и)К (t)du, K _u (t) = 2 ^{sm( Mt )} , 2П 0                                  t

Ф_ст (п) — некоторая четная функция, абсолютно интегрируемая на интервале (0; то ) при каждом фиксированном ст > 0 и такая, что

| Ф ст (t) | dt <  то ,

-∞

Ф _ст (t)dt = 1.

-∞

Исследуется вопрос о поведении величины (3) в зависимости от скорости стремления к нулю E _CT (f ) (при ст ^ 0) для случаев, когда в качестве ф_ст(м) выбраны функции

ф ст («) = фаДи) = <

• 1,        | и | <  а(0 < а <  ст);

ст | u |

• ^-^ ,   ^а< | и | <  ^ст ;

• ^0,           | и | >  ст.

В силу [2, теоремa 1] существует оценка

f" | Ф ст,« (t) | dt <М — .

—^                ст — а

Теорема 1. Если f (ж) G S _p (R) и функция ф ^ (м) = ф_ст ,_а (м) определена равенством (6) , то при любом Л (0 < Л < а <  ст) справедлива оценка

R(f ; Ф ст,а ) <М—Ели) _S p ст — а ^р

где M — абсолютная константа и

Е л (# К

= inf f (ж) -       ^A m d

A m

m

| Л т |< Л

, t ^ m X

—

s _P

наилучшее приближение функций f (ж) G S _p тригонометрическими полиномами степени не выше Л .

Доказательство. В силу (5) имеем

2     Ф_cДt)dt = 1.

Умножив обе части последнего на /(ж) и вычтя полученное равенство из (4) при Ф_а = = Ф ^,„ , получим

А ^,« ^{( /} ; ^{ж )} = U _a ^{( /} ; у;

∞

ж) ^- / ⁽ ж) =

-∞

/(ж + 1)Ф_СД1)(И -

- Г / (ж)Ф^Д^ = Г [/(ж +t) + /(ж - t)] Ф _c , _Q,(t)dt - -∞ 0

- 2 W / (жД_сД1)(И = W [/(ж + t) + /(ж - t) - 2/(ж)] Ф_СД!)(И = -∞ 0

= J} П.(/; t)ФcДt)dt, где

ДЛ; t) = /(ж + t) + /(ж - t) - 2/(ж).

Пусть теперь

Т , (ж) = £ I . -

|л„|<л произвольный тригонометрический полином и 0 < Л < а < а. Тогда (см. [3, лемма 3]) справедливо равенство

Т , (ж) = Г   Т , / (ж + t)Ф_cДt)dt.

-∞

Покажем, что для полинома Т , (ж) имеет место соотношение

W " П _ж (Т л ; t)Ф_ст,_{< l} (t)dt = 0.

Действительно,

£" П(Т л ; t>_c, _a (t)dt = £~ [Т л (ж + t) + Т л (ж - t) - 2Т л (ж)] Ф_СДЬ> =

= Г Т л (ж + t)Ф_GДt)dt - Г   Т л (ж)Ф_ст,_{c г} (t)dt =

-∞-∞

= Т л (ж) - Т л (ж) С " Ф_СДЬ> = 0.

-∞

Поэтому

А .,„ (/; ж) = П _ж [(/ - Т л ); t]Ф_ff ,_tt (t)dt.

Пусть теперь Т _л (ж) — полином, осуществляющий наилучшее приближение порядка Л, то есть

« /(ж) - Т _Л (ж) А _{5 г} = Е л (/) s , .

Тогда

« П . [(/ - Т , );t] J _{S p} <  4Я _Д (/ ) _s , .

Из (7), (10) и (9) получаем оценку (8). Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть /(ж) G S _p (р >  1) , показатели Фурье которой не имеют предельных точек на конечном расстоянии, то есть А _т ^ то . Тогда справедлива оценка

П

^{/ ( ж )} - п+1 Е ⁵ * ^{( /} ; ^{ж )}

≤

S p

М п + 1

П

Е Е к (/) s p , к =0

где М — абсолютная константа, а величина Е _л (/ ) _{S p} определена в формулировке теоремы 1.

Доказательство. Пусть 2 ^т <  п <  2 ^{т +1} . Тогда

Я п ( / ) S p

п + 1

П

^{/ ( ж )} - п +г Е ^S k ^{( /} ; ^{ж )}

т - 1 2 “ ⁺¹ - 1

S p

П

Е ^{[ / ( ж )} - ^S _k ^{( /} ; ^{ж )]}

^п к 1

S p

52 52 ^{[ / ( ж ) - S} ^ ^{( /} ; ^{ж )] + / ( ж ) - S} o ^{( /} ; ^{ж )}+52^{[ / ( ж )} - ^{S k ( /} ; ^{ж )]}

≤ п + 1

т - 1     , 2 ^ ⁺¹ - 1

Е 2^ ^ Е [/(ж) -S _k (/;ж)]

+

S p

п + 1

Ц У ^{( ж )} — ^S o ^{( /} ; ^{ж )} ^ _в

п + 1

П

Е ^{[ / ( ж )} — ^S k ^{( /} ; ^{ж )]}

S p

Согласно теореме 1 имеем

, 2" ⁺¹ - 1

2 ; Е [/(ж) -S k (/;ж)]

< ^М • ^Е 2 « — i ^{( /} ) S p , S p

П

^Е [/(ж) - S k (/; ж)]     <  М(п - 2 ^т ) • Е ₂ . -₁ (/) S p .

Из соотношения (12), (13) и (11) получим

≤

S p

М ^т-1                   1

R »U ) s , <  ^+1 Е ² " • ^Е 2 " -^{1 ( /} ) $ г ⁺ _п+7 ^Е ° ^{( / ) s} » ⁺

+ м2^е ₂ „ -1( / ) s , <  ^^Мг Е 2 ^; • Е . - 1 (/) S , +

; =0

2 ^т

+--1ПГЕ0(/)Sp +--~1Е2т-1(/)Sp < I 1 ЕЕк(/)Sp + п + 1          п + 1              п + 1 z-—‘ k=1

2 ^т                      п

• + +тЕо ( / ) Sp <      ^Е Е к (/ ) s , <  —4 ^Е Е к (/) Sp .

• п + 1       п + 1 ^        п + 1 ^

к =0                    к =0

Теорема 2 доказана.

Заметим, что аналогичные результаты для периодических функций рассмотрены в работе [2], а для класса равномерных почти-периодических функций в [4].