О приближенном вычислении интегралов типа коши
Автор: Хубежты Шалва Соломонович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.5, 2003 года.
Бесплатный доступ
Построены квадратурные формулы для интегралов типа Коши, удобные для вычисления значений этих интегралов в точках при любой близости к контурам интегрирования. Оценивается погрешность вычислений и делается попытка применить построенные квадратурные формулы для вычисления компонентов напряжений в задачах математической теории упругости.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318091
IDR: 14318091
Текст научной статьи О приближенном вычислении интегралов типа коши
В формуле (И) Ф(() = ttpYY
Коэффициенты A*a^YY (^ = 0,1,2) легко вычисляются и имеют вид:

+ 1------------------ ^z - t0 + z - Н + z - (2 + z - Phi + z - т„^
^X-^-YVa-zY ^ _ ^ _ ^ ^_ ^ _ ^ + ^ _ ^ _ ^
+ Y - thi + z- та+2М -to + z-K+z-^ + ^z- T„MY - Tff+2)]
+ (^+1 - tY [(Z - toY^ - KYz - (2) + (z- T.+ i + г - tct+Y
X ((z - KHz - tH + ^Z- toHz - tH + ^Z- toHz - H))
+ (z - to + Z - t-k + z - t2Hz - tct+1)(z - Tff+2)]
+ У - T^ + l + Z - Tct + 2Hz - toHz - tiHz - 12) + ((^ - tiHz - 12)
+ (г - ф)(г - 12) + Y - toHz - txY^z - tct+iHz - t^+2)] ln^+1—^ J Ту- z
+ (z - toHz - tlHz - t2Hz - Tct + 1Hz - T^+2)-- L J \ t^+i - z


+ Z - ty + Z - t2 + Z - Ta
z -t0

+ (z - t0)(z - ti) + (z - та + z - tct+2)(z - to + Z - ti + z - t2)
)(z - 7„+2)j + (7^1 - 7^) [(z - t0)(z - ti^z - t^
+ (z - та ! z -
7
+ (z - t0)(z - t^) + (z - to + Z - H + z - t2)(z - ra)(z - 7„+2)j + (z - Ta + z - tct+2^z - to^z - t^z - t2) + ((z - t^z - t2)
+ (z - to)(z - t2) + (z- to)(z - t^^z - Ta^z - 7-^+2)] In A±1--- A TCT - Z
+ (z - toHz - t^Z - t2^Z - Ta)(z - 7a + 2)--- 1--
L J у ^H-l Z Ta z д * = ____________1J A-I - z)4 - (t^ - z)4
a+2 2тгг(тт+2 - 7(Т)(7(т+2 - Tff+1) I 4
(7a+i — A — (or — zV Г
+ ---------------------^z - to + Z - ti + z - t2 + z - T^+1
1 — zA2 — — zA2 г
+3 - T,] + ---A ^ _ t^z _ t^ + ^z_ t^z -12^
+ (г - to^z - ^1) + (г - To-+1 + z - tZ)Iz - t0 + z - ti + z - t2^
+ (z - T.Kz - T.+ x)] + (7.,+! - 7.) [(г - toHz - M(z - t2)
+ (z - 7. + Z - 7,+x) ((z -tl)(z- t2) + (z- to)(z - t2)
+ (z - t0)(z - #1)) + (z - to + z - h + Z - t2^Z - 7^)(z - 7ff+l)j
+ (z - 7^ + Z - 7(T+l)(z - to^Z - ^i)(z - ^2) + ((z - ^l)(z - ^2)
+ (z - to^Z - ^2) + (z - to^Z - ^l))(z - 7(T)(z - 7^ + 1)] In A±1---^
+ (Z - toHz - tl^Z - t^^Z - 7(T)(Z - 7^ + 1)
1 1
--h --------
7^ + 1 - Z To- Z
Оценим погрешность квадратурной формулы (11). Нетрудно убедиться, что она имеет вид
\Rn‘2^tp;z)\ = О , так как если z близко к контуру L, то to = Н = z.
Аналогично строятся квадратурные формулы и для четвертого интеграла в формулах (1):
кН2) Ri Ф(ф,^,^2) + 52 (^Г(г)ф(т<7,Ф,^1,^2) + А^^Ф^+ьфЛЛ)
7 = 0
+ ^Г+2(г)Ф(т<т+2,Ф,^1,^2)),
где
= ___________1___________/ (Ат+1 - ^)3 - (^ - г)3 2тп(т(7-т(7+1)(т(7-т(7+2Ц 3
+ ^±1---L_—^--fL ^ _ t0 + z - К + z - t2 + z - T^+1 +3 - тстЦ + (т^ - tJ [(г - KHz - K) + (г - KHz - tn +(z - toHz - K) + (z- tct+i + z- Ta+2Hz -K + z-K + z-K)
+ (z - T.^ - W)] + [(3 - toHz - KHz - tH + (z- T. + 1 Kz - т^Н^К - KHz - <2) + (^ - Ф)(г - tn + (z - KHz - ti))
- KHz - T^+H^z - r„+2)j

+ (z - t0 + z - К + z
+ (г - та+1 + z - Ta+2Hz - KHZ - KHZ - Ы + ((z - KHz - ^2)
+ ^z - KHz - tH + (г - KHz - li))(^ - Tct+1Hz - Tct+2
X
1 1
--1--
TcVv - z Ta - z
+ (z - toHz - tlHz - t2Hz - T^+1)

/ x = _____________1_____________/ (r<7 + l - zH - (^ - zH
,t+1 2тгг(т(7+1 - T^))^! - T^+H ( 3
+ -^y--11_—^--^L [г _ to + z - ti + z - t2 + z - Ta
+Z - тстЦ + (т.,+1 - тП [(з - KHz - tn + (^ - toHz - tH
-
+ (z - toHz - tn + (z - Ta + z - Tff+2Hz -to+z-K+z-tH
p^z - T.Hz - т,+2)] + [(г - toHz - KHz - <2) + (z - та
-
-Vz - Ttr+2)((z - tiHz - tn + (z - toHz - tH + (z - to)(z - ti))
+ n - to + Z - К + z - kHz - TCTHz - Tff+2)1 In ^±1---
J Tc- z
+ (^ - Ta + z - tct+2Hz - KHz - t-kHz - tH + ((z - t-kHz - tH
+ (z - to^z - <2) + (^ - to^z - Д))(з - та^г - Tff+2)j
X (----- + ^—) + Vz-t^z-t-^z-t^z-T^ \ ^_| - z Ta-z) L

______________1______________f - г)3 - Утс - г)3 2тгг(т(7+2 - т(Т)(т(т+2 - т^+i) | 3

+ z - ti + z - t2 + z - TCT
Xz - T^ + ij + (t^+1 - tJ |_(z - ti)(z - t2) + (^ - to)(z - t2)
+ (z - to)(z - it) + (z - TCT + z - Tff+1)(z -to + z-ti + z-t^ + (z - T.Hz
- T^j] + [(г -
to^z
- Д)(г -
t2) +(z-T„ Xz -
т(7+1)((г -
t^z
- t2) + U -
+ (z -tg + z-ti+z - t2)(z - tct)(z - T^+Jj x (------ + ) + b - to)^ - ^1)(^ - ^2)(^ - T.)
\ T^+1 - z Ta-Z) L

Для остаточного члена имеем
D z x 1 \- (t - to^t - ti^t - ^2)гП(Т(у2ДД0Д1Д2)
R^' z) = 2^2^--------------------dt a=0 v '
-2тгг^ / г^(уДДоД1Д2)^+ 2?г.
Е + Г T^^Vip-, t, ФД1Д2)
<г=от ;
to^z - ^2)
‘''^-^^ /
1^ММд!11М^ + (г_^0)
‘*-^^„ /
T^^t^to^!,^
Для формулы (12) также справедлива оценка
\Rn3^; z)\ - О
-
§2. Вычисление компонентов напряжения основной смешанной задачи плоской теории упругости
Пусть упругое тело занимает на плоскости z = ж + iy конечную область S, ограниченную простым замкнутым гладким контуром L (см [4]).
Основные уравнения плоской теории упругости при отсутствии объемных сил сво-
Эх ' Эу
Общее (регулярное) решение основных уравнений (13) может быть выражено через две произвольные голоморфные в S функции <р(г),'0(г), следующим образом
Хх + Уу = 4Re р'фф, Уу — Хх + ^iXy = 2 \zp" фф + ф'фф\,
2/z(u + w) = xip^ - гф'фф - ффф,(16)
где ,_
A + 2/z ............
x = —----- = 3 — 4ст > 1,
A + /z
-
□ = ДА+Щ — коэффициент Пуассона (О < ст < |). Функции рфгф ффф определяются по граничным условиям
<Д£) + 1рфф + ^(1) = /(1) + с(1) при t G L', — хуфф + 1ффф + фф) = /(1) при t G L".
Здесь L' часть контура L, где заданы внешние напряжения, а на остальной части L" — смещения.
Следуя Д. Н. Шерману [4] функции рфф и ффф мы будем искать в виде
-
1 Г гоф^ p(z) = -- —-dt,
-
— х f го^ф 1 f го^ф 1 f Кгфф
фК^ = -- —-dt 4---- -dt------
2тп j t — z 2л% J t — z 2л% J ф — zp
L L L где гиф) — функция точки t границы, определяется после решения соответствующего сингулярного интегрального уравнения, полученного из условия (17), с учетом представления (18).
Пусть известна функция гиф), мы дальше ее будем обозначать через рфф
Тогда из (15) получаем
Хх = 2Re р (г) — Re \zp" ^ + ф' ффф
Yy = 2Re р фф + Re \фр"^ + ф' фф.
Ху = Тшфр'фг) + ф'фф.
Подставляя значения функции р (г) и ф^ из (18), имеем
Хх = 2Re — ;V ’ dt - Re — / ^ dt L L L
~^ /~ Ф№ 1 f рф№
1 рМФ ^ Ziri J ф — гф ’
2тп J ф-гф 2тп J ф - гф L L
У1 = гКе1_!рйХа( + Ке ^[PWL^
J 2™ J ф- гф 2тп J Ф - гф
L L L
-^ f ^ 7/ । 1 f ^^^
Ziri J ф-гф Z-кг J ф-гф L L
1 ptpф^dt
^ J ф- гф L
Xy = Im
^ J ф- гф L
, — x Г рф^
dt T---- I 7------гл- dt
Z-кг J ф- гф L
1 f pф)dt 1 ptpф^dt + 2ivi J ф- гф Ziri J ф- гф
L L
Аналогично для компонентов смещения имеем
1 и Г рф^ z Г рф^
и = —Re / ----- dt -\--/ ----- -ту dt
Zp |_2тгг J t — z Z-кг J ф — гф
LL гт«1 e-2 2rJ t-z 2m J (i-z)2P L LL
1 т Г x Г рфА z Г рфА v = 7Г~Im ^—7 ---- dt + -—; -
Zp [2тгг J t — z Ztx% J ф — гф LL x f рф) 1 7 рф) 1 f МФ ] Z-кг J t-z ZiriJ t-z Z-кг J ф-гф\
L LL
Значения полученных интегралов типа Коши можно вычислять с помощью квадратурных формул, построенные в §1.
Таким образом, легко можно вычислять компоненты напряжения.
ЗАМЕЧАНИЕ. В выше указанных вычислениях возникают определенные трудности. В частности, при вычислений разделенных разностей, когда. ф,фф^ совпадают, разде-
ленные разности переходят в производные. Для них справедлива
У^о,Д) = <АМ
^(Д,Д,Д) =
^о) 2!
?(t, W!,t2)
АМ
2!(t0 - t)
Е!У_^ХМ1 0«-1У + «0-1)2
при Д = Д;
при Д = Д = Д;
при t ^ t2 = Д = Д.
Полученные выражения лучше вычислять с помощью следующих (см. [3]) формул:
2 v'uo = Е /.• = -2 /.•^0
П (Ф - К А
3=~2
2^0
П А+к
3 = ~2
3*0,к
TV*3 )
(Д Tv А
. Ам
5!
JJ (Д — Tv-VjV з=-1
з*о
V"(
П (д-^+д j = -22
„ К л .С^^,
(Д Ту^^ ф[ VTv*k Tv*^
3=-2 3*0,к
П (Д ” К+Ч
3 = -2
3*0
П 4"v*-k — Т13*3^
3 = -2
3*0,к
,,«,) - V(7,+t) «о - г„+1)=
АЧ^ ^^ 6!
JJ (Д — Tv*3^
з = -1
з*о
to G ТуТу-\-3.
Список литературы О приближенном вычислении интегралов типа коши
- Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.-М.: Наука, 1966.-708 с.
- Саникидзе Д. Г., Нинидзе К. Р. Метод свободных параметров в приближенном вычислении интегралов типа Коши//Труды международного симпозиума, Херсон, 29 мая-5 июня 2001 г., С. 299-302.
- Микеладзе Ш. Е. Численные методы математического анализа.-М.: Гостехиздат, 1953.-526 с.
- Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.-М.: Наука, 1968.-540 с.