О приближенном вычислении интегралов типа коши

Автор: Хубежты Шалва Соломонович

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 3 т.5, 2003 года.

Бесплатный доступ

Построены квадратурные формулы для интегралов типа Коши, удобные для вычисления значений этих интегралов в точках при любой близости к контурам интегрирования. Оценивается погрешность вычислений и делается попытка применить построенные квадратурные формулы для вычисления компонентов напряжений в задачах математической теории упругости.

Короткий адрес: https://sciup.org/14318091

IDR: 14318091

Текст научной статьи О приближенном вычислении интегралов типа коши

В формуле (И) Ф(() = ttpYY

Коэффициенты A*a^YY (^ = 0,1,2) легко вычисляются и имеют вид:

+ 1------------------ ^z - t0 + z - Н + z - (2 + z - Phi + z - т„^

^X-^-YVa-zY ^ _ ^ _ ^ ^_ ^ _ ^ + ^ _ ^ _ ^

+ Y - thi + z- та+2М -to + z-K+z-^ + ^z- T„MY - Tff+2)]

+ (^+1 - tY [(Z - toY^ - KYz - (2) + (z- T.+ i + г - tct+Y

X ((z - KHz - tH + ^Z- toHz - tH + ^Z- toHz - H))

+ (z - to + Z - t-k + z - t2Hz - tct+1)(z - Tff+2)]

+ У - T^ + l + Z - Tct + 2Hz - toHz - tiHz - 12) + ((^ - tiHz - 12)

+ (г - ф)(г - 12) + Y - toHz - txY^z - tct+iHz - t^+2)] ln^+1—^ J Ту- z

+ (z - toHz - tlHz - t2Hz - Tct + 1Hz - T^+2)-- L                                             J \ t^+i - z

+ Z - ty + Z - t2 + Z - Ta

z -t0

+ (z - t0)(z - ti) + (z - та + z - tct+2)(z - to + Z - ti + z - t2)

)(z - 7„+2)j + (7^1 - 7^) [(z - t0)(z - ti^z - t^

+ (z - та ! z - 7)((z - t^Z - 0) + ^z - to^z - t2)

+ (z - t0)(z - t^) + (z - to + Z - H + z - t2)(z - ra)(z - 7„+2)j + (z - Ta + z - tct+2^z - to^z - t^z - t2) + ((z - t^z - t2)

+ (z - to)(z - t2) + (z- to)(z - t^^z - Ta^z - 7-^+2)] In A±1--- A TCT - Z

+ (z - toHz - t^Z - t2^Z - Ta)(z - 7a + 2)--- 1--

L                                            J у ^H-l Z Ta z д *      = ____________1J A-I - z)4 - (t^ - z)4

a+2 2тгг(тт+2 - 7)(7(т+2 - Tff+1) I             4

(7a+i — A — (or — zV Г

+ ---------------------^z - to + Z - ti + z - t2 + z - T^+1

1          — zA2 —    — zA2 г

+3 - T,] +             ---A ^ _ t^z _ t^ + ^z_ t^z -12^

+ (г - to^z - ^1) + (г - To-+1 + z - tZ)Iz - t0 + z - ti + z - t2^

+ (z - T.Kz - T.+ x)] + (7.,+! - 7.) [(г - toHz - M(z - t2)

+ (z - 7. + Z - 7,+x) ((z -tl)(z- t2) + (z- to)(z - t2)

+ (z - t0)(z - #1)) + (z - to + z - h + Z - t2^Z - 7^)(z - 7ff+l)j

+ (z - 7^ + Z - 7(T+l)(z - to^Z - ^i)(z - ^2) + ((z - ^l)(z - ^2)

+ (z - to^Z - ^2) + (z - to^Z - ^l))(z - 7(T)(z - 7^ + 1)] In A±1---^

+ (Z - toHz - tl^Z - t^^Z - 7(T)(Z - 7^ + 1)

1             1

--h --------

7^ + 1 - Z To- Z

Оценим погрешность квадратурной формулы (11). Нетрудно убедиться, что она имеет вид

\Rn‘2^tp;z)\ = О , так как если z близко к контуру L, то to = Н = z.

Аналогично строятся квадратурные формулы и для четвертого интеграла в формулах (1):

кН2) Ri Ф(ф,^,^2) + 52 (^Г(г)ф(т<7,Ф,^1,^2) + А^^Ф^+ьфЛЛ)

7 = 0

+ ^Г+2(г)Ф(т<т+2,Ф,^1,^2)),

где

= ___________1___________/ (Ат+1 - ^)3 - (^ - г)3 2тп(т(7(7+1)(т(7(7+2Ц          3

+ ^±1---L_—^--fL ^ _ t0 + z - К + z - t2 + z - T^+1 +3 - тстЦ + (т^ - tJ [(г - KHz - K) + (г - KHz - tn +(z - toHz - K) + (z- tct+i + z- Ta+2Hz -K + z-K + z-K)

+ (z - T.^ - W)] + [(3 - toHz - KHz - tH + (z- T. + 1 Kz - т^Н^К - KHz - <2) + (^ - Ф)(г - tn + (z - KHz - ti))

- KHz - T^+H^z - r„+2)j

+ (z - t0 + z - К + z

+ (г - та+1 + z - Ta+2Hz - KHZ - KHZ - Ы + ((z - KHz - ^2)

+ ^z - KHz - tH + (г - KHz - li))(^ - Tct+1Hz - Tct+2

X

1             1

--1--

TcVv - z Ta - z

+ (z - toHz - tlHz - t2Hz - T^+1)

/ x = _____________1_____________/ (r<7 + l - zH - (^ - zH

,t+1      2тгг(т(7+1 - T^))^! - T^+H (            3

+ -^y--11_—^--^L [г _ to + z - ti + z - t2 + z - Ta

+Z - тстЦ + (т.,+1 - тП [(з - KHz - tn + (^ - toHz - tH

  • + (z - toHz - tn + (z - Ta + z - Tff+2Hz -to+z-K+z-tH

p^z - T.Hz - т,+2)] + [(г - toHz - KHz - <2) + (z - та

  • -Vz - Ttr+2)((z - tiHz - tn + (z - toHz - tH + (z - to)(z - ti))

+ n - to + Z - К + z - kHz - TCTHz - Tff+2)1 In ^±1---

J Tc- z

+ (^ - Ta + z - tct+2Hz - KHz - t-kHz - tH + ((z - t-kHz - tH

+ (z - to^z - <2) + (^ - to^z - Д))(з - та - Tff+2)j

X (----- + ^—) + Vz-t^z-t-^z-t^z-T^ \ ^_| - z Ta-z) L

______________1______________f - г)3 - Утс - г)3 2тгг(т(7+2 - т)(т(т+2 - т^+i) |            3

+ z - ti + z - t2 + z - TCT

Xz - T^ + ij + (t^+1 - tJ |_(z - ti)(z - t2) + (^ - to)(z - t2)

+ (z - to)(z - it) + (z - TCT + z - Tff+1)(z -to + z-ti + z-t^ + (z - T.Hz - T^j] + [(г - to^z - Д)(г - t2) +(z-T„ Xz - т(7+1)((г - t^z - t2) + U -

+ (z -tg + z-ti+z - t2)(z - tct)(z - T^+Jj x (------ +       ) + b - to)^ - ^1)(^ - ^2)(^ - T.)

\ T^+1 - z Ta-Z) L

Для остаточного члена имеем

D z x 1 \- (t - to^t - ti^t - ^2)гП(Т(у2ДД0Д1Д2)

R^' z) = 2^2^--------------------dt a=0                     v '

-2тгг^ / г^(уДДоД1Д2)^+ 2?г.

Е +   Г T^^Vip-, t, ФД1Д2)

<г=от ;

to^z - ^2)

‘''^-^^ /

1^ММд!11М^ + (г_^0)

‘*-^^„ /

T^^t^to^!,^

Для формулы (12) также справедлива оценка

\Rn3^; z)\ - О

  • §2. Вычисление компонентов напряжения основной смешанной задачи плоской теории упругости

Пусть упругое тело занимает на плоскости z = ж + iy конечную область S, ограниченную простым замкнутым гладким контуром L (см [4]).

Основные уравнения плоской теории упругости при отсутствии объемных сил сво-

дятся к следующим: ЭХх   ЭХу       ЭУХ   дУ.„ ----^- = 0  —--- = 0 ох    оу       ох   оу Oil                      Ol) Xx = A0 + 2/z——, Уу = A0 + 2/z——,                   (13) Эх              Эх v         / dv  du\ Xy — Yx — /z ---4 — , \Эх Эу / где Хж,Уу,Ху = Ух — компоненты напряжения, u,v — компоненты смещения, А > 0,/z > О — постоянные Ламе и где для краткости положено ди Эи

Эх ' Эу

Общее (регулярное) решение основных уравнений (13) может быть выражено через две произвольные голоморфные в S функции <р(г),'0(г), следующим образом

Хх + Уу = 4Re р'фф, Уу — Хх + ^iXy = 2 \zp" фф + ф'фф\,

2/z(u + w) = xip^ - гф'фф - ффф,(16)

где                                                 ,_

A + 2/z           ............

x = —----- = 3 — 4ст > 1,

A + /z

  • = ДА+Щ коэффициент Пуассона (О < ст < |). Функции рфгф ффф определяются по граничным условиям

<Д£) + 1рфф + ^(1) = /(1) + с(1) при t G L', — хуфф + 1ффф + фф) = /(1)     при t G L".

Здесь L' часть контура L, где заданы внешние напряжения, а на остальной части L" — смещения.

Следуя Д. Н. Шерману [4] функции рфф и ффф мы будем искать в виде

  • 1    Г гоф^ p(z) = -- —-dt,

  • — х f го^ф 1 f го^ф      1 f Кгфф

фК^ = -- —-dt 4---- -dt------

2тп j t — z     2л% J t — z     2л% J ф — zp

L               L               L где гиф) — функция точки t границы, определяется после решения соответствующего сингулярного интегрального уравнения, полученного из условия (17), с учетом представления (18).

Пусть известна функция гиф), мы дальше ее будем обозначать через рфф

Тогда из (15) получаем

Хх = 2Re р (г) — Re \zp" ^ + ф' ффф

Yy = 2Re р фф + Re \фр"^ + ф' фф.

Ху = Тшфр'фг) + ф'фф.

Подставляя значения функции р (г) и ф^ из (18), имеем

Хх = 2Re — ;V ’ dt - Re — / ^ dt L                    L L

~^ /~ Ф№      1 f рф№

1 рМФ ^ Ziri J ф — гф ’

2тп J ф-гф 2тп J ф - гф L                  L

У1 = гКе1_!рйХа( + Ке ^[PWL^

J 2™ J ф- гф        2тп J Ф - гф

L                   L L

-^ f ^ 7/ । 1 f ^^^

Ziri J ф-гф Z-кг J ф-гф L                 L

1 ptpф^dt

^ J ф- гф L

Xy = Im

^ J ф- гф L

,   — x Г рф^

dt T---- I 7------гл- dt

Z-кг J ф- гф L

1 f pф)dt 1 ptpф^dt + 2ivi J ф- гф Ziri J ф- гф

L               L

Аналогично для компонентов смещения имеем

1 и Г рф^      z Г рф^

и = —Re   / ----- dt -\--/  ----- -ту dt

Zp    |_2тгг J t — z      Z-кг J ф — гф

LL гт«1 e-2 2rJ t-z 2m J (i-z)2P L                LL

1 т Г x Г рфА z Г рфА v = 7Г~Im ^—7   ---- dt + -—;   -

Zp [2тгг J t — z Ztx% J ф — гф LL x f рф) 1 7 рф) 1 f МФ ] Z-кг J t-z ZiriJ t-z Z-кг J ф-гф\

L                LL

Значения полученных интегралов типа Коши можно вычислять с помощью квадратурных формул, построенные в §1.

Таким образом, легко можно вычислять компоненты напряжения.

ЗАМЕЧАНИЕ. В выше указанных вычислениях возникают определенные трудности. В частности, при вычислений разделенных разностей, когда. ф,фф^ совпадают, разде-

ленные разности переходят в производные. Для них справедлива

У^о,Д) = <АМ

^(Д,Д,Д) =

^о) 2!

?(t, W!,t2)

АМ

2!(t0 - t)

Е!У_^ХМ1 0«-1У + «0-1)2

при Д = Д;

при Д = Д = Д;

при t ^ t2 = Д = Д.

Полученные выражения лучше вычислять с помощью следующих (см. [3]) формул:

2 v'uo = Е /.• = -2 /.•^0

П (Ф - К А

3=~2

2^0

П А+к

3 = ~2

3*0,к

TV*3 )

(Д   Tv А

. Ам

5!

JJ (Д — Tv-VjV з=-1

з*о

V"(к = _-з к^О

П (д-^+д j = -22

„ К л .С^^,

(Д Ту^^ ф[ VTv*k Tv*^

3=-2 3*0,к

П (Д ” К+Ч

3 = -2

3*0

П 4"v*-k — Т13*3^

3 = -2

3*0,к

,,«,) - V(7,+t) «о - г„+1)=

АЧ^ ^^ 6!

JJ (Д — Tv*3^

з = -1

з*о

to G ТуТу-\-3.

Список литературы О приближенном вычислении интегралов типа коши

  • Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.-М.: Наука, 1966.-708 с.
  • Саникидзе Д. Г., Нинидзе К. Р. Метод свободных параметров в приближенном вычислении интегралов типа Коши//Труды международного симпозиума, Херсон, 29 мая-5 июня 2001 г., С. 299-302.
  • Микеладзе Ш. Е. Численные методы математического анализа.-М.: Гостехиздат, 1953.-526 с.
  • Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.-М.: Наука, 1968.-540 с.
Статья научная