О применении линеаризации Видебурга при решении задачи устойчивости двухслойной смеси с концентрационно-зависимой диффузией
Автор: Брацун Дмитрий Анатольевич, Вяткин Владимир Александрович
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 4 т.13, 2020 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается задача устойчивости изотермической системы двух смешивающихся жидкостей в поле силы тяжести. Жидкости представляют собой водные растворы нереагирующих веществ, имеющих разные коэффициенты диффузии. В начальный момент времени растворы разделены в пространстве бесконечно тонкой горизонтальной контактной поверхностью. Такая конфигурация легко реализуется экспериментально, но более сложна для теоретического анализа, поскольку профили концентрации эволюционируют во времени. Предполагается, что начальная конфигурация системы статически устойчива. После старта эволюции растворы начинают смешиваться, проникают друг в друга и создают условия для развития конвективной неустойчивости двойной диффузии. Важным осложняющим фактором задачи служит функциональная зависимость коэффициентов диффузии растворов от их концентрации. В последние годы этот эффект активно изучается, так как его существенное влияние на конвективную устойчивость было доказано экспериментально. В данной работе для простоты предполагается, что коэффициенты диффузии растворов зависят от концентрации линейным образом. Математическая постановка задачи устойчивости смеси включает в себя уравнение движения в приближении Дарси и Буссинеска, уравнение неразрывности, а также два уравнения переноса для концентраций веществ. Решение такой задачи при отсутствии концентрационно-зависимой диффузии хорошо известно из литературы. Учет же этой зависимости приводит к уравнениям нелинейной диффузии, которые в общем случае могут быть решены только численно. Для нахождения приближенного аналитического решения авторами предлагается использовать метод линеаризации уравнений диффузии, предложенный Видебургом в 1890 г. Метод хорошо известен в теории теплопроводности, хотя изначально был разработан именно для растворов веществ. Показано, что в этом случае условия для конвективной устойчивости основного состояния могут быть получены в аналитическом виде. Проводится сравнительный анализ невязки между решением Видебурга и численным решением. На основании аналитического решения построена карта устойчивости. Исследовано влияние концентрационной зависимости коэффициентов диффузии на устойчивость смеси.
Концентрационно-зависимая диффузия, неустойчивость двойной диффузии, смешивающиеся жидкости, линеаризация видебурга
Короткий адрес: https://sciup.org/143172510
IDR: 143172510 | УДК: 532.5 | DOI: 10.7242/1999-6691/2020.13.4.36
Application of Wiedeburg linearization for solving the stability problem of a two-layer mixture with concentration-dependent diffusion
In this paper, we consider the problem of the stability of an isothermal system of two miscible fluids in a gravity field. Fluids are aqueous solutions of non-reacting substances with different diffusion coefficients. At the very beginning, the solutions uniformly fill half-spaces, which are separated from each other by an infinitely thin horizontal contact surface. Such a configuration can be easily realized experimentally, although it is more difficult for theoretical analysis. We assume that the initial configuration of the system is statically stable. After the start of evolution, the solutions begin to mix, penetrating each other, and creating conditions for the development of the convective instability of double diffusion. An important complicating factor of the problem is the functional dependence of the diffusion coefficients of solutions on their concentration. In recent years, this effect has been actively studied, since its significant influence on convective stability has been proven experimentally. For simplicity, we assume that the diffusion coefficients of solutions depend linearly on concentration. The problem of the stability of a mixture includes the equation of motion in the Darcy and Boussinesq approximation, the continuity equation, and two transport equations for the concentrations. The solution to this problem in the absence of the effect of concentration-dependent diffusion is well known from the literature. If we take into accountsuch a dependence, then we have to deal with the problem of nonlinear diffusion, which can only be solved numerically. To find an analytical solution to the problem, we propose to apply the method of preliminary linearization of Wiedeburg (1890). The method is well known in the theory of thermal conductivity, although it was originally developed specifically for solutions of substances. In our case, we demonstrate that the conditions for convective stability of the base state can be obtained analytically. The comparative analysis of the discrepancy between the Wiedeburg solution and the numerical solution is given. Based on the closed-form analytical solution, we obtain a stability map for the problem under the consideration. We show how the effect of concentration-dependent diffusion affects stability.
Список литературы О применении линеаризации Видебурга при решении задачи устойчивости двухслойной смеси с концентрационно-зависимой диффузией
- Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Шихов В.М. Об устойчивости конвективного течения жидкости с вязкостью, зависящей от температуры // ТВТ. 1975. Т. 13, № 4. С. 771-778.
- Thangam S., Chen C.F. Stability analysis of the convection of a variable viscosity fluid in an infinite vertical slot // Phys. Fluids. 1986. Vol. 29. P. 1367-1372.
- Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.
- Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: АН СССР, 1952. 538 с.
- Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // ПМТФ. 1966. № 3. С. 69-72.
- Nepomnyashchy A.A., Velarde M.G., Colinet P. Interfacial phenomena and convection. Chapman and Hall/CRC, 2002. 365 p.
- Зуев А.Л., Костарев К.Г. Особенности концентрационно-капиллярной конвекции // УФН. 2008. Т. 178, № 10. С. 1065-1085.
- Ash R., Espenhahn S.E. Transport through a slab membrane governed by a concentration-dependent diffusion coefficient. III. Numerical solution of the diffusion equation: ‘early-time' and ‘t' procedures // J. Membr. Sci. 2000. Vol. 180. P. 133-146.
- Bowen R.W., Williams P.M. Prediction of the rate of cross-flow ultrafiltration of colloids with concentration-dependent diffusion coefficient and viscosity - theory and experiment // Chem. Eng. Sci. 2001. Vol. 56. P. 3083-3099.
- Crank J. The mathematics of diffusion. Oxford University Press, 1975. 414 p.
- Bratsun D., Kostarev K., Mizev A., Mosheva E. Concentration-dependent diffusion instability in reactive miscible fluids // Phys. Rev. E. 2015. Vol. 92. 011003.
- Bratsun D.A., Stepkina O.S., Kostarev K.G., Mizev A.I., Mosheva E.A. Development of concentration-dependent diffusion instability in reactive miscible fluids under influence of constant or variable inertia // Microgravity Sci. Technol. 2016. Vol. 28. P. 575-585.
- Брацун Д.А. Внутренние волны плотности ударного типа, индуцированные хемоконвекцией в смешивающихся реагирующих жидкостях // ПЖТФ. 2017. Т. 43, № 20. С. 69-77.
- Брацун Д.А., Мошева Е.А.Особенности формирования волн плотности в двухслойной системе смешивающихся реагирующих жидкостей // Вычисл. мех. сплош. сред. 2018. Т. 11, № 3. C. 302-322.
- Stern M.E. The salt-fountain and thermohaline convection // Tellus. 1960. Vol. 12. P. 172-175.
- Turner J.S. Double-diffusive phenomena // Ann. Rev. Fluid Mech. 1974. Vol. 6. P. 37-54.
- Trevelyan P.M.J., Almarcha C., De Wit A. Buoyancy-driven instabilities of miscible two-layer stratifications in porous media and Hele-Shaw cells // J. Fluid Mech. 2011. Vol. 670. P. 38-65.
- Wiedeburg O. Ueber die Hydrodiffusion // Annalen der Physik. 1890. Vol. 277, No. 12. P. 675-711.
- Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.
- Зуев А.Л., Костарев К.Г. Особенности концентрационно-капиллярной конвекции // УФН. 2008. Т. 178, № 10. С. 1065-1085.
- Гершуни Г.3., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.
- Radko T. Double-diffusive convection. Cambridge University Press, 2013. 344 p.
- DOI: 10.1017/CBO9781139034173
- Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О конвективной неустойчивости двух компонентной смеси в поле тяжести // ПММ. 1963. Т. 27, № 2. С. 301-308.
- Nield D.A. Onset of thermohaline convection in a porous medium // Water Resour. Res. 1968. Vol. 4. P. 553-560.
- Huppert H.E., Manins P.C. Limiting conditions for salt-fingering at an interface // Deep Sea Res. Oceanogr. Abstr. 1973. Vol. 20. P. 315-323.
- Аитова Е.В., Брацун Д.А., Костарев К.Г., Мизев А.И., Мошева Е.А. Конвективная неустойчивость в двухслойной системе реагирующих жидкостей с диффузией, зависящей от концентрации компонентов // Вычисл. мех. сплош. сред. 2015. Т. 8, №4. C. 345-358.
- Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 228 с.
