О проблеме Браннана для достаточных множеств

Пусть h : [0, го ) ^ [0, го) — неубывающая функция, для которой ln r = O(h(r)) при r ^ го и H (x) := h(expx) выпукла на R. Символом V обозначим совокупность всех таких функций h. Определим множества E(h) и K (h) следующим образом:

E(h ) — векторное пространство всех целых в C функций f , удовлетворяющих при некотором A = A(f) > 0 условию: | f(z) | = O(exp(A h( | z | ))) при | z | ^ го ;

K (h ) — класс всех непрерывных неотрицательных на C функций k(z), для которых exp (Ah( | z | )) = O(k(z)) при | z | ^ го и всех A > 0.

Заметим, что E (h ) — алгебра относительно операций поточечного сложения и умножения функций. Если h(r) = r ^p , где р >  0, то E (h) — пространство [р, го ) всех целых функций, имеющих при порядке ρ конечный тип.

Для произвольного подмножества S комплексной плоскости положим kf kk,s := sup       , f G E(h), k G K(h).

z e s ^{k ( z )}

S называется достаточным множеством для E (h), если семейства полунорм {k • ||k, c : k G K (h) } и {k • k k,s : k G K (h) } задают одну и ту же локально выпуклую топологию на E (h) (см. [?]).

Рассмотрим два следующих утверждения:

• (i)    S — достаточное множество для E (h);

• (ii)    любая ограниченная на S функция ограничена во всей плоскости и, значит, является постоянной.

Д. М. Шнайдер [?, теорема 2.4] доказал, что для любой алгебры целых функций из (i) следует (ii). Другими словами, всякое достаточное для E(h) множество является в смысле определения из [?] E(h)-максимальным. В связи с этим отметим, что в [?] и [?] Ю. Ф. Коробейником был получен ряд тонких результатов о максимальности γ -достаточных множеств. Основной результат настоящей работы, теорема 2, показывает, что

(с) 2005 Абанин А. В.

• (ii)    влечет (i) в том и только в том случае, когда E (h) совпадает с алгеброй всех полиномов. Отсюда, в частности, следует отрицательный ответ на гипотезу Д. А. Браннана (см. [?, Problem 2.4 (i)]), который предположил, что для алгебры [р, го ) утверждения (i) и (ii) эквивалентны.

Критерий достаточности

В этом параграфе приводится характеризация достаточных для E(h) множеств, на которой базируется доказательство основного результата работы.

Пусть, как и выше, S — подмножество комплексной плоскости. Для n ∈ N положим

En s(h) := If € E(h) : |f |n s := sup----Z^J     < rol n,SV 7 V                ,S    zeS exp(nh(|z|))       J и снабдим это пространство топологией, задаваемой полунормой | · |n,S . Ясно, что E(h) = U En,S(h). Следовательно, в E(h) можно определить топологию цд внутреннего n∈N индуктивного предела последовательности полунормированных пространств (En,s )^i• В случае, когда S = C, будем писать En(h) вместо En,c(h) и ц вместо цс. Всегда топология µS мажорируется топологией µ. Если µS совпадает с µ, то S называется слабо достаточным множеством для E(h). Отметим, что слабо достаточные множества были введены Д. М. Шнайдером в [?] и являются частным случаем упомянутых выше γ-достаточных множеств.

В соответствии с теоремой 3.3 из [?], всякое достаточное для E (h) множество является для этого пространства слабо достаточным. Обратное утверждение следует из результатов работы [?] (см. также [?]). Приведенные соображения позволяют применить характеризацию слабо достаточных множеств из статьи [?]. Чтобы сделать это, нам потребуется некоторая подготовка.

Назовем две функции h i € V и h 2 € V эквивалентными (h i ~ h 2 ), если h i (r) = O(h 2 (r)) и h 2 (r) = O(h i (r)) при r ^ го . Ясно, что пространство E(h), достаточные и слабо достаточные множества для E (h) и топологии ц и ц д в E(h) не изменятся, если мы заменим h на любую функцию g ~ h. Для h € V положим h g (r) := (h(r) — h(1)) + , где x + := max(x, 0). Очевидно, что h g € V , h g (1) = 0 и h g ~ h. Далее, каждая функция h € V с h(r) = O(ln r) (r ^ го ) эквивалентна (In r) ⁺ . Поэтому, не ограничивая общности, мы можем считать, что h принадлежит классу

W := { (lnr) ⁺ } I l{ h € V : h(r) возрастает на [0, го ), In r = o(h(r)) при r ^ ro} .

Лемма 1. Пусть h € W. Существуют возрастающая последовательность (n k ) k=₁ натуральных чисел и последовательность (c k ) ^ =i неотрицательных чисел такие, что функция

∞

g(z) = X C k Z n k , z € C ,                               (1)

k=i является целой и удовлетворяет условиям:

lim sup r→∞

In M g (r) h(r)

= 1;

lim sup r→∞

In m g (r) h(r)

= 1,

где M g (r) = max {| g(z) | : | z | = r } и m g (r) = min {| g(z) | : | z | = r } .

• <1 Для h(r) = (ln r) + достаточно взять g(z) = z. Теперь рассмотрим возрастающую функцию h E V с h(1) = 0 и In r = o(h(r)) при r ^ го . Как обычно, сопряженную с H (x) := h(exp x) функцию H * определим по формуле

H * (y):=sup { xy — H (x) : x > 0 } , y >  0 .

Для каждого x > 0 обозначим через y(x) решение уравнения H * (y) + H (x) = xy. Ясно, что y(x) ^ го при x ^ го. Возьмем любую возрастающую последовательность (n k ) ^ =i натуральных чисел, для которой соответствующая ей последовательность (r k ) ^ =1 := (y(n k )) k =1 удовлетворяет условиям:

k = o(h(r k )) при к ^ го ;                               (4)

h(r k ) >  П к - 1 ln r k + к ln4 при к >  2.                         (5)

Положим Ck = 4-k exp ( — H*(nk)), к E N. Так как xy 6 H(x) + H*(y) при всех x > 0 и y > 0, то ckrnk = 4-k exp ( — H*(nk) + nk In r) 6 4-kehr при любом r > 1. Поэтому функция g вида (1) с выбранными нами Ck и nk (к E N) корректно определена и удовлетворяет оценке

∞

M g (r) = Е r n k 6 3 e h r (r >  1). k =1

Отсюда, в частности, следует, что lim sup r→∞

In M g (r)

h ( r )

6 1.

Используя (5) и выбор (ck)k= i и (nk)^=i, имеем mg(rk) > ckrnk — Ecjrnj > 4 keh(rk) j=k k-1

> 4-keh(rk) — X 4-jenk-1 ln rk j 1

-

-

y^ 4 ^-j e — H^-n j ⁾⁺ n j ^ln r k j=^k

∞

^2 ₄- j e h(r k ) > -₄ - k e h(r k ) .

j=k+1

С учетом (4) заключаем тогда, что ln mg (r) lim sup ——^— > 1. Г .-''X_        h(r)

Объединив (6) и (7), получим (2) и (3). Лемма доказана. B

Теорема 1. Пусть S — подмножество комплексной плоскости. Следующие условия эквивалентны:

• (i)    S достаточно для E(h) ;

• (ii)    S слабо достаточно для E (h) ;

• (iii)    для каждого l E N существует n E N такое, что E i,s (h) С E _n (h) и это вложение непрерывно;

• (iv)    для каждого l E N существует n E N такое, что E i,s (h) С E _n (h) .

C По следствию 3.9 работы [?] из (i) вытекает (ii). Условие (ii) влечет (i) по теореме 2 из [?]. Справедливость импликации (ii) ⇒ (iii) следует из [?, теорема 3.5], а (iii) ⇒ (ii) — из [?, теорема 1]. Очевидно, (iii) ⇒ (iv).

Остается проверить, что (iv) ⇒ (iii). Заметим, что по теореме 3 из [?] для этого достаточно проверить, что если (iv) выполнено, то S — множество единственности для E (h). Пусть f E E(h) и f (z) = 0 при всех z E S . В соответствии с (iv) имеется n E N, для которого Ei ,s (h) C E n (h). Рассмотрим функцию g из леммы 1. Из условия (2) следует, что g E E (h). Так как E (h) — алгебра, то f g n ⁺¹ E E(h). Очевидно, что f g^{n +} E E i,s (h). Отсюда заключаем, что f g n ⁺¹ E E n (h). Поэтому имеется такая постоянная C >  0, что при всех r > 1

M f (r)^m g (r) ) n ⁺¹ 6 Ce nhr .

Это неравенство вместе с (3) влечет, что lim inf r→∞

In M f (r) h(r)

6 ^{- 1} ,

а это возможно только для f = 0 на C. Итак, S — множество единственности для E (h), и доказательство завершено. B

Основной результат

В этом параграфе будет доказан основной результат работы.

Определение. Подмножество S комплексной плоскости C называется лиувиллев-ским множеством для пространства E целых функций, если всякая функция из E , которая ограничена на S , является ограниченной в C и, следовательно, сводится к тождественной постоянной.

Как было отмечено выше, всякое достаточное для E (h) множество является для этого пространства лиувиллевским. Следующее предложение показывает, что для пространства P ( = E ( (ln r) ⁺ всех полиномов верно и обратное утверждение.

Предложение 1. Пусть S — подмножество комплексной плоскости. Следующие утверждения эквивалентны:

• (i)    S достаточно для P ;

• (ii)    S — лиувиллевское для P множество;

• (iii)    S не ограничено.

C Условие (i) влечет (ii) по теореме 2.4 из [?]. Очевидно, (ii) ⇒ (iii). Чтобы доказать справедливость импликации (iii) ^ (i), заметим, что для любого полинома p = 0 предел lim p z^ro ln |z| множества S

существует и равен степени p . Поэтому для любого неограниченного в C

E _n,S ( (ln r) ⁺ ) = E _n ( (ln r) ⁺ ) = {p EP : deg p 6 n } , n E N.

Тогда по теореме 1 множество S достаточно для P . B

Теперь рассмотрим подмножества комплексной плоскости, представляющие собой объединения концентрических окружностей с центром в начале координат. Именно, для произвольной последовательности R = (R j ) ^<=1 положительных чисел обозначим через S ( R ) множество Q {z E C : | z | = R j } .

j=i

Предложение 2. Пусть R = (R j ) °= — произвольная неограниченная сверху последовательность положительных чисел. Тогда S(R) — лиувиллевское множество для E (h) при любой функции h из V .

C Доказательство следует непосредственно из принципа максимума модуля аналитических функций. B

Предложение 3. Для каждой функции h ∈ V , удовлетворяющей условию

, ln r ^lim = ^{0 ,} r -^ h(r)

имеется такая последовательность R = (R j ) j=i (R j ^ то при j ^ то ) , что множество S(R) не является достаточным для E (h) .

C Возьмем последовательность (R j ) j=₁ настолько быстро стремящейся к бесконеч-

ности, чтобы

h(R k ) >

(1+

h(R j ) ln R j

ln R k

при любом

k > j + 1.

Это возможно в соответствии с (8). Пусть mj : =

h(R j ) ln R j

+ 1, j G N,

где [x] обозначает целую часть числа x G R. Рассмотрим полиномы p j (z) = z m j (j G N).

Зафиксируем произвольное j G N. Для | z | = R k , где 1 6 k 6 j, в силу выбора m j имеем

| p j (z) | exp ( — h( | z | ) ) 6 exp m j ln R j 6 exp ( h(R j ) + ln R j ) .

Применив (9), заключаем, что m j ln R k 6 h(R k ) при любом k > j + 1. Тогда для | z | = R k с k > j + 1

| p j (z) | exp ( — h( | z | )) = exp (m j- ln R k — h(R k )) 6 1.

Значит, при всех j ∈ N

| P j | 1,S( R ) 6 ^ex p ( ^{h ( R} j ) ^{+ ln R}jУ

С другой стороны, для любых n ∈ N и j ∈ N

| p j | n = sup M p j (R) exp ( — nh(R) ) > (R ^j ) ^m j exp ( — n h(R jj ) ) R > 0

= exp (j m j ln R j — n h(R j^j ) ) > exp ( (j — n)h(R j ) ) .

Использовав полученные выше оценки, получаем, что при всех j ∈ N и n ∈ N

। ^{l p} j | n   > exp ( (j — n — 1)h(R j ) — ln R j ) .

| P j | 1,S( R )                                   j

Для каждого n ∈ N правая часть последнего неравенства неограничена по j . Следовательно, условие (iii) теоремы 1 для S = S ( R ) не выполнено. Поэтому S не может быть достаточным множеством для E (h). Доказательство завершено. B

Следствие. Для любой функции h из V , удовлетворяющей (8) , имеется лиувиллевское для пространства E (h) множество, не являющееся для него достаточным.

C Доказательство следует немедленно из предложений 2 и 3. B

Теперь мы можем привести основной результат работы.

Теорема 2. Пусть h ∈ V . Следующие утверждения эквивалентны:

• (i)    каждое лиувиллевское для E(h) множество достаточно для этого пространства;

• (ii)    E(h) совпадает с алгеброй P всех полиномов.

C Справедливость импликации (i) ⇒ (ii) вытекает из только что приведенного следствия, а (ii) ⇒ (i) — из предложения 1. B