О продолжении гомеоморфизмов в нульмерных однородных пространствах

В статье изучается возможность продолжения гомеоморфизмов в нульмерных однородных пространствах с первой аксиомой счётности. Интерес к этому вопросу появился после знакомства с одним результатом ван Дауэна [1]. Ван Дауэн показал, что любое нульмерное однородное не дискретное метрическое пространство гомеоморфно своему собственному подмножеству.

Обозначения. Запись X » Y означает, что пространства X и Y гомеоморфны. w ( X) - вес пространства X . Наименьший бесконечный кардинал обозначается буквой ю , также to = {0,1,2,...}. Мы будем предполагать, что любая рассматриваемая последовательность точек состоит из различных точек. Если в пространстве X последовательность { a n : n е ю } точек сходится к точке a е X , то положим 5 ( a ) = { a } и U { a n : n е ю }.

Пространство X называется однородным , если для любых двух точек a и b из X найдется гомеоморфизм f : X ^ X , для которого f ( a ) = b . Топологическое пространство называется нульмерным , если оно является ^-пространством и обладает базой из открыто-замкнутых множеств. Отметим, что каждое нульмерное пространство является тихоновским пространством. Тихоновское пространство называется псевдокомпактным , если любая непрерывная вещественная функция, определенная на этом пространстве, ограничена. Пространство называется сжимаемым , если оно гомеоморфно некоторому своему собственному подмножеству.

Остальные используемые определения и обозначения можно найти в [2].

Лемма 1. Пусть X - нульмерное однородное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счётности. Пусть в пространстве X даны две сходящиеся последовательности точек { a n : n ею } и { b n : n ею }, причем lim _n ... a n = a, lim _n ,, b n = b и S ( a ) П S ( b ) = 0 .

Тогда для любой открыто-замкнутой окрестности U точки a существуют открытозамкнутая окрестность V точки a и гомеоморфизм f : X ^ X, такие, что: V с U, f ( a ) = b, f (V ) П V = 0 , f ° f = id_X, f ( x ) = x для любой точки x 6 V и V i ( a i е V ^ b i е f (V )) .

Доказательство . Так как пространство X однородное, то существует гомеоморфизм g : X ^ X , переводящий точку a в точку b . Найдем такую открыто-замкнутую окрестность W точки a , что W с U и g(W ) П W = 0 .

Рассмотрим два множества: J_a = {i ею : a i е W , b i 6 g (W )} и J_b = { i ею : a i 6 W , b i е g (W )}. Множества J_a и J_b - конечные, так как мы имеем дело со сходящимися последовательностями.

Для каждого i е J_a выберем открыто-замкнутую окрестность Q i точки a i таким образом, чтобы Q i с W и Q i П S ( a ) = { a i }. При этом можно считать, что множества { Q i : i е J_a } попарно не пересекаются, так как последовательность { a n : n е ю } состоит из попарно различных точек.

Возможны два случая в зависимости от того, принадлежит точка g ( a i ) множеству S ( b ) или нет.

Поэтому J a = J a 1 и J a 2 , где J_a 1 = ^{ i ^G Д : g ⁽ а , ) ё S ⁽ b ^)} и J_Q 2 = ^{ i ^G J_Q : g ⁽ a , ) € S ⁽ b ^)} .

Первый случай: i g J_a 1 . Тогда легко найти такую открыто-замкнутую окрестность D i точки a i , что D i с Q i и g ( D i ) П S ( b ) = 0 . В этом случае положим g i = g .

Второй случай: ig Ja2, т.е. g(ai) = b для некоторого индекса j. Так как X- не дискретное пространство, а множество g(Qi) П S(b) - конечное, то найдется точка ci g Qi, для которой

g ( c i ) ё S ( b ). Зафиксируем гомеоморфизм y i : X ^ X , переводящий точку a i в точку c i . Выберем открыто-замкнутую окрестность D i с Q i точки a i таким образом, чтобы D i U y i ( D i ) с Q i ,

D i П y i ( D i ) = 0 и g( y i (D i )) П S ( b ) = 0 . Определим отображение g i : X ^ X по правилу:

'g °yi(x), если xG D, gi(x) = ‘

g ° W i ^{1( x} ),^{если x G} V i ^{( D} i ),

g ( x ), если x g X \ ( D i U y i ( D i )).

Несложно проверить, что отображение g i является гомеоморфизмом и g i ( D i ) П S ( b ) = 0 . Определим отображение g *: X ^ X по правилу:

g *^{( x} ) =

g i ( x ), если x g D i для некоторого i g J_a , g ( x ), если x g X \ U { D i : i g J_a }.

Несложно проверить, что g * - гомеоморфизм. По построению, W * = W \ U { D i : i g J_a } - открыто-замкнутая окрестность точки a . При этом g *( a ) = b и S ( b ) П g(W ) = S ( b ) П g * ( W *).

Отметим, что если J_a = 0 , то полагаем W * = W и g * = g .

Аналогично, для каждого i g Jb выберем открыто-замкнутую окрестность Ei точки bi таким образом, чтобы Ei с g *(W*), Ei П S(b) = {bi}, S(a) П A-1 (Ei) = 0, а сами множества {Ei: i g Jb} попарно не пересекались бы. При этом гомеоморфизм hi : X ^ X определяется через g * тем же способом, как был построен гомеоморфизм gi на основе отображения g .

Множество V = W *\ U { h i 1 ( E i ): i g J b } - искомая открыто-замкнутая окрестность точки a .

Сначала рассмотрим отображение h : X ^ X , определенное по формуле:

h ( x ) =

h i ( x ), если x g h i ¹ ( E i ) для некоторого i g J b , g *( x ), если x g X \ U { h — 1 ( E i ): i g J_b }.

Затем определим отображение f : X ^ X по правилу:

h(x), если x g V, f (x) = < h 1(x), если x g h(V), x, если x g X \ (V U h(V)).

Рутинная проверка показывает, что отображение f - искомое. Лемма 1 доказана.

Теорема 1. Пусть X - нульмерное однородное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счётности. Пусть в пространстве X даны две сходящиеся последовательности точек { a n : n g to } и { b n : n g ю }, причем lim n ,, a n = a, lim n ,, b n = b и S ( a ) П S ( b ) = 0 .

Тогда существует такой гомеоморфизм f : X ^ X, что f ° f = id_X, f ( a ) = b и f ( a n ) = b_n для любого n g to .

Доказательство. Возьмем убывающую базу U* : n g to} в точке a , образованную открытозамкнутыми множествами. По лемме 1 существуют открыто-замкнутая окрестность U0 точки a и гомеоморфизм g о: X ^ X , такие, что: Uо с U0, g о( a) = b, g o(Uо) П Uо =0, g о ° g о = idX, gо(x) = x для любой точки x ё Uо и Vi(ai g Uо « bi g g0(Uо)). Продолжая этот процесс по ин- дукции, для любого n > 1 построим открыто-замкнутую окрестность Un точки а и гомеоморфизм gn : X ^ X, такие, что: Un с Un П Un-1, gn (a) = b , gn (Un ) П Un = 0, gn ° gn = idX , gn (x) = x для любой точки x й Un и Vi(ai e Un ^ bi e gn (Un)). Ясно, последовательность множеств {Un : n eto} образует убывающую базу в точке а , а последовательность {gn (Un): n eto} образует базу в точке b. Для любого nе to определим множество индексов Jn = {iе to: ai й Un}.

Для каждого j eto зафиксируем гомеоморфизм X j : X ^ X , для которого X j ( ^a j ) = b j . Возьмем открыто-замкнутую окрестность O j точки a j . Тогда X j ( O j ) — открыто-замкнутая окрестность точки b j . Без ограничения общности можно считать, что множества {O j : j е to } и { X j ( O j ): j e to } попарно не пересекаются, lim j _y, O j = { a }, lim j _y, X j ( O j ) = { b }, O j с U k \ U k + i и X j ⁽ O j ) ^с g k ^{( U} k ) \ g k + i ^{( U} k + i ),^{если точка a} j ^с U k \ U k + i для некоторого k ^{e to} .

Для любого n e to множество J_n конечно, поэтому два множества V_n = U_n и U { O j -: j e J_n } и W_n = g_n (U_n ) и U { X j ( O j ): j e J_n } открыто-замкнуты в X , причем S ( a ) с V_n , S ( b ) с W_n , V_{n + 1} с V_n , W_{n + 1} с W_n и V_n П W_n =0 . Более того, f_n (V_n ) = W_n для гомеоморфизма f_n : X ^ X , определенного индуктивно следующим образом:

gn (x), если x e Un, g-1(x),если x e gn (Un X fn (x) = ‘

X j ( x ), если x e O j для некоторого j e J_n , X ^{- 1} ( x ), если x e X j ( O j ) для некоторого j e J_n , x , иначе.

Очевидно, что f_n ° f_n = id_X .

Определим отображение f : X ^ X по правилу f ( x ) = lim _n ^_TC f_n ( x ). В частности, f ( a ) = b и f ( b ) = a . Покажем, что это определение корректно. Действительно, так как A { U_n : n e to } = { a } и П { g_n (U_n ): n e to } = { b }, то для точки x e X \{ a , b } найдется n , для которого x й U_n U g_n (U_n ). Тогда f_{n + 1}( x ) = f_n ( x ); поэтому предел lim _n ^_TC f_n ( x ) всегда существует. Несложно проверить, что f - искомый гомеоморфизм. Теорема 1 доказана.

Точка а называется точкой накопления множества А в пространстве X , если a e A \{ a }, где чертой сверху обозначается замыкание в X . Множество A d всех точек накопления множества А называется производным множеством множества А . Для n eto определим по индукции производное множество А ^{( n} ) порядка n множества А по правилу: A ⁽⁰⁾ = A и A ^{( n + 1)} = ( A ^{( n} ) ) d . Говорят, что множество А имеет ранг n , если A ^{( n - 1)} ^ 0 , а A ^{( n} ) = 0 . Если A ^{( n} ) = 0 для некоторого n eto , то говорят, что множество А имеет конечный ранг .

Следующая теорема усиливает результат теоремы 1.

Теорема 2. Пусть X - нульмерное однородное пространство с первой аксиомой счётности. Пусть в пространстве X даны два счётных непересекающихся гомеоморфных компактных множества А и В конечного ранга. Тогда любой гомеоморфизм g : A ^ B продолжается до гомеоморфизма f : X ^ X, удовлетворяющего условию f ° f = id_X.

Доказательство . Если X - дискретное пространство, то А и В - конечные множества первого ранга. В этом случае несложно построить нужный гомеоморфизм f .

Рассмотрим случай, когда пространство X не дискретное. Тогда А и В - нигде не плотные множества. Доказательство проведем индукцией по рангу n множеств А и В .

База индукции: n = 1. Так как A(1) = B(1) =0 , то А и В - дискретные конечные множества. Значит, A = {a1, ^, ak} и B = {b1, ^, bk}, где bi = g(ai) для 1 < i < k. По определению, для каждого i существует такой гомеоморфизм f : X ^ X, что f (ai) = bi. Найдем попарно непересекающие- ся открыто-замкнутые окрестности Ui и Vj точек ai и bj соответственно. При этом можно считать, что f (Ui) = Vi. Требуемый гомеоморфизм f: X ^ X определим по правилу:

^{f ( x} ) = ‘

f i ( x ), если x е U i для некоторого i , f^ ' ( x ), если x е V для некоторого i , x, если x е X \ U { U i и V :1 ^ i ^ к }.

Допустим, что утверждение верно для любых множеств ранга не больше, чем n . Возьмем множества А и В ранга n + 1. Тогда ранг множеств А ⁽¹⁾ и В ⁽¹⁾ равен n . Ясно, что g ( A ⁽¹⁾) = B ⁽¹⁾. По индуктивному предположению существует продолжение гомеоморфизма g до гомеоморфизма h : X ^ X , для которого h ° h = id_X , h ( B ⁽¹⁾) = A ⁽¹⁾ и h ( A ⁽¹⁾) = B ⁽¹⁾. Занумеруем точки множества A \ A ⁽¹⁾ в последовательность { a m : m его }. Тогда B \ B ⁽¹⁾ = { g ( a m ): m его }. Применяя рассуждения как в доказательстве леммы 1, можно считать, что g ( a m ) * h ( a k ) для любых индексов m и к . Тогда h ( A \ A ⁽¹⁾) П B = 0 и h ( B \ B ⁽¹⁾) П A = 0 . Для любого m ∈ ω зафиксируем гомеоморфизм X _m : X ^ X , переводящий точку a m в точку g ( a m ). Множество A U h ( A ) U B U h ( B ) нигде не плотно в X, поэтому существуют такие открыто-замкнутые окрестности U_m и V_m = x _m (U_m ) точек a m и g ( a m ) соответственно, что множества U_m , V_m , h(U_m ) = h ^{- 1}(U_m ) и h(V_m ) = h ^{- 1}(V_m ) попарно не пересекаются, а также не пересекаются с множеством A ⁽¹⁾ U B ⁽¹⁾. Более того, так как А ⁽¹⁾ и В ⁽¹⁾ - компактные множества, то можно считать, что последовательность { U m : j его } сходится к точке a * е A ⁽¹⁾ ^ последовательность { V m : j е го } сходится к точке g ( a *) = h ( a *) е B ⁽¹⁾ ^ по-следовательиость множеств ^{ h V m ): j ^{е го }} сходится к точке a * = h ° h ⁽ a *) ^е A ⁽¹⁾. Определим искомое отображение f следующим образом:

Xm (x), если x е Um для некоторого m, f (x) =«

X J( x ), если x е V_m для некоторого m , h ° X m ¹ ° h ( x ), если x е h ^{- 1}( V m ) для некоторого m , h ^-1 ° X _m ° h ^{- 1}( x ), если x е h(U_m ) для некоторого m , h ( x ), иначе.

Индуктивный переход закончен. Теорема 2 доказана.

Рассмотрим вопрос о продолжении гомеоморфизма g : A ^ B между двумя замкнутыми множествами А и В в пространстве X до гомеоморфизма f : X ^ X \ A .

Лемма 2. Пусть в топологическом пространстве X даны такие две последовательности { U n : n е го } и { V n : n е го } открыто-замкнутых множеств, что:

• 1)    U0 о U1 о „. о Un з „.,

• 2)    U ₀ П V = 0 , где V = U { V n : n его },

• 3)    семейство множеств {V_n : n е го } дискретно в пространстве X,

• 4)    для любого n его существует гомеоморфизм g_n : U n ^ V_n.

Тогда для множества A = n { U n : n его } существует такой гомеоморфизм f : X ^ X \ A , ^{что f (} A ) = g о ⁽ A ) с V ) .

Доказательство . Определим отображение f : X ^ X \ A по правилу:

' g о ( x ), если x е U ₀,

f ⁽ x ) = ‘

g n + 1 ° g n ^{1 (} x ), если x ^е g n ^{( U} n + 1 ) для n ^{е Ю} , g - ⁽ x ), если x ^е V n \ g n ^{( U} n + 1 ) для n e ю , x, если x t U ₀ U V.

Учитывая, что U ₀ \ A = © { U n \ U n _{+ 1}: n е to } и f (V_n ) = (U n \ U n _{+ 1}) U V_{n + 1} для любого n е to , несложно проверить, что f взаимно однозначно отображает пространство X на X \ A. Так как множества g_n (U_{n + 1}) и V_n \ g_n (U_{n + 1}) открыто-замкнуты в V_n (следовательно, и в X), множество U ₀ U V открыто-замкнуто в X , а каждое отображение g_n является гомеоморфизмом, то и отображение f будет гомеоморфизмом. По построению, f ( A ) = g ₀ ( A ) с V ₀. Лемма 2 доказана.

Теорема 3. Пусть в нульмерном однородном не псевдокомпактном пространстве Xс первой аксиомой счётности даны две разные точки а и b. Тогда существует такой гомеоморфизм f : X ^ X \{ а } , что f ( а ) = b.

Доказательство . Так как пространство X нульмерное и не псевдокомпактное, то в X существует счётная дискретная система {W n : n е to }, состоящая из открыто-замкнутых множеств. Ясно, что W = U { W_n : n е to } является открыто-замкнутым множеством в X . Без ограничения общности можно считать, что a t W и b е W ₀. В точке а зафиксируем убывающую базу { U n : n е to }, состоящую из открыто-замкнутых множеств и удовлетворяющую условию W П U 0 = 0 .

Так как пространство X однородное, то существует гомеоморфизм g ₀ : X ^ X , переводящий точку а в точку b . Найдем такую открыто-замкнутую окрестность U ₀ точки а , что U ₀ с U 0 и V ₀ = g о ( U о ) с W ₀. Далее, по индукции, для каждого n >  1 найдем гомеоморфизм g_n : X ^ X и открыто-замкнутую окрестность U_n точки а согласно следующим условиям: U_n с U_n , П U n и множество V n = g_n (U_n ) открыто-замкнуто в W_n . Очевидно, что n { U n : n е to } = { а }. Для завершения доказательства теоремы 3 остаётся применить лемму 2.

Следствие 1. Пусть дано нульмерное однородное не псевдокомпактное пространство X с первой аксиомой счётности. Тогда X- сжимаемое пространство.

Лемма 3. Пусть в нульмерном однородном пространстве X дана открыто-замкнутая окрестность U * компактного счётного множества А и дана дискретная система {W i : i е to } , состоящая из открыто-замкнутых множеств. Тогда существуют такие открыто-замкнутые гомеоморфные множества U с U * и V с U W : i е to } , что A с U.

Доказательство . По условию, множество A = U { a_i : i е to }. Для каждого индекса i выберем точку b i е W и гомеоморфизм g i : X ^ X , переводящий точку а , в точку b i . Найдем открытозамкнутую окрестность U i точки а , , удовлетворяющую условиям: U i с U * и g i (U i ) с W i . Из покрытия { U i : i е to } компакта А можно выбрать конечное подпокрытие { U i : i <  k }. Заменяя множество U i на множество U i \ U { U j : j <  i }, можно считать, что семейство { U i : i <  k } состоит из попарно непересекающихся открыто-замкнутых множеств. Тогда множества U = U { U i : i <  k } и V = U { g j (U i ): i <  k } - искомые. Лемма 3 доказана.

Теорема 4 . Пусть X - нульмерное однородное не псевдокомпактное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счётности. Пусть в пространстве X даны два счётных непересекающихся гомеоморфных компактных множества А и В конечного ранга. Тогда существует такой гомеоморфизм f : X ^ X \ A, что f ( A ) = B .

Доказательство . Так как пространство X не псевдокомпактное, то в X существует счётное дискретное семейство, состоящее из открыто-замкнутых множеств, не пересекающихся с A U B . Занумеруем это семейство как {W_ni : n >  1, i е to }. Положим W = U { W ni : n >  1, i е to }.

По теореме 2 возьмём гомеоморфизм g : X ^ X, для которого g ( A ) = B . Так как А и В - не-пересекающиеся компакты, то существует открыто-замкнутая окрестность U 0 множества А, для которой выполняются условия: B с g(U 0 ), U 0 П W = 0 , g(U 0 ) П W = 0 и U 0 П g(U 0 ) = 0 .

С помощью леммы 3 для любого n ≥ 1 построим по индукции открыто-замкнутые множества U n , V n и гомеоморфизм g n : U n ^ V n , так, чтобы A с U n , U n + 1 с U n и V n с U { W ni : i его }. При этом можно считать, что A = n { U_n : n его }, так как пространство X удовлетворяет первой аксиоме счётности. Теперь теорема 4 вытекает из леммы 2.

Замечание . Если бы теорему 2 удалось доказать для произвольных счётных компактных множеств, то теорема 4 выполнялась бы для счётных компактных множеств произвольного ранга.

Теорема 5 . Пусть X - нульмерное однородное не псевдокомпактное и не дискретное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счётности. Тогда для любого счётного компактного множества Z конечного ранга существует такое расширение X* пространства X, что нарост X *\ X гомеоморфен множеству Z, а само расширение X* гомеоморфно X.

Доказательство . Применяя индукцию по рангу множества Z , несложно проверить, что пространство X содержит два замкнутых непересекающихся множеств А и В, каждое из которых го-меоморфно Z . По теореме 4 существует такой гомеоморфизм f : X → X \ A , что f ( A ) = B . Тогда множество X \ A гомеоморфно X и всюду плотно в X. Полагая X * = f 1 ( X \ A ), получаем нужное расширение пространства X.