О продолжении положительных полилинейных операторов
Автор: Гелиева Алина Альбертовна, Кусраева Залина Анатольевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.24, 2022 года.
Бесплатный доступ
Используя линеаризацию положительных полилинейных операторов с помощью фремлиновского тензорного произведения векторных решеток можно показать, что полилинейный оператор, действующий из декартова произведения мажорирующих подпространств векторных решеток в порядково полную векторную решетку, допускает продолжение до полилинейного положительного оператора, определенного на декартовом произведении объемлющих векторных решеток. В настоящей заметке устанавливается, что этот результата остается в силе, если полилинейный оператор определен на декартовом произведении мажорирующих подпространств сепарабельных банаховых решеток и принимает значения из топологичесой векторной решетки с σ-интерполяционным свойством при условии, что упомянутые банаховы решетки обладают свойством субаддитивности. Последнее обеспечивает тот факт, что алгебраическое тензорное произведение мажорирующих подпространст будет мажорирующим во фремлиновском тензорном произведении рассматриваемых банаховых решеток. Сформулирован открытый вопрос: остается ли в силе доказанный результат, если опустить (или ослабить) условие субаддитивности. Возможность ослабить требование порядковой полноты решетки образов за счет предъявления к области определения некоторых дополнительных требований впервые реализовали Абрамович и Викстед при доказательстве одного варианта теоремы Хана - Банаха - Канторовича.
Полилинейный оператор, положительный оператор, топологическая векторная решетка, сепарабельность, σ-интерполяционное свойство, мажорирующее подпространство
Короткий адрес: https://sciup.org/143179163
IDR: 143179163 | УДК: 517.98 | DOI: 10.46698/l7711-6989-4987-f
On extension of positive multilinear operators
Using the linearization of positive multilinear operators by means of the Fremlin tensor product of vector lattices one can show that a multilinear operator acting from the Cartesian product of majorizing subspaces of vector lattices to Dedekind complete vector lattice admits an extension to a positive multilinear operator defined on the Cartesian product of the ambient vector lattices. In this note, we establish that this result remains valid if the multilinear operator is defined on the Cartesian product of majorizing subspaces of separable Banach lattices and takes values in a topological vector lattice with the σ-interpolation property, provided that the mentioned Banach lattices have the property of subadditivity. The latter ensures that the algebraic tensor product of the majorizing subspaces is majorizing in the Fremlin tensor product of the Banach lattices under consideration. An open question is stated: whether or not the result remains valid if the subadditivity property is omitted (or weakened). The possibility of weakening the requirement of order completeness of the target lattice by imposing some additional requirements on the domain vector lattices was first observed by Abramovich and Wikstead when proving one version of the Hahn-Banach-Kantorovich theorem.
Список литературы О продолжении положительных полилинейных операторов
- Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators. London: Acad. Press Inc., 1985.
- Abramovich Yu. A., Wickstead A. W. The regularity of order bounded operators into C(K). II // Quart. J. Math. Oxford. 1993. Vol. 44, № 3. P. 257-270.
- Кусраева З. А., Ильина К. Ю. О продолжении положительных операторов // Сиб. мат. журн. 2020. Т. 61, № 2. С. 330-336.
- Loane J. Polynomials on Riesz Spaces. PhD Thesis. Galway: National Univ. of Ireland, 2008.
- Meyer-Nieberg P. Banach Lattices. Berlin: Springer etc., 1991.
- Dineen S. Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces. Berlin: Springer, 1999.
- Fremlin D. H. Topological Riesz Spaces and Measure Theory. Cambridge University Press, 1974.
- Fremlin D. H. Tensor product of Banach lattices // Math. Ann. 1974. Vol. 211. P. 87-106.
- Schep A. Factorization of positive multilinear maps // Illinois Journal of Math. 1984. Vol. 28, № 4. P. 579-591.
