О проективных движениях 5-мерных пространств. I.H-пространства типа {32}

Множество всех геодезических линий псевдориманова многообразия М ^п с метрикой д и связностью Леви–Чивита ∇ задает его проективную структуру, определяемую локально проективными параметрами Томаса П }_й — составляющими объекта проективной связности в М ^п .

Векторное поле X на многообразии М с проективной структурой П называется инфинитезимальным проективным преобразованием, или проективным движением (п.д.), если порождаемая этим полем в окрестности каждой точки р е М локальная 1-параметрическая группа состоит из (локальных) проективных преобразований, т.е. автоморфизмов проективной структуры. Для этого необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

L x д = h,

(обобщенное уравнение Киллинга) и

X h(Y, Z , W ) = 2g(Y, Z)Wp + g(Y, W) Zp + g(Z , W)Yp

(уравнение Эйзенхарта ), где Y,Z,W E TM , (n + 1)p = divX. Если p = const, т. е. divX = = const, то проективное движение является аффинным, в частности, при h = cg гомотетическим (преобразование подобия), а при h = 0 изометрическим (сохраняющим метрику д).

Данная статья посвящена проблеме определения псевдоримановх многообразий (M, д), допускающих алгебры Ли инфинитезимальных проективных (в частности, аффинных) преобразований, более широкие, чем алгебры Ли инфинитезимальных гомотетий. Подобная задача для n-мерных собственно римановых и лоренцевых пространств была решена в работах Т. Леви-Чивита, А. С. Солодовникова, А. З. Петрова и А. В. Аминовой ( [4], см. обзор в [9]). Для псевдоримановых многообразий произвольных сигнатуры и размерности проблема их классификации по алгебрам и группам Ли проективных преобразований, поставленная более ста лет назад, остается открытой. Между тем многомерные псевдоримановы пространства служат фоном, на котором развиваются современные физические теории (калибровочные, суперсимметричные и др.), решаются задачи физики высоких энергий, астрофизики и космологии; симметрии пространств в форме непрерывных групп преобразований, сохраняющих те или иные геометрические или физические структуры, служат основой для построения механических и полевых законов сохранения. Изучение проективногрупповых свойств многомерных пространств вносит также вклад в теорию дифференциальных уравнений (см., например, [6]).

Классификация пространств, допускающих негомотетические проективные движения, основана на разбиении их по типам в соответствии с алгебраической структурой производной Ли L x д метрики д в направлении проективного движения X , определяемой в каждой точке р E V С M характеристикой Сегре % тензора h = L x g. Тип тензора L x д определяет тип проективного движения X и тип метрики д в области V . Такие метрики будем называть h-метриками типа %, а соответствующие пространства - h-пространствами типа %.

В данной работе с помощью метода косонормального репера [9] определяются пятимерные h-пространства типа {32} (теорема 1) и устанавливаются необходимые и достаточные условия существования проективного движения того же типа (теорема 2).

Интегрированию обобщенных уравнений Киллинга с известной правой частью и нахождению общего решения уравнения Эйзенхарта будут посвящены следующие работы.

1.    Канонические формы в косонормальном репере.

В косонормальном репере (Y ^ ), адаптированном к характеристике Сегре симметричной билинейной формы h ^j

% = {ri ...Tko (m1 '' ' •••msk++,1} ... (mJ ...mkk }} и заданном в области V С M” разбиением I = Ua=1 Ia, la = {s |na + 1 < s < na + ra}, n1 = 0, na = ^J— Ti, r1 + ... + rk = n, a = 2, ..., к, множества индексов I = {1, ..., n} и биекцией ~: I ^ I: Ia 9 h ^ h = 2na + ra + 1 — h E Ia (a = 1, ...,к), обладающей свойством ~ о ~= tdj, индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики gpq = g(Yp, Yq) = 6p(Yq) = ер5®, ер = ±1, например, 9р = ер9р.

В терминах локальной координатной системы каноническая форма 9 = 9' Е, задается соотно- шением ( [9], c. 96)

9 ' = ^ j dx ^j

d$ ^k = e ^k 9 ' '

,

где (O j ) - обратная матрица для ^^к^ ■

: o ' = 5 j . к

Набор линейно независимых форм 9 ^г образует в каждой точке р Е М корепер, дуальный к базису £ в Т _р М .

Пусть (Y 1 ,..., Y _n ) = ^^г Э/Эт ^г ,..., £ ^г д/дт^г^ - косонормальный репер в области V С М , U С V - координатная окрестность, (Х _г ) = (д/дт^г) - натуральный репер, д^ = д (Х_г,Х j ). Для 1-формы 9 h , сопряженной векторному полю Y h относительно д \ у :

(9 h ,Y ) = 9 h (Y) = д (Y h ,Y )

G = 1,

..

,,тг), из (1), (2) имеем

9 h \ _u = £г^ ^г =

e h 9^K \ , O h = _e h ^ г

^1U                h

(h = 1,... ,п). Разрешив уравнения д^Y

^ j относительно д _г j , получим

п дг3 = Eeh|гfз■,

п

п

^д\и = Е ^e h ⁹ h ® ⁹ h = Е ^e h ⁹ h ⁹ h .

h=1

h=1

Из этих соотношений следует формула перехода от косонормального репера (Y 1 ,..., Y n ) на U к координатному реперу (Х 1 , ..., Х _п ) :

п

^Х з = Е*

h=1

(j = 1 ,..., п) , а также формула для компонент д ^г3

^e h ^ j ^Y h h

контравариантного метрического тензора д _с :

п дг3 = Е eh^г У , или

п дс\и = ^^ ehYh ® Yh.

h=1

В силу (3) для билинейной формы h на V имеем

п hгз = h (Хг,Хз) = Е epeqh (Yp, Yq) ^гtj. p,q=1                p q

Аналогично

п

h¹³ = Е ^e P ^e q h (Y p ,Y q ) VY . ^{p q}

p,q=1

Отсюда, введя обозначения h _pq = h (Y _p , Y _q ), получим

( [9], c. 99)

п

п

h = £ e p e q h pq 9 p ® 9_q = £

^e p ^e q ^h pq ⁹ _p ⁹ q .

p,q=1

p,q=1

2.    Вычисление формы связности.

Определим в V систему инвариантов 7 i_pk = — 7 _pik (коэффициенты вращения Риччи [8], § 30) равенствами V vk ^ l = S p ₌₁ e _p 7 i_pk Y p5 = 7 pk Y _p , где 7 pk = e _p 7 ipk - компоненты 1-формы связности w j в косорепере (Y h ):

^W j = ^ jl⁹¹ = ^e г ^ jгl^9l = Е^e h ^e г ^ jth ⁹ h .                                ⁽⁴⁾

h=1

В косонормальном репере уравнение Эйзенхарта после замены h = а + 2pg примет вид

^Y r ^a pq ⁺ V ^e h ^{( a} hq 7 h_pr ^{+ a} ph 7 hqr ) = 9 qr ^Y p t + g _pT Y q p h=1

(p,q,r = 1,..., 5), что равносильно

n dapq + ^ ^ eh( ahq ■ph + aph^qh)   (Yqp)9p + (Ypp)9q,                      (5)

h=1

где ■ pq = — ■ qp — 1-форма связности. К интегрированию этого уравнения и сводится наша задача.

Пусть 9h — каноническая 1-форма, сопряженная с Yh, (Yh) - косонормальный репер в области V СМ, в котором билинейные формы д и h имеют канонический вид к                 2                                                к g\v = ^gp- h\v = 52(Ap + 2t)gp+ ho = a + 2tg, 2t = 52Ap, p=1           p=1                                   p=1

где A1, A2 = A1 - характеристические числа билинейной формы а = h — 2pg кратностей соответственно 3 и 2 (к = 2, тип {32}), д1 = e1(9193 + 9292 + 9391),  д2 = e2(9495 + 9594), ho = ao = e1(9192 + 9291) + e29494, (1 = 3,

~

~

~

~

~        ~        ~        ~

2 = 2, 3 = 1, 4 = 5, 5 = 4),

здесь e, e ₁ , e ₂ равны ±1.

Подставив в (5) вместо g _pq и a _pq соответствующие

канонические значения для типа

{32},

получим

Y 1 p = YAp = Y 4 P = 0, dA 1 = 3e 1 (Y 3 p)9 1 , dA = e 2 (Y 5 p)9 4 ,

^ш 12 = 3 ^{( Y} 3 t ^{) 9} 1 , ^ш 13 =

(Y 3 t)9 2 , W 15 =

^Y 5 t

A 2

A 1

(A 2

^Y 5 P

^Y5t   P I

—^^{9 1 +}

^Y 5 t

A 2

A 1

⁹ 2 , ^ш 32 = ^{( Y} 3 t⁹ 3⁾ , ^ш 34 =

^Y 3 P

A 2

A 1

9 4 ,

■ ⁵ = №—•

„      Y5p

⁹ 1 ⁺ T\----T52⁹2 ⁺

(A 2 — A 1 ) ²

^Y 5 t

A 2

A 1

^Y 3 t

(A 2

A 1 ) ²

9 4 +

^Y 3 t

A 2

A 1

9 5 ,

■ 45 = ^{— ( Y} 5p) ⁹ 5 .

Отсюда с помощью формулы (4) найдем коэффициенты вращения Риччи

7 213 = —7 123 = 3 e 1 Y 3 p, 7 231 = —7 321 = e 1 Y 3 p, 7 312 = —7 132 = -e 1 Y 3 p e 1 Y 3 t                   e 1 Y 5 t                  e 1 Y 5 p

7 435 = —7 345 = 7---- T-> 7 513 = —7 153 = 7----Г" , 7 522 = —7 252 = 7---- T”,

A 2 — A 1                   A 2 — A 1                  A 2 — A 1

7 523 = —7 253 =

e^p (A 2 — A 1 ) ² ,

e1Y5t 7531 = —7351 = 7----?-, a2 — A1

7 532 = ^— 7 352 =

e 1 Y 5 t (A 2 — A 1 ) ² ,

7 533 = ^— 7 353 = 77----

^{( A} 2 ^{— A} 1 ) ³

e ₂ Y 3 p 7 534 = —7 354 = 7---- r- ,, ^a 2 ^{— A} 1

7 535 =

—7 355 =

e 2 Y 3 t

^{( A} 2 ^{— A} 1⁾² ’

7 544 = —7 454 = —e 2 Y 5 t;

остальные коэффициенты 7 ^jk равны нулю.

Для того чтобы система линейных дифференциальных уравнений в частных производных с неизвестной функцией и:

„■ 1          „ди

Ys и = £ (x1,...,xn)    =0 (s = 1,...,p; г = 1,...,п), где е/ — компоненты р векторов косонормального репера (Yy..., Yn), была вполне интегрируемой (полной), т. е. допускала п — р независимых решений и1,..., ир, необходимо и достаточно, чтобы все коммутаторы ( [8], с. 143)

п

[Y _s , Y t ] = Y _s Y t — Y _t Y _s = £ e _r ( _{7 rs}t — ^t _s )Y _T (s,t = 1,... ,р), r=1

где

Yjk = ^ 1,тЕ,Ч™

• — коэффициенты вращения Риччи, линейно выражались через операторы системы Y 1 , ..., Y_p ( [7], c. 12).

Из (9) следуют равенства

YA = з S 3 Y 3 P, Y i \₂ = /тЛ/р.                            (8)

Используя полученные соотношения и формулу

п

[Y k , Y h ] = V,. Y_h — V y_h Y k = V' i hikh — ^ hk ) Y~, l=1

составим скобки Ли векторных полей Y i ,...,Y 5 и выпишем те из них, которые отличны от нуля: [Y i , Y 3 ] = — 3(Y s p)Y 2 ,

[Yi,Yb] = v^p-A, [Y,,Y3] = — 4(Y3p)Y3, A2 — Ai

[Y2, Y5] = A ' \   ' + t^^-Y2, [Y3, Y4] = -^^4,(9)

(A 2 — A i ) ²       A 2 — A i                 A 2 — A i

=   Y5P   Y ,    Y5P   у ,  Y5P  \ -   Y3P         Y3P

[ Y 3, Y 5 ]                   Y 1 +                Y 2 +            Y 3                   Y4 +

(A 2 — A i ) ³       (A 2 — A i ) ²       A 2 — A i       (A 2 — A i ) ²       A 2 — A i

[Y 4 ,Y 5 ] = —(Y 5 p)Y 5 ;

Отсюда видно, что системы дифференциальных уравнений Yj_u = Y ₂ u = Y ^ u = Y 5 U = 0,

• Y]_u = Y4u = Y5U = 0 и Y4u = Y5U = 0 являются вполне интегрируемыми (см. выше). Обозначим единственное решение первой системы и одно из двух независимых решений второй системы через и³, еще одно решение второй системы через и², решения третьей системы - через uⁱ,u²,u³. Системы Y]_u = Y₂u = Y3U = Y4u = 0 и Y]_u = Y₂u = Y3U = 0 также вполне интегрируемые, решения первой системы обозначим и⁵, второй - и⁴и и⁵. В новых координатах Y¹ = и^г, опустив штрихи, получим

3.    Основные уравнения.

^ 3 2 = _е 3 1 =0, е ⁴ = Q(x)5 i , е ^г = Р М5 4 , € ³ = € ⁵ = 0   ( 21,л = 1,2, 3; 1 2 ,3 2 = 4,5).

t 1         4 2             1                     4                     2       4

Затем из (7) и (8) следует, что A1 зависит только от ж3, а A2 - только от ж5: A1 = /1(т3), A2 = /2(ж5), при этом p = 2(з/1 + 2/2).

Приравнивая в каждой координатной окрестности U координаты векторных полей в правых и левых частях уравнений (9), с помощью формулы

[Yk,Yh]i^ = (/w3 — е4эг/3 w k h h к получим следующую систему нелинейных уравнений в частных производных с неизвестными €J":

г

1 °

€1 м

€ 1 8 1 €

2 °

€ 1 d i € ² = 0,

С ²^¹ = 0,

7 °

8 °

9 °

3 ° € 1 д 1 €

€ 1 д 1 €

4 ° € 1 Э 1€^:

€2^€

€ 3 / 1 € 2 ,

5 ° € 1 Э 1 €^:

6 ° € ⁴ д 4 €

€ ³ д з €

€ ⁴ д 4 € ³ =

€ 3 / 1 € 1 ,

0,

0,

€ ⁵ д 5 € 1 =

€ 1 д 1 €

+ €2^€

,      , € 5 / 2 € 1 ,

J 2 ^— 7 1 5

€ 1 д 1 €

€2^€

€ 3 д з €

2€ ³ / 1 € 1 ,

€ 1 9 1 €

+ €²M

10 ° € ² д 2 € ³ =

13°

14°

21 ° € ⁵ д 5 €

€5^€

€^х8 1 (

2/ 1 (€ ³ ) ² ,

11°

12°

€^ь8 5 €'

€ д €

22 ° € 5 ^ 5 €

23°

24°

€ 3 8 з (

2€ ³ / 1 € 2 ,

€ ⁴ д 4 €

€ 1 8 1 €'

(/ 2

/ 1 ) 2

€ 4 8 4 <-

0,

€2М

0,

€ 5 / 2 €

,      , € 5 / 2 € ² ,

/ 2 ^{- /} 15

15 ° € 1 д 1 € ⁴ =

16 ° € 1 д 1 €

€*282€:

€ 2 9 2€'

,     , € 5 / 2 € 1 ,

/ 2 ^{- /} 15

0,

= 0,

17 ° € 4 ^ 4 €

18 ° €^гд з €

€ ⁴ д 4 € ² = о,

₉        , € 3 / 1 € ⁴ ,

² / 1 ^- / 2 3

19 ° €⁴8 4 €

€⁴Э 4 €

20 ° € 4 8 4 €

€ ⁵ д 5 € ⁴ = € 5 / 2 € ⁴ ,

/ 2 (€ ⁵ ) ² ,

,     , € 5 / 2 €

/ 2 -/ 15

(/ 2

,     , €5/2€:

/ 2 ^— J 1 5

(/ 2

/ 1 ) ²

€ 5 / 2 €

/ 1 ) ²

(/ 2

/ 1 ) 3

€ 5 / 2 € 1 ,

€ ⁵ д 5 € ³ =

€ ³ д з € ⁴ =

,      , € 5 / 2 € ³ ,

/ 2 ^- / 1 5

/ 2 -/ 1 2 € ^{3 / 1 €} 4⁺

25 ° € 3 д з € 5 =

€ 5 / 2 € ² ,

(/ 2

/^ 2 € ^{3 /} 1 ^€ 4 ,

³ € 3 / ‘ €' / 2 - / 1 2 3 ^{/ 1 €}

(штрих означает производную функции одного переменного по ее аргументу, например, / 1 = = d/ 1 /dx³).

Из уравнений 6 ° ,2 ° , 11 ° и 12 ° системы (10) с учетом условия det

= 0) получим 6 4 € 1 =

(г)

= d 1 € 2 = d 4 € 2 = д 1 € 4 = ^ 2 ^ 4 = 0. Затем, интегрируя уравнения 7 ° , 14 ° и 18 ° , найдем

€ 1 =

1 П1(х1.х2.х3). €2 = „ 1 „ “2(х2.х3). €4 = J2 — J1                 2 J2 — J14

“ ⁴

После замены координат х1’ = / $1, х2‘ = / £2. х4' = / $4. хк = х* (к =3,5),

J “1        7 “2

не меняющей полученных ранее результатов, опустив штрихи, имеем

1 1               1       £4

^€      2      / 2 - / 1’ 4      (7 1 - / 2 ) 3/2

Интегрируя уравнения 1 ° , 13 ° и учитывая, что € 1 не зависит от переменной х ⁴ в силу 11 ° , получим

^€ 1 =    , ¹ ( Л + +²-О ^{( х} 2 ^{,х 3 ))} .

2      ²⁽. 1 2 ^— / 1 )

где введено обозначение

^{7 1 =} / 2 - / 1 .

Выполнив преобразование координат х1 = х1 — j Ddx2. хк = хк (к = 1).

опустив штрихи, будем иметь 1=    ^{7 1}

• ²    2(/ 2 — / 1 )

Интеграция уравнений 23 ° , 5 ° и 10 ° дает

3      2(/ 2 — /1)(/ 1 х ² + т (х ³ ))

Возможны два случая: 1)/ 1 = 0. 2)/ ’ = 0. В первом случае сделаем замену координат х ³ = / 1 (х ³ ). х ^к = х ^к (к = 3) и положим Т = (/ 1 ) ^-1 т , тогда

£³   ,—. € ^к = € ^к (к = 3).

3      2(/ 2 —/ 1 )(х ² + Т ) 3     3

Во втором случае сделаем замену х ³ = J тdx ³ . Опустив черту, объединим оба случая формулами

/ 1 = £ 1 х ³ + (1 — Е 1 )с 1 (с 1 = const).

€ 3 = _{2( /} 2 — _{/ 1 ) л} (^л = ^£ 1 (^х 2^{+ Т ( х 3 )} ) ^{+ 1 — £} 1 ).

где £ 1 равно 0 или 1.

Подобно этому, из уравнений 20 ° , 16 ° и 25 ° получим

/ 2 = £х ⁵ + (1 — £ 2 )с 2 (С 2 = const).

^€ 5 = (/1 - ,f₂) 3/2 B   ^^S " ^£ 2 (^х 4 ^{+ М ( х 5 )} ) ^{+ 1 — £} 2 ) .

где е ₂ равно 0 или 1.

Из уравнения 17 ° следует 9 4 ^ 1 = 0 Интегрируя уравнения 21 ° , 3 ° и 8 ° , найдем 3

€ 1 =        '      _;2А' + ^(^ 1 ) 2 + 4Ф(ж ³ ))

• 3     ^{8( /} 2 - .Т 1 )^А

где

^{0 2 =} (/ 2 - / 1 ) 2 '

В новых координатах ж1 = ж1 - - У ФДж3, жк = жк, (к = 1), опустив штрихи, имеем

Г = Ж—Л) (° ^{2 +} 2° ² )■

Интегрирование уравнений 22 ° , 4 ° и 9 ° дает

€ 2 = 2(/ 2 — _toA ^{( А}°1 ^{+ 2} * ^{( ж} * > - "^ж ‘^{) .}

Сделаем замену координат ж2 = ж2 — j ^Дж3, жк = жк (к = 2)

и опустим штрихи, тогда

| ² = 2(/ 2 — / 1 ) (° 1 ^— "А") ■

Интегрируя уравнения 15 ° , 24 ° и 19 ° , найдем

€4 = 2В(/1 — /2)3/2 (^3     (ж5)), где обозначено

3 ^{0 3 =} // ■

Выполнив преобразование координат

• ^ж4’=^ж4^—JF^b», ^жк=^{жк (к} =⁴

4. h-пространства типа {32}.

опустив штрихи, будем иметь , 4 ₌       ° 3

5      2(/ 1 — / 2) ^3/2 ■

Используя найденные значения компонент векторов косонормального репера

€ 1 = € ²

¹       л1          ° 1         Л1

/ 2 — / 1 , ^€ = 2(/ 2 — / 1 ) , 3

4(/Т—Л) (° 2⁺ 2°0 •

9 1 = 2б 1 (/ 2 — f1)Adx³ , 9 2 = 6 1 (/ 2 — / 1 )(dx ² — (Аст 1 — ex1)dx³),

6 3 = e i (/ 2 — f i ) (dx ¹

-o^dx ² —

(|^А^ ² —

1 л 2 .1         ■

- Аст 1 + -ai ex

'^ dx3^ ,

6 4 = 6 2 (/ 1

./^^Bdx ⁵ , 9 5 = 6 2 (f i — / 2 ) 3/2 (dx ⁴

— 2 _CT 3 Bdx⁵^

и затем по формулам (6) - компоненты метрики д и билинейной формы h в натуральном репере (X i ). Подсчитав символы Кристоффеля найденной метрики д, непосредственной проверкой убедимся в том, что тензорные поля д, h и ф удовлетворяют уравнению Эйзенхарта. В итоге получим следующие результаты.

Теорема 1. Пусть М есть 5-мерное многообразие с метрикой д и связностью Леви-Чивита V. Пусть 0-форма ф и симметричная билинейная форма h характеристики х = {32} определены в М или в некоторой области V С М и пусть /1, /2 - попарно различные характеристические корни билинейной формы h — 2фд кратностей соответственно 3 и 2. Для того чтобы h, д и ф удовлетворяли уравнению Эйзенхарта, т. е. для того чтобы М было h-пространством типа X = {32}, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства д = 61 (/2 — Л)2дх + 62(/i — /2)^2, h = (3/i + 2/2)д + 6i (А д1 + Л1)+ 62 (/2д2+ л2),

ф = ^А ^{+ /} 2

и вокруг каждой точки р Е V СМ существовала каноническая карта (x, U), в которой д1\и = 4Adx1dx3 + (dx2)2 + 2 ^ex1

4А

^/ 2 ^{— /} 1

^ dx ² dx ³ +

(ex ¹ ) ²

8Aex ¹

А ^{— /} 1

4А ²

(/ 2

А)2

(dx ³ ) ² ,

д ₂\ и = 2Bdx ⁴ dx ⁵

, ^3В , (dx ⁵ ) 2 , / 1 ^— / 2

Л 1 1 ^ = 4Adx ² dx ³ + 4А ^ex ¹

^2А } (dx ³ ) 2 , Л 2 \ ^ = В ² (dx ⁵ ) 2 , / 2 ^— /1/

3 ф = 2/1 +/2, где /1 = ex3 + (1 — e1)c1, /2 = ex5 + (1 — e2)с2, с1,с2 — const, А = e1 (x2 + т(x3)) + 1 — e1, В = = e2 (x4 + g(x5)) +1 — e2, e1, e2 принимают независимо значения 0 или 1, 61,62 = ±1, т - функция x3, р - функция x5.

Отсюда следует

Теорема 2. Векторное поле X Е ТМ тогда и только тогда является (локальным) проективным движением типа {32} на 5-мерном псевдоримановом многообразии (М,д), когда выполняется равенство L x д = h, где метрика д и билинейная форма h определены формулами (11) и (12) (теорема 1).