О проективных движениях 5-мерных пространств. III.H-пространства типа {5}

Проективное преобразование псевдориманова многообразия М^п сохраняет проективную структуру и переводит геодезические линии снова, в геодезические ( [8], [9]).

Векторное поле X на многообразии с проективиой структурой П, задаваемой на псевдорима-новом многообразии Мп проективными параметрами Томаса, называется инфинитезимальным проективным преобразованием, или проективным движением (п.д.), если порождаемая этим полем в окрестности каждой точки р Е М локальная 1-параметрическая группа состоит из (локальных) проективных преобразований, т. е. автоморфизмов проективной структуры. Для этого необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

L_x д = h,

(обобщенное уравнение Киллинга^ и

Vh(Y, Z , W ) = 2д(Y, Z)Wp + д(Y, W)Z_V + д(Z, W)Yp (2)

(уравнение Эйзенхарта), где Y,Z,W Е ТМ, (п + 1)у = divX. Если у = const, т. е. divX = const, то проективное движение является аффинным, в частности, при h = сд гомотетическим (преобразование подобия), а при h = 0 изометрическим (сохраняющим метрику д).

Данная статья посвящена проблеме определения псевдоримаиовх многообразий (М^п,д), допускающих алгебры Ли инфинитезимальных проективных (в частности, аффинных) преобразований, более широкие, чем алгебры Ли инфинитезимальных гомотетий. Подобная задача для п- мерных собственно римановых и лоренцевых пространств была, решена, в работах Т. Леви-Чивита, А. С. Солодовникова, А. 3. Петрова, и А. В. Аминовой ( [4], см. обзор в [9]). Проблема, классификации псевдоримановых многообразий М^п произвольной сигнатуры по алгебрам и группам Ли проективных преобразований, поставленная более ста. лет назад, остается открытой. Согласно теореме Э. Нётер и исследованиям группы американских ученых проективные и аффинные движения приводят к фундаментальным механическим и полевым законам сохранения. Главная трудность при построении таких законов сохранения заключается, по мнению авторов, в нахождении указанных движений Изучение проективно-групповых свойств многомерных пространств вносит также вклад в теорию дифференциальных уравнений (см., например, [6]).

Классификация пространств, допускающих иегомотетические проективные движения, основана на разбиении их по типам в соответствии с алгебраической структурой производной Ли Lxд метрики д в направлении проективного движения X. определяемой в каждой точке р Е V С М характеристикой Сегре % тензора h = Lxд- Тип тензора Lxд определяет тип проективного движения X и тип метрики д в области V. Такие метрики будем называть h-метриками типа %, ^а соответствующие пространства - h-пространствами типа %.

В данной статье с помощью метода косонормального репера [9] определяются пятимерные h-пространства типа {5} (теорема 1) и устанавливаются необходимые и достаточные условия существования проективного движения типа {5} (теорема 2). Определению пятимерных h-пространств типов {221}, {32} и {41} посвящены работы [10]— [?].

• 1. Канонические формы в косонормальном репере.

Косонормальный репер (Y^), адаптированный к характеристике Сегре симметричной билинейной формы hy

% = {ri . ..rk0 (тГ'' ...т^Д } ... (mJ ...mkSk }} задается в области V С Мп разбиением I = U0=1 I», la = {s |па + 1 < s < па + ra}, п1 = 0, па = ^0=11 ге Г1 + ... + rk = п, а = 2, ...,к. множества, индексов I = {1,..., п} и биекцией ~: I ^ I: Ia Э h ^ h = 2па + ra + 1 — h Е Ia (а = 1,...,к). обладатощей свойством ~ о ~= idr. индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики дрq = д(Yp, Yq) = 9p(Yq) = ер5р, ер = ±1, например,

9_р = е_р 9^Р.

(| ^гЭ/Эх^г,...,е ^гЭ/Эх^

Пусть (Yi,...,Yn) =

- косонормальный репер в области V С М,

U С V - коордипатиая окрестность. (Хг) = (д/дтг) - иатуральиый репер, дгj = д (Xi,Xj). В локальных координатах каноническая форма 9 = 9гЕг задается соотношением ( [9], с. 96)

У^г = ej6x^j

d$^k = e^k 9^г г

,

где (O j ) - обратная матршьа для ^£^к^^:

£^-^ = ^j. к

Набор линейно независимых форм 0^г образует в каждой точке р Е М корепер, дуальный к базису £ в T_pM.

Для 1-формы 9н- сопряженной векторному полто Yh относителыю д |у:

(Oh,Yp) — Oh (Yp ) = g (Yh,Yp)

(Z = 1,...,п), из (3),(4) имеем

Oh In = £-dY h

= eh O^h | , O^h = eh £ _г

1 u                h

(h = 1,... ,п). Разрешив уравнения g_-j £^- н

£ j относителыю g-j. получим h

п g-j = eh £ - £ j, h=1   h h

п

п

^gIU = E ^eh^Oh ® ^Oh ^— X ^eh⁰h⁶h.

h=1

h=1

Из этих соотношений следует формула перехода от косойормалыюго репера (Y₁,...,Y„) на U к координатному реперу (Х1, ..., Х_п) :

п

^Xj = ^E^e h ^£ j^Yh

h=1

h

(j = 1,... ,п) а также формула для компонент g^-

коитравариаитиого метрического тензора g_c:

п g-j = Е eh £- £ 3 , h=1   h h

или

п g=\u = EehYh ®Yh.

h=1

В силу (5) для билинейной формы h на

V имеем

п

h-j = h (X-,Xj )= У2 epeqh (Yp,Yq ) £ - £ j. p,q=1                ^{p -}

Аналогично

п

h^³ = E epeqh (Yp,Yq) £^- £ ^j. i? ^-

p, 9=1

Введя обозначения h_pq = h (Y_p,Y_q ), получим ( [9], c. 99)

п

п

^h        ' ^ep^e q^hpq^O p ® ⁰ q —     ' ^ep^eq^hpq^O p^O q.

p,q=1

p,q=1

2. Вычисление формы связности.

Определим коэффициенты вращения Риччи yp_pk = ^„_1к равенствами ( [8], § 30)

^v_k^Yi ^— E/^ep^ipk^Yp = ^pk^Yp,

где ^p_k = e_p^ipk - компоненты 1-с|)ормы связности ш®-

в косорепере (Yh):

Ш = Uji⁰ = ^ju⁰ = ^^eh^e-Y-ti

6h.

h=1

В косонормальном репере уравнение Эйзенхарта (2) после замены h = а + 2рд принимает вид

Хйрд + ^ ' ^eh^(ahq 7hp_r + a-ph^^q^) = g_qr^Yp^p + д_ргYq^p h=1

(p,q,r = 1,. .. , 5), что равносильно

n dapq + ^ ' eh(ahqШрН + dph^qh) = (Yqp)6p + (Ypp)6q ,                      (7)

h=1

где w_pq = -w_qp — 1-форма связности. К интегрированию этого уравнения и сводится наша задача. Пусть 6h - каноническая 1-форма, сопряженная с Yh, (Yh) - косонормальный репер в области

V С М , в котором билинейные формы д и h имеют канонический вид h|y = (А + 2р)д + ho = а + 2рд, 2p = 5А, где А - характеристическое число билинейной формы а = h — 2рд крап гости 5, д = е(6165 + 6264 + 6363 + 6462 + 6561), ho = ao = е(У1У4 + 6263 + 6362 + 04^1)(8)

~         ~         ~         ~~

(1 = 5,  2 = 4,  3 = 3, 4 = 2, 5=1, е = ±1).

Подставив в (7) вместо g_pq и a_pq соответствующие канонические значения для типа {5}, получим

Y1p = Y2p = Y3i = Y4p = 0, dA =|(Y5i)61,(9)

Ш32 = ^— 5^(Y5i⁾⁶1, ^41 = ^— 5^(Y5p⁾⁶1 , W51 = ^(Y5p⁾⁶2,

Ш52 = ^(Y5p)⁶3, Ш53 = ^(Y5p⁾⁶4, W54 = ^(Y5p)⁶5.

Используя формулу (6), найдем коэффициенты вращения Риччи

7145 = -7415 = — ³ eY5i, 7154 = —7514 = eY5i, 7235 = —7325 = —¹ eY5i,

7253 = —7523 = eY5i, 7352 = —7532 = eY5i, 7451 = —7541 = eY5p.

Остальные коэффициенты 7^^-^ равны нулю.

Из (9) следуют равенства.

Y.A = 2 5_l^Y5i.

Используя полученные соотношения и формулу

n

[Y_fc, Yh] = Vy_fc Yh — Vy_h Y_k = ^ e_t (7_lkh — 7ihk) Y_t,

1=1

составим всевозможные скобки Ли векторных полей Y1,...,Y5:

[Y1, Y2] = 0, [Y1, Y3] = 0, [Y1, Y4] = 0, [Y1, Y5] = — 2 (Y5i) Y2,

[Y2 ,Y3]=0, [Y2,Y4] = 0, [Y2,Y5] = — - (Y5i)Y3, [Y3,Y4] = 0,

[У$,У>] = - |(У5^)У4, [У4,У5] = - ^ДУи                    (П)

5                        5

Отсюда, видно, что каждая из указанных ниже четырех систем дифференциальных уравнений

У1 и = У2и = Узи = У4и = 0,

У1и = У2и = У3и = 0,

У1и = У2и = 0,

У1 и = 0

является вполне интегрируемой; обозначим решения первой системы и⁵, одно из двух независимых решений второй системы выберем равным и⁵, а второе обозначим и⁴, независимые решения третьей системы выберем в виде и³, и⁴, и⁵, а независимые решения последней системы - в виде и², и³, и⁴, и⁵ и обозначим и¹ какую-либо функцию, не зависящую от и², и³, и⁴ и и⁵. В новых координатах т^г = и^г, опустив штрихи, получим

€ ^г = Q(a)5(, € ³ = € ⁴ = € ⁵ = € ⁴ = € ⁵ = € ⁵ = 0. (12) 1 222334

С учетом этого из (9) и (10) следует, что А зависит только от а5: А = /(а5), при этом

^=2 /(а5).

3. Основные уравнения.

(г)

Заметив, что ыд (12) ввиду условия det

= 0 следует €г = 0 пр и г = 1,..., 5, приравняем г в каждой координатной окрестности U координаты векторных полей в правых и левых частях уравнений (11) и с помощью формулы

[Ук ,УиЬ = (€д£ —   \ W к h Ик получим следующую систему нелинейных уравнений в частных производных с неизвестными £4: г

1° € 1д1€1 - 119111 - j2d2e1 = 0,

2° ^W = ^W = ^W = 0,

12 1313

3° €1^1 - €191^1 - £^£1 - ^С = 0,

13 31 3131

4° €191^1 - €191^1 - еЧе1 - €3д3€1 - ^^ = 0,

14 41 41 4141

5° с^2 = €1 д1€3 = С^4 = 0,

|° J1^1 - l1^1 - £2д2£1 - €3д3€1 - €4д4€1 - €5д5€1 = -/W,

1    5     5    1     5    1     5    1     5    1     5    125

7° iW = -/‘|2|5,

|° €1д1€3 = €1д1€4 = €1д1€5 = 0,

15 1515

9° €1д1€1 + £^£1 - €1д1 €1 - €^1 - ^^ = 0,

23 23 32 3232

10° |1д1|2 + |2д2|2 - |1д1|2 - |2д2|2 - |3д3|2 = 0,

11° (4(3 + (2д2(3= 0,

12° (Че1 + (2д2(1 - (131(1 - (232(1 - (3дз(1 - (4д4(1 =0,

24 24 42 42 4242

13° (1д1(2 + (2д2(2 - (1д1(2 - (2д2(2 - (3дз(2 - (4д4(2 =0,

24 24 42 42 4242

14° (1д1(3 + (2д2(3= о,

15° (1д1(4 + (2д2(4 = о,

(1д1(1 + (2д2(1 - (1дд1 - (2д2(1 - (3дз(1 - (4д4(1-

∘2     5     2     5     5     2     5    2     5    2     52

(5^(1 = -2/‘(1 (5, 5   235

17° (1д1(2 + (2д2(2 - (1д1(2 - (2д2(2 - (3дз(2-

25 25 52 5252

(4д4(2 - (5д5(2 = -2/‘(2(5,

18° (1д1(3 + (2д2(3 = -2/‘(3(5, 2   5    2   535

19° (1д1(4 + (2д2(4 = о,

20° (1д1(5 + (2д2(5 = 0,

21° (1д1(1 + (2д2(1 + (3дз(1 - (1дд1 - (2д2(1 - (3дз(1 - (4д4(1 = 0,

34 34 34 43 43 4343

22° (1д1(2 + (2д2(2 + (3дз(2 - (1д1(2 - (2д2(2 - (3дз(2 - (4д4(2= 0,

34 34 34 43 43 4343

23° (1д1(3 + (2д2(3 + (3дз(3 - (1д1(3 - (2д2(3 - (3дз(3 - (4д4(3= 0,

34 34 34 43 43 4343

24° (1д1(4 + (2д2(4 + (3дз(4= 0,

3434 34

(1д1(1 + (2д2(1 + (3дз (1 - (1д1(1 - (2д2(1 - (3дз(1 -(^(1-

25°

26°

27°

28°

35 35 35 53 53 5353

(^(1 = -3/‘(1(5,

(1д1(2 + (2д2(2 + (3дз (2 - (1д1(2 - (2д2(2 - (3дз(2-

35 35 35 53 5353

(4д4(2 - (5д5(2 = -3(5 / ‘(2,

53 5354

(1д1(3 + (2д2(3 + (3дз (3 - (1д1(3 - (2д2(3 - (3дз(3 - (4д4(3-

35 35 35 53 53 5353

(5д5(3 = -3(5/‘(1,

(W + (2д2(4 + (3дз (4 = -3(5/‘(4,

35 35 3554

29° (1д1(5 + (2д2(5 + (3дз(5 = 0,

35 3535

(1д1(1 + (2д2(1 + (3дз (1 + (4д4(1 - (1д1(1 - (2д2(1 - (3дз(1-

30° 4    5     4    5     4    5     4    5     5    4     5    4     54

(^(1 - (5д5(1 = -4/‘(1(5,

5   4    5   455

(1д1(2 + (2д2(2 + (3дз (2 + (4д4(2 - (1д1(2 - (2д2(2 - (3дз(2-

31°

32°

45 45 45 45 54 5454

(4д4(2 - (5д5(2 = -4/‘(2(5,

(1д1(3 + (2д2(3 + (3дз (3 + (4д4(3 - (1д1(3 - (2д2(3 - (3дз(3-

45 45 45 45 54 5454

(4д4(3 - (5д5(3 = -4/‘(3(5,

5   4    5   455

(1д1(4 + (2д2(4 + (3д3 (4 + (4д4(4 - (1д1(4 - (2д2(4 - (3д3(4-

∘4    5     4    5     4    5     4    5     5    4     5    4     54

(4д4(4 - (5д5(4 = -4/‘(4(5,

5   4    5   455

34° Е1д1Е5 + Е2д2Е5 + Е3д3Е5 + Е4д4Е5 = —4/‘ ^Е5) 45 45 45 45    5

(/‘ = df/dx5).

Из уравнений 2°. 5°. 11°. 15° 11 24° спетемы (13) следуют jзавеиства д1Е2

д1Е4 = д2Е4 = д3Е4 = 0. С учетом этого имеем

д1Е3

= ^Е3

Е¹ = Ф1, Е2 = Ф2, Е3 = Ф3, Е4 = Ф4,

где Ф1 = Ф1(x1, x2, x3, x4, x5),  Ф2 = Ф2(x2, x3, x4, x5),  Ф3 = Ф3(x3,x4,x5) и Ф4

ненулевые функции указанных переменных. После преобразования координат

= Ф4(x4,x5) -

x1’

f dx¹     ₂‘ f dx²     ₃‘      f dx³     ₄‘      f dx⁴

= J ф, ’ ^x = J Ф^ , ^x = J Ф^ ’ ^x = J Ф;’

x5 = x5,

не меняющего полученных ранее результатов, опустив штрихи, получим

Е1 = Е2 = Е3 = Е4 = 1.

Из уравнений 8°. найдем

20° 11 29° еле,дует д1Е5 =

д2Е5 = дзЕ5 = 0; затем, интегрируя

уравнение 34°.

Е5

Возможны два случая: 1)/‘ = 0, 2)/‘ /(x⁵), x^k = x^k (к = 5) и положим T =

4(/‘x⁴ + т (x⁵))

= 0. В

(/‘)-1т

первом случае сделаем замену координат x5

тогда.

Е5 =

4(x4 + т)’

Ё? = Е^к  (к = 5);

во втором случае сделаем замену переменной x5 формулами

= 4 J Tdx⁵. Опустив черту, объединим оба случая

/ = ex5 + (1 — е)с (с = const),

Е5

А

(А = 4е (x4 + т(x5)) + 1 — е),

где е равно 0 или 1.

Из уравнения 1° еле,.дует д1Е1

0, вследствие этого получаем

Е1 = x(x², x³, x⁴, x⁵).

Выполнив замену координат

x1 = x1

j x^dx2,

xp = xp  (р = 1)

и опустив штрихи, имеем

Е1

Из уравнений 2°. 3°. 9° ii 10° еле,.дует д1Е1

д2Е1 = д1Е2 = д2Е2 = 0. вследствие этого

Е2 = N (x³, x⁴, x⁵).

После преобразования координат xp = xp  (р = 1), ж2 = ж2 — j Ndж3,

ж¹³' = ж³

(р = 2),

опустив штрихи, получим

С1 = С2 = 0.

Из уравнений 4°. 5°. 12°. 13°. 14°. 21°. 22° i1 23° ело,дует Э1С1 = Э2С1 = Э3С1 = Э1С2 = Э2С2 =

Э3С2 = Э1С3 = Э2С3 = Э3С3 = 0, вследствие этого имеем 4444

С1 = D(ж4,ж5), С2 = Д(ж4,ж5), С

= Z (ж⁴, ж⁵).

Произведя замену переменных ж1'

= ж1

j Ddж⁴,

ж3

= ж3

( р =1),

2′ ж

= ж2

ж3' = ж3

j Rdж⁴, j Zdж⁴,

жз'

жз'

= ж3

= ж3

( р = 2),

(Р = 3)

и опустив штрихи, получим

Учитывая равенства ЭД¹ = Э2С1

грируем уравнение 30°:

С1 = С2

= Э3С1

С3 = 0.

0, следующие Iгз уравнений 6°. 16° ii 25°.

проипте-

С1 5

4W (ж⁵) А

.

Выполнив замену координат ж1 = ж1

4 / Wfa»   3 = 3  (Р .

опустив штрихи, получим

• С¹ = 0.

Интегрируя уравнения 7°, 17°, 26° и 31°, найдем

С2 = 4(4О(ж5) — еж1). 5 А

После преобразования координат

• ^ж2'= ^ж2 ^{— 4} У^ ^ж3' = ^{3  (Р} .

опустив штрихи, получим

• С2 = —еж¹ А^-1.

С учетом равенств Э1£3 = Э3С3 = 0, вытекающих из уравнений 8° и 27°, интеграция уравнений 18°. 32° лает               5       5

С3 = ^(4М (ж5) — 2еж2). 5 А

Выполнив замену координат

• ^ж3' = ^ж3 - ⁴ у Л_f^dж5, ^ж3' = ^{ж3 (Р} = ⁵⁾,

  опустив штрихи, имеем

  
  

  €3 = —2ет2 А^-1.

  
  

  Из уравнений 8° ii 19° 33° приводит к равенству

  
  

  следует д1€4 = д2€4 = 0- После этого интегрирование уравнения 28°.

  
  
  
  
  
  

  В новых координатах

  
  

  4^′ т

  
  

  опустив штрихи, имеем

  
  

  €4

  
  

  = т⁴ —

  
  

  = — (4K (т⁵) — Зет³).

  
  

  ⁴ / ^{K 1У}=^т”    =

  
  

  €4 = —Зет³ А 1.

  
  

• 4.    h-простраиства типа {5}.

Используя найденные значения ненулевых компонент векторов косопормалыюго репера.

€1 = €2 = €3 = €4 = 1, €2 = —ет1 А-1, 1234  5

€3 = —2ет2А^-1, €4 = —Зет³А^-1, €5 = А^-1

по формулам (3), (4) вычислим компоненты канонических 1-форм в натуральном репере

91 = Аdт⁵, 92 = dт⁴ + Зет³ dт⁵,

93 = dт³ + 2ет²dт⁵, 94 = dт² + ет¹dт⁵, 95 = dт¹

и затем по формулам (8) - компоненты метрики g и билинейной формы h в натуральном репере (ХД Подсчитав символы Кристоффеля найденной метрики g, непосредственной проверкой убедимся в том, что тензорные поля g, h и ^ удовлетворяют уравнению Эйзенхарта. В итоге получим следующие результаты.

Теорема 3 Пусть М ес ть 5-мерное многообразие с метрикой g и связностью Леви-Чивита V. Пусть 0-формо, у и симметричная билинейная форма, h характеристики % = {5} определены в М или в некоторой области V С М и пусть / - характеристический корень билинейной формы, h — 2pg кратности 5. Для того чтобы h, g и у удовлетворяли ура<тенило Эйзенхарта, (2). т. е. для того чтобы М было h-пространством типа % = {5}, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

• h = 6/g + ho,

  
  
  
  

У = |/ и вокруг каснсдой точки р eV СМ существовала каионическая карта (т, U), в которой eg|y = 2Аdт1dт5 + 2dт2 dт4 + 6ет3dт2dт5 + dтз2+

4ет2dт3dт5 + 2ет1dт4dт5 + 2е (Зт1т3 + 2т22) dт52, eh0|y = 2Аdт2dт5 + 2dт3dт4 + 6ет3dт3dт5 + 4ет2 dт4dт5+

2е (Ат1 + 6т2т3) dт52, где / = ет5 + (1 — е)с, с — const, А = 4е (т4 + т(т5)) + 1 — е, е принимает независимо значения 9 или 1. е = ±1. т - функция т5.

Из теоремы 3 вытекает

Теорема 4 Векторное поле X Е ТМ тогда и только тогда является (локальным) проективным движением типа {5} на 5-мерном псевдоримановом многообразии (М,д), когда выполняется равенство Lxд = h (1), где метрика д и билинейная форма h определены формулами (14)-(15) (теорема 3).

Запишем уравнение Эйзенхарта (2) в координатном репере в виде

• hijk = 2g_tj^,_k + дгкфр + gjk^,i

и симметрируем его по всем трем индексам, в итоге получим

q(ij,k) = О, где введено обозначение q^ = 4^gij - hij.

Если у — геодезическая в М^п, то поле ее касательных векторов у параллельно вдоль у [8]. В соответствии с этим величина q(y, у) остается постоянной вдоль каждой геодезической у в М^п, т. е. является первым интегралом уравнений геодезических. Отсюда, следует

Теорема 5 Геодезические линии в 5-мерном псевдоримановом h-пространстве типа {5} допускают квадратичный первый интеграл уравнений геодезических

(Ng - h)(y, у) = const,                                ДО где д и h определены формулалт (14)-(15) (теорема 3).

Заметим, что квадратичный первый интеграл (16) определяет механический закон сохранения в 5-мерной теории гравитации.