О проективных плоскостях над слабо-дистрибутивными телами и IP_{0}VW-системами

В работе представлен обзор результатов полученных автором в [3-7] о существовании слабо-дистрибутивных алгебр, почти-алгебр, тел, // + 'Ж       и их некоторых обоб щений. Полученные результаты указывают на. существование новой области исследований в теории алгебраических систем.

Сначала приведем формулировки теорем Холла и Холла — Цассенхауза.

• А.    Теорема Холла [1]. Пусть F — поле действительных чисел, Дг) = z² Orz Os — многочлен, неприводимый над F. Тогда множество В = {а + bu аД G F, u ^ F} составляет VW-систему относительно следующих операций:

• (1)    Z ф W = Z + W, Z = Z\ + Z^U, W = ИЦ + W2U (Zi, Z2, W1, W2 E F, u ^ F), (2) (a + bz)q = q(a + bz) = qa + qbz (q, a,b E F, z ^ F),

• (3)    (c + dz) о z = ds + z(c + dr) (c, d, r, s E F, z ^ F).

• В.    Теорема Холла — Цассенхауза [1, 2]. Пусть F — поле, отличное от поля GF(2^k), и f(z) = z² Orz Os — неприводим над F. Тогда множество М = {Aa + b \ a, b Е F, А ^ F} представляет специальную правую VW-систему относительно следующих операций:

• (1)    (Aai + 6Д + (Аа2 + 62) = A(ai + 02) + (61 + 62) Д1, b^ Е F),

• (2)    q(z + w) = qz + qw = (z + w)q, q E F (zw ^ F),

• (3)    (Aa + 6)(Ac + d) = A(ad obc + rc) + bd Oa^-1c(b² obr Os).

Перейдем теперь к раскрытию темы.

• 1.    О некоторых слабо-дистрибутивных алгебрах и почти-алгебрах

• 1.    Определение [3]. Алгебраическую систему ВД,-), операции которой удовлетворяют условиям

• (1)    В( + ) — абелева группа,

  © 2000 Хубежты И. А.

• (2)    В(-) — группоид с единицей е,

• (3)    а(е + 6) = a + ab (Va, 6),

• (4)    (a + e)b = ab + b (\/a,b), назовем слабо-дистрибутивным кольцом (a если выполнение только одно из условий (3) или (4), то слабо-дистрибутивным почти-колъцом).

• 2.    Определение. Линейное пространство, оснащенное структурой слабодистрибутивного кольца, назовем слабо-дистрибутивной алгеброй. Слабодистрибутивную алгебру с обратимым умножением, в которой уравнения ах = Ь, ус = a, az = bz + с и ta = tb + с, а ^ Ь, однозначно разрешимы относительно х, у, z и t, назовем слабо-дистрибутивным телом.

• 3.    Теорема [3]. Пусть в условиях теоремы Холла F = GF(2^2fc+1) и f(z) = z² + z + 1. Тогда. система Bi = {a + bu\ a,b Е F, u ^ F} со следующими операциями сложения и умножения:

• (1)    (щ + a₂u) + (61 + 6₂м) = («1 + 61) + («2 + 6₂),

• (2)    (z + w)q = zq + wq = g(z + w) (q E F),

• (3)    (c + dz) о z = 1 + z(c + d) (c, d E F) будет слабо-дистрибутивной алгеброй.

• 4.    Примечание. Простейшим примером слабо-дистрибутивного кольца служит кольцо целых чисел.

• 5.    Определение [4]. Линейное пространство, оснащенное структурой левого (правого) слабо-дистрибутивного почти-кольца, назовем левой (правой) слабо-дистрибутивной почти-алгеброй. Слабо-дистрибутивную почти-алгебру с единицей, в которой уравнения ах = 6, ya = с, az = bz + с, ta = tb + с, а ф Ь, однозначно разрешимы относительно ж, у, z, 6, назовем слабодистрибутивным левым (правым) телом или слабо-дистрибутивной левой (правой) I PqVW -системой.

Построим примеры слабо-дистрибутивной левой почти-алгебры (теорема

• 6) и слабо-дистрибутивной алгебры (теорема 7).

• 6.    Теорема [1, 4]. Пусть в теореме Холла f(z) = z² УУтг УУз неприводим над полем F ф GF(2^k) и во множестве Вэ = {a + bu\a,b Е F, и ^ F} умножение элементов определено следующим образом: ш о z = (с + dz) о z = s + z(c + dr), тогда B₂(+, о) будет слабо-дистрибутивной левой почти-алгеброй.

• 7.    Теорема [4]. Если в коммутативной неальтернативной эластичной алгебре над полем F = GF(2^k) определить новое умножение по правилу: х о у = уфхууфф то она будет представлять некоммутативную и неэластичную правую почти-алгебру В₃(+, о) в которой (у + 1) о х = у о х + х.

• 2.    О некоторых слабо-дистрибутивных телах и /РоУТУ-системах

• 8.    Теорема [4]. Для F = СРД^2к+1) и трехчлена Дг) = z² + z + 1, неприводимого над F, множество М = {а + bu\a, 6 G F, u ^ F} относительно операций (+) и (о), определенных в формулировке теоремы Холла, составляет УТУ-систему, в которой имеют место условия:

Докажем существование IP-справа левой 1Р₀ У ГУ-системы В₅(+, •), в которой аД + 1) = ab + а и ab • b = а • bb.

• (0)    z о (1 + 6) = z + z о t;

Д zo z~^r = Д о z = 1, z ^ 0;

• (2)    (ш о z) о z = шо(^ ° z) (Vw, z);

• (3)    (шог) о z^-x = w, z ^ 0;

• (4)    z^-x о Ц о z) = z Дz ^ 0).

• 9.    Для построения примера JP-слева правой I Pq У ГУ-системы В^, в которой (а + 1)6 = ab + b для любых a, b и а • ab = аа • Ъ, мы воспользуемся теоремой Холла — Цассенхауза.

• 10.    Теорема [5]. Пусть в условиях теоремы Холла — Цассенхауза F = GF(2^2k+1), Дх) = ж²+ж+1. Тогда В Д, о) будет представлять IP-слева правую IPqVW -систему, в которой (1 + 6)ос = с + 6осиао(ао6) = (а о а) о Ь, т. е. систему В₆(+, о).

• 11.    Теорема [5]. Не во всякой левой (правой) IРоУГУ-системе В^Д, •) из тождества а(6 + 1) = abFa следует тождество a(bpc) = abpac (соответственно из (1 + аф = b + ab следует (а + Ь)с = ас + Ьс).

• <1 Доказательство теоремы 11 следует из существования тел В^Д, •) и В₆Д, •), см. 8 и 10. >

• 12.    Теорема [4]. (1) Система В₅ ® В₆ = {(xi,yi),Xi G В^щ G Вб} представляет слабо-дистрибутивную алгебру В7, в которой имеют место равенства

Из 8, 10 и 11 следует, что существуют право-альтернативные слабодистрибутивные тела, не являющиеся лево-альтернативными слабо-дистрибутивными телами.

О существовании слабо-дистрибутивных алгебр и почти-алгебр, в которых выполняются условия а а = аа = 1, а • аа = аа • а, а = а ■ аа = аа ■ а Да ф 0), гласит следующая

(а + 1)6 = ab + b и а(6 + 1) = аб + а Да, Ь).

• (2 ) Система В5 ф А^, где А^ — тело Клейнермана, представляет левую I PqVW -систему В%, в которой а(6 + 1) = ab + a.

• 13.    Теорема. Всякое левое (правое) слабо-дистрибутивное почти-тело есть левое (правое) почти-тело. Всякое слабо-дистрибутивное ассоциативное тело есть ассоциативное тело.

• 14.    Теорема [3]. Слабо-дистрибутивное тело В( + ,-), в котором выполняются условия aa = 1, (у • zy)x = (yz • у)х = y(z ■ ух) (Vx,y,z) и а^-1 • ab = b = Ьа • а^-1, есть поле.

Очевидна следующая

• <1 В силу (а + 1)с = ас + с, a(b + 1) = ab + a, справедливых в В(+, •), имеем:

• 15.    Теорема [4]. Слабо-дистрибутивная левая IPVW-система, в которой выполняется aa = 1 для всех а, есть неассоциативное и коммутативное слабодистрибутивное тело.

• 16.    Теорема. Слабо-дистрибутивная левая IP₀VW-система В( + ,-) характеристики р ф 2, в которой имеют место условия

с(х + у) = с((ху^-1 + 1Д) = с^ху^-1 + 1) • ct) = (с(ху^-1 + 1) • c)t

= ((с • ху^-1 + c)c)t = (((с • ху^-1)с + 1) • c)t = ((с • ху^-1)с + l)t = ((с • xy^-1)c)t + с"¹ • ct = с(ху^-1 • ct) + t = с(ху^-1 • у) + с • ct

= ex + су.

В силу ba = d ==> а = bd, da^-1 = b = da ==> a = db ==> db = bd (Va, b, d) в B(+, •) выполняется равенство (a + 6)c = ac + bc и поэтому она, в силу теоремы Жевлакова [8], является полем. >

В следующей теореме устанавливаются некоторые достаточные условия, при которых левая слабо-дистрибутивная ZPq УЖ-система является слабодистрибутивным телом.

а-1 ■ ab = Ь, <4 £ С(В0) П К(В0), a-1(ab УУа + 1) = b 4>1 + a-1 (Va Д 0), есть слабо-дистрибутивное тело.

Доказательство опирается на теоремы (С) и (В). Приведем формулировки этих теорем.

• С.    Теорема [5]. Левая IPq VW-система, в которой выполняются условия (0)1 + 1 ДО,

• (1)    а^-1 • ab = b (Va Д ОД),

• (2)    а(1 + b) = a + ab (Va, b), является альтернативным телом.

• D.    Теорема [5]. В левой I P^VW-системе Ху, в которой выполняются условия

(0) 1 + 1 = 0,

• (1)    а^-1 • ab = b (Va Д ОД),

• (2)    a(b + 1) = ab + a (Va, 6), выполняется также а(Ь + с) = ab + ас Д/а, Ь, с).

Примерами других слабо-дистрибутивных I PqVW -систем являются:

• 1)    В₅ ф Х₇ = Вю, где Х₇ — правая I PoVW-система;

2)B6®Ak = By

• 3)    В₅ ф А_к = В_& и т. д.

• 3.    Коллинеации в плоскостях над некоторыми слабо-дистрибутивными телами и /РоУТУ-системами

Легко показать, что в инцидентностной структуре над слабо-дистрибутивной алгеброй В, существуют:

• (1)    четыре точки общего положения;

• (2)    не соединяемые точки ([(ai,6i) («2,62)] = [у = жт + £] ^=> bi Дру = аутУУаут не всегда разрешимо относительно т);

• (3)    пара непересекающихся прямых (точка [у = 6] П [у = жт] может не существовать, ибо xm = b может не иметь решения);

• (4)    3-ткань прямых {[т/ = ЬДД {[ж = aj]}, {[?/ = ж + bj Oaj]} пучков с центрами (0), (оо) и (1) соответственно.

• 17.    Теорема [6]. В инцидентностной структуре над Ву (см. теорему 3) без делителей нуля преобразования (при a • m о t = am + t):

• (1)    (a, c) ^ (a + 1, c), (m) -Д (m),

• (2)    (a, c) —> (a, c + a); (m) —> (m + 1),

• (3)    (ж, у) —> (ж + 1, yb + d), (m) -д (mb), где b E K(Bi)

• 18.    Теорема [7]. В плоскости В* над правой I PqVW -системой В(+, •), в которой (1 + a)b = b + ab, преобразование (ж, у) —> (sxa + с, syb + d+ (sxa + c)d), (m) —> (a^-1 • mb + cl) является коллинеацией при s E К (В), a E N(B), c = 1 + • • • + 1, b E K(b) и любом cl.

• 19.    Теорема. В плоскости В* над слабо-дистрибутивной левой IPqVW- системой В (+, •) преобразования

являются соответственно ((0),1оо)-элацией, ((оо), [ж = 0])-элацпей, и нецентральной коллинеацией.

О коллинеациях в проективных плоскостях над слабо-дистрибутивными телами и 1Ро У VT-системами, гласят теоремы 18-26.

(0) (ж,у) -> (х + 1,у + Ь);

• (1 ) (ж, у) -д (уу$,ууу), (т) -д (т);

• (2 ) (ж, у) -д (xa, yb), (т) —> (а^-1 • mb); а Е N(B), b Е К(В) являются коллинеациями.

• 20.    Теорема [7]. Преобразование (х,у) —> (ж, хк + у УУук), (т) -д (т + к УУтк) в плоскости над правой слабо-дистрибутивной I PqVW -системой В является коллинеацией при к = 1 + • • • + 1 G К (В) П С (В).

• 21.    Теорема. В плоскости Bi преобразования:

• (1)    (а, с) —> (а + к, с + d), (m) —> (т),

• (2)    (а, с) —> (а, с + а), (m) —> (m + 1),

• (3)    (а, с) о (с, а), (т) о (т^-1), (оо) о (0),

• (4)    (ж, т/) —> (syb + d, sxa + syb + d), (m) —> (6^-1 • m^-1a + 1), a, b G N(B), s G K(B\ Vd,

• (5)    (a, c) —> (ya^-1, xa), (m) —> (am^-1 • a), a G N(B^ являются коллинеациями.

• 22.    Теорема. Проективная плоскость В* над тернарным кольцом с условиями: 1 + 1 = 0 и aa^-1 = a^-1 a = 1, в которой существуют коллинеации:

Справедлива и следующая классификационная

• (1)    (ж, у) -д (х + а, у + bY (m) -д (m),

• (2)    (ж, т/) -д (х, у + ж), (т) -д (m + 1),

• (3)    (ж,т/) о (ж, у^ (т) о (т"¹), (оо) о (0),

• (4)    (ж, т/) -G (ж, т/6), (т) -G (mb), V6, представляет плоскость В^.

• <1 Поскольку из существования (1) в В* следует выполнение всех аксиом левой /РоУТП-системы, а из существования (2), (3) и (4) соответственно следуют тождества a(b + 1) = ab + a, \/a,b; ba • a^-1 = b, Ma ^ 0,b и ca • b = c • ab => cb • b = c • bb, то теорема доказана. >

• 23.    Теорема. В плоскости В^ следующие преобразования являются коллинеациями:

• 24.    Примечание. Плоскость В^ характеристики 2 дезаргова, если в ней существует коллинеация (3) в теореме 22, ибо (3) УД ^ba • a^-1 = b, (а + b)c = ac-\-bcy а система. B^ с ba-a^-1 = b, есть альтернативное тело в силу следующей теоремы Мальцева:

Ti : (ж, т/) —> (аж, a-1y), (т) —> (а-1 • a-1m), a G N(B^ П С(Вб), т2 : (ж, т/) -> (ж, т/ + хк^, (т) -Д (т + к), Мк, т3 : (ж, т/) -Д (ж, хк + т/ Оук^,к G NT П К(В6),

• Е.    Теорема [10]. Кольцо с единицей, в котором a ¹ • ab = b = ba • a ¹, есть альтернативное тело.

Следовательно, оно будет ассоциативным телом характеристики 2, в силу теоремы Линника:

• F.    Теорема [9]. Альтернативное тело характеристики 2 ассоциативно.

• 25.    Теорема. В проективной плоскости В^ преобразование (*) : (ж,т/) -Д (ж + р,р^-1(у + 1)), р G C(Bg) П К(В%\ является нецентральной коллинеацией.

4. О конфигурационных свойствах плоскостей над некоторыми слабо-дистрибутивными телами

• 26.    Теорема. Если в плоскости В^ имеет место локальное выполнение теоремы Пю [11], соответствующее квазитождеству а^-1 • ab = b, то она муфан-гова.

Здесь установлены некоторые достаточные условия муфанговости или де-зарговости или же папповости некоторых слабо-дистрибутивных плоскостей.

• <1 Доказательство соотношения Рю О a^-1-ab = b приводится в [1]. Тернар же Bg с a~^rab = b, в силу (С) есть альтернативное тело. >

• 27.    Теорема. Если в плоскости В* над левой I PqVW -системой В(+, •) характеристики 2, в которой аф + 1) = ab + а, Ча, Ь, имеют место:

• (1)    локальное выполнение Рю, соответствующее соотношению а^-1 • ab = Ь;

• (2)    локальное выполнение теоремы Паппа П [11], соответствующее системе образующих точек 1 = (оо), 2 = (а, а), 3 = (1, а), 4 = (0, 0), 5 = (1,6), 6 = ф, Ь), то плоскость В* будет папповой. Если же в ней имеют место: (1) и

• (3)    локальное выполнение Рю, соответствующее квазитождеству ba • а^-1 = Ь, Ча ^ 0, Ь, то плоскость В* будет дезарговой.

• <1 I. Из Рю следует а^-1 • ab = b (см. [1]) в тернарном кольце.

При указанной системе образующих точек П (см. [11]) справедливо «П => ab = Ъа».

В силу теоремы Жевлакова [8], в условиях теоремы тернарное кольцо плоскости В* является полем. Первая часть теоремы доказана.

• II.    В условиях теоремы, из локальных выполнений Рю следует а^-1 • ab = b и Ьа • а^-1 = b в тернарном кольце.

• 28.    Теорема. Если в проективной плоскости над слабо-дистрибутивным телом В характеристики 2 имеют место локальные выполнения условий (3) и (4) из теоремы 27, то плоскость В* дезаргова.

• 29.    Теорема [4, 5]. В плоскости М* над слабо-дистрибутивным телом имеют место локальные выполнения теоремы Вю и Бола В [12], соответствующие следующим системам их образующих точек: {4 = (0), 2' = (1, т), 7 = (оо), 3 = (1 + b, 1), 1 = (0, 0)} и [Е^ = (0, ас), Q₂ = Ф, be), A = (1), Р₂ = (а, ac), Q_x = (0, 6с), В = (0, 0), С = (0)}.

• 30.    Теорема [4, 5]. В плоскости В^ имеют место:

В силу теоремы D в тернаре будет выполняться аф + с) = ab + ас и поэтому он будет представлять кольцо с вполне обратимыми элементами. В силу теорем Мальцева Е и Линника F, такой тернар будет ассоциативным телом характеристики 2. Плоскость же над этим тернаром дезаргова. Вторая часть теоремы 27 доказана. >

Очевидна и следующая

Справедлива следующая

<1 Доказательство следует из соотношений: «Аю => (1 + b)m = m + bm» [4] и «В => 6(1 уус) = b ууЬс» [31]. >

В силу работ Аргунова [11] и Скорнякова [12] легко доказывается

• (1)    локальное выполнение теоремы Бола, соответствующее системе образующих точек, указанных в теореме 29;

• (2)    локальное выполнение Аю, соответствующее системе образующих точек, указанных в теореме 29;

• (3)    локальные выполнения второй малой теоремы Паппа (Щ) соответствующие следующим наборам ее образующих точек:

• а)    1 = (а,а),2= (0,0),3 = (1,1),4= (0),5 = (оо),

• Ь)    6= (0,0), 5 = (1, а), 7 = (а, а), 8 = (0), 0 = (оо),

• с)    5 = (а, аа), 6 = (оо), 7 = (1, аа), 8 = (0), 0 = (0, 0),

• d)    5 = (а, а), 6 = (0), 7 = (1,1), 8 = (0, 0), 0 = (оо), _

• 31.    Примечание. Было бы интересным изучение слабо-дистрибутивных алгебр, почти-алгебр, тел, I PoVW-систем и их обобщений и применение их к дальнейшему описанию инцидентностных структур В*.

влекущим за собою, соответственно, квазитождества a^-ia = 1; a • aa = aa • a; aa ■ a = a = a • aa.

Очевидно, что в плоскости Bi теорема Аю выполняется аффинно на прямой Zqq ^и имеет локальные выполнения на прямой [ж = 0], ибо В^ есть левая УТТ-система, в которой aa^-1 = 1 = a^-1a, ba • a^-1 = b и a^b + 1) = ab + a, что в Bq теорема 7з имеет локальное выполнение с квазитождеством 1 + 1 = 0 и, что плоскость В^ представляет некоторое обобщение муфанговой плоскости.

Что же касается плоскости В^, то она представляет правую VW-плоскость, в тернарном кольце, в которой: aa^-1 = 1 = a^-1a, a^-1 • ab = b, (1 + a)b = b + ab и 1 + 1 = 0, т. e. она двойственна плоскости B^. В ней Аю имеет локальные выполнения на Loo, [ж = 0] и [т/ = 0].

Аналогичным образом изучаются конфигурационные свойства плоскостей над другими слабо-дистрибутивными телами и I Bq У ГУ-системами.