О проективных плоскостях над слабо-дистрибутивными телами и IP_{0}VW-системами
Автор: Хубежты И.А.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.2, 2000 года.
Бесплатный доступ
В работе представлен обзор результатов полученных автором в [3--7] о существовании слабо-дистрибутивных алгебр, почти-алгебр, тел, {\eightpoint$IP_0VW$}-систем и их некоторых обобщений. Полученные результаты указывают на существование новой области исследований в теории алгебраических систем.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318006
IDR: 14318006
Текст научной статьи О проективных плоскостях над слабо-дистрибутивными телами и IP_{0}VW-системами
В работе представлен обзор результатов полученных автором в [3-7] о существовании слабо-дистрибутивных алгебр, почти-алгебр, тел, // + 'Ж и их некоторых обоб щений. Полученные результаты указывают на. существование новой области исследований в теории алгебраических систем.
Сначала приведем формулировки теорем Холла и Холла — Цассенхауза.
-
А. Теорема Холла [1]. Пусть F — поле действительных чисел, Дг) = z2 Orz Os — многочлен, неприводимый над F. Тогда множество В = {а + bu аД G F, u ^ F} составляет VW-систему относительно следующих операций:
-
(1) Z ф W = Z + W, Z = Z\ + Z^U, W = ИЦ + W2U (Zi, Z2, W1, W2 E F, u ^ F), (2) (a + bz)q = q(a + bz) = qa + qbz (q, a,b E F, z ^ F),
-
(3) (c + dz) о z = ds + z(c + dr) (c, d, r, s E F, z ^ F).
-
В. Теорема Холла — Цассенхауза [1, 2]. Пусть F — поле, отличное от поля GF(2k), и f(z) = z2 Orz Os — неприводим над F. Тогда множество М = {Aa + b \ a, b Е F, А ^ F} представляет специальную правую VW-систему относительно следующих операций:
-
(1) (Aai + 6Д + (Аа2 + 62) = A(ai + 02) + (61 + 62) Д1, b^ Е F),
-
(2) q(z + w) = qz + qw = (z + w)q, q E F (zw ^ F),
-
(3) (Aa + 6)(Ac + d) = A(ad obc + rc) + bd Oa-1c(b2 obr Os).
Перейдем теперь к раскрытию темы.
-
1. О некоторых слабо-дистрибутивных алгебрах и почти-алгебрах
-
1. Определение [3]. Алгебраическую систему ВД,-), операции которой удовлетворяют условиям
-
(1) В( + ) — абелева группа,
© 2000 Хубежты И. А.
-
(2) В(-) — группоид с единицей е,
-
(3) а(е + 6) = a + ab (Va, 6),
-
(4) (a + e)b = ab + b (\/a,b), назовем слабо-дистрибутивным кольцом (a если выполнение только одно из условий (3) или (4), то слабо-дистрибутивным почти-колъцом).
-
2. Определение. Линейное пространство, оснащенное структурой слабодистрибутивного кольца, назовем слабо-дистрибутивной алгеброй. Слабодистрибутивную алгебру с обратимым умножением, в которой уравнения ах = Ь, ус = a, az = bz + с и ta = tb + с, а ^ Ь, однозначно разрешимы относительно х, у, z и t, назовем слабо-дистрибутивным телом.
-
3. Теорема [3]. Пусть в условиях теоремы Холла F = GF(22fc+1) и f(z) = z2 + z + 1. Тогда. система Bi = {a + bu\ a,b Е F, u ^ F} со следующими операциями сложения и умножения:
-
(1) (щ + a2u) + (61 + 62м) = («1 + 61) + («2 + 62),
-
(2) (z + w)q = zq + wq = g(z + w) (q E F),
-
(3) (c + dz) о z = 1 + z(c + d) (c, d E F) будет слабо-дистрибутивной алгеброй.
-
4. Примечание. Простейшим примером слабо-дистрибутивного кольца служит кольцо целых чисел.
-
5. Определение [4]. Линейное пространство, оснащенное структурой левого (правого) слабо-дистрибутивного почти-кольца, назовем левой (правой) слабо-дистрибутивной почти-алгеброй. Слабо-дистрибутивную почти-алгебру с единицей, в которой уравнения ах = 6, ya = с, az = bz + с, ta = tb + с, а ф Ь, однозначно разрешимы относительно ж, у, z, 6, назовем слабодистрибутивным левым (правым) телом или слабо-дистрибутивной левой (правой) I PqVW -системой.
Построим примеры слабо-дистрибутивной левой почти-алгебры (теорема
-
6) и слабо-дистрибутивной алгебры (теорема 7).
-
6. Теорема [1, 4]. Пусть в теореме Холла f(z) = z2 УУтг УУз неприводим над полем F ф GF(2k) и во множестве Вэ = {a + bu\a,b Е F, и ^ F} умножение элементов определено следующим образом: ш о z = (с + dz) о z = s + z(c + dr), тогда B2(+, о) будет слабо-дистрибутивной левой почти-алгеброй.
-
7. Теорема [4]. Если в коммутативной неальтернативной эластичной алгебре над полем F = GF(2k) определить новое умножение по правилу: х о у = уфхууфф то она будет представлять некоммутативную и неэластичную правую почти-алгебру В3(+, о) в которой (у + 1) о х = у о х + х.
-
2. О некоторых слабо-дистрибутивных телах и /РоУТУ-системах
-
8. Теорема [4]. Для F = СРД2к+1) и трехчлена Дг) = z2 + z + 1, неприводимого над F, множество М = {а + bu\a, 6 G F, u ^ F} относительно операций (+) и (о), определенных в формулировке теоремы Холла, составляет УТУ-систему, в которой имеют место условия:
Докажем существование IP-справа левой 1Р0 У ГУ-системы В5(+, •), в которой аД + 1) = ab + а и ab • b = а • bb.
-
(0) z о (1 + 6) = z + z о t;
Д zo z~r = Д о z = 1, z ^ 0;
-
(2) (ш о z) о z = шо(^ ° z) (Vw, z);
-
(3) (шог) о z-x = w, z ^ 0;
-
(4) z-x о Ц о z) = z Дz ^ 0).
-
9. Для построения примера JP-слева правой I Pq У ГУ-системы В^, в которой (а + 1)6 = ab + b для любых a, b и а • ab = аа • Ъ, мы воспользуемся теоремой Холла — Цассенхауза.
-
10. Теорема [5]. Пусть в условиях теоремы Холла — Цассенхауза F = GF(22k+1), Дх) = ж2+ж+1. Тогда В Д, о) будет представлять IP-слева правую IPqVW -систему, в которой (1 + 6)ос = с + 6осиао(ао6) = (а о а) о Ь, т. е. систему В6(+, о).
-
11. Теорема [5]. Не во всякой левой (правой) IРоУГУ-системе В^Д, •) из тождества а(6 + 1) = abFa следует тождество a(bpc) = abpac (соответственно из (1 + аф = b + ab следует (а + Ь)с = ас + Ьс).
-
<1 Доказательство теоремы 11 следует из существования тел В^Д, •) и В6Д, •), см. 8 и 10. >
-
12. Теорема [4]. (1) Система В5 ® В6 = {(xi,yi),Xi G В^щ G Вб} представляет слабо-дистрибутивную алгебру В7, в которой имеют место равенства
Из 8, 10 и 11 следует, что существуют право-альтернативные слабодистрибутивные тела, не являющиеся лево-альтернативными слабо-дистрибутивными телами.
О существовании слабо-дистрибутивных алгебр и почти-алгебр, в которых выполняются условия а а = аа = 1, а • аа = аа • а, а = а ■ аа = аа ■ а Да ф 0), гласит следующая
(а + 1)6 = ab + b и а(6 + 1) = аб + а Да, Ь).
-
(2 ) Система В5 ф А^, где А^ — тело Клейнермана, представляет левую I PqVW -систему В%, в которой а(6 + 1) = ab + a.
-
13. Теорема. Всякое левое (правое) слабо-дистрибутивное почти-тело есть левое (правое) почти-тело. Всякое слабо-дистрибутивное ассоциативное тело есть ассоциативное тело.
-
14. Теорема [3]. Слабо-дистрибутивное тело В( + ,-), в котором выполняются условия aa = 1, (у • zy)x = (yz • у)х = y(z ■ ух) (Vx,y,z) и а-1 • ab = b = Ьа • а-1, есть поле.
Очевидна следующая
-
<1 В силу (а + 1)с = ас + с, a(b + 1) = ab + a, справедливых в В(+, •), имеем:
-
15. Теорема [4]. Слабо-дистрибутивная левая IPVW-система, в которой выполняется aa = 1 для всех а, есть неассоциативное и коммутативное слабодистрибутивное тело.
-
16. Теорема. Слабо-дистрибутивная левая IP0VW-система В( + ,-) характеристики р ф 2, в которой имеют место условия
с(х + у) = с((ху-1 + 1Д) = с^ху-1 + 1) • ct) = (с(ху-1 + 1) • c)t
= ((с • ху-1 + c)c)t = (((с • ху-1)с + 1) • c)t = ((с • ху-1)с + l)t = ((с • xy-1)c)t + с"1 • ct = с(ху-1 • ct) + t = с(ху-1 • у) + с • ct
= ex + су.
В силу ba = d ==> а = bd, da-1 = b = da ==> a = db ==> db = bd (Va, b, d) в B(+, •) выполняется равенство (a + 6)c = ac + bc и поэтому она, в силу теоремы Жевлакова [8], является полем. >
В следующей теореме устанавливаются некоторые достаточные условия, при которых левая слабо-дистрибутивная ZPq УЖ-система является слабодистрибутивным телом.
а-1 ■ ab = Ь, <4 £ С(В0) П К(В0), a-1(ab УУа + 1) = b 4>1 + a-1 (Va Д 0), есть слабо-дистрибутивное тело.
Доказательство опирается на теоремы (С) и (В). Приведем формулировки этих теорем.
-
С. Теорема [5]. Левая IPq VW-система, в которой выполняются условия (0)1 + 1 ДО,
-
(1) а-1 • ab = b (Va Д ОД),
-
(2) а(1 + b) = a + ab (Va, b), является альтернативным телом.
-
D. Теорема [5]. В левой I P^VW-системе Ху, в которой выполняются условия
(0) 1 + 1 = 0,
-
(1) а-1 • ab = b (Va Д ОД),
-
(2) a(b + 1) = ab + a (Va, 6), выполняется также а(Ь + с) = ab + ас Д/а, Ь, с).
Примерами других слабо-дистрибутивных I PqVW -систем являются:
-
1) В5 ф Х7 = Вю, где Х7 — правая I PoVW-система;
2)B6®Ak = By
-
3) В5 ф Ак = В& и т. д.
-
3. Коллинеации в плоскостях над некоторыми слабо-дистрибутивными телами и /РоУТУ-системами
Легко показать, что в инцидентностной структуре над слабо-дистрибутивной алгеброй В, существуют:
-
(1) четыре точки общего положения;
-
(2) не соединяемые точки ([(ai,6i) («2,62)] = [у = жт + £] ^=> bi Дру = аутУУаут не всегда разрешимо относительно т);
-
(3) пара непересекающихся прямых (точка [у = 6] П [у = жт] может не существовать, ибо xm = b может не иметь решения);
-
(4) 3-ткань прямых {[т/ = ЬДД {[ж = aj]}, {[?/ = ж + bj Oaj]} пучков с центрами (0), (оо) и (1) соответственно.
-
17. Теорема [6]. В инцидентностной структуре над Ву (см. теорему 3) без делителей нуля преобразования (при a • m о t = am + t):
-
(1) (a, c) ^ (a + 1, c), (m) -Д (m),
-
(2) (a, c) —> (a, c + a); (m) —> (m + 1),
-
(3) (ж, у) —> (ж + 1, yb + d), (m) -д (mb), где b E K(Bi)
-
18. Теорема [7]. В плоскости В* над правой I PqVW -системой В(+, •), в которой (1 + a)b = b + ab, преобразование (ж, у) —> (sxa + с, syb + d+ (sxa + c)d), (m) —> (a-1 • mb + cl) является коллинеацией при s E К (В), a E N(B), c = 1 + • • • + 1, b E K(b) и любом cl.
-
19. Теорема. В плоскости В* над слабо-дистрибутивной левой IPqVW- системой В (+, •) преобразования
являются соответственно ((0),1оо)-элацией, ((оо), [ж = 0])-элацпей, и нецентральной коллинеацией.
О коллинеациях в проективных плоскостях над слабо-дистрибутивными телами и 1Ро У VT-системами, гласят теоремы 18-26.
(0) (ж,у) -> (х + 1,у + Ь);
-
(1 ) (ж, у) -д (уу$,ууу), (т) -д (т);
-
(2 ) (ж, у) -д (xa, yb), (т) —> (а-1 • mb); а Е N(B), b Е К(В) являются коллинеациями.
-
20. Теорема [7]. Преобразование (х,у) —> (ж, хк + у УУук), (т) -д (т + к УУтк) в плоскости над правой слабо-дистрибутивной I PqVW -системой В является коллинеацией при к = 1 + • • • + 1 G К (В) П С (В).
-
21. Теорема. В плоскости Bi преобразования:
-
(1) (а, с) —> (а + к, с + d), (m) —> (т),
-
(2) (а, с) —> (а, с + а), (m) —> (m + 1),
-
(3) (а, с) о (с, а), (т) о (т-1), (оо) о (0),
-
(4) (ж, т/) —> (syb + d, sxa + syb + d), (m) —> (6-1 • m-1a + 1), a, b G N(B), s G K(B\ Vd,
-
(5) (a, c) —> (ya-1, xa), (m) —> (am-1 • a), a G N(B^ являются коллинеациями.
-
22. Теорема. Проективная плоскость В* над тернарным кольцом с условиями: 1 + 1 = 0 и aa-1 = a-1 a = 1, в которой существуют коллинеации:
Справедлива и следующая классификационная
-
(1) (ж, у) -д (х + а, у + bY (m) -д (m),
-
(2) (ж, т/) -д (х, у + ж), (т) -д (m + 1),
-
(3) (ж,т/) о (ж, у^ (т) о (т"1), (оо) о (0),
-
(4) (ж, т/) -G (ж, т/6), (т) -G (mb), V6, представляет плоскость В^.
-
<1 Поскольку из существования (1) в В* следует выполнение всех аксиом левой /РоУТП-системы, а из существования (2), (3) и (4) соответственно следуют тождества a(b + 1) = ab + a, \/a,b; ba • a-1 = b, Ma ^ 0,b и ca • b = c • ab => cb • b = c • bb, то теорема доказана. >
-
23. Теорема. В плоскости В^ следующие преобразования являются коллинеациями:
-
24. Примечание. Плоскость В^ характеристики 2 дезаргова, если в ней существует коллинеация (3) в теореме 22, ибо (3) УД ^ba • a-1 = b, (а + b)c = ac-\-bcy а система. B^ с ba-a-1 = b, есть альтернативное тело в силу следующей теоремы Мальцева:
Ti : (ж, т/) —> (аж, a-1y), (т) —> (а-1 • a-1m), a G N(B^ П С(Вб), т2 : (ж, т/) -> (ж, т/ + хк^, (т) -Д (т + к), Мк, т3 : (ж, т/) -Д (ж, хк + т/ Оук^,к G NT П К(В6),
-
Е. Теорема [10]. Кольцо с единицей, в котором a 1 • ab = b = ba • a 1, есть альтернативное тело.
Следовательно, оно будет ассоциативным телом характеристики 2, в силу теоремы Линника:
-
F. Теорема [9]. Альтернативное тело характеристики 2 ассоциативно.
-
25. Теорема. В проективной плоскости В^ преобразование (*) : (ж,т/) -Д (ж + р,р-1(у + 1)), р G C(Bg) П К(В%\ является нецентральной коллинеацией.
4. О конфигурационных свойствах плоскостей над некоторыми слабо-дистрибутивными телами
-
26. Теорема. Если в плоскости В^ имеет место локальное выполнение теоремы Пю [11], соответствующее квазитождеству а-1 • ab = b, то она муфан-гова.
Здесь установлены некоторые достаточные условия муфанговости или де-зарговости или же папповости некоторых слабо-дистрибутивных плоскостей.
-
<1 Доказательство соотношения Рю О a-1-ab = b приводится в [1]. Тернар же Bg с a~rab = b, в силу (С) есть альтернативное тело. >
-
27. Теорема. Если в плоскости В* над левой I PqVW -системой В(+, •) характеристики 2, в которой аф + 1) = ab + а, Ча, Ь, имеют место:
-
(1) локальное выполнение Рю, соответствующее соотношению а-1 • ab = Ь;
-
(2) локальное выполнение теоремы Паппа П [11], соответствующее системе образующих точек 1 = (оо), 2 = (а, а), 3 = (1, а), 4 = (0, 0), 5 = (1,6), 6 = ф, Ь), то плоскость В* будет папповой. Если же в ней имеют место: (1) и
-
(3) локальное выполнение Рю, соответствующее квазитождеству ba • а-1 = Ь, Ча ^ 0, Ь, то плоскость В* будет дезарговой.
-
<1 I. Из Рю следует а-1 • ab = b (см. [1]) в тернарном кольце.
При указанной системе образующих точек П (см. [11]) справедливо «П => ab = Ъа».
В силу теоремы Жевлакова [8], в условиях теоремы тернарное кольцо плоскости В* является полем. Первая часть теоремы доказана.
-
II. В условиях теоремы, из локальных выполнений Рю следует а-1 • ab = b и Ьа • а-1 = b в тернарном кольце.
-
28. Теорема. Если в проективной плоскости над слабо-дистрибутивным телом В характеристики 2 имеют место локальные выполнения условий (3) и (4) из теоремы 27, то плоскость В* дезаргова.
-
29. Теорема [4, 5]. В плоскости М* над слабо-дистрибутивным телом имеют место локальные выполнения теоремы Вю и Бола В [12], соответствующие следующим системам их образующих точек: {4 = (0), 2' = (1, т), 7 = (оо), 3 = (1 + b, 1), 1 = (0, 0)} и [Е^ = (0, ас), Q2 = Ф, be), A = (1), Р2 = (а, ac), Qx = (0, 6с), В = (0, 0), С = (0)}.
-
30. Теорема [4, 5]. В плоскости В^ имеют место:
В силу теоремы D в тернаре будет выполняться аф + с) = ab + ас и поэтому он будет представлять кольцо с вполне обратимыми элементами. В силу теорем Мальцева Е и Линника F, такой тернар будет ассоциативным телом характеристики 2. Плоскость же над этим тернаром дезаргова. Вторая часть теоремы 27 доказана. >
Очевидна и следующая
Справедлива следующая
<1 Доказательство следует из соотношений: «Аю => (1 + b)m = m + bm» [4] и «В => 6(1 уус) = b ууЬс» [31]. >
В силу работ Аргунова [11] и Скорнякова [12] легко доказывается
-
(1) локальное выполнение теоремы Бола, соответствующее системе образующих точек, указанных в теореме 29;
-
(2) локальное выполнение Аю, соответствующее системе образующих точек, указанных в теореме 29;
-
(3) локальные выполнения второй малой теоремы Паппа (Щ) соответствующие следующим наборам ее образующих точек:
-
а) 1 = (а,а),2= (0,0),3 = (1,1),4= (0),5 = (оо),
-
Ь) 6= (0,0), 5 = (1, а), 7 = (а, а), 8 = (0), 0 = (оо),
-
с) 5 = (а, аа), 6 = (оо), 7 = (1, аа), 8 = (0), 0 = (0, 0),
-
d) 5 = (а, а), 6 = (0), 7 = (1,1), 8 = (0, 0), 0 = (оо), _
-
31. Примечание. Было бы интересным изучение слабо-дистрибутивных алгебр, почти-алгебр, тел, I PoVW-систем и их обобщений и применение их к дальнейшему описанию инцидентностных структур В*.
влекущим за собою, соответственно, квазитождества a-ia = 1; a • aa = aa • a; aa ■ a = a = a • aa.
Очевидно, что в плоскости Bi теорема Аю выполняется аффинно на прямой Zqq и имеет локальные выполнения на прямой [ж = 0], ибо В^ есть левая УТТ-система, в которой aa-1 = 1 = a-1a, ba • a-1 = b и a^b + 1) = ab + a, что в Bq теорема 7з имеет локальное выполнение с квазитождеством 1 + 1 = 0 и, что плоскость В^ представляет некоторое обобщение муфанговой плоскости.
Что же касается плоскости В^, то она представляет правую VW-плоскость, в тернарном кольце, в которой: aa-1 = 1 = a-1a, a-1 • ab = b, (1 + a)b = b + ab и 1 + 1 = 0, т. e. она двойственна плоскости B^. В ней Аю имеет локальные выполнения на Loo, [ж = 0] и [т/ = 0].
Аналогичным образом изучаются конфигурационные свойства плоскостей над другими слабо-дистрибутивными телами и I Bq У ГУ-системами.
Список литературы О проективных плоскостях над слабо-дистрибутивными телами и IP_{0}VW-системами
- Холл М. Теория групп.-М.: Мир, 1962.
- Zassenhaus H. Uberendliche Fastkorper//Abh. math. sem. Hamburg.-1936.-V. 11.-P. 187-220.
- Хубежты И. А. Об инцидентностных структурах над алгебрами со слабыми дистрибутивными законами//Деп. в ВИНИТИ.-1989.-109-B89.
- Хубежты И. А. О некоторых классах алгебр и инцидентностных структур.-Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1994.
- Хубежты И. А. О некоторых почти-алгберах с обратимым умножением//Деп. в ВИНИТИ.-1993.-1357-В93.
- Хубежты И. А. О коллинеациях в сверхслабых IP_0 VW-плокостях//Междунар. науч. конф. по алгебре. Сб. тезисов, Красноярск.-1993.
- Хубежты И. А. О VW-плоскостях и их некоторых обобщениях.-Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1992.
- Жевлаков В. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Альтернативные алгебры.-Новосибирск, 1976.
- Линник Ю. В. Кватернионы и числа Кэлли//Успехи мат. наук.-1949.-Т. IV, Вып. 5.-С. 49-65.
- Мальцев А. И. Алгебраические системы.-М.: Наука, 1970.
- Аргунов Б. И. Конфигурационные постулаты и их алгебраические эквиваленты//Мат. сб.-1950.-T. 26.-С. 425-456.
- Скорняков Л. А. Проективные плоскости//Успехи мат. наук.-1951.-Т. VI, Вып. 6.-С. 112-154.