О рациональных приближениях алгебраических чисел \root 3\ of {D}

Начало теории приближения алгебраических чисел рациональными числами положил Ж. Лиувилль, опубликовавший в 1848 г. первую теорему, дающую необходимый признак алгебраичности числа и, следовательно, достаточный признак трансцендентности [3, 5]. Еще за сто лет до доказательства теоремы Лиувилля Л. Эйлер утверждал, что трансцендентные числа существуют. Но доказать это утверждение он не смог.

В 1874 г. Г. Кантор другим методом доказал существование трансцендентных чисел. Развивая теорию множеств, он показал, что множество алгебраических чисел счетно, а множество вещественных чисел несчетно. Следовательно, существуют трансцендентные числа.

В 1909 г. А. Туэ получил первое усиление теоремы Лиувилля. Дальнейшие усиления теоремы Туэ с 1921 г. по 1955 г. были получены последовательно К. Зигелем, Ф. Дайсоном, А. О. Гельфондом. Существенное продвижение в проблеме приближения алгебраических чисел рациональными получил К. Рот в 1955 г. За этот результат он был награжден Филдсовской премией за 1958 г.

Теорема Рота. Пусть a Е A, deg а = п ^ 3, а б — любое положительное число. Тогда неравенство

a

^^^^^^^^.

р

<

имеет лишь конечное число решений в числах р G Z, q G N.

Здесь и ниже A, Z и N — множества алгебраических, целых и натуральных чисел соответственно.

Долгое время в теореме Рота не удается заменить степенную функцию q⁵ на функцию, растущую медленнее. С. Ленг в 1965 г. пишет о том, что «Очень

трудной является гипотеза, состоящая неравенство

Р а--

<

имеет лишь конечное число решений в том, что для числа а степени п ^ 3

92^о§9У при х > 1 или по крайней мере при ж > Жо(а)» ([6], с. 98.). В настоящей работе при условиях a G A, deg о = 3: 1) приводится новое доказательство теоремы Рота, 2) доказано, что неравенство

Р а--

<

q2 }п 1+8д'

где 0 <  б < 1, имеет лишь конечное число решений в числах р, q G N.

Аналогичным образом могут быть доказаны неравенства для чисел вида a = VD, n > 3.

1. О последовательности многочленов, определяющей его корни

Пусть а = >/1) — алгебраическое число степени 3 и пусть

а = [а»; «1,«2,- •, а»,•- -]

(1.1)

разложение числа а в непрерывную (арифметическую) дробь,

®fc + l — [®fc+l, Ctfc + 2, Ctfc+3, • • • ]•

(1.2)

Известно [1, 4], что имеют место следующие равенства:

Ct

Pk^k+l + Рк-1 9к«к+1 + 9к-1 ’

(1.3)

Ро = «о,

— = [а₀; «1, а₂, - - -, «к], 9к

Р1 = а₀П1 + 1, р_к = a_kPk-i+Рк-2,

(1.4)

9о =

1, 91 =

«1, 9k = dk9k-i + 9k—2i

(1.6)

(1.6)

Ро

9о

— >

9кРк-1

<Р-1<

^> 9з

^^^^^^^^.

Pk9k-i = (-1)^к,

Р4 _/ Р2к _/ — < • • • < --- < . .

94            92к

Рь        Р2к-Ц

— > • • • > ------ > . .

95           92fc+l

Р2к        Р2к + 1

--- < a < -----,

• 1

92k

92k+i

(1-7)

(1.8)

(1.9)

(1.10)

7fc+i = [«fc+i	Рк a--		1		(1.11) (1.12)
			"Ук+iqk . ] + [0; akl	ak-i,.. • , ai],
	; akv^	qk , • •
Ek = Ol	Рк ^^^^^^^™       ^^^^^^^^^^^^^^^™	>	Pk+i a--	= £k + l^	(1.13)
	qk		Qk+i
Pk Ek= a	= —	1	_ 1 9	1 1	(1.14)
qk	«к+iqk qkqk+i qk+iqk+2
Положим ak+i = x. Тогда из равенства (1.3) следует, что

(qkX + qk-!)^D = ркх +рк-1.

Возведя обе части этого равенства в третью степень и приведя подобные члены, получим, что з

E4(^-»Li -р^Х--^¹ = 0. г=0

Таким образом, для числа а^₊1 мы получили уравнение третьей степени с целыми коэффициентами, а и а_к+1 являются эквивалентными числами. Поэтому «к+i также алгебраические иррациональности степени 3.

Рассмотрим многочлен [2]

з

ЫА = ^.CUDq»"ⁱqL₁ -Р^Х-Х³^ г=0

(1-15)

В силу сказанного выше «к+i является корнем этого многочлена, т. е. при переходе через это число /к (ж) меняет знак. Поэтому для [afc+i] = ctfc+i значения многочлена f_k^^ak+i) ^и Jk(^ak+i + 1) имеют разные знаки.

Покажем, что

C^Dq^qt^ -p^X-V) = ^f71M, 4^0, 0 ^ i 5 3.

(1-16)

В самом деле, справедливы равенства

з

— »^3-m»^m w³~^m. Рк-1Рк-2)Х ,

А-1(Ч = Е C?^Dqt”q^

m=0

Итак,

1                   3-г

(n \ _ pi pm I D^-m т 3-т т \ 3-m-i TyJk-lkak) - Су3 / , ^3-1киЧк-1 Ik-2 -Рк-1 Рк-2)ак т=0

С другой стороны, в силу (1.5) и (1.6) находим

Сз(^"Ч-1 -^L1) = ос^Ч-х - c^-pLi

— DC^akQk-i + Qk—2^ lQk-i ~ Сз(акРк-1 + Pk-2^ гРк-1

3-i

_ /)/•/ \ ' z^m „3 — m — i m _i   „3 — m — i

- ^^3 7 , G3-i9fc-l Чк-2Чк-1ак m=0

3-i pi C’m r?-m-inm      3-m-i

- ^3 7 , ^3-iPk-Y Pk-2Pk-\ak m=0

3-i                               3-i

_ IV'* \ ' z^tti ~3 — m„m „З — m — i      \ ' ^m „.3 — m^m „3 — m — i

- _v U₃__ig_fc_₁ q_k-2^ak “ ^G3 / _v ^3-iPk-l Pk-2^ak 771=0                                        771 = 0

3-i

= Q У С₃-"_,(Дд^Г№^т-2 - P³7;*P?-M""*"'- 771=0

Следовательно, равенство (1.15) имеет место.

Покажем теперь, что каждый из многочленов (1.15) имеет один и только один положительный корень.

Действительно, многочлен

/-1(ж) = —х3 + D имеет единственный положительный корень. Предположим, что Д(ж) имеет один и только один положительный корень. Рассмотрим многочлен /к+1кжУ Установим, что

A + l(z) =z”/t(«H-l + 1).

(1.17)

В самом деле, учитывая равенство

Г'гГ'З — Г*3 Г*г ^S^S-i "" ^З^З-Р можем написать цепочку равенств

/             1                                                                                1 \ 3 — % x^hUw + -) = x^^C^Dq^qVy-Pk-XPk-^^W + i=0

33-i

= Е^^^Щт -pOpLJECL^ + I^ i=0

33-i

= s E (c^r'a-i E сщ^Г¹ - z³-)

i=0

• 33-i

• - E ^-‘pv^ E cLJJJ^

i=0

= D^C^a_k+iq_k + q_k_^³"^%q^%_kx³"^% i=0

-E^PM-iPt+Pt-i)3^3^

i=0

• 3                            3

= DY.C'₃qt№¹"' -^С^ЛрУ-¹ i=0                  i=0

Из (1.16) следует, что Д+1(ж) имеет единственный положительный корень. Таким образом, для цепной дроби

\/D = [а₀; «1, «2, «з,..., а_к,...]

находим рекурентную последовательность многочленов

/-1(ж) = -х³ + D, ³ 1

(1-18)

fk(x) =    Yfk-i^a^x3-1, к = 0,1,2,..., i=o L каждый из которых определяет соответствующий элемент разложения -^D в цепную дробь. Многочлен Д(ж) определяет элемент ak+i = с так, что Д(с) и fk(c + 1) имеют противоположные знаки.

Пример. Определить первые десять элементов разложения

2 = [а₀; «1, «2, а₃, • • •, «э, • • •]•

Решение. Последовательно находим

/-1(ж) = -ж3 + 2,

/_1(1) = 1, /_1(2) = -6, ДО1) = -3, ДОДО-6,

/(ж) = ж3 — Зж2 — Зж — 3;

/1(з) = -ю, ДО) = з, а4 = 3, ДО) = 6, /1/3) = 12

/1(ж) = —Юж3 + 6ж2 + 6ж + 1;

/1(3) = 3, /ДО) =-43, а2 = 1, /1(1) = -12, /(/1) =-48, /("(1) =-60, /2(ж) = Зж3 - 12ж2 - 24ж - 10;

/2(5) = -55, /2(6) = 82, а3 = 5, /1(5) = 81, /1/5) = 66,

/з(ж) = — 55ж3 + 81ж2 + ЗЗж + 3;

/з(1) = 62, /3(2) = -47, а4 = 3, /1(1) = 30, /1/1) =-330, ДО) = 62ж3 + ЗОж2 - 84ж - 55;

/4(1) = -47, ДО) = 393, а5 = 1, Д(1) = 162, //(1) = 432, ДО) = — 47ж3 + 162ж2 + 216ж + 62;

ДО) = 510, ДО) = -1683, а6 = 4, /1(4) =-744, /1/4) =-804, ДО) = 510ж3 - 744ж2 - 402ж - 47;

ДО) = -683, ДО) = 253, а7 = 1, /1(1) =-360, /1/1) = 1572, ДО) = -683ж3 - 360ж2 + 786ж + 510;

ДО) = 253, ДО) = -4822, а8 = 1, /1(1) =-1983, /1/1) =-4819, /8(ж) = 253ж3 - 1983ж2 - 2409ж - 683;

ад = 8

Таким образом, получаем

^2 = [1;3,1,5,1,1,4,1,1,8,...].

• 2.    О некоторых свойствах коэффициентов многочленов

Пусть a = VD — кубическая иррациональность,

VD = [ад; «1, 0,2,.. •, ak, • • • ]                                 (2.1)

ее разложение в арифметическую цепную дробь. Применим к (2.1) описанный в параграфе 1 алгоритм:

/-1(ж) = -ж³ + D,

А(ж) = Акх3+ЗВкх2+ЗСкх + Ак_г. А: = 0,1, 2,...,(2.2)

где

Ак = fk-i(ak) = Dqk — р3,(2.3)

Вк = ^к_х(ак) = Dqkqk_x - pkpk_i,(2.4)

Ск = |/fc_i(afc) = Dqkqk х - ркрк_ъ(

Ak-i = -fk'_i(x) = Dqk_x - рк_х.(2.6)

Лемма 2.1. Имеют место следующие равенства:

Akqk-i — Bkqk — ( — 1)крк,(2.7)

Akpk-i — Вкрк — ( — l)kqk,(2.8)

Akqk_T - Ckqk = (-l)kpk(qkpk-i + Pfc9fc-i),(2.9)

C_kq_k — B_kq_k_^ = ( — i)^kp_kp_k-i,                  (2-10)

A_k-iq_k — C_kq_k_i = (—l)^{fe 1}Pfc-i)                  (2-11)

B_k — A_kC_k = Dp_kq_k,                     (2.12)

A_kA_k_i - B_kC_k = -D(p_kq_k_i + q_kp_k_i),            (2.14)

(A_kA_k__x - B_kC_k) - 4(B² - A_kC_k^Cl - B_kA_k_^ = D²,     (2.15)

C²-A_k_₁B_k = Dp_k_₁q_k_₁,                  (2.13)

( — l)k(qka2 + pka) — Bk	(9 1 6'I
a'fc+i —               Д                ,
(-l)fc (q^a2 + pkqka + p2k) 7fc+i =               a                 ,	(2.17)

<1 Пользуясь (2.3)-(2.6), на основе (1.7), последовательно находим, что

Akqk-i — Bkqk — (Dqk — pk)qk-\ — (Dqkqk_i — pkpk-i")qk

= pkqkPk-i -p2kqk-i =pkVqkPk-\ -pkqk-^ = (-^kp^

AkPk-i - Вкрк = ^Dq^ -р^рк_х - ^Dq^qk-i - РкРк-^Рк

= Dq^pk-i - Dqlqk_1pk = Dq^qkPk-i - pkqk-^ = (-^kDq^.;

AkqLi - Ckqk = (DQk ~РкЫ-1 - WWk-i - PkPLiWk

= PkpLiql -PkqLi = Pk(qlpLi - qk-^ = (-^kPk(akpk-i + pkqk-iY

Ckqk - Bkqk-i =

= PkPk-iqk-i -PkPk-Vik = PkPk-i(qk-iPk -Pk-iqk) = k-^'^PkPk-v,

A_k__xq_k — C_kq_k-1 = (^Li -Pk-iW - (Dq_kq_k__x - PkPl-i^k-i

= PkPk-vik-\ -Pk-^qk =Pk-\Vqk-\Pk -Pk-iq^ = V-^k"YPk-6

Bk - AkCk = (Dqkqk-i - PkPk-\V - (Dqk - PkYDqkqk-i - PkPk-^

= Dq^pkPk-AqkPk-\ -Pkqk-^ + Dp^qkqk-iYPkqk-i - qkPk-1")

= DqkPk(qkPk-i -Pkqk-\f = Dpkqk;

Ck -" Ak-iBk = (Dqkqk_i - РкРк-1У - (Dqk_x - pk_i^Dqkqk-i - PkPk-i)

= DpkPk-iql-i^Pkqk-1 - qkPk-1) + Dqkqk-ip2k_i(qkPk-i - Pkqk-i)

= Dpk-iqk-i(qk-iPk -Pk-iqk? = Dpk-iqk-P

AkAk-i - BkCk — (Dq_k - PkHDqk-iPk-i") ^- (Dq_kqk-i - PkPk-^ x (Dq_kqk_i -PkPk-^ = DqkPk-APkqk-\ - qkPk-^ + Bq^-i^k-i - Pkqk-i) = (-l)^kD(p²_kqk-i - qkPk-i) = -D(p_kq_k-i + qkPk-\Y

(AkAk-i — BkCkV — ^Bk — AkCk)(Ck — BkAk-i)

= D2(pkqk-i + qkPk-if - 4D2pkqkPk-iqk-i = D2(pkqk-i - qkPk-i? = D2.

Из равенства (1.3) находим, что

Pk-i - aqk-\

«fc+i —

aqk - Pk

а умножив и разделив правую часть на g_koi² A Pkgk^a + Рк, выводим

«k+i = 4-(a2gkpk-i + apkPk-iqk + PkPk-i

^^^^^^^^.

3 2

a QkQk-i

^^^^^^^^.

a2qkPkQk-i

-apkgk-C) =

^^^^^^^^.

4-(a3qlqk-i + PkPk-i) + -^-a3gk(gkPk-i Ak                   Ak

^^^^^^^^.

PkQk-1)

1    /              x Dq^q_k-i -PkPk-i , V-^a^qk , <-^^kap_k

V^aiPkVlkPk-i -p_kqk-^ =------T------+---T----+---T---

Ak                           Ak           Ak        Ak

СС^Л1!!!С Л!^              - (~U^A'(^²Apkqk^ + (-1)^

Akqk                             Akqk

₌ / _Тх_кд1^а2+Pkqk«+p²_{k >} Akqk

Лемма 2.2. Если 2\k, то

A_k > 0, C_k< 0, A_k_Y< 0.                     (2.18)

Если 2 ] к, то

A_k< 0, C_k > 0, Ak-i > 0.                     (2.19)

<1 Утверждения Ak > 0, Ak-i< 0 при 2|fc и Ak< 0, Ak-i > 0 при 2 f к следуют из (1.10).

Пусть 2|fc, тогда, в силу (1.14), находим, что

Рк

-- — о? — Ек! дк

Рк-1 _ _            .

---- — tt + Ek-h Efc < Ек-1, gk-i

Ек < ------, Ек-1

gkgk+i

<----- gk-igk

I

Поэтому

_D_P1. Рк-^ _{= D}_^_a__£k^_{a + £к1}у₌ __2а2^__х + _£к(_а + _£к_^ < 0. дк g_k-i

При 2 f к

D_Pk Рк-! = D_^a + £k^a_ £к_^ дк gk-i

— 2a²ffc_i — аЕ_к-1 — е_к(а — Efc-i)²

— Ек-1

^(2q² — O!Efc_i) -

(а — Efc_i)2^

> 0. ▻

Лемма 2.3. Пусть bk = — (a2 + — а + ^-Y              (2.20)

7fc+i V qk q_k)

где yky\ определяется условием (1.12). Тогда справедливы представления:

А_к = (-1)^кЬ_к9к;                           (2.21)

В_к = (-l)^¹    " ^Ьк—А • дл              (2.22)

W qk /

С_к = (-l)^k"¹(^.^y?l-b_k. q_k__Vl (2.23) \qk qk-i q_k qk /

A_k-i = (-l)^¹ f^ + — • — + 4 - ^bk • —) — •     (2.24)

\qk-i qk qk-i qk qk / qk

<1 В силу (2.3)-(2.6) и (1.11) находим, что

W\ = \Dq_k - p_k\ = q_k a - fY + ^-a + ^Y qk \ qk q_k/

=             +    + =bkqk.

iky\q_k V qk qu

Далее, из (2.7) получаем

B_kq_k = A_kq_k-i + (—l)^kp_k = ( — l)^kbkq_kPk + (—l)^{k x}p_k

= (-l)k"4pk - bkqk-iqk), откуда следует равенство (2.22).

Учитывая (2.10), находим

Ckqk = V-^k-XPk-\Pk A Bkqk-i qk-A

---- qkqk-i qk /

= (-l)k^pkpk_i + (-l)k-^ (й-bk-\qk

\qk qk-i qk

^^^^^^^^.

i Чк-А bk — qk /

qkqk-i,

откуда следует (2.23).

Наконец, из равенства (2.21) следует, что

Ak-iq_k = ( — l)^{k Х}Рк + Ckq_k

= (-l)‘^ + (-l)‘-1 (

Pk-l Pk

qk-i qk

ql

^^^^^^^^.

, 9fc-l\ 2

^bk ' —— 9_k-l, qk J

что и доказывает равенство (2.24).

Лемма 2.4. При 2\к будет

▻

3a2qk

^Ак — ---- 7fc+i

^^^^^^^^.

За 7fc+i9fc

+

7fc+i9fc

Зс^дк

7fc+i

+ оШ\7fc+i9fc7

I

(2.25)

При 2] к верно

!Л| = ^+ 7fc+i

За

_ 2

TkW

+

7fc+i9fc

3o^fc

7fc+i

+ 0

ш. \7fc+i9fc7

(2.26)

<1 При 2|fc, имеем

Ак — 4kbk

Чк 7fc+i

(а2 +

Рк .

—а +

р!\

4k 7fc+i 3a²4k 7fc+i 3a²4k 7fc+i

CE^ “h ^СЕ

4к

^^^^^^^^.

^к+1Чк

^ а +

(а

^^^^^^^^.

W14^ J

^^^^^^^^.

За 7fc+i9fc

+

+ °(^— V7fc+i9fc

1 7fc+i9fc )■

При 2 f к находим, что

IAI = — 7fc+i

₌Чк 7fc+i

₌4k 7fc+i За²

/ 2 , Рк .

I СЕ + --СЕ + v Qk

а Т ^а +

р!\

7fc+i9fc4     V

9 За (За +-----у

^V Wi4k За

7fc+i За^Чк 7fc+i

4к +

--h

Тк+тЧк

+ 7fc+i9fc)

7fc+i9fc

V7fc+i9fcy

4          2

IkW

)1

Лемма 2.5. Если АкВк > 0, то в разложении (2.1) ak = Ukyi = 1. <1 Пусть АкВк > 0. Тогда, в силу (2.20), (2.21) и (2.22), находим

/ i \2k — li     (Pk

(-1) b_k4k I ~2- -\4k

7 Qk — 1 \ bk • — > o, 4k /

что равносильно неравенству

Pk

9l

^^^^^^^^.

, 9k-i bk--

9fc

< 0.

Отсюда, в силу (2.20) следует, что

или

С учетом

Pk

^^^^^^^^.

Qk 7fc+i

(pI

\9l

+

7fc+i < S (a² Pk \

Pk .

—ct +

9k

«7 ■

+ ^ct ₊ ^ + 9l

9k

7fc+i — afc+i

+

9k-i

9k

^-<0

9k

)

9fc-i

9k

I

из последнего неравенства следует,

что

«fc+i — 7fc+i

^^^^^^^^.

9k —1

<

Qk

9²_k Pl

р+^)

\ 9k /

9к^л < 2, 9k

t. e. 1 < a_k+1< 2, откуда a_k+1 Далее, находим, что

= 1.

t. e.

Поэтому

q_k 1 <

Pk

(“2

9k

9k-l

+

Pk —ct 9k

)

9k-i_< 9k

2,

4(a2 + ^).

Pk \     9k)

z 9k ( 2 , Pk \

C^k 7 —-Г I ® + Ct • --- I —

Pk \ 9k J

9fc-2 _< 2, 9k-l

и, следовательно, a_k = 1. >

Лемма 2.6. Пусть

A-iM = A_k_ix³ + 3B_k_!X² + 3C_k_ix + A_k_₂.

Тогда при 21 (к — 1) наименьшее значение этой функции равно

,    — Bk_i + Dpk_iqk_i х = bk = --------------------

Ак-1

I

При 2 f (к — 1) наибольшее значение функции достигается при

,    — Bk-i — у/ Dpk-iQk-i х = bk = ------------------------.

<1 Пусть 2|(fc — 1). Тогда А_к_\ > 0, C_k-i > 0 Ак-з > 0. Рассмотрим производную функции Д_1(ж)

fl-i^ = 3(Ак-1Х2 + 2Вк-1Х + Ск-Й и приравняем ее к нулю

^Ifc-i^² + 2Bk-ix + Ck-i = 0.

Учитывая (2.12), находим, что

,    — Bk-i + у/Dpk-iqk-i х = bk = ------------.---------------•

Аналогично, при 2 f (к — 1) будет

,    ~вк~1 — V Dpk-iQk-i х = Ьк = ---------ч------------, Ак-1

таким образом

( —l)^{fc 1}Dpk-iqk-i — Вк-1 Ьк =-----------------------------• ▻

Следствие. \f_k-Ab_k^\ > /fc-i(«fc)|-

Рис. 1

Лемма 2.7. Пусть 5 > О — любое число и «к+1 > 12- Тогда, начиная с некоторого ко, при к ^ ко выполнено fUMl 1

(2.29)

/k-iM /_fc_i(a_fc)|⁵

<1 Покажем, что в промежутке (bk, ак] имеет место неравенство fk-l^ 1       X — Ьк fk-i(^  \fk-i^\5   ak-bk

Действительно,

[ Гк-^ A-i(A Ьк

1       1      «к _ 1

5 " \Jk-i№ ьк ~ 6

Ок

1 а - f dIA-i(A' IA-iG< Ж J 1А-1(А11+5

Ьк

1  111

ПТ++У ~ ПУм+5 < 6 ' "(УРмуг в то время как

О к

Ьк

X - Ьк .

---—ах

Ык — Ьк

/ ж2

\2(ttfc — А)

^^^^^^^^.

ЬкХ

Ык — Ьк

)

О к

Ьк

а-к + Ьк , ак — Ьк ------ — Пи = ------

Из (2.16), (1.2) и (2.27) находим, что ак — Ък — ак---Ък — «к+1

( —l)^{fc 1} (qk-ia² + Pk-i^a) — Bk-i Ak-i

1    ( ^—1)^ ¹ V^Pk-¹^-! ^—Вк-1

«к+i             Ak-i

(-тУ^Члк-п^лрк-!/^               1

^4fc-l                         «к + 1

9к-1«2 Рк«

\Ak-i\ + \Ak-i\

V0^»^ 1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^.^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^м      ^^^™^^^™       ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^™ plfc-1         ®fc+l'

откуда, с учетом (2.25), (2.26), (1.10) и (1.11) выводим ак ~ Ък —

Qk-ia2

7k        \r_kqk-ij

+

Pk-iQk-l

• Qk-ia

^к^+0(^^А

4 k       V^qk-ij

a² tA ±   2 Qk-i i

—

3^91^1 ₊О ( -^r^)   “fc + l

7k       \r_kqk-J

^^(wF-)  ^k"^qk-1 + ^ЧкЧк 1 )

\ 1кЧ^_ у/       Ik              \ lk4k — 1 /

^^^^^^^^.

Tfc

у     7k-9^1

\7k9Li/

«k + 1

7k = — •

- 7,7k

/                            1 4.    1               /1 4-    ¹     \

• 1        ,       7.9L1 V 7.9L1

• ^{1                                                                                1} —— ^{1                                                                               1   1                                                                               1}

• 1    + of^—) 1 + of^—) 1 + of^^), \     \7k9Li/        \7k9Li/        \7k9Li//

• - -^7k + 0(1)= -7kH 0(1).

3                 ctfc+i 3 ctfc+i

ak+i

Так как y_fc > 1, a_k+i > 12, to a_k - b_k > ^. Таким образом, неравенство

f fk-iH 1    ,

У fk-Лх) ' |А-1М|5 ^ж

1_1 О-к — Ьк б\К-1Ы\5 8    2

выполняется начиная с некоторого к ^ ко- >

Примечание. Если бы

fUM) fk — 1 ^к)

LW^JF

> 1,

то снова имели бы

У \fk-lW+8 b_k

<

O' к

/

bk

x-ak .

----—ax,

что противоречит оценке определенных интегралов.

Лемма 2.8. Пусть А^ • Вк< 0. Тогда

7fc+1< 3-^+3.                     (2.30)

<1 В силу (2.17), находим

Q^o? A PkQktt Т р^ qk (^.Рк^.рЬ \Ak\Qk \Ak\ V qk qb /                            .                                 ।\ 2

^/2,^1  1 А , f ,  1Й

— —;—- I а + I а ±------у I I а 4у I I

\^Ак\ \ V Ук+iq^ V Ук+iq^ /

_ Wqk За

\Ак\    \Ak\yk+1qk   \Akhk+i1k

= 3a4    (___1А

\Ак\ V\Ak\qnk+J'

С другой стороны, из (2.7) следует, что

PM^-i + \Bk\qk = Рк- откуда

у qk—1 . у

6 • ----- + 6

qk

Вк

Ак

_ч Рк Qk

' Qi ' \AkV

Но в то же время о Рк Qk

" ql' W\

з(а ± ^qk W ЗоАдк

i qbk+i

V \Ак\ 6а           3

± Qfc7fc+i|Hfc + g^fc+iHfc+ °(пг^---) =>+ьHfckfc7fc+i *

Таким образом, Ук+i< 3

вк

А к

+ 3. >

Лемма 2.9. Имеет место предельное соотношение lim \Ак\ = оо.

к—>оо

<1 Следует из равенств (2.7)-(2.15). >

• 3.    Основные результаты

Теорема 3.1. Пусть a = -^D, deg о = 3, D Е N, а б — любое положительное число. Тогда неравенство

a

Р

q

(3.1)

имеет лишь конечное число решений в числах p,q G N.

<1 Пусть а = [а₀; cti, «2, • • •, ^Qfc, • • • ] — разложение числа а в цепную дробь, и его многочлены имеют вид:

з

Мх^ = ^C^Dq^-i - p^Pk-iW^ = A_kx³ + 3B_kx^ + 3C_kx + A_k_y i=0

fkH = ^2^fk-iMx3 г i=0 L

= h-iMz³ + fPMV + ^p_z² + ^ЯЕЫ, k = o, i, 2,....

Предположим, что ^ ^ ^. Тогда, в силу [4] верно р 11

о — - > --- > .

qq^+5

Пусть ^ = ^- Из (1.11) получаем

Tk+iqk"

Очевидно, что /fc(ctfc+i) = 0. Если AkBk > 0, то, в виду леммы 2.5 будет ak+i = 1 и, следовательно, qk Tkyiqk ^qk q^8

a

^^^^^^^^.

Pk

qk

Поэтому будем считать, что A_kB_k< 0. Из (2.20), (2.29) и (2.3) следует, что

7fc+i < 3

Bk

Ak

+ 3 =

fUM)

fk — l ^k)

+ 3 < /fc-i(afc)|5 + 3,

откуда, пользуясь (2.25) и (2.26) выводим

7fc+i < /fc-i(afc)|5

+ 3 — \A_k\⁵ + 3 — f---— + o(—---)+ 3 < Qfc,

V 7fc+i ^7^1^/у

/ о 2 \5

так как (-^— ) < 1.

\7k+i /

/2 \

(В случае ( как

> 1, т. e. 7fc+i < (За2)5 теорема также выполняется, так

a

Pk =

QkW

начинается с некоторого k ^ ко.) >

Лемма 3.1. Имеет место неравенство

fLM fk—1(®fc)

In i+4A-i(afc)                    11

<1 Покажем, что в промежутке ^Ьк, Ок] имеет место неравенство fk-l^ 1 , х ~ Ьк fk-i(x) ln1+5\fk-i(x)\ ak — bk

В самом деле,

Г ./LiM i , У fk-l(x) "\n^\fk-^x)\ ^Ж bk

Г сПи /_fc_i(a?)

J 1П 1+5\fk-l(x)\ bk

/ 1           1

"5 In 5|/fc-i(afc) ■

1           11

5 In ⁵\f_k-i(a_k)\ In ⁵ /_fc_i(b_fc)

Воспользовавшись леммой (2.7), находим f X — bk . Qk — bk 1

/ ----—ax = --- > -.

J ak — bk         28

bk

Таким образом,

[ fk-lH У fk-l(x) bk

In ¹+⁸\fk-l(x)\

dx

^ к

X - bk Clk — bk

dx.

(В противном случае, т. е. если бы fUM) /fc-l(«fc)

1п1ЦА_1(«Ц >L

мы имели бы

О'к

Ьк

/Li(^)

fk-1^ In ¹+⁸\f_k-l(x)\

Ok dx >j

bk

х - Ък

^k

^^^^^^^^.

Ък

dx,

что противоречит оценке определенных интегралов). >

Теорема 3.2. Пусть a = ^D — алгебраическая иррациональность третьей степени, б — любое положительное число. Тогда неравенство

p a-- q

q²In ¹⁺⁸q

имеет лишь конечное число решений в числах р, q G N.

<1 Предположим, что ^ ^ ^. Тогда

P a-- q

>

2q² > q²In ¹⁺⁸ q’

начиная с некоторого q ^ qo-

Пусть 2 = 2k. Если

17 q Qk

Qk

АкВк

>

0,

то в

виду леммы 2.5, ctfc+i = 1 и- следова-

тельно,

a —

Pk qk

i

7fc+i9fc

>

4>

qlln 1+5 Qk'

начиная с некоторого q^ qi.

Предположим теперь, что АкВк получим

<

0. В силу (2.20), (3.2), (2.25) и (2.26)

7fc+i < 3

Bk

Ak

+ 3 =

fk-iV^l A-i(«fc)

+ 3 < In 1+5|/fc-i(afc) + 3

= 1п 1+5|Лк|+3 =

lni+i (з^ + 0/^Д+3

7k+ i

(В случае, когда >

1, т. е. 7fcyi < За2 теорема 3.2 выполняется). >