О расчете надежности восстанавливаемых систем с невосстанавливаемым резервом
Бесплатный доступ
Описана работа восстанавливаемой системы с невосстанавливаемым резервом. Приведены граф переходов системы и математическое описание. Рассчитаны основные показатели надежности такой системы.
Восстанавливаемая система, работоспособность, надежность
Короткий адрес: https://sciup.org/147154788
IDR: 147154788
Текст научной статьи О расчете надежности восстанавливаемых систем с невосстанавливаемым резервом
Рассмотрим систему из n + 1 идентичных элементов, из которых только один является рабочим, а остальные n – ненагруженными резервными элементами. Система функционирует таким образом, что после отказа рабочего элемента производится его замена (восстановление системы) одним из резервных элементов, при этом восстановление отказавшего элемента не производится и в дальнейшей работе системы он участия не принимает. Система функционирует до тех пор, пока не откажет последний n + 1 элемент. Смысл такого рода резервирования заключается в том, что хотя каждый отказ элемента, стоящего на рабочем месте, фиксируется как отказ системы, но быстрая замена отказавшего элемента позволяет форсированно перевести систему в состояние работоспособности, поддерживая ее высокую готовность к функционированию [1].
Начав работать, система последовательно попадает из состояния работоспособности в состояние отказа, затем опять в состояние работоспособности и т. д., причем за время функционирования система может побывать только в конечном числе состояний H0, H1, ...,H2n, H2n +1. Пусть система находится в работоспособном состоянии, если она находится в «четных» состояниях H0, H2, ... , H2j, ..., H2n ; система находится в состоянии отказа, если она находится в «нечетных» состояниях H1, H3, ..., H2j+1, ..., H2n+1. Та- ким образом, H2 j – состояние работоспособности, в которое система переходит после j-го отказа и j-го восстановления; H2 j+1 - состояние отказа, в которое система переходит после j-го восстановления и, соответственно, j+1-го отказа.

Рис. 1. Граф переходов восстанавливаемой системы
Граф переходов описанной выше системы показан на рис. 1. На графе все нечетные (нижние) состояния являются состояниями отказа системы, а все четные (верхние) состояния – состояниями работоспособности. Введем обозначения
N = 2 n + 1; X j = Ю 2 j ; Ц j = ® 2.j - 1 ;
ц_1 = 0 ; 0 < j < n, тогда граф переходов можно представить в другом виде (рис. 2), что соответствует графу переходов системы для «схемы гибели» [1, 2].2

Рис. 2. Преобразованный граф переходов («схема гибели»)
О расчете надежности восстанавливаемых систем с невосстанавливаемым резервом
Решая систему дифференциальных уравнений, отвечающих графу на рис. 2, вероятность P k ( t ) того, что система в момент времени t находится в состоянии Hk [1] при начальных условиях P о ( 0 ) = 1; P k ( 0 ) = 0;1 < k < N ;
для случая, когда все юi различны, получим к-1 k p^itit
P k ( t ) = П ю У Е ------ ; 1 < k < N -1; (1)
j - 0 i - 0 П ( “ , - “- )
l - 0 l ^ i
N -1 N -1 ,,-l,) i '
P n ( t ) - 1- П Z e --------. (2)
j-0 i-0 “,П(“I - “J l-0 l ^ i
Если замена отказавшего элемента на резервный производится с одной и той же интенсивностью h независимо от номера отказа системы, а интенсивности последовательности отказов одинаковы и равны X , т. е.
“ 2. j + 1 -h ; 0 < j <
N –3
то в этом случае
; “ 2 j -X ;
получаем
0 < j <
N –1
для четных k
(Xh) 2 . P‘(t) T-h) * |
e
к
X t Z (-1 Ус i-0
k k 2
k
1 [ (h-x) - ] 2— i +
--1
—1 2
-1+i ( k .V — i V k 2 J
k — 1 + ( - 1 ) 2
k
--1
e —H t Z C i -0 :
k k2 —+i
k
KiHz-X t b
— i — 1
k 11/
— i - 1 k
2 )
Г ,
для нечетных k ( 0 < k < N )
Х(Хц ) 2 .
Pk ( t ) - (X-h) k 1
e —X t
k - 1
Z ( - 1)‘C.
i - 0
k — 1 k — 1
V [ (h-x) t 1 2— i
k —1 • 1 1
+ i | k - 1
I
i !
+
В условиях рассматриваемой модели значение коэффициента готовности равно
K - lim K ( t ) . (7) t ^^
Среднее время TN функционирования системы до ее окончательного отказа (состояние HN ) и среднее время T ^ пребывания системы в состояниях работоспособности определяются по выражениям
N –1 1 N –1 1
T n - Z — , T ^ - Z — (для четных i ). (8) k - 0 ю i k - 0 “ i
Вероятность того, что система в интервале времени [ 0; t ] еще функционирует (либо работает, либо производится замена отказавшего элемента), т. е. вероятность того, что система за интервал [ 0; t ] не попадет в конечное состояние H N , определяется по формуле S N ( t ) - 1 - pn ( t ), где вероятности pN ( t ) для соответствующих случаев определяются по выражениям (2) и (5).
Пусть имеется система из оного основного элемента и пяти резервных элементов, находящихся в ненагруженном режиме. Интенсивность отказов работающего элемента равна X- 0,05 1/ ч , интенсивность подключения резервных элементов на место отказавшего (интенсивность восстановления) равна ц - 5 1/4. Определим, что в момент времени t - 30 ч система будет работоспособной.
Система может находиться в двенадцати состояниях: H 0 , H 2 , H 4 , H 6 , H 8 , H 10 – состояния работоспособности; H 1 , H 3 , H 5 , H 7 , H 9 , H 11 – состояния отказа, причем H 0 – состояние системы, характеризующееся тем, что основной элемент работает безотказно; H 1 – состояние системы, в котором основной элемент отказал и началось подключение первого резервного элемента (восстановление системы); H 2 – состояние системы, в
k + 1
+ ( - 1)^
k - 1
e —h t Z C. i - 0
k - 1
k -1 .
+ i
k —1 .
KhzXO - Ll- 1
k - 1
r ,
i !
PN ( t ) - 1-F x n
n ( X t ) n -1v.
H e Z, ,,Z i ^) jcn -1+ j l —7 i -0 ( n - i )! j -0 k ц-Х,
X
j
I +
л n +1
+(-1) n+1 e ц-Х
. n —1 fl Я?- i —1 L ( 11 Y I
-h - ( M t ) _____ ^Cn h I
Z^ Zc cn + j r i-0(n-i-1)!j-0 Ац-ХJ I
-L
Используя формулы (1)–(5), для соответствующих вариантов можно определить вероятность пребывания системы в момент времени t в одном из состояний работоспособности K ( t ) :
N –1
K ( t ) - Z Pk ( t ) (для четных k ).
k - 0
котором закончилось подключение первого резервного элемента, и система продолжает работать безотказно и т. д.; H 11 – состояние окончательного отказа системы, когда отказали последовательно все пять резервных элементов.
Так как n - 5, N - 2 n + 1 - 11, то, воспользовавшись формулами (3)–(5), для вероятностей pk ( t ) того, что в момент времени t система находится в состоянии H k ( k - 0, 1, ..., 11 ) , получим
P 0 ( t ) - e -X t ,
P 1 ( - )=Д( e -X t - e" ) ,
P 2 ( t I ’T^ ( « [ ( H-X ) t - 1 ] + « -H ' ) , -, ( H -X )
P 10 ( t ) -
e "X t
— ( ц-Х ) 5 1 5 —5 ( ц-Х ) 4 1 4 + 120 24
Е.А. Алёшин
+ 2 ( ц-Л ) 3 t 3 - 35 ( ц-Л ) 2 t 2 + 70 ( ц-Л ) t - 126 ] - — e Ц t 24 (ц-Л) 4 t 4 + (ц-Л) 3 t 3 + "2" (ц-Л) 2 t 2 + + 56 ( ц-Л ) t + 126 ) .
Вероятность того, что система в момент времени t = 30 будет работоспособной в соответствии с формулой (6) равна K (t = 30) = 0,986. Вероятность того, что система в момент времени t = 30 попала в состояние окончательного отказа H11 равна pN (t) = p11 (30) = 0,004. Среднее вре мя работы системы (8) TN = 220 , а среднее время пребывания в состояниях работоспособности Т^ = 120.
Список литературы О расчете надежности восстанавливаемых систем с невосстанавливаемым резервом
- Козлов, Б.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики/Б.А. Козлов, И.А. Ушаков. -М.: Советское радио, 1975. -472 с.
- Элементы прикладной теории надежности: учеб. пособие/А.Г. Щипицын, А.А. Кощеев, Е.А. Алёшин, О.О. Павловская. -Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2007. -114 с.