О расчете надежности восстанавливаемых систем с невосстанавливаемым резервом

Бесплатный доступ

Описана работа восстанавливаемой системы с невосстанавливаемым резервом. Приведены граф переходов системы и математическое описание. Рассчитаны основные показатели надежности такой системы.

Восстанавливаемая система, работоспособность, надежность

Короткий адрес: https://sciup.org/147154788

IDR: 147154788

Текст научной статьи О расчете надежности восстанавливаемых систем с невосстанавливаемым резервом

Рассмотрим систему из n + 1 идентичных элементов, из которых только один является рабочим, а остальные n – ненагруженными резервными элементами. Система функционирует таким образом, что после отказа рабочего элемента производится его замена (восстановление системы) одним из резервных элементов, при этом восстановление отказавшего элемента не производится и в дальнейшей работе системы он участия не принимает. Система функционирует до тех пор, пока не откажет последний n + 1 элемент. Смысл такого рода резервирования заключается в том, что хотя каждый отказ элемента, стоящего на рабочем месте, фиксируется как отказ системы, но быстрая замена отказавшего элемента позволяет форсированно перевести систему в состояние работоспособности, поддерживая ее высокую готовность к функционированию [1].

Начав работать, система последовательно попадает из состояния работоспособности в состояние отказа, затем опять в состояние работоспособности и т. д., причем за время функционирования система может побывать только в конечном числе состояний H0, H1, ...,H2n, H2n +1. Пусть система находится в работоспособном состоянии, если она находится в «четных» состояниях H0, H2, ... , H2j, ..., H2n ; система находится в состоянии отказа, если она находится в «нечетных» состояниях H1, H3, ..., H2j+1, ..., H2n+1. Та- ким образом, H2 j – состояние работоспособности, в которое система переходит после j-го отказа и j-го восстановления; H2 j+1 - состояние отказа, в которое система переходит после j-го восстановления и, соответственно, j+1-го отказа.

Рис. 1. Граф переходов восстанавливаемой системы

Граф переходов описанной выше системы показан на рис. 1. На графе все нечетные (нижние) состояния являются состояниями отказа системы, а все четные (верхние) состояния – состояниями работоспособности. Введем обозначения

N = 2 n + 1; X j = Ю 2 j ; Ц j = ® 2.j - 1 ;

ц_1 = 0 ; 0 < j < n, тогда граф переходов можно представить в другом виде (рис. 2), что соответствует графу переходов системы для «схемы гибели» [1, 2].2

Рис. 2. Преобразованный граф переходов («схема гибели»)

О расчете надежности восстанавливаемых систем с невосстанавливаемым резервом

Решая систему дифференциальных уравнений, отвечающих графу на рис. 2, вероятность P k ( t ) того, что система в момент времени t находится в состоянии Hk [1] при начальных условиях P о ( 0 ) = 1; P k ( 0 ) = 0;1 k N ;

для случая, когда все юi различны, получим к-1     k      p^itit

P k ( t ) = П ю У Е ------ ; 1 k N -1;     (1)

j - 0 i - 0 П ( , - “- )

l - 0 l ^ i

N -1 N -1        ,,-l,) i '

P n ( t ) - 1- П    Z e --------.           (2)

j-0   i-0 “,П(“I - “J l-0 l ^ i

Если замена отказавшего элемента на резервный производится с одной и той же интенсивностью h независимо от номера отказа системы, а интенсивности последовательности отказов одинаковы и равны X , т. е.

2. j + 1 -h ; 0 j <

N –3

то в этом случае

; 2 j -X ;

получаем

0 j <

N –1

для четных k

(Xh) 2 . P(t) T-h) * |

e

к

X t Z (-1 Ус i-0

k k 2

k

1 [ (h-x) - ] 2 i +

--1

—1 2

-1+i ( k .V — i V k 2 J

k 1 + ( - 1 ) 2

k

--1

e —H t Z C i -0 :

k k2 —+i

k

KiHz-X t b

i 1

k        11/

— i - 1 k

2       )

Г ,

для нечетных k ( 0 k N )

Х(Хц ) 2 .

Pk ( t ) - (X-h) k 1

e —X t

k - 1

Z ( - 1)‘C.

i - 0

k 1                  k 1

V [ (h-x) t 1 2 i

k —1 •          1      1

+ i | k - 1

I

i !

+

В условиях рассматриваемой модели значение коэффициента готовности равно

K - lim K ( t ) . (7) t ^^

Среднее время TN функционирования системы до ее окончательного отказа (состояние HN ) и среднее время T ^ пребывания системы в состояниях работоспособности определяются по выражениям

N –1 1 N –1 1

T n - Z — , T ^ - Z — (для четных i ). (8) k - 0 ю i k - 0 i

Вероятность того, что система в интервале времени [ 0; t ] еще функционирует (либо работает, либо производится замена отказавшего элемента), т. е. вероятность того, что система за интервал [ 0; t ] не попадет в конечное состояние H N , определяется по формуле S N ( t ) - 1 - pn ( t ), где вероятности pN ( t ) для соответствующих случаев определяются по выражениям (2) и (5).

Пусть имеется система из оного основного элемента и пяти резервных элементов, находящихся в ненагруженном режиме. Интенсивность отказов работающего элемента равна X- 0,05 1/ ч , интенсивность подключения резервных элементов на место отказавшего (интенсивность восстановления) равна ц - 5 1/4. Определим, что в момент времени t - 30 ч система будет работоспособной.

Система может находиться в двенадцати состояниях: H 0 , H 2 , H 4 , H 6 , H 8 , H 10 – состояния работоспособности; H 1 , H 3 , H 5 , H 7 , H 9 , H 11 – состояния отказа, причем H 0 – состояние системы, характеризующееся тем, что основной элемент работает безотказно; H 1 – состояние системы, в котором основной элемент отказал и началось подключение первого резервного элемента (восстановление системы); H 2 – состояние системы, в

k + 1

+ ( - 1)^

k - 1

e —h t Z C. i - 0

k - 1

k -1 .

+ i

k —1 .

KhzXO - Ll- 1

k - 1

r ,

i !

PN ( t ) - 1-F x n

n ( X t ) n -1v.

H e Z, ,,Z i ^) jcn -1+ j l —7 i -0 ( n - i )! j -0            k ц-Х,

X

j

I +

л n +1

+(-1) n+1      e ц-Х

. n —1 fl Я?- i —1 L ( 11 Y I

-h - ( M t ) _____ ^Cn h I

Z^    Zc cn + j      r i-0(n-i-1)!j-0 Ац-ХJ I

-L

Используя формулы (1)–(5), для соответствующих вариантов можно определить вероятность пребывания системы в момент времени t в одном из состояний работоспособности K ( t ) :

N –1

K ( t ) - Z Pk ( t ) (для четных k ).

k - 0

котором закончилось подключение первого резервного элемента, и система продолжает работать безотказно и т. д.; H 11 – состояние окончательного отказа системы, когда отказали последовательно все пять резервных элементов.

Так как n - 5, N - 2 n + 1 - 11, то, воспользовавшись формулами (3)–(5), для вероятностей pk ( t ) того, что в момент времени t система находится в состоянии H k ( k - 0, 1, ..., 11 ) , получим

P 0 ( t ) - e -X t ,

P 1 ( - )=Д( e -X t - e" ) ,

P 2 ( t I ’T^ ( « [ ( H-X ) t - 1 ] + « -H ' ) , -, ( H -X )

P 10 ( t ) -

e "X t

— ( ц-Х ) 5 1 55 ( ц-Х ) 4 1 4 + 120           24

Е.А. Алёшин

+ 2 ( ц-Л ) 3 t 3 - 35 ( ц-Л ) 2 t 2 + 70 ( ц-Л ) t - 126 ] - e Ц t 24 (ц-Л) 4 t 4 + (ц-Л) 3 t 3 + "2" (ц-Л) 2 t 2 + + 56 ( ц-Л ) t + 126 ) .

Вероятность того, что система в момент времени t = 30 будет работоспособной в соответствии с формулой (6) равна K (t = 30) = 0,986. Вероятность того, что система в момент времени t = 30 попала в состояние окончательного отказа H11 равна pN (t) = p11 (30) = 0,004. Среднее вре мя работы системы (8) TN = 220 , а среднее время пребывания в состояниях работоспособности Т^ = 120.

Список литературы О расчете надежности восстанавливаемых систем с невосстанавливаемым резервом

  • Козлов, Б.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики/Б.А. Козлов, И.А. Ушаков. -М.: Советское радио, 1975. -472 с.
  • Элементы прикладной теории надежности: учеб. пособие/А.Г. Щипицын, А.А. Кощеев, Е.А. Алёшин, О.О. Павловская. -Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2007. -114 с.
Статья научная