О распознаваемости по спектру конечных простых ортогональных групп II
Автор: Кондратьев Анатолий Семенович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.11, 2009 года.
Бесплатный доступ
Исследована распознаваемость по спектру одного класса конечных простых ортогональных групп с несвязным графом простых чисел.
Конечная простая группа, спектр группы, граф простых чисел, распознавание по спектру, ортогональная группа.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318287
IDR: 14318287
Текст научной статьи О распознаваемости по спектру конечных простых ортогональных групп II
Пусть G — конечная группа. Обозначим через ^(G) спектр группы G, т. е. множество всех порядков ее элементов. Множество ш(G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга — Кегеля) GK(G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины p и q соединены ребром тогда и только тогда, когда pq Е ш(G). Обозначим число компонент связности графа GK(G) через s(G), а множество его связных компонент — через { п(G) | 1 6 i 6 s(G) } ; при этом для группы G четного порядка считаем, что 2 Е п 1 (G). Множество w(G) однозначно определяется подмножеством ^(G) своих максимальных по делимости элементов.
Общее строение конечных групп с несвязным графом простых чисел дается теоремой Грюнберга — Кегеля [35, теорема A]. Конечные простые неабелевы группы с несвязным графом простых чисел описаны в [18, 35].
Результаты о конечных группах с несвязным графом Грюнберга — Кегеля нашли большое применение в исследованиях распознаваемости конечных групп по спектру (см., например, обзор В. Д. Мазурова [22]). Конечная группа G называется распознаваемой (по спектру), если для любой конечной группы H с условием ш(Н ) = ^(G) имеем H = G.
Первый этап решения вопроса распознаваемости конечных простых групп с несвязным графом Грюнберга — Кегеля заключается в доказательстве условия квазираспознаваемости, более слабого, чем распознаваемость. Конечная простая неабелева группа P называется квазираспознаваемой, если любая конечная группа G c условием ^(G) = ш(Р ) имеет единственный неабелев композиционный фактор и этот фактор изоморфен P .
В [2–7, 11–17, 19, 32] доказана квазираспознаваемость конечной простой группы L в следующих случаях: 1) s(L) > 3 и L не изоморфна группе А б ; 2) s(L) =2 и L изоморфна одной из групп L n (2 k ), 2 D 2 m (q) (m > 1), 2 D 2 m +i (2) (m > 1), B 2 m (q) (m > 2), C 2 m (q) (m > 2), 3 D 4 (q), F i Cq), E e (q), 2 E e (q) (q > 2), B p (3) (p > 3 — простое число), C p (3)
(p — нечетное простое число), 2 D p (3)) (p — нечетное простое число), 2 D 2 m +i (3), D p (q) (p > 3 — простое число и q Е { 2, 3, 5 } ).
В данной работе продолжается изучение распознаваемости простых групп лиева типа с несвязным графом Грюнберга — Кегеля. Доказана следующая
Теорема. Если G — конечная группа с таким же спектром, как у простой группы D p +1 (q), где p — нечетное простое число и q Е { 2, 3 } , то G изоморфна D 4 (q) или B 3 (q) при p = 3 и G/O q (G) изоморфна D p +i (q) при p > 3, причем O q (G) = 1 при q = 3.
Утверждение теоремы при p = 3 было доказано ранее в [21, 33].
-
§ 1. Обозначения и вспомогательные результаты
Наши обозначения и терминология в основном стандартны, их можно найти в [23, 25, 27, 31]. Если n — натуральное число и p — простое число, то через n p и n(n) обозначаются соответственно p -часть и множество всех простых делителей числа n . Для конечной группы G положим n(G) = n( | G | ) и ^ i (G) = { n Е ^(G) | n(n) С n j (G) } . Через б обозначается переменная, принимающая значения + или — . Группы A ^ (q) обозначают соответственно A n (q) при б = + и 2 A n (q) при б = — . Если L — группа лиева типа, то через Inndiag( L ) обозначается группа, порожденная внутренними и диагональными автоморфизмами группы L. Обозначим через t(G) наибольшую из мощностей независимых множеств графа GK(G) (множество вершин графа называется независимым множеством, если его элементы попарно не смежны), а через t(r, G) — наибольшую из мощностей независимых множеств графа GK( G ), содержащих простое число r . Через p(r, G) обозначается некоторое независимое множество наибольшей мощности в GK(G), содержащее простое число r .
В доказательстве теоремы используются следующие результаты.
Лемма 1.1 [20, лемма 4] . Пусть P — конечная простая группа с несвязным графом Грюнберга — Кегеля. Tогда:
-
(a) l ^ i (P ) | = 1 для i > 1 (пусть n i = n ^ (P) обозначает единственный элемент из щ(Р ) для i > 1);
-
(b) для каждого i > 1 группа P содержит изолированную абелеву холлову n(n i )-подгруппу X i , причем эта подгруппа циклическая порядка n i , за исключением следующих случаев:
-
(1) P = L 3 (4), n i (P ) = 3 и подгруппа X i — элементарная абелева группа порядка 9;
-
(2) P = L 2 (q), где q — непростая степень нечетного простого числа p, n i (P ) = p и подгруппа X i — элементарная абелева группа порядка q;
-
(c) P, n i (P) и n i для 2 6 i 6 s(P) такие, как в приведенных ниже таблицах 1-3, где p обозначает нечетное простое число.
Лемма 1.2. Пусть G — конечная группа с несвязным графом Грюнберга — Кегеля, не изоморфная группе Фробениуса или двойной группе Фробениуса, и P — неабелев композиционный фактор в G. Тогда для каждого i Е { 2,..., s(G) } существует j Е { 2,..., s(P) } такое, что ^ i (G) = { n j (P ) } .
Доказательство следует из теоремы Грюнберга — Кегеля и леммы 1.2.
Лемма 1.3 (теорема Жигмонди [36] ). Пусть q и n — натуральные числа, q > 2. Если пара (q, n) отлична от (2, 6), то существует простое число, делящее q n — 1 и не делящее q i — 1 при любом натуральном i < n.
В обозначениях леммы 1.3 простое число, делящее q n — 1 и не делящее q i — 1 при любом натуральном i < п, называется примитивным простым делителем числа q n — 1 и обозначается через r n (q) или просто через r n , если q фиксировано.
Таблица 1
Конечные простые группы P с s(P) = 2
P |
Ограничения на P |
n i (P) |
n 2 |
A n |
6 < n = p,p + 1,p + 2; одно из чисел n, n — 2 непростое |
n (( n — 3)!) |
p |
A p - i (q) |
(p,q) = (3, 2), (3,4) |
n(q Q P - 11 (q i — 1)) |
q p — 1 (q — 1)(p, q — 1) |
A p ( q) |
(q — 1) 1 (p + 1) |
n(q(q p+1 — 1) Q q — 1)) |
q p — 1 q — 1 |
2 A p - i ( q ) |
n(q Q P -^q i — ( — 1) i )) |
q p + 1 (q + 1)(p, q +1) |
|
2 A p ( q) |
(q +1) 1 (p + 1), (p,q) = (3, 3), (5,2) |
n(q(q p+ 1 — 1) Q P - iV — ( — 1) i )) |
q p + 1 q + 1 |
2 А з (2) |
{ 2, 3 } |
5 |
|
B n (q) |
n = 2 m > 4, q нечетно |
n(q Q-V i — 1)) |
(q n + 1)/2 |
B p (3) |
n (3(3 p + 1) n p -i(3 2i — 1)) |
(3 p — 1)/2 |
|
C n (q) |
n = 2 m > 2 |
n(q II q — 1)) |
q n + 1 (2,q — 1) |
C p (q) |
q = 2, 3 |
n(q(q p + 1) n p -i(q 2 i — 1)) |
q p — 1 (2,q — 1) |
D p ( q ) |
p > 5, q = 2,3,5 |
n(q n p -i(q 2i — 1)) |
q p — 1 q — 1 |
D p +i ( q) |
q = 2, 3 |
n(q(q p + 1) n P -i(q 2 i — 1)) |
q p — 1 (2,q — 1) |
2 D n (q) |
n = 2 m > 4 |
n(q II q — 1)) |
q n + 1 (2,q +1) |
2 D n (2) |
n = 2 m + 1, m > 2 |
n(2(2 n + 1) Q n — (2 2i — 1)) |
2 n—i + 1 |
2 D p (3) |
5 6 p = 2 m + 1 |
n(3 n p -^ i — 1)) |
3 p + 1 4 |
2 D n (3) |
n = 2 m + 1 = p, m > 2 |
n(3(3 n + 1) Q n - i2 (3 2 i — 1)) |
3 n—i + 1 2 |
G 2 ( q) |
2
|
n(q(q 2 — 1)(q 3 — e)) |
q 2 — eq + 1 |
3 D 4 (q) |
n(q(q 6 — 1)) |
q 4 — q 2 + 1 |
|
F 4 ( q ) |
q нечетно |
n(q(q 6 — 1)(q 8 — 1)) |
q 4 — q 2 + 1 |
2 F 4 (2) 0 |
{ 2, 3, 5 } |
13 |
|
E 6 (q) |
n ( q(q 5 — 1)(q 8 — 1)(q i2 — 1) ) |
q 6 + q 3 + 1 (3,q — 1) |
|
2 E 6 (q) |
q> 2 |
n(q(q 5 + 1)(q 8 — 1)(q i2 — 1)) |
q 6 — q 3 + 1 (3,q +1) |
M 12 |
{ 2, 3, 5 } |
11 |
|
J 2 |
{ 2, 3, 5 } |
7 |
|
Ru |
{ 2, 3, 5,7,13 } |
29 |
|
He |
{ 2, 3, 5,7 } |
17 |
|
McL |
{ 2, 3, 5, 7 } |
11 |
|
Co 1 |
{ 2, 3, 5,7,11,13 } |
23 |
|
Co 3 |
{ 2, 3, 5,7,11 } |
23 |
|
Fi 22 |
{ 2, 3, 5,7,11 } |
13 |
|
F 5 |
{ 2, 3, 5,7,11 } |
19 |
Tаблица 2
Конечные простые группы P с s(P) = 3
P |
Ограничения на P |
n i (P ) |
n 2 |
n 3 |
A n |
n > 6, числа n = p,p - 2 простые |
n((n - 3)!) |
p |
p - 2 |
A i (q) |
3
|
n( q - 6) |
n( q) |
(q + e)/2 |
A i (q) |
q > 2, q четно |
{ 2 } |
q - 1 |
q + 1 |
2 A 5 (2) |
{ 2, 3, 5 } |
7 |
11 |
|
2 D p (3) |
p = 2 m + 1 > 3 |
n(3(3 p- 1 - 1) Ш 2+2' - 1)) |
(3 p- 1 + 1)/2 |
(3 p + 1)/4 |
G 2 (q) |
q = 0(3) |
n( q ( q 2 - 1)) |
q 2 - q + 1 |
q 2 + q + 1 |
2 G 2 (q) |
q = 3 2m+i > з |
n( q ( q 2 - 1)) |
q - V 3q + 1 |
q + V 3q + 1 |
F-q |
q четно |
n(q(q 4 - 1)(q 6 - 1)) |
q 4 - q 2 + 1 |
q 4 + 1 |
2 F 4 (q) |
q = 2 2 m +1 > 2 |
n(q(q 3 + 1)(q 4 - 1)) |
q 2 - p2q 3 + q - ^ 2q + 1 |
q 2 + p2q 3 + q + ^ 2q + 1 |
E 7 (2) |
{ 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 31,43 } |
73 |
127 |
|
E 7 (3) |
{ 2, 3, 5, 7,11,13,19, 37,41, 61, 73, 547 } |
757 |
1093 |
|
M 11 |
{ 2, 3 } |
5 |
11 |
|
M 23 |
{ 2, 3, 5, 7 } |
11 |
23 |
|
M 24 |
{ 2, 3, 5, 7 } |
11 |
23 |
|
J 3 |
{ 2, 3, 5 } |
17 |
19 |
|
HiS |
{ 2, 3, 5 } |
7 |
11 |
|
Suz |
{ 2, 3, 5, 7 } |
11 |
13 |
|
Co 2 |
{ 2, 3, 5, 7 } |
11 |
23 |
|
Fi 23 |
{ 2, 3, 5, 7,11,13 } |
17 |
23 |
|
F 3 |
{ 2, 3, 5, 7,13 } |
19 |
31 |
|
F 2 |
{ 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23 } |
31 |
47 |
Tаблица 3
Конечные простые группы P с s(P ) > 3
s(P) |
P |
Ограничения на P |
n i (P) |
n 2 |
n 3 |
n 4 |
n 5 |
n 6 |
4 |
A 2 (4) |
{ 2 } |
3 |
5 |
7 |
|||
2 B 2 (q) |
q=2 2 m +1 >2 |
{ 2 } |
q - 1 |
q -V 2q+1 |
q+ V 2q+1 |
|||
2 Е б (2) |
{ 2, 3, 5, 7,11 } |
13 |
17 |
19 |
||||
E 8 (q) |
q = 2, 3(5) |
n(q(q 8 - 1) (q 12 - 1)(q 14 - 1) (q 18 - 1)(q 20 - 1)) |
9 10 +9 5 +1 q 2 +q+1 |
q 8 - q 4 +1 |
q 10 - q 5 +1 q 2 - q+1 |
|||
M 22 |
{ 2, 3 } |
5 |
7 |
11 |
||||
J 1 |
{ 2, 3, 5 } |
7 |
11 |
19 |
||||
O 0 N |
{ 2, 3, 5, 7 } |
11 |
19 |
31 |
||||
LyS |
{ 2, 3, 5, 7,11 } |
31 |
37 |
67 |
||||
F i 0 24 |
{ 2, 3, 5, 7,11,13 } |
17 |
23 |
29 |
||||
F 1 |
{ 2, 3, 5, 7,11,13,17, 19, 23, 29, 31,47 } |
41 |
59 |
71 |
||||
5 |
E 8 (q) |
q = 0,1, 4(5) |
n(q(q 8 - 1) (q 10 - 1)(q 12 - 1) (q 14 - 1)(q 18 - 1)) |
Г+М q 2 +q+1 |
q 10 - q 5 +1 q 2 - q+1 |
q 8 - q 4 +1 |
q 10 +1 q 2 +1 |
|
6 |
J 4 |
{ 2, 3, 5, 7,11 } |
23 |
29 |
31 |
37 |
43 |
Лемма 1.4 [28] . Пусть p, q — простые числа такие, что pa — q b = 1 для некоторых натуральных чисел a, b. Tогда пара (p a , q b ) равна (3 2 , 2 3 ), (p, 2 b ) или (2 a , q).
Лемма 1.5 [21, лемма 1] . Пусть G — конечная группа, N — нормальная подгруппа в G, G/N —группа Фробениуса с ядром F и циклическим дополнением C. Если ( | F | , | N | ) = 1 и F не содержится в NC g ( N )/N, то s | C | G w(G) для некоторого s G n(N).
Лемма 1.6 [26, предложение 10] . Каждый максимальный тор T простой группы
D n (q), где n > 4, имеет порядок
------1------(q n 1
(4, q n - 1)
i)(q n 2 - 1) • • • (q n k - i)(q l 1 + 1)(q l 2 +1) • • • (q l m +1)
для подходящего разбиения числа n = n + n + ... + n k + l i +I 2 + ... + l m , где m четно.
Лемма 1.7 [10, табл. 4, 6, 8] . Пусть L = D p+i (q), где p — нечетное простое число и q Е { 2, 3 } . 'Тогда t(L) = [ 32+4 ] , t(q,L) = 3, t(2,L) = 2 при q = 3, p(q,L) = { q,r p ,r 2p } , p(2,L) = { 2,r p } при q = 3
-
§ 2. Доказательство теоремы
Пусть L = D p +i (q), где p — нечетное простое число и q Е { 2, 3 } . Ввиду [21, 33] можно считать, что p > 5.
Докажем сначала квазираспознаваемость группы L. По лемме 1.1 имеем s(L) = 2. Пусть G — конечная группа с условием ш(G) = ^(L) и N = F (G). Положим G = G/N .В силу теоремы Грюнбе р га — Кегеля, результата М. Р. Зиновьевой (Алеевой) [1] и лемм 1.1 и 1.2 имеем Inn(P) < G 6 Aut(P), где P — конечная простая группа с условиями
s(P) > 2, n(N) U n(G/Inn(P)) С n i (G), n 2 (L) = (q p - 1)/(q - 1) Е b(P) | 2 6 i 6 s(P ) } .
По теореме А. В. Васильева [9] и лемме 1.7 имеем t(P) > t(L) - 1 = [3p/4] > 3 и t(2,P) > t(2,L) > 2.
Далее рассматриваются все возможности для P , описываемые в таблицах 1–3.
Если P изоморфна одной из спорадических групп или одной из групп 2 А з (2), 2 F 4 (2) 0 , 2 A 5 (2), E z (2), E 7 (3), A 2 (4), 2 Е б (2), E o (2), то непосредственными вычислениями показываем, что из включения (q p - 1)/(q - 1) Е { n i (P) | 2 6 i 6 s(P) } следует, что пара (L, P ) равна (D 8 (2), E 7 (2>) , (D 8 (3), E t (3)) , ( d (2), O'N ), (D o (2), F 3 ), (D o (2), F 2 ), (D o (2), Ly) или (D g (2), J 4 ). Но n i (P) \ n i (L) содержит 73 в первом случае, 757 во втором случае, 19 в случаях с третьего по пятый и 37 в последних двух случаях, что невозможно.
-
(1) Пусть P — конечная простая исключительная группа лиева типа над полем порядка r.
Предположим, что p > 7. Тогда t(P) > 8. Ввиду леммы 1.1 и [10, табл. 9] (поправку см. в [13, предложение 2]) получаем t(P) = 12 и P = E 8 (r). Поэтому p Е { 11,13,17 } и
(q p
- 1)/(q - 1) Е {
r i0 + r 5 + 1 r 2 + r + 1
r i0 + 1 r 2 + 1
r 8 - r 4 + 1,
r i0 - r 5 + 1 r 2 - r + 1
.
Легко проверить, что ri0 + r5 + 1 r2 + r + 1
r i0 + 1
< r 2 + 1
< r 8 - r 4 + 1 <
r i0 - r 5 + 1 r 2 - r + 1 .
Поэтому множество { n i (P) | 2 6 i 6 s(P) } принадлежит отрезку [151, 331] при r = 2, отрезку [4561, 8401] при r = 3, отрезку [49981, 80581] при r = 4, отрезку [315121,464881] при r = 5, отрезку [4956001, 6568801] при r = 7, отрезку [14709241,18837001] при r = 8 и отрезку [38316961,47763361] при r = 9, отрезку [195019441,158681234401] при 11 6 r 6 25
и полуинтервалу [271983020401, + го ) при r > 27. Поскольку n 2 (L) = (q p — 1)/(q — 1) принадлежит { 2047, 8191, 797151,12207031,131071, 64570081 } , получаем n 2 (L) = 8191 и r = 3. Но тогда n 2 (L) = 8191 G { 4561, 5905, 6481, 8401 } ; противоречие.
Таким образом, p G { 5, 7 } и, следовательно, n 2 (L) принадлежит { 31,121 } при p = 5 и { 127, 1093 } при p = 7.
Пусть P изоморфна 3 D 4 (r) или F 4 (r). По лемме 1.1 n 2 (L) = (q p — 1)/(q — 1) G { r 4 — r 2 + 1,r 4 + 1 } . Если (q p — 1)/(q — 1) = r 4 — r 2 + 1, то r 4 — r 2 + 1 G { 31,121,127,1093 } , откуда n 2 (L) — 1 = r 2 (r 2 — 1) G { 2 • 3 • 5, 2 3 • 3 • 5, 2 • 7 • 3 2 , 2 2 • 3 • 7 • 13 } ; противоречие. Если n 2 (L) = r 4 + 1, то n 2 (L) — 1 = r 4 ; противоречие.
Пусть P = 2F4(r), где r = 22m+1 > 2. Tогда n2 (L) = (qp — 1)/(q — 1) = r2 + eV2r3 + r + eV2r + 1, откуда n2(L) — 1 = 2m+1(23m+1 + e22m+1 + 2m + e1) и, следовательно, m G {1, 2}. Если m = 1, то r = 8 и n2(L) = 73 + e36 равно 109 при e = + и 37 при e = —; противоречие. Если m = 2, то r = 32 и n2(L) = 1057 + e264 равно 1321 при e = + и 793 при e = —; противоречие.
Пусть P = 2B2(r), где r = 22m+1 > 2. Tогда n2(L) = (qp — 1)/(q — 1) G {r — 1,r + e \ 2r +1}.
Предположим, что n 2 (L) = r — 1. Тогда q = 2. Если p = 5, то r = 32 и, следовательно, 31,41 G n(P) \ n(L); противоречие. Если p = 7, то r = 128 и, следовательно, 113,127 G n(P) \ n(L); противоречие. Поэтому n 2 (L) = r + eV2r + 1, откуда n(L) — 1 = 2 m +1 (2 m + e1) и, следовательно, m G { 1, 2 } . Если m = 1, то r = 8 и n 2 (L) = 9 + e4 равно 13 при e = + и 5 при e = — ; противоречие. Если m = 2, то r = 32 и n 2 (L) = 33 + e8 равно 41 при e = + и 25 при e = — ; противоречие.
Пусть P = 2G2(r), где r = 32m+1 > 3. Tогда n2(L) = r + e V3r + 1, откуда n2(L) — 1 = 3m+1(3m + e1) и, следовательно, m = 1. Поэтому r = 27, p = 7 и n2(L) = 9(3 + e1) равно 36 при e = + и 18 при e = —; противоречие.
-
(2) Пусть P = A n , n > 6. По лемме 1.1 n 2 (L) := r — нечетное простое число, принадлежащее множеству { n, n — 1,n — 2 } . Tогда r = r p (q) = (q p — 1)/(q — 1). Пусть s = r 2 p (q). Tогда s делит (q p + 1)/(q + 1) и поэтому s 6 (q p + 1)/(q + 1) = r — ((q p — 1)/(q — 1) — (q p + 1)/(q + 1)) = r — 2(q p — q)/(q 2 — 1) < r — 4. Но тогда числа q и s смежны в графе GK(P), что противоречит лемме 1.7.
-
(3) Пусть n = 2 m > 2 и P изоморфна B n (r) (r нечетно и n > 4), C n (r), 2 D n (r) (n > 4) или 2 D n+i (r) (r G { 2, 3 } ). По лемме 1.1 возможны два случая: либо P = 2 D n+1 (3), n + 1 — простое число и (q p — 1)/(q — 1) = (3 n+1 + 1)/4, либо
(q p — 1)/(q — 1) = (r n + 1)/(2,r — 1).
Предположим, что выполняется первый случай. Пусть q = 2. Tогда 2 p — 1 = (3 n+1 + 1)/4. Вычитая 1 из обеих частей последнего равенства, получим 2 p — 2 = (3 n+1 — 3)/4, откуда 8(2 p-1 — 1) = 3(3 n — 1) и, следовательно, (3 n — 1) 2 = 8. Но тогда n = 2 и, следовательно, p = 3, что противоречит условию p > 5. Если q = 3, то 3 Р — 1 = (3 n+1 + 1)/2, откуда 3 p = 3(3 n + 1)/2; противоречие.
Поэтому выполняется второй случай. Если r четно, то (q p — 1)/(q — 1) = r n + 1, откуда r n = q(q p - 1 — 1)/(q — 1); противоречие. Значит, r нечетно.
Пусть q = 2. Tогда 2 Р — 1 = (r n + 1)/2. Вычитая 1 из обеих частей последнего равенства, получим 2 Р — 2 = (r n — 1)/2, откуда r n — 1 = 4(2 Р-1 — 1). Но r n — 1 делится на 8; противоречие.
Поэтому q = 3 и 3 Р — 1 = r n + 1, откуда r n — 1 = 3(3 p-1 — 1). Ясно, что 3 не делит r, следовательно, r > 5.
Если n > p — 1, то r n — 1 = 3(3 p-1 — 1) > 5 Р — 1, откуда 3 Р — 3 > 5 Р — 1 и, следовательно, 2 < (5/3) Р 6 1 — 2/3 Р < 1; противоречие. Поэтому n 6 p — 1.
Ввиду [10, табл. 8] имеем t(P) = 3n/4 + 1 > [3p/4], откуда n > p — 2. Но n = 2 m = p — 2, следовательно, n > p — 1.
Таким образом, n = p — 1 > 4 и, следовательно, r n — 1 = 3(3 n — 1). Но тогда r n = 3 - 3 n — 2, откуда 7 < (5/3) 4 6 (r/3) n = 3 — 2/3 n < 3; противоречие.
-
(4) Пусть P = А Г (s), где r — нечетное простое число, (s — e1) | (r + 1) и (r, s) = (3, 3),(5, 2) при e = — .
По лемме 1.1 имеем (q p — 1)/(q — 1) = (s r — e1)/(s — e1). Вычитая 1 из обеих частей последнего равенства, получим q(q p-1 — 1)/(q — 1) = s(s r-1 — 1)/(s — e1).
Пусть r = 3. Tогда пара (s, e) равна (3, +) или (5, +) и q Р — 1 = (q — 1)s(s + 1)/q G { 6, 8,15, 20 } , откуда p = 3; противоречие.
Таким образом, r > 5. Предположим, что r 6 7, s = 2 и e = +. Тогда q(q Р-1 — 1)/(q — 1) G { 30,126 } и, следовательно, q = 2 и p = r = 7. Согласно таблице 1 n i (G) \ n i (G) = { 11,13, 43 } , поэтому { 11,13,43 } C n(N). Поскольку подгруппа N нильпотентна, 11 • 13 • 43 G w(N) C ^(L). Элемент порядка 11 • 13 • 43 из L принадлежит некоторому максимальному тору группы L, что противоречит лемме 1.6. Итак, пара (s, e) не равна (2, +) при r 6 7 и, следовательно, по [10, табл. 8] имеем t(P) = [(r + 2)/2] = (r + 1)/2 > [3p/4], откуда легко увидеть, что r > (3p — 5)/2. Допустим, что q делит s. Тогда q = s и (q p-1 — 1)/(q — 1) = (q r-1 — 1)/(q — el). Пусть e = — . Тогда (q Р-1 — 1)/(q — 1) = (q r-1 — 1)/(q + 1). Прибавляя 1 к обеим частям этого равенства, получим (q Р-1 + q — 2)/(q — 1) = q(q r-2 — 1)/(q + 1), что невозможно Поэтому e = + и p = r, откуда ввиду неравенства r > (3p — 5)/2 следует, что p = 5.
Следовательно, q не делит s. Имеем sr-1 - 1 = q(s — e1) (Р 1 s 1 s(q — 1)(q 1)’
Предположим, что s > q. Тогда s > 3. Легко проверить, что q(s — e1)/(s(q — 1)) < 3. Поэтому sr-1 — 1 < 3(qp-1 — 1) и, следовательно, sr-1 < 3qp-1 < sp, откуда r 6 p и, следовательно, r = p = 5. Поэтому s4 < 3q4, откуда (s/q)4 < 3. Если q = 2, то 3 < (3/2)4 6 (s/q)4 < 3; противоречие. Если q = 3, то 3 < (4/3)4 6 (s/q)4 < 3; противоречие.
Таким образом, s < q и, следовательно, s = 2 и q = 3. Но тогда 4(2 r-1 — 1) = 3(2 — e1)(3 p-1 — 1), что невозможно, так как правая часть последнего равенства делится на 8, а левая — нет.
-
(5) Пусть r — нечетное простое число и P изоморфна B r (s) (s = 3), C r (s) (s G { 2, 3 } ), D r (s) (r > 5, s G { 2, 3, 5 } ) или D r +i (s) (r > 5, s G { 2, 3 } ). Tогда (q Р — 1)/(q — 1) = (s r — 1)/(s — 1)-
- Если r = 3, то q < s и, следовательно, q = 2 и s = 3, откуда 31 = 25 — 1 6 (qp — 1)/(q — 1) = (sr — 1)/(s — 1) = 13; противоречие.
Итак, r > 5. Предположим, что r = p и, следовательно, s = q. Если r = 5, s = 2 и P = С з (2), то (q p — 1)/(q — 1) =2 5 — 1 = 31 и, следовательно, p = r. Поэтому ввиду [10, табл. 8] число t(P) равно [(3r + 5)/4], [(3r + 5)/4], [(3r + 1)/4] и [(3r + 4)/4], если группа P изоморфна B r (s), C r (s), D r (s) и D r+i (s) соответственно. Теперь из неравенства t(P) > [3p/4] легко получается, что r > p — 2. Если s < q, то r > p, s = 2 и q = 3 и, следовательно, 2 r — 1 = (3 p — 1)/2, откуда 2 r +1 — 3 p = 1, что противоречит лемме 1.4. Поэтому s > q, откуда r < p и, следовательно, r = p — 2 и p > 7. Если s = 3, то q = 2 и, следовательно, 2 p — 1 = (3 p-2 — 1)/2, откуда 2 p+1 — 3 p-2 = 1, что противоречит лемме 1.4. Поэтому s = 5 и 5 p-2 — 1)/4 = (q p — 1)/(q — 1),
5 P -2 = q p -2
q — 1
и, следовательно,
(5 /q ) p-2 <
откуда
+ 1
-
q
-
4q 2
q
-
.
Если q = 2, то 16 < (5/2) 5 6 (5/2) p—2 < 16; противоречие. Поэтому q = 3. Если p > 7, то 16 < (5/3) 7 6 (5/2) p—2 < 16; противоречие. Таким образом, p = 7. Но тогда 781 = 5 5 — 1)/4 = (3 7 — 1)/2) = 1093, что невозможно.
Итак, r = p и, следовательно, s = q. Изоморфизм P = L = D p+i (q) означает квазираспознаваемость группы L. Поэтому можно считать, что P = B p (q), C p (q) или D p (q).
Предположим, что P = D p (q). Пусть t = r 2p (q). В силу таблицы 1 и леммы 1.3 имеем t Е n(L) \ n(P) = { t } , поэтому t Е n(N). По [31, утверждение 4.1.20] группа P содержит подгруппу P i , изоморфную группе U : L p (q), где | U | = q p(p-1)/2 . Ввиду [10, табл. 4] и леммы 1.7 в P 1 найдется элемент x простого порядка r p (q), несмежного с q в графе GK(P). Поэтому P 2 := O q (P i ) : h x i есть группа Фробениуса. Пусть X — полный прообраз в G группы P 2 . Применяя к факторгруппе X/Ov (N) лемму 1.4, получим, что r 2p (q) • r p (q) Е ^(L), а это противоречит лемме 1.7.
Таким образом, P = B p (q) или C p (q). Но тогда ввиду леммы 1.3 и [8, теоремы 3-5, 7] (q p + 1)/(2, q — 1) Е w(P ) \ ^(L), что невозможно.
-
(6) Пусть P = A i (s), где s > 3. Тогда t(P) = 3 6 [3p/2] и, следовательно, p = 5.
Допустим, что s = 2b для некоторого b Е N. Тогда q5
-
q
— 1
= 2 b + 61.
Пусть q = 2. Тогда 2 b = 31 ± 1 Е { 30, 32 } и, следовательно, b = 5 и 6 = — . Поэтому множество n(L) \ п(Р) = { 17 } содержится в n(N). Но P содержит группу Фробениуса, изоморфную 2 5 : 31. Применяя лемму 1.5, получаем, что 17 • 31 Е n(L), что противоречит лемме 1.6. Поэтому q = 3. Если 6 = +, то 2 b = 3(3 4 — 1)/2; противоречие. Следовательно, 6 = — и 2 b +1 — 3 5 = 1, что противоречит лемме 1.4.
Таким образом, s = 61(4) и s = rb, где r — простое число и b Е N. Тогда q5 — 1
q
— 1
( s + 61 ]
Е и, 2Г
Пусть q = 3. Тогда (q 5 — 1)/(q — 1) = 121 = 11 2 , откуда 121 = (s + 61)/2, т. е. s = 242 ± 1 Е { 243, 241 } . Поскольку 241 не делит порядок группы P = D q (3), s = 243 = 3 5 . Но тогда 11 Е n(P) \ n(L); противоречие.
Поэтому q = 2 и (q 5 — 1)/(q — 1) = 31. Предположим, что 31 = (s + 61)/2. Тогда s = 62 ± 1 G { 61, 63 } и, следовательно, s = 61 6 n(P ) \ n(L); противоречие.
-
(7) Пусть P = A r - 1 (s), где r — нечетное простое число и (r, s) = (3, 2), (3,4) при 6 = +.
Ввиду лемм 1.1 и 1.2 имеем sr — 61 = qp — 1
(s — 61)(r, s — 61) q — 1 ’ откуда sr — 61 (r, s — 61)(qp — 1)
s — 61 q — 1
Вычитая единицу из обеих частей последнего равенства, получаем sr-1 — 1 (r, s — 61)(qp — 1) — q + 1
s--------- = s — 61
Пусть r = 3. Ввиду [10, табл. 8] 4 > t(P ) > [3p/4], поэтому p = 5.
Предположим, что (3, s — 61) = 1. Тогда s(s + 61) = q(q 4 — 1)/(q — 1). Если q = 3, то s(s + 61) = 120 = 2 3 • 3 • 5, откуда s = 8 и s(s + 61) = 8(8 ± 1) < 120; противоречие. Поэтому q = 2 и s(s + 61) = 30 = 2 • 3 • 5, откуда s = 5 и 6 = +. Но тогда множество n(L) \ п(Р) = { 11,17 } содержится в n(N). Отсюда 11 • 17 G ш(Ь), что противоречит лемме 1.6.
Таким образом, (3, s — 61) = 3 и s(s + 61) = 3(q 5 — 1)/(q — 1) — 1 G { 2 2 • 23, 2 • 181 } ; противоречие.
Итак, r > 5. Если 5 6 r 6 11 и s = 2, то ввиду [10, табл. 8] неравенство t(P ) > [3p/4] и условие n 2 (L) = n 2 (P) влекут, что p = r = 5 и 6 = +, а значит, q = 2. Но тогда 7 G n(P) \ n(L); противоречие. Поэтому опять по [10, табл. 8] имеем t(P) = (r + 1)/2 > [3p/4], откуда легко увидеть, что r > (3p — 5)/2.
Пусть (r, s — 61) = 1.
Предположим, что q делит s. Тогда q = s и так же, как в (4), получаем r = p и 61 = +, откуда p > (3p — 5)/2 и, следовательно, p = 5. Пусть q = 2. Тогда множество n 1 (L) \ n 1 (P) содержится в n(N) и равно { 11,17 } . Отсюда 11 • 17 G ш(Ь), что противоречит лемме 1.6. Таким образом, q = 3 и, следовательно, множество n 1 (L) \ п 1 (P) содержится в n(N) и равно { 7,41, 61 } . Отсюда 7 • 41 • 61 G ш(Ь), что противоречит лемме 1.6.
Таким образом, q не делит s. Имеем sr-1 — 1 = ^(р^ (qp-1 — 1). s(q — i)
Предположим, что s > q и, в частности, s > 3. Тогда, как в (4), показываем, что r 6 p. Отсюда следует, что r = p = 5. Легко проверить, что ^-- 1) < 3. Поэтому s 4 — 1 < 3(q 4 — 1) и, следовательно, s 4 < 3q 4 , откуда (s/q) 4 < 3. Если q = 2, то 3 < (3/2) 4 6 (s/q) 4 < 3; противоречие. Если q = 3, то 3 < (4/3) 4 6 (s/q) 4 < 3; противоречие.
Итак, (r, s — 61) = r. Тогда sr-1 — 1 rqp — r — q + 1 rqp r + q — 1
s — 61 s(q — 1) s(q — 1) s(q — 1) "
Кроме того, ввиду неравенства r > 5 имеем s > 4.
Предположим, что е = +. Тогда r/(s(q — 1)) < 1 и, следовательно, r-1
sr-2 < sr-2 + ... + s + 1 = s----— < qp, s—1
откуда s r -2 < q p . Ввиду неравенства r > 5 и делимости s — 1 на r имеем s > 8.
Пусть r = 5. Тогда s > 11 и p = 5 (ввиду неравенства r > (3p — 5)/2). Поэтому 1331 = 11 3 6 s 3 < q 5 6 3 5 = 243; противоречие.
Таким образом, r > 7. Ввиду неравенства r > (3p — 5)/2 имеем 8 r -2 6 s r -2 < q p 6 5 p и, следовательно, r — 2 < p, откуда r 6 p. Теперь неравенство r > (3p — 5)/2 влечет r = p = 5; противоречие.
Итак, е = — .
Предположим, что s = 4. Тогда r = 5. Ввиду неравенства 3 = t(P) > [3p/4] имеем p = 5. Но тогда 41 = (s r + 1)/(r(s + 1)) = (q p — 1)/(q — 1) G { 31,121 } ; противоречие.
Таким образом, s > 4 и, следовательно, s > 9. Имеем sr 1 — 1 rqp — r — q + 1 rqp r + q — 1
- s + 1 s(q — 1) s(q — 1) s(q — 1) "
Предположим, что r/(s(q — 1)) 6 1. Тогда sr-1 — 1
s + 1
= s r -2
-
. r- 2 — 1
s + 1
> 4s r-2 /5.
Отсюда 4 • 9 r-2 /5 < q p 6 3 p и, следовательно, (4/5) • 3 2(r-2) 6 3 p . Но тогда 3 2( r- 2) -p 6 5/4, откуда 2(r — 2) — p < 1, т. е. p = 2(r — 2); противоречие.
Таким образом, r/(s(q — 1)) > 1 и, следовательно, q = 2 и r = s +1. Но тогда s четно и s(s r-1 — 1)/(s +1)2 = 2(2 p-1 — 1), откуда получаем s = 2; противоречие с тем, что s > 9.
Итак, P = L, т. е. квазираспознаваемость группы L доказана.
Предположим, что N = 1. Можно считать, что N — элементарная абелева r-группа для некоторого простого числа r из n i (G) и P действует точно и неприводимо на N .
Предположим, что r = q. Рассмотрим стабилизатор R (p + 1)-мерного вполне изотропного подпространства в ^ +( p +i) (q). Положим R = R/Z (^ +( p +i) (q)). Можно считать, что R < P. Тогда по [31, утверждение 4.1.20] имеем R = U : L p+i (q), где | U | = q p(p+1)/2 . Ввиду [10, табл. 4] и леммы 1.7 в R найдется элемент x простого порядка r p (q), не смежного с q в графе GK(G). Поэтому U : h x i есть группа Фробениуса. Применяя к группе N : U : h x i лемму 1.4, получим, что r • r p (q) G ^(L). Элемент порядка r • r p (q) из L принадлежит некоторому максимальному тору T группы L. По лемме 1.6 | T | = q p — 1. Поскольку q p — 1 взаимно просто с q i — 1 для всех i < p, можно считать, что r = r p (q). Но тогда подгруппа N : U является группой Фробениуса и, следовательно, U является либо циклической группой, либо (обобщенной) группой кватернионов; противоречие с тем, что на группе U точно действует неразрешимая группа L p+i (q).
Таким образом, r = q. Если q = 3, то по [30, теорема 1.3] каждый элемент из P фиксирует некоторый неединичный элемент из N, что противоречит лемме 1.1.
Итак, N = 1 при q = 3 и N = O 2 (G) при q = 2.
Предположим, что Inn(P) < G. Если Inn(P) < GПInndiag(P), то граф GK(G) связен, что не так. Поэтому ввиду строения группы Out(P) и [29, (1)-(9)] имеем G = Inn(P) : hti, где t — инволютивный графовый автоморфизм группы P . По [34] централизатор Cp(t) содержит подгруппу, изоморфную группе Bp(q). Поэтому rp(q) G ш(Ср(t)). Но по лемме 1.7 числа 2 и rp(q) не смежны в графе GK(G); противоречие. Таким образом, G = Inn(P).
Теорема доказана.
Список литературы О распознаваемости по спектру конечных простых ортогональных групп II
- Алеева М. Р. О конечных простых группах с множеством порядков элементов, как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса//Мат. заметки.-2003.-T. 73, вып. 3.-С. 323-339.
- Алексеева О. А. Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп ^3D_4(q), q четно//Алгебра и логика.-2006.-T. 45, № 1.-С. 3-19.
- Алексеева О. А., Кондратьев А. С. О распознаваемости группы E_8(q) по множеству порядков элементов//Укр. мат. журн.-2002.-T. 54, № 7.-С. 1003-1008.
- Алексеева О. А., Кондратьев А. С. Квазираспознаваемость одного класса конечных простых групп по множеству порядков элементов//Сиб. мат. журн.-2003.-T. 44, № 2.-С. 241-255.
- Алексеева О. А., Кондратьев А. С. Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп ^3D_4(q) и F_4(q) для нечетного q//Алгебра и логика.-2005.-T. 44, № 5.-С. 517-539.
- Алексеева О. А., Кондратьев А. С. Распознаваемость по спектру групп ^2D_p(3) для нечетного простого числа p//Tр. Ин-та математики и механики УрО РАН.-2008.-T. 14, № 4.-С. 3-11.
- Алексеева О. А., Кондратьев А. С. О распознаваемости по спектру некоторых простых ортогональных групп//Tр. Ин-та математики и механики УрО РАН.-2009.-T. 15, № 1.-С. 30-43.
- Бутурлакин А. А., Гречкосеева М. А. Циклическое строение максимальных торов в конечных классических группах//Алгебра и логика.-2007.-Т. 46, № 2.-С. 129-156.
- Васильев А. В. О связи между строением конечной группы и свойствами ее графа простых чисел//Сиб. мат. журн.-2005.-T. 46, № 3.-С. 511-522.
- Васильев А. В., Вдовин Е. П. Критерий смежности в графе простых чисел конечной простой группы//Алгебра и логика.-2005.-T. 44, № 6.-С. 682-725.
- Васильев А. В., Горшков И. Б., Гречкосеева М. А., Кондратьев А. С., Старолетов А. М. О распознаваемости по спектру конечных простых групп типов {B_n}, C_n и ^2D_n при n=2^k//Tр. Ин-та математики и механики УрО РАН.-2009.-T. 15, № 2.-С. 30-43.
- Васильев А. В., Гречкосеева М. А. О распознаваемости конечных простых ортогональных групп размерности 2^m, 2^m+1 и 2^m+2//Сиб. мат. журн.-2004.-T. 45, № 3.-С. 510-526.
- Васильев А. В., Гречкосеева М. А. Распознавание по спектру конечных простых линейных групп малых размерностей над полями характеристики 2//Алгебра и логика.-2008.-T. 47, № 5.-С. 558-570.
- Гречкосеева М. А. Распознаваемость по спектру группы Ω^+_10(2)//Сиб. мат. журн.-2003.-T. 44, № 4.-С. 734-741.
- Гречкосеева М. А. Распознавание по спектру конечных простых линейных групп над полями характеристики 2//Алгебра и логика.-2008.-T. 47, № 4.-С. 405-427.
- Зиновьева М. Р. Распознавание по спектру простых групп C_p(3) для нечетного простого числа p//Алгебра и ее приложения: Тр. Межд. алгебр. конф., посв. 80-летию со дня рождения А. И. Кострикина.-Нальчик: КБУ, 2009.-С. 56-57.
- Зиновьева М. Р., Шен Р., Ши В. Распознавание простых групп B_p(3) по множеству порядков элементов//Tез. докл. Междунар. алгебр. конф., посв. 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша.-М.: Изд-во мат.-мех. фак-та МГУ, 2008.-С. 105-106.
- Кондратьев А. С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп//Мат. сб.-1989.-T. 180, № 6.-С. 787-797.
- Кондратьев А. С. Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп E_6(q) и {^2}E_6(q)//Сиб. мат. журн.-2007.-T. 48, № 6.-С. 1250-1271.
- Кондратьев А. С., Мазуров В. Д. Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов//Сиб. мат. журн.-2000.-T. 41, № 2.-С. 359-369.
- Мазуров В. Д. Характеризации конечных групп множествами порядков их элементов//Алгебра и логика.-1997.-Т. 36, № 1.-С. 37-53.
- Мазуров В. Д. Группы с заданным спектром//Изв. Урал. гос. ун-та.-2005.-№ 36.-С. 119-138.-(Математика и механика; вып. 7.)
- Cеминар по алгебраическим группам.-М.: Мир, 1973.-315 с.
- Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.-М.: Мир, 1975.-262 с.
- Aschbacher M. Finite group theory.-Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1986.-274 p.
- Carter R. W. Centralizers of semisimple elements in the finite classical groups//Proc. London Math. Soc. Ser. 3.-1981.-Vol. 42, № 1.-P. 1-41.
- Conway J. H., Curtis R. G., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of finite groups.-Oxford: Clarendon Press, 1985.-252 p.
- Gerono G. C. Note sur la resolution en nombres entiers et positifs de l'equation x^m=y^n+1//Nouv. Ann. Math.-1870.-Vol. 9, № 2.-P. 469-471.
- Gorenstein D., Lyons R. The local structure of finite groups of characteristic 2 type.-Providence (RI): Amer. Math. Soc., 1983.-(Mem. Amer. Math. Soc.-Vol. 42, № 276.)
- Guralnick R. M., Tiep P. H. Finite simple unisingular groups of Lie type//J. Group Theory.-2003.-Vol. 6, № 3.-P. 271-310.
- Kleidman P., Liebeck M.} The subgroup structure of the finite classical groups.-Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990.-303 p.
- Kondrat'ev A. S. Recognition by spectrum of the groups ^2D_{2^m+1}(3)//Science in China. Ser. A: Mathematics.-2009.-Vol. 52, № 2.-P. 293-300.
- Shi W. J., Tang C. Y. A characterization of some orthogonal groups//Progr. Nat. Sc.-1997.-Vol. 7, № 2.-P. 155-162.
- Stensholt E. Certain embeddings among finite groups of Lie type//J. Algebra.-1978.-Vol. 53, № 1.-P. 136-187.
- Williams J. S. Prime graph components of finite groups//J. Algebra.-1981.-Vol. 69, № 2.-P. 487-513.
- Zsigmondy K. Zur theorie der potenzreste//Monatsh. Math. Phys.-1892.-Vol. 3, № 1.-P. 265-284.