О распознаваемости по спектру конечных простых ортогональных групп II

Пусть G — конечная группа. Обозначим через ^(G) спектр группы G, т. е. множество всех порядков ее элементов. Множество ш(G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга — Кегеля) GK(G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины p и q соединены ребром тогда и только тогда, когда pq Е ш(G). Обозначим число компонент связности графа GK(G) через s(G), а множество его связных компонент — через { п(G) | 1 6 i 6 s(G) } ; при этом для группы G четного порядка считаем, что 2 Е п 1 (G). Множество w(G) однозначно определяется подмножеством ^(G) своих максимальных по делимости элементов.

Общее строение конечных групп с несвязным графом простых чисел дается теоремой Грюнберга — Кегеля [35, теорема A]. Конечные простые неабелевы группы с несвязным графом простых чисел описаны в [18, 35].

Результаты о конечных группах с несвязным графом Грюнберга — Кегеля нашли большое применение в исследованиях распознаваемости конечных групп по спектру (см., например, обзор В. Д. Мазурова [22]). Конечная группа G называется распознаваемой (по спектру), если для любой конечной группы H с условием ш(Н ) = ^(G) имеем H = G.

Первый этап решения вопроса распознаваемости конечных простых групп с несвязным графом Грюнберга — Кегеля заключается в доказательстве условия квазираспознаваемости, более слабого, чем распознаваемость. Конечная простая неабелева группа P называется квазираспознаваемой, если любая конечная группа G c условием ^(G) = ш(Р ) имеет единственный неабелев композиционный фактор и этот фактор изоморфен P .

В [2–7, 11–17, 19, 32] доказана квазираспознаваемость конечной простой группы L в следующих случаях: 1) s(L) >  3 и L не изоморфна группе А б ; 2) s(L) =2 и L изоморфна одной из групп L n (2 ^k ), 2 D 2 m (q) (m > 1), 2 D 2 m +i (2) (m > 1), B 2 m (q) (m > 2), C 2 m (q) (m > 2), 3 D 4 (q), F i Cq), E e (q), ² E e (q) (q > 2), B p (3) (p > 3 — простое число), C p (3)

(p — нечетное простое число), 2 D _p (3)) (p — нечетное простое число), 2 D 2 m +i (3), D p (q) (p > 3 — простое число и q Е { 2, 3, 5 } ).

В данной работе продолжается изучение распознаваемости простых групп лиева типа с несвязным графом Грюнберга — Кегеля. Доказана следующая

Теорема. Если G — конечная группа с таким же спектром, как у простой группы D _p +1 (q), где p — нечетное простое число и q Е { 2, 3 } , то G изоморфна D 4 (q) или B 3 (q) при p = 3 и G/O _q (G) изоморфна D _p +i (q) при p >  3, причем O _q (G) = 1 при q = 3.

Утверждение теоремы при p = 3 было доказано ранее в [21, 33].

• § 1.    Обозначения и вспомогательные результаты

Наши обозначения и терминология в основном стандартны, их можно найти в [23, 25, 27, 31]. Если n — натуральное число и p — простое число, то через n _p и n(n) обозначаются соответственно p -часть и множество всех простых делителей числа n . Для конечной группы G положим n(G) = n( | G | ) и ^ i (G) = { n Е ^(G) | n(n) С n j (G) } . Через б обозначается переменная, принимающая значения + или — . Группы A ^ (q) обозначают соответственно A _n (q) при б = + и ² A n (q) при б = — . Если L — группа лиева типа, то через Inndiag( L ) обозначается группа, порожденная внутренними и диагональными автоморфизмами группы L. Обозначим через t(G) наибольшую из мощностей независимых множеств графа GK(G) (множество вершин графа называется независимым множеством, если его элементы попарно не смежны), а через t(r, G) — наибольшую из мощностей независимых множеств графа GK( G ), содержащих простое число r . Через p(r, G) обозначается некоторое независимое множество наибольшей мощности в GK(G), содержащее простое число r .

В доказательстве теоремы используются следующие результаты.

Лемма 1.1 [20, лемма 4] . Пусть P — конечная простая группа с несвязным графом Грюнберга — Кегеля. Tогда:

• (a)    l ^ i (P ) | = 1 для i >  1 (пусть n i = n ^ (P) обозначает единственный элемент из щ(Р ) для i >  1);

• (b)    для каждого i >  1 группа P содержит изолированную абелеву холлову n(n i )-подгруппу X i , причем эта подгруппа циклическая порядка n i , за исключением следующих случаев:

• (1)    P = L 3 (4), n i (P ) = 3 и подгруппа X i — элементарная абелева группа порядка 9;

• (2)    P = L 2 (q), где q — непростая степень нечетного простого числа p, n i (P ) = p и подгруппа X i — элементарная абелева группа порядка q;

• (c)    P, n i (P) и n i для 2 6 i 6 s(P) такие, как в приведенных ниже таблицах 1-3, где p обозначает нечетное простое число.

Лемма 1.2. Пусть G — конечная группа с несвязным графом Грюнберга — Кегеля, не изоморфная группе Фробениуса или двойной группе Фробениуса, и P — неабелев композиционный фактор в G. Тогда для каждого i Е { 2,..., s(G) } существует j Е { 2,..., s(P) } такое, что ^ i (G) = { n j (P ) } .

Доказательство следует из теоремы Грюнберга — Кегеля и леммы 1.2.

Лемма 1.3 (теорема Жигмонди [36] ). Пусть q и n — натуральные числа, q >  2. Если пара (q, n) отлична от (2, 6), то существует простое число, делящее q ⁿ — 1 и не делящее q i — 1 при любом натуральном i < n.

В обозначениях леммы 1.3 простое число, делящее q n — 1 и не делящее q i — 1 при любом натуральном i < п, называется примитивным простым делителем числа q n — 1 и обозначается через r n (q) или просто через r n , если q фиксировано.

Таблица 1

Конечные простые группы P с s(P) = 2

P	Ограничения на P	n i (P)	n 2
A n	6 < n = p,p + 1,p + 2; одно из чисел n, n — 2 непростое	n (( n — 3)!)	p
A p - i (q)	(p,q) = (3, 2), (3,4)	n(q Q P - 11 (q i — 1))	q p — 1 (q — 1)(p, q — 1)
A p ( q)	(q — 1) 1 (p + 1)	n(q(q p+1 — 1) Q q — 1))	q p — 1 q — 1
2 A p - i ( q )		n(q Q P -^q i — ( — 1) i ))	q p + 1 (q + 1)(p, q +1)
2 A p ( q)	(q +1) 1 (p + 1), (p,q) = (3, 3), (5,2)	n(q(q p+ 1 — 1) Q P - iV — ( — 1) i ))	q p + 1 q + 1
2 А з (2)		{ 2, 3 }	5
B n (q)	n = 2 m >  4, q нечетно	n(q Q-V i — 1))	(q n + 1)/2
B p (3)		n (3(3 p + 1) n p -i(3 2i — 1))	(3 p — 1)/2
C n (q)	n = 2 m >  2	n(q II q — 1))	q n + 1 (2,q — 1)
C p (q)	q = 2, 3	n(q(q p + 1) n p -i(q 2 i — 1))	q p — 1 (2,q — 1)
D p ( q )	p >  5, q = 2,3,5	n(q n p -i(q 2i — 1))	q p — 1 q — 1
D p +i ( q)	q = 2, 3	n(q(q p + 1) n P -i(q 2 i — 1))	q p — 1 (2,q — 1)
2 D n (q)	n = 2 m >  4	n(q II q — 1))	q n + 1 (2,q +1)
2 D n (2)	n = 2 m + 1, m >  2	n(2(2 n + 1) Q n — (2 2i — 1))	2 n—i + 1
2 D p (3)	5 6 p = 2 m + 1	n(3 n p -^ i — 1))	3 p + 1 4
2 D n (3)	n = 2 m + 1 = p, m >  2	n(3(3 n + 1) Q n - i2 (3 2 i — 1))	3 n—i + 1 2
G 2 ( q)	2 = e1(3)	n(q(q 2 — 1)(q 3 — e))	q 2 — eq + 1
3 D 4 (q)		n(q(q 6 — 1))	q 4 — q 2 + 1
F 4 ( q )	q нечетно	n(q(q 6 — 1)(q 8 — 1))	q 4 — q 2 + 1
2 F 4 (2) 0		{ 2, 3, 5 }	13
E 6 (q)		n ( q(q 5 — 1)(q 8 — 1)(q i2 — 1) )	q 6 + q 3 + 1 (3,q — 1)
2 E 6 (q)	q> 2	n(q(q 5 + 1)(q 8 — 1)(q i2 — 1))	q 6 — q 3 + 1 (3,q +1)
M 12		{ 2, 3, 5 }	11
J 2		{ 2, 3, 5 }	7
Ru		{ 2, 3, 5,7,13 }	29
He		{ 2, 3, 5,7 }	17
McL		{ 2, 3, 5, 7 }	11
Co 1		{ 2, 3, 5,7,11,13 }	23
Co 3		{ 2, 3, 5,7,11 }	23
Fi 22		{ 2, 3, 5,7,11 }	13
F 5		{ 2, 3, 5,7,11 }	19

Tаблица 2

Конечные простые группы P с s(P) = 3

P	Ограничения на P	n i (P )	n 2	n 3
A n	n >  6, числа n = p,p - 2 простые	n((n - 3)!)	p	p - 2
A i (q)	3 = 61(4)	n( q - 6)	n( q)	(q + e)/2
A i (q)	q >  2, q четно	{ 2 }	q - 1	q + 1
2 A 5 (2)		{ 2, 3, 5 }	7	11
2 D p (3)	p = 2 m + 1 >  3	n(3(3 p- 1 - 1) Ш 2+2' - 1))	(3 p- 1 + 1)/2	(3 p + 1)/4
G 2 (q)	q = 0(3)	n( q ( q 2 - 1))	q 2 - q + 1	q 2 + q + 1
2 G 2 (q)	q = 3 2m+i >  з	n( q ( q 2 - 1))	q - V 3q + 1	q + V 3q + 1
F-q	q четно	n(q(q 4 - 1)(q 6 - 1))	q 4 - q 2 + 1	q 4 + 1
2 F 4 (q)	q = 2 2 m +1 > 2	n(q(q 3 + 1)(q 4 - 1))	q 2 - p2q 3 + q - ^ 2q + 1	q 2 + p2q 3 + q + ^ 2q + 1
E 7 (2)		{ 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 31,43 }	73	127
E 7 (3)		{ 2, 3, 5, 7,11,13,19, 37,41, 61, 73, 547 }	757	1093
M 11		{ 2, 3 }	5	11
M 23		{ 2, 3, 5, 7 }	11	23
M 24		{ 2, 3, 5, 7 }	11	23
J 3		{ 2, 3, 5 }	17	19
HiS		{ 2, 3, 5 }	7	11
Suz		{ 2, 3, 5, 7 }	11	13
Co 2		{ 2, 3, 5, 7 }	11	23
Fi 23		{ 2, 3, 5, 7,11,13 }	17	23
F 3		{ 2, 3, 5, 7,13 }	19	31
F 2		{ 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23 }	31	47

Tаблица 3

Конечные простые группы P с s(P ) > 3

s(P)	P	Ограничения на P	n i (P)	n 2	n 3	n 4	n 5	n 6
4	A 2 (4)		{ 2 }	3	5	7
	2 B 2 (q)	q=2 2 m +1 >2	{ 2 }	q - 1	q -V 2q+1	q+ V 2q+1
	2 Е б (2)		{ 2, 3, 5, 7,11 }	13	17	19
	E 8 (q)	q = 2, 3(5)	n(q(q 8 - 1) (q 12 - 1)(q 14 - 1) (q 18 - 1)(q 20 - 1))	9 10 +9 5 +1 q 2 +q+1	q 8 - q 4 +1	q 10 - q 5 +1 q 2 - q+1
	M 22		{ 2, 3 }	5	7	11
	J 1		{ 2, 3, 5 }	7	11	19
	O 0 N		{ 2, 3, 5, 7 }	11	19	31
	LyS		{ 2, 3, 5, 7,11 }	31	37	67
	F i 0 24		{ 2, 3, 5, 7,11,13 }	17	23	29
	F 1		{ 2, 3, 5, 7,11,13,17, 19, 23, 29, 31,47 }	41	59	71
5	E 8 (q)	q = 0,1, 4(5)	n(q(q 8 - 1) (q 10 - 1)(q 12 - 1) (q 14 - 1)(q 18 - 1))	Г+М q 2 +q+1	q 10 - q 5 +1 q 2 - q+1	q 8 - q 4 +1	q 10 +1 q 2 +1
6	J 4		{ 2, 3, 5, 7,11 }	23	29	31	37	43

Лемма 1.4 [28] . Пусть p, q — простые числа такие, что pa — q b = 1 для некоторых натуральных чисел a, b. Tогда пара (p a , q b ) равна (3 2 , 2 3 ), (p, 2 b ) или (2 ^a , q).

Лемма 1.5 [21, лемма 1] . Пусть G — конечная группа, N — нормальная подгруппа в G, G/N —группа Фробениуса с ядром F и циклическим дополнением C. Если ( | F | , | N | ) = 1 и F не содержится в NC g ( N )/N, то s | C | G w(G) для некоторого s G n(N).

Лемма 1.6 [26, предложение 10] . Каждый максимальный тор T простой группы

D n (q), где n >  4, имеет порядок

------¹------(q n ¹

(4, q n - 1)

i)(q n ² - 1) • • • (q n k - i)(q l 1 + 1)(q l ² +1) • • • (q l m +1)

для подходящего разбиения числа n = n + n + ... + n k + l i +I 2 + ... + l m , где m четно.

Лемма 1.7 [10, табл. 4, 6, 8] . Пусть L = D p+i (q), где p — нечетное простое число и q ^Е { 2, 3 } . 'Тогда t^(L) = [ 32+4 ] , t⁽q^,L) = 3, t⁽2,^L) = 2 при q = 3, p⁽q^,L) = { q,r p ,r 2p } , p^(2,L) = ^{{ 2,}r p ^} при q = ³

• § 2.    Доказательство теоремы

Пусть L = D p +i (q), где p — нечетное простое число и q Е { 2, 3 } . Ввиду [21, 33] можно считать, что p >  5.

Докажем сначала квазираспознаваемость группы L. По лемме 1.1 имеем s(L) = 2. Пусть G — конечная группа с условием ш(G) = ^(L) и N = F (G). Положим G = G/N .В силу теоремы Грюнбе р га — Кегеля, результата М. Р. Зиновьевой (Алеевой) [1] и лемм 1.1 и 1.2 имеем Inn(P) <  G 6 Aut(P), где P — конечная простая группа с условиями

s(P) >  2, n(N) U n(G/Inn(P)) С n i (G), n 2 (L) = (q p - 1)/(q - 1) Е b(P) | 2 6 i 6 s(P ) } .

По теореме А. В. Васильева [9] и лемме 1.7 имеем t(P) >  t(L) - 1 = [3p/4] >  3 и t(2,P) >  t(2,L) >  2.

Далее рассматриваются все возможности для P , описываемые в таблицах 1–3.

Если P изоморфна одной из спорадических групп или одной из групп 2 А з (2), ² F 4 (2) 0 , 2 A 5 (2), E z (2), E 7 (3), A 2 (4), 2 Е б (2), E o (2), то непосредственными вычислениями показываем, что из включения (q p - 1)/(q - 1) Е { n i (P) | 2 6 i 6 s(P) } следует, что пара (L, P ) равна (D 8 (2), E ₇ (2>) , (D ₈ (3), E t (3)) , ( d (2), O'N ), (D o (2), F 3 ), (D o (2), F 2 ), (D o (2), Ly) или (D g (2), J 4 ). Но n i (P) \ n i (L) содержит 73 в первом случае, 757 во втором случае, 19 в случаях с третьего по пятый и 37 в последних двух случаях, что невозможно.

• (1)    Пусть P — конечная простая исключительная группа лиева типа над полем порядка r.

Предположим, что p >  7. Тогда t(P) >  8. Ввиду леммы 1.1 и [10, табл. 9] (поправку см. в [13, предложение 2]) получаем t(P) = 12 и P = E 8 (r). Поэтому p Е { 11,13,17 } и

(q ^p

^{- 1)/(q -} 1) ^Е {

r ⁱ⁰ + r ⁵ + 1 r ² + r + 1

r ⁱ⁰ + 1 r ² + 1

r ⁸ - r ⁴ + 1,

r ⁱ⁰ - r ⁵ + 1 r ² - r + 1

.

Легко проверить, что ri0 + r5 + 1 r2 + r + 1

r ⁱ⁰ + 1

^< r ² + 1

< r ⁸ - r ⁴ + 1 <

r ⁱ⁰ - r ⁵ + 1 r ² - r + 1 ^.

Поэтому множество { n i (P) | 2 6 i 6 s(P) } принадлежит отрезку [151, 331] при r = 2, отрезку [4561, 8401] при r = 3, отрезку [49981, 80581] при r = 4, отрезку [315121,464881] при r = 5, отрезку [4956001, 6568801] при r = 7, отрезку [14709241,18837001] при r = 8 и отрезку [38316961,47763361] при r = 9, отрезку [195019441,158681234401] при 11 6 r 6 25

и полуинтервалу [271983020401, + го ) при r >  27. Поскольку n 2 (L) = (q p — 1)/(q — 1) принадлежит { 2047, 8191, 797151,12207031,131071, 64570081 } , получаем n ₂ (L) = 8191 и r = 3. Но тогда n ₂ (L) = 8191 G { 4561, 5905, 6481, 8401 } ; противоречие.

Таким образом, p G { 5, 7 } и, следовательно, n ₂ (L) принадлежит { 31,121 } при p = 5 и { 127, 1093 } при p = 7.

Пусть P изоморфна ³ D 4 (r) или F 4 (r). По лемме 1.1 n 2 (L) = (q p — 1)/(q — 1) G { r ⁴ — r ² + 1,r ⁴ + 1 } . Если (q p — 1)/(q — 1) = r ⁴ — r ² + 1, то r ⁴ — r ² + 1 G { 31,121,127,1093 } , откуда n ₂ (L) — 1 = r ² (r ² — 1) G { 2 • 3 • 5, 2 3 • 3 • 5, 2 • 7 • 3 2 , 2 2 • 3 • 7 • 13 } ; противоречие. Если n 2 (L) = r ⁴ + 1, то n 2 (L) — 1 = r ⁴ ; противоречие.

Пусть P = 2F4(r), где r = 22m+1 > 2. Tогда n2 (L) = (qp — 1)/(q — 1) = r2 + eV2r3 + r + eV2r + 1, откуда n2(L) — 1 = 2m+1(23m+1 + e22m+1 + 2m + e1) и, следовательно, m G {1, 2}. Если m = 1, то r = 8 и n2(L) = 73 + e36 равно 109 при e = + и 37 при e = —; противоречие. Если m = 2, то r = 32 и n2(L) = 1057 + e264 равно 1321 при e = + и 793 при e = —; противоречие.

Пусть P = 2B2(r), где r = 22m+1 > 2. Tогда n2(L) = (qp — 1)/(q — 1) G {r — 1,r + e \ 2r +1}.

Предположим, что n 2 (L) = r — 1. Тогда q = 2. Если p = 5, то r = 32 и, следовательно, 31,41 G n(P) \ n(L); противоречие. Если p = 7, то r = 128 и, следовательно, 113,127 G n(P) \ n(L); противоречие. Поэтому n 2 (L) = r + eV2r + 1, откуда n(L) — 1 = 2 ^{m +}1 (2 ^m + e1) и, следовательно, m G { 1, 2 } . Если m = 1, то r = 8 и n 2 (L) = 9 + e4 равно 13 при e = + и 5 при e = — ; противоречие. Если m = 2, то r = 32 и n 2 (L) = 33 + e8 равно 41 при e = + и 25 при e = — ; противоречие.

Пусть P = 2G2(r), где r = 32m+1 > 3. Tогда n2(L) = r + e V3r + 1, откуда n2(L) — 1 = 3m+1(3m + e1) и, следовательно, m = 1. Поэтому r = 27, p = 7 и n2(L) = 9(3 + e1) равно 36 при e = + и 18 при e = —; противоречие.

• (2)    Пусть P = A n , n > 6. По лемме 1.1 n 2 (L) := r — нечетное простое число, принадлежащее множеству { n, n — 1,n — 2 } . Tогда r = r _p (q) = (q p — 1)/(q — 1). Пусть s = r _{2 p} (q). Tогда s делит (q p + 1)/(q + 1) и поэтому s 6 (q p + 1)/(q + 1) = r — ((q p — 1)/(q — 1) — (q p + 1)/(q + 1)) = r — 2(q p — q)/(q ² — 1) < r — 4. Но тогда числа q и s смежны в графе GK(P), что противоречит лемме 1.7.

• (3)    Пусть n = 2 ^m >  2 и P изоморфна B n (r) (r нечетно и n >  4), C n (r), 2 D n (r) (n >  4) или 2 D n+i (r) (r G { 2, 3 } ). По лемме 1.1 возможны два случая: либо P = 2 D n₊1 (3), n + 1 — простое число и (q p — 1)/(q — 1) = (3 ⁿ⁺¹ + 1)/4, либо

(q p — 1)/(q — 1) = (r ⁿ + 1)/(2,r — 1).

Предположим, что выполняется первый случай. Пусть q = 2. Tогда 2 p — 1 = (3 ⁿ⁺¹ + 1)/4. Вычитая 1 из обеих частей последнего равенства, получим 2 p — 2 = (3 ⁿ⁺¹ — 3)/4, откуда 8(2 ^p-1 — 1) = 3(3 ⁿ — 1) и, следовательно, (3 ⁿ — 1) 2 = 8. Но тогда n = 2 и, следовательно, p = 3, что противоречит условию p >  5. Если q = 3, то 3 ^Р — 1 = (3 ⁿ⁺¹ + 1)/2, откуда 3 ^p = 3(3 ⁿ + 1)/2; противоречие.

Поэтому выполняется второй случай. Если r четно, то (q ^p — 1)/(q — 1) = r n + 1, откуда r ⁿ = q(q ^p - 1 — 1)/(q — 1); противоречие. Значит, r нечетно.

Пусть q = 2. Tогда 2 ^Р — 1 = (r n + 1)/2. Вычитая 1 из обеих частей последнего равенства, получим 2 ^Р — 2 = (r n — 1)/2, откуда r ⁿ — 1 = 4(2 ^Р-1 — 1). Но r ⁿ — 1 делится на 8; противоречие.

Поэтому q = 3 и 3 ^Р — 1 = r ⁿ + 1, откуда r ⁿ — 1 = 3(3 ^p-1 — 1). Ясно, что 3 не делит r, следовательно, r >  5.

Если n > p — 1, то r ⁿ — 1 = 3(3 ^p-1 — 1) >  5 ^Р — 1, откуда 3 ^Р — 3 >  5 ^Р — 1 и, следовательно, 2 < (5/3) ^Р 6 1 — 2/3 ^Р < 1; противоречие. Поэтому n 6 p — 1.

Ввиду [10, табл. 8] имеем t(P) = 3n/4 + 1 >  [3p/4], откуда n >  p — 2. Но n = 2 ^m = p — 2, следовательно, n >  p — 1.

Таким образом, n = p — 1 >  4 и, следовательно, r n — 1 = 3(3 n — 1). Но тогда r ⁿ = 3 - 3 n — 2, откуда 7 < (5/3) 4 6 (r/3) ⁿ = 3 — 2/3 n < 3; противоречие.

• (4)    Пусть P = А Г (s), где r — нечетное простое число, (s — e1) | (r + 1) и (r, s) = ^{(3, 3)},^{(5, 2)} при ^e = ^— .

По лемме 1.1 имеем (q ^p — 1)/(q — 1) = (s r — e1)/(s — e1). Вычитая 1 из обеих частей последнего равенства, получим q(q ^p-1 — 1)/(q — 1) = s(s ^r-1 — 1)/(s — e1).

Пусть r = 3. Tогда пара (s, e) равна (3, +) или (5, +) и q ^Р — 1 = (q — 1)s(s + 1)/q G { 6, 8,15, 20 } , откуда p = 3; противоречие.

Таким образом, r >  5. Предположим, что r 6 7, s = 2 и e = +. Тогда q(q ^Р-1 — 1)/(q — 1) G { 30,126 } и, следовательно, q = 2 и p = r = 7. Согласно таблице 1 n i (G) \ n i (G) = { 11,13, 43 } , поэтому { 11,13,43 } C n(N). Поскольку подгруппа N нильпотентна, 11 • 13 • 43 G w(N) C ^(L). Элемент порядка 11 • 13 • 43 из L принадлежит некоторому максимальному тору группы L, что противоречит лемме 1.6. Итак, пара (s, e) не равна (2, +) при r 6 7 и, следовательно, по [10, табл. 8] имеем t(P) = [(r + 2)/2] = (r + 1)/2 >  [3p/4], откуда легко увидеть, что r >  (3p — 5)/2. Допустим, что q делит s. Тогда q = s и (q ^p-1 — 1)/(q — 1) = (q ^r-1 — 1)/(q — el). Пусть e = — . Тогда (q ^Р-1 — 1)/(q — 1) = (q ^r-1 — 1)/(q + 1). Прибавляя 1 к обеим частям этого равенства, получим (q ^Р-1 + q — 2)/(q — 1) = q(q ^r-2 — 1)/(q + 1), что невозможно Поэтому e = + и p = r, откуда ввиду неравенства r >  (3p — 5)/2 следует, что p = 5.

Следовательно, q не делит s. Имеем sr-1 - 1 = q(s — e1) (Р 1 s 1     s(q — 1)(q        1)’

Предположим, что s > q. Тогда s > 3. Легко проверить, что q(s — e1)/(s(q — 1)) < 3. Поэтому sr-1 — 1 < 3(qp-1 — 1) и, следовательно, sr-1 < 3qp-1 < sp, откуда r 6 p и, следовательно, r = p = 5. Поэтому s4 < 3q4, откуда (s/q)4 < 3. Если q = 2, то 3 < (3/2)4 6 (s/q)4 < 3; противоречие. Если q = 3, то 3 < (4/3)4 6 (s/q)4 < 3; противоречие.

Таким образом, s < q и, следовательно, s = 2 и q = 3. Но тогда 4(2 ^r-1 — 1) = 3(2 — e1)(3 ^p-1 — 1), что невозможно, так как правая часть последнего равенства делится на 8, а левая — нет.

• (5)    Пусть r — нечетное простое число и P изоморфна B _r (s) (s = 3), C _r (s) (s G { 2, 3 } ), D r (s) (r >  5, s G { 2, 3, 5 } ) или D _{r +}i (s) (r >  5, s G { 2, 3 } ). Tогда (q ^Р — 1)/(q — 1) = ^(s r ^{— 1)/(s —} 1)-

• Если r = 3, то q < s и, следовательно, q = 2 и s = 3, откуда 31 = 25 — 1 6 (qp — 1)/(q — 1) = (sr — 1)/(s — 1) = 13; противоречие.

Итак, r >  5. Предположим, что r = p и, следовательно, s = q. Если r = 5, s = 2 и P = С з (2), то (q p — 1)/(q — 1) =2 5 — 1 = 31 и, следовательно, p = r. Поэтому ввиду [10, табл. 8] число t(P) равно [(3r + 5)/4], [(3r + 5)/4], [(3r + 1)/4] и [(3r + 4)/4], если группа P изоморфна B _r (s), C _r (s), D r (s) и D r+i (s) соответственно. Теперь из неравенства t(P) >  [3p/4] легко получается, что r > p — 2. Если s < q, то r > p, s = 2 и q = 3 и, следовательно, 2 ^r — 1 = (3 ^p — 1)/2, откуда 2 ^r +1 — 3 ^p = 1, что противоречит лемме 1.4. Поэтому s > q, откуда r < p и, следовательно, r = p — 2 и p >  7. Если s = 3, то q = 2 и, следовательно, 2 ^p — 1 = (3 ^p-2 — 1)/2, откуда 2 ^p+1 — 3 ^p-2 = 1, что противоречит лемме 1.4. Поэтому s = 5 и 5 ^p-2 — 1)/4 = (q p — 1)/(q — 1),

5 P ^-2 =      q p ^-2

q — 1

и, следовательно,

(5 /q ) ^p-2 <

откуда

+ 1

-

q

-

4q ²

q

-

.

Если q = 2, то 16 < (5/2) 5 6 (5/2) ^p—2 < 16; противоречие. Поэтому q = 3. Если p >  7, то 16 < (5/3) 7 6 (5/2) ^p—2 < 16; противоречие. Таким образом, p = 7. Но тогда 781 = 5 5 — 1)/4 = (3 7 — 1)/2) = 1093, что невозможно.

Итак, r = p и, следовательно, s = q. Изоморфизм P = L = D p+i (q) означает квазираспознаваемость группы L. Поэтому можно считать, что P = B _p (q), C _p (q) или D _p (q).

Предположим, что P = D _p (q). Пусть t = r 2p (q). В силу таблицы 1 и леммы 1.3 имеем t Е n(L) \ n(P) = { t } , поэтому t Е n(N). По [31, утверждение 4.1.20] группа P содержит подгруппу P i , изоморфную группе U : L _p (q), где | U | = q ^p(p-1)/2 . Ввиду [10, табл. 4] и леммы 1.7 в P 1 найдется элемент x простого порядка r _p (q), несмежного с q в графе GK(P). Поэтому P 2 := O _q (P i ) : h x i есть группа Фробениуса. Пусть X — полный прообраз в G группы P 2 . Применяя к факторгруппе X/Ov (N) лемму 1.4, получим, что r 2p (q) • r p (q) Е ^(L), а это противоречит лемме 1.7.

Таким образом, P = B _p (q) или C _p (q). Но тогда ввиду леммы 1.3 и [8, теоремы 3-5, 7] (q p + 1)/(2, q — 1) Е w(P ) \ ^(L), что невозможно.

• (6)    Пусть P = A i (s), где s >  3. Тогда t(P) = 3 6 [3p/2] и, следовательно, p = 5.

Допустим, что s = 2b для некоторого b Е N. Тогда q5

-

q

— 1

= 2 ^b + 61.

Пусть q = 2. Тогда 2 ^b = 31 ± 1 Е { 30, 32 } и, следовательно, b = 5 и 6 = — . Поэтому множество n(L) \ п(Р) = { 17 } содержится в n(N). Но P содержит группу Фробениуса, изоморфную 2 5 : 31. Применяя лемму 1.5, получаем, что 17 • 31 Е n(L), что противоречит лемме 1.6. Поэтому q = 3. Если 6 = +, то 2 ^b = 3(3 4 — 1)/2; противоречие. Следовательно, 6 = — и 2 ^b +1 — 3 5 = 1, что противоречит лемме 1.4.

Таким образом, s = 61(4) и s = rb, где r — простое число и b Е N. Тогда q5 — 1

q

— 1

( s + 61 ]

Е и, 2Г

Пусть q = 3. Тогда (q ⁵ — 1)/(q — 1) = 121 = 11 ² , откуда 121 = (s + 61)/2, т. е. s = 242 ± 1 Е { 243, 241 } . Поскольку 241 не делит порядок группы P = D q (3), s = 243 = 3 5 . Но тогда 11 Е n(P) \ n(L); противоречие.

Поэтому q = 2 и (q ⁵ — 1)/(q — 1) = 31. Предположим, что 31 = (s + 61)/2. Тогда s = 62 ± 1 G { 61, 63 } и, следовательно, s = 61 6 n(P ) \ n(L); противоречие.

• (7)    Пусть P = A r - 1 (s), где r — нечетное простое число и (r, s) = (3, 2), (3,4) при 6 = +.

Ввиду лемм 1.1 и 1.2 имеем sr — 61      = qp — 1

(s — 61)(r, s — 61)     q — 1 ’ откуда sr — 61    (r, s — 61)(qp — 1)

s — 61           q — 1

Вычитая единицу из обеих частей последнего равенства, получаем sr-1 — 1    (r, s — 61)(qp — 1) — q + 1

s--------- = s — 61

Пусть r = 3. Ввиду [10, табл. 8] 4 >  t(P ) >  [3p/4], поэтому p = 5.

Предположим, что (3, s — 61) = 1. Тогда s(s + 61) = q(q ⁴ — 1)/(q — 1). Если q = 3, то s(s + 61) = 120 = 2 3 • 3 • 5, откуда s = 8 и s(s + 61) = 8(8 ± 1) < 120; противоречие. Поэтому q = 2 и s(s + 61) = 30 = 2 • 3 • 5, откуда s = 5 и 6 = +. Но тогда множество n(L) \ п(Р) = { 11,17 } содержится в n(N). Отсюда 11 • 17 G ш(Ь), что противоречит лемме 1.6.

Таким образом, (3, s — 61) = 3 и s(s + 61) = 3(q ⁵ — 1)/(q — 1) — 1 G { 2 2 • 23, 2 • 181 } ; противоречие.

Итак, r >  5. Если 5 6 r 6 11 и s = 2, то ввиду [10, табл. 8] неравенство t(P ) >  [3p/4] и условие n 2 (L) = n 2 (P) влекут, что p = r = 5 и 6 = +, а значит, q = 2. Но тогда 7 G n(P) \ n(L); противоречие. Поэтому опять по [10, табл. 8] имеем t(P) = (r + 1)/2 >  [3p/4], откуда легко увидеть, что r >  (3p — 5)/2.

Пусть (r, s — 61) = 1.

Предположим, что q делит s. Тогда q = s и так же, как в (4), получаем r = p и 61 = +, откуда p >  (3p — 5)/2 и, следовательно, p = 5. Пусть q = 2. Тогда множество n 1 (L) \ n 1 (P) содержится в n(N) и равно { 11,17 } . Отсюда 11 • 17 G ш(Ь), что противоречит лемме 1.6. Таким образом, q = 3 и, следовательно, множество n 1 (L) \ п 1 (P) содержится в n(N) и равно { 7,41, 61 } . Отсюда 7 • 41 • 61 G ш(Ь), что противоречит лемме 1.6.

Таким образом, q не делит s. Имеем sr-1 — 1 = ^(р^ (qp-1 — 1). s(q — i)

Предположим, что s > q и, в частности, s >  3. Тогда, как в (4), показываем, что r 6 p. Отсюда следует, что r = p = 5. Легко проверить, что ^-- 1) < 3. Поэтому s ⁴ — 1 < 3(q ⁴ — 1) и, следовательно, s ⁴ < 3q ⁴ , откуда (s/q) ⁴ < 3. Если q = 2, то 3 < (3/2) ⁴ 6 (s/q) ⁴ < 3; противоречие. Если q = 3, то 3 < (4/3) 4 6 (s/q) ⁴ < 3; противоречие.

Итак, (r, s — 61) = r. Тогда sr-1 — 1   rqp — r — q + 1     rqp     r + q — 1

s — 61 s(q — 1)        s(q — 1)    s(q — 1) "

Кроме того, ввиду неравенства r >  5 имеем s >  4.

Предположим, что е = +. Тогда r/(s(q — 1)) < 1 и, следовательно, r-1

sr-2 < sr-2 + ... + s + 1 = s----— < qp, s—1

откуда s r ^-2 < q p . Ввиду неравенства r >  5 и делимости s — 1 на r имеем s >  8.

Пусть r = 5. Тогда s >  11 и p = 5 (ввиду неравенства r >  (3p — 5)/2). Поэтому 1331 = 11 ³ 6 s ³ < q ⁵ 6 3 ⁵ = 243; противоречие.

Таким образом, r >  7. Ввиду неравенства r >  (3p — 5)/2 имеем 8 r ^-2 6 s r ^-2 < q p 6 5 ^p и, следовательно, r — 2 < p, откуда r 6 p. Теперь неравенство r >  (3p — 5)/2 влечет r = p = 5; противоречие.

Итак, е = — .

Предположим, что s = 4. Тогда r = 5. Ввиду неравенства 3 = t(P) >  [3p/4] имеем p = 5. Но тогда 41 = (s r + 1)/(r(s + 1)) = (q p — 1)/(q — 1) G { 31,121 } ; противоречие.

Таким образом, s > 4 и, следовательно, s > 9. Имеем sr 1 — 1   rqp — r — q + 1     rqp     r + q — 1

- s + 1         s(q — 1)        s(q — 1)    s(q — 1) "

Предположим, что r/(s(q — 1)) 6 1. Тогда sr-1 — 1

s + 1

= s r ^-2

-

. r- ² — 1

s + 1

> 4s ^r-2 /5.

Отсюда 4 • 9 ^r-2 /5 < q p 6 3 ^p и, следовательно, (4/5) • 3 ^2(r-2) 6 3 ^p . Но тогда 3 ^{2( r- 2) -p} 6 5/4, откуда 2(r — 2) — p < 1, т. е. p = 2(r — 2); противоречие.

Таким образом, r/(s(q — 1)) > 1 и, следовательно, q = 2 и r = s +1. Но тогда s четно и s(s ^r-1 — 1)/(s +1)2 = 2(2 ^p-1 — 1), откуда получаем s = 2; противоречие с тем, что s >  9.

Итак, P = L, т. е. квазираспознаваемость группы L доказана.

Предположим, что N = 1. Можно считать, что N — элементарная абелева r-группа для некоторого простого числа r из n i (G) и P действует точно и неприводимо на N .

Предположим, что r = q. Рассмотрим стабилизатор R (p + 1)-мерного вполне изотропного подпространства в ^ +( _{p +}i) (q). Положим R = R/Z (^ +( _{p +}i) (q)). Можно считать, что R < P. Тогда по [31, утверждение 4.1.20] имеем R = U : L p+i (q), где | U | = q ^p(p+1)/2 . Ввиду [10, табл. 4] и леммы 1.7 в R найдется элемент x простого порядка r _p (q), не смежного с q в графе GK(G). Поэтому U : h x i есть группа Фробениуса. Применяя к группе N : U : h x i лемму 1.4, получим, что r • r _p (q) G ^(L). Элемент порядка r • r _p (q) из L принадлежит некоторому максимальному тору T группы L. По лемме 1.6 | T | = q ^p — 1. Поскольку q p — 1 взаимно просто с q i — 1 для всех i < p, можно считать, что r = r _p (q). Но тогда подгруппа N : U является группой Фробениуса и, следовательно, U является либо циклической группой, либо (обобщенной) группой кватернионов; противоречие с тем, что на группе U точно действует неразрешимая группа L p+i (q).

Таким образом, r = q. Если q = 3, то по [30, теорема 1.3] каждый элемент из P фиксирует некоторый неединичный элемент из N, что противоречит лемме 1.1.

Итак, N = 1 при q = 3 и N = O ₂ (G) при q = 2.

Предположим, что Inn(P) < G. Если Inn(P) < GПInndiag(P), то граф GK(G) связен, что не так. Поэтому ввиду строения группы Out(P) и [29, (1)-(9)] имеем G = Inn(P) : hti, где t — инволютивный графовый автоморфизм группы P . По [34] централизатор Cp(t) содержит подгруппу, изоморфную группе Bp(q). Поэтому rp(q) G ш(Ср(t)). Но по лемме 1.7 числа 2 и rp(q) не смежны в графе GK(G); противоречие. Таким образом, G = Inn(P).

Теорема доказана.