О распределении нулей одного класса мероморфных функций
Автор: Коробейник Юрий Федорович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.19, 2017 года.
Бесплатный доступ
В работе исследуется распределение нулей одного класса мероморфных функций, содержащего, в~частности, дзета-функцию Римана.
Нули мероморфной функции, функциональное уравнение
Короткий адрес: https://sciup.org/14318564
IDR: 14318564
Текст научной статьи О распределении нулей одного класса мероморфных функций
K0 Gg
Как обычно (см., например, [1]), определенная и однозначная в некоторой области G IIз C функипя f называется м<дюморфной в G. если она аналитична в каждой точке области, за исключением не более чем счетного множества Q f точек (из G), не имеющего продольных точек в G. причем каждая из тонок «исключптолыюго» множества Q f является полюсом f (любого копенного порядка).
Если d Е ( м, +то). то условимся всюду в дальнейшем символом E d обозначать вертикальную полуплоскость {z: Re z > d}. а сим волом E d — ее замыкашге в C (т. о. Ed = {z Е C: Re z > d}V Вводем класс K0 мороморфшж функций g. каждая из которых обладает такими свойствами:
-
1) g однозначна и аналитична в замкнутой полуплоскости E i-h (h = h(g) Е (0, +м)), за. исключением, быть может, некоторого конечного числа, точек, расположенных в вещественном промежутке (2, 2 + h 1 ]. г.те h 1 = h 1 (g) ii 0 < h 1 < h. причем в каждой из этих выключенных точек функция g имеет полюс произвольного порядка;
-
2) для всех точек z из Ei -h g(z) = ДД
3) g(z) = 0 в E2 +h1;
-
4) функция g(z) отлична от нуля во всех тотсах вещественной полупрямой '( 2 — h := {z = x > 2 — h}, в которых она аналитична (всюду в этой работе используется стандартное обозначение z = x + iy. где x = Re z и y = Im zV так что '(2 — h) = {z : Im z = 0, Re z > 2 — h}:
— 1 + h
-
5) всюду в вертикальной полосе E 1 : = {z : 2 — h 6 Re z 6 2 + h} g(z) удо-
- 2-h
влетворяет функциональному уравнению (типа, уравнения Римана, для дзета-функции) g(z) = bg «Множитель Римана» bg (z), вообще говоря, за висит от функции g и удовлетворяет следующим условиям: 1 + h 6) bg(z) мероморфна в полосе E1 ; более точно, она имеет в этой полосе не более 2 -h конечного числа полюсов (все они принадлежат промежутку (2, 2 + hi]), а в остальных тотжах z полосы (функция bg(z) аналптпчна: 7) все нули функции bg вещественны и те из них, которые лежат правее точки z = x = 2. принадлежат полупрямой V1 1 ' I ^ + h1 := z : Im z = 0; ^ + h1 6 Re z < +то . Из 1)—7), в частности, следует, что bg(2) = 1, для любого g Е K0; далее, если zg — чисто комплексное число, т. о. если Imz0 = 0. то точка z0 будет нулем какой-либо функции g0 iiз K0 крапюстн ад > 1 тогда и только тогда, когда 1 - z0 - иуль g0(z) той же кратности (оба эти результата используются в дальнейшем). Пусть у Е R \ {0} = (то, 0) U (0, +то) 1i g Е K0- Назовем иолупрямуто 'Уд) := {z = x + iy : 2 - h 6 x < +x} g-регулярной. если она. не содержит путей g(z). и g-nepe-гулярной, — в противном случае, т. е. когда, на. этой полупрямой имеется хотя бы один нуль функции g. Соответствутотпуто ординату у также будем называть g-регулярной. gg обозначается далее символом Фд, а g-нерегулярных — символом Фд. Из обычной ДЛЯ всех курсов теории функций комплексного переменного теоремы единственности для аналитической функции нетрудно вывести, что множество Фд не имеет конечных предельных точек и потому не более чем счетно. Введем теперь неограниченную односвязную область Gg, полученную удалением из E1 -h счетной совокупности промежутков, состоящей из промежутка (2 - h, 2 + h1] и с четной системы промежутков - h + iy, 2 + hi + iy У Е фд. Так как g(z) = 0 в Gg, то, как известно (см., например, [2, гл. 8, § 1, с. 319, теорема 1.2]), функция ln |g(z)|- г до g Е K0- гармошиша. в области Gg: кроме того, существует беско-пенпое множество Мд гармонических 11 сопряженных с ln |g(z)| в Gg функций. которые отличаются друг от друга, на. вещественную постоянную. 2. Выводное уравнение. Постановка основной задачи работы Пусть a Е (hi, h) и T — g-регулярная ордината (без ограничения общности, можно считать, что T > 0). Образуем прямоугольный четырехугольник Г = Jk=1 Гк с вершинами в точках A. C. D. F п стеропами Гк. 1 6 к 6 4. где Г1 := [AC]. Г2 := [CD], Г3 = [DF]. Г4 := [FA. A = 2 - a - iT. С = 2 + a - iT.D = 2 + a + iT F = 2 - a + iT. у-„а1ю. Г например, [1]) Im / g ( dz = 'X Im / g z ) dz = 2п[-Рд + N(T) + 2N(T, a)]. g(z) g(z) Γ k=1 Γk Здесь Рд — сумма порядков всех полюсов g(z) (согласно § 1 все полюсы функции g(z) из K0 расположены в промежутке (2, 2 + h^ веществеиной оси): N(T) - сумма кратностей всех возможных путей g(z) принадлежалщх интервалу (2 - iT, 2 + iT) прямой Re z = 2; наконец. N(T, a) - сумма кратностей всех возможных нулей функции g(z). лежащих внутри прямоугольника BCDE. где B := 2 - iT. E := 2 + iT. При этом Г g'(z)л -L Г g'(z)л - Г д'(1 -z) л ж Гg'(1 -z) л —dz + —ту dz — — —т---г dz + —~---7 dz J g(z) J g(z) J g(i — z) J g(1 — z) Г4 Г1 Г1 Г3 Учитывая, что при bg(z)g(1 — z)g(z) — 0 справедливо равенство bg(z) — g'(z) + g'(1 — z) bg(z) g(z) g(1 — z), находим, что X Im I ^ k=1 g(z) rk DC л т f bg (z) Л т f bg (z) Л [ f g' (z^ л f g' (zV dz —— Im dz + Im dz + +2 Im dz + / ——— dz J bg(z) J bg(z) g(z) J g(z) F D Г2 Г3 Таким образом, для любых д Е Kg, ст Е (hi, h), T Е Фg справедливо равенство -Pg + Ng(T) + 2Ng(T,ct) — Im [ b^ dz + 1 Im [ gM dz. (1) 2n bg (z) n g(z) FDC CDF Преобразуем теперь последнее слагаемое в правой части равенства (1). Всюду далее используется стандартное представление функции g(z) из Kg в виде g(z) — u(x, y) + iv(x,y). где (u, v) - пара сопряжошп.,ix гармонических в Gg функций. Имеем / CDF 9-ф! dz g(z) — g ш dz + f g J g(z) J g(z) Г2 Г3 dz. Далее, J / g(zi dz — I “(2 +°+ iT) - iv(2 +°+ iT)g (1 + CT + iT) i dT Г2 g(z) -T U2(1 + CT + iT) + v2(1 + CT + iT) 2 T f [v(2 + CT, T^ + iu(2 + CT,T -T [u2(2+ ct,t)+ v2(2+ ct,t ∂τ - . du (2 + ст, t ∂τ dτ. Отсюда Im J — T / u (2+ CT,y) dv( I +^,y) ∂y -v(2+ ст,у du( I +^,y) ∂y dy -T [ u2 (2 + ст,у) + v2 (2+ ст,у I du(1+a,y) dv(1+c,y) г [—dx— u(2 + CT,y) + v(2 + CT,y) —dx— J dy I [u2 (2 + CT,y)+ v2( 2 + CT,y)] T — / dxln |g(x+iy)1 -T dy. x=I+ct Здесь символ [dx ln |g(x+iy)|] x= 1 +ст означает, что вначале находится обычная частная производная dx ln |g(x + iy)|. а, затем в полунсчшом выражении x ’замениетея на 2 + ст. Аналогично / д' (z) д(^ dz 12 -σ Г [u(x,T) — iv(x,T)] = J [u2(x,T)+ v2(x,T)] 2 -° du(x,T) + .dv(x,T) dx; д'(z)a Im / ——— dz g(z) Г3 2-° g(x, T)' - — v(x,T)-] J [u2(x,T) + v2(x,T)] 2+° - dx = — / 2+° σ ∂ — In |g(x + iy)| ∂y dx. y=T Следовательно (см., например, [1, гл.II, и. 12, стр.43]), д'И , , тд д'(z) , Im dz + Im ——— dz g(z) g(z) Г2 Г3 2—°+iT - 2+°—iT ^dx + dW dy ∂y ∂x = p — a + iT —p f^ + a -iT где W(x,y) := In |g(x + iy)|, a p(x,y) — любая функция из множества Mg гармонических и сопряженных (в Gg) с ln |g(x + iy)| функций. Таким образом, равенство (1) можно переписать следующим образом: (Vд Е Ko) (V a Е (hi, h)) (VT Е Фg) (Vp Е Mg) — Pg + Ng (T)+2Ng (T, a) = — Im [ dz + 1 2n J bg (z) П FDC µ — a + iT — P f 2 + a — iT Здесь FDC — спрямляемая кривая, состоящая из двух прямолппойиввх отрезков [F, D] II [D, C]. с началом в точке F = 2 — a + iT и конном - в точке C := 2 + a — iT. Основная цель данной работы заключается в том, чтобы попытаться выразить величины Pg, Ng(T) и Ng(T,a) через какие-то характеристики, непосредственно связанные с «множителем Римана» bg(z). В следующем параграфе делается первый шаг в решении поставленной задачи. 3. Определение числа Pg Пусть, как выше, a Е (h1,h). а T - положитслвиая д-регутярная ордината. Кроме вводопных тонок A. C. D. F. B. E рассмотрим onio точку O := {2}. Проводом простую спрямляемую кривую Y1 с нана.твной тонкой F п коионной - O так. чтобы все оста.твнвю тонки кривой Y1 принадлежали внутренности S прямоуго.твиого треуго.твппка FOE. При этом кривую Y1 проведем настолько близко к отрезку [F, 0]. что все возможные пули (если они есть) <]>УНКЦ1Ш g(z). принадлежащие замкнутой области. ограниченной кривой Y1 и сегментом [F, 0]. находятся лишь на. [F, 0]. γ2 O C γ1 но точки O. Тогда Y2 - простая спрямляемая кривая, все точки которой, кроме начальной и конечной, лежат внутри треугольника OBC. Кривую Y2 можно взять настолько близко к [O,C] (за счет приближения Y1 к [F,O]), что g(z) = 0 в области, ограниченной Y2 и [OC]. Положим y := Y1 U Y2- Согласно теории вычетов 2п DF + Ng(T) , | | = Im / g (z) dz + Im Z g (z) dz + Im / g (z) dz g | | g ( , U J Tim Liz | Tim zxJ | Tim zxJ* 2 g(z) g(z) g(z) CDγ или, преобразуя последний интеграл и учитывая, что g0(z) , g0(1-z) g(z) g(i - z) bg (z) bg(z) (Vz G Y2), 2n[—2Pg + Ng(T) + 2Ng(T, a)] = 2 Im / g dz + 2 Im / g dz + 2 Im / g^ dz. g(z) g(z) bg(z) C D Γ2 Таким образом, (Va G (hi,h) (VT G Фg) (Vg G Ko) - 2Pg + Ng(T) + 2Ng(T,a) DF = 1Im [ g dz + 1Im [ gM dz + 1 n g(z) n g(z) n CD C т [ bg(z) , Im / dz. bg(z) O Если теперь вычесть (3) из (1), то мы придем к равенству Pg=2nIm У FDC bg (z) bg(z) O0 dz +1Im Z bg^zi dz. n bg(z) C Формула (4) показывает, что значение Pg является определенным оператором (функционалом) от bg(z). Ей можно придать более компактный вид. Предварительно обозначим ~ —1 +hi символом Pg сумму порядков всех полюсов функции bg(z) из полосы E2 (согласно 2 -h исходным предложениям, все эти полюсы принадлежат промежутку (2, 2 + hi]). Тогда O 1Im / bgM dz + Im [ bgM dz 2 bg(z) bg(z) FDC C O 1 bg(z) bg(z) 1 bg (z) = -Im -2— dz + Im -2— dz + -Im -2— dz = n(Pg - Ng(T,a). 2 bg(z) bg(z) 2 bg (z) 4. Определение величин Ng(T) и Ng(T, а). Основное соотношение для класса KQ FDCOF C FOC Здесь Ng(T, a) — сумма кратностей всех возможных нулей bg(z), которые могут находиться в промежутке вещественной оси [2 + h1, 2 + a), который лежит внутри треугольника FDC. Таким ()бразом. Pg = Pg — Ng(T, a). Пусть а Е (hi,h), д Е KQ. Из обычной теоремы единственности для аналитической функции следует в данном случае (с учетом описанных выше свойств функций из класса. Kq). что миожество Фg вс ох д-роголярных ордишст всюду плотно в ( ж, 0) U (0, +ж). а множество Фд вс ох д-нерегутярных ординат мож! ю всегда представите, в виде {±tn}N=1. где 1 6 N 6 ж 11 tn t +ж щ>и N = +ж. Зафиксирует i какую-либо д-нерегутярнуто ординату То (без потери обппюсттi можно считать, что 0 < т0) и найдем две последовательности {Tkj)}k=1, j = 1, 2, д-регулярных ординат такие, что при k ^ ж Tk(1) t т0, Tk(2) 4 т0, причем в интервале (т11),т12)) (а. следовательно, п в любом интервале (Tk(1),Tk2)). k > 1) д-нерегутярных ординат, кроме т0. нет. Пош:>жим при k = 1, 2, 3,... . j = 1, 2, j) - У! Ak := 2 -σ ^^^^^^^^ Ckj) := ( 2 + " ^^^^^^^^ iTj Dj:= (j + а + iTk^ j) Fk:= ^^^^^^^^ а + iTk^ и воспользуемся формулой (2), согласно которой при T = Tkj — Pg + Ng (Tk(j)) + 2Ng (Tj , а) 1 T У bg (z) Д ж 1 [У 1 ж •^(j•)^ У1 Ж j = 2ПImJ мяdz + пд О - а+k h д О +а - k J (j)Dj(j) Fk Dk Ck (здесь, как и раньше, д(х, у) — произвольная функция из множества Mg). Отсюда при любом к > 1 Ng (Tf) - Ng (T»1’) +2 [Ng (Tf) ,а) - Ng (К', а)] 1 2П Im ■ F (2) Fk Dk2)ck2) bg (z) bg(z) dz - Im / м D. Ck bg (z) bg(z) dz 1 1 (2) 1 (1) + П I \2 - а +iTk / - ^ \2 - а +iTk / 1 1 (1) 1 (2) + П [^ \ 2 + а - iTk - ~ ^ V 2 + а - iTk / Если номер k > 1 неограниченно возрастает, то левая часть равенства (5) стремится к конечному числу 2а0 +4в0. г де а0 = а0 (д) - кратность возможного нуля g(z) вида. 2 +iT0. а в0 = в0(д) - сумма кратжамей всех (также возможных) нулей той же <1>ункцпп g(z). имеющих вид 2 + x + iT0, 0 < x 6 h1. Но тогда и правая часть равенства (5) должна стремиться к тому же пределу 2а0 +4в0. какова бы пи была (Ьуикция д пз Mg). При этом величины а0 11 в0 могут прииимать лишь значения 1, 2,... - и всегда (так как т0Е ^g) 2ао +4во > 2. Преобразуем теперь первое слагаемое правой части равенства (5). Имеем F(1)C( 0 0 v := / bgH dz- / bgH dz = J()dz + .Л) dz+ /H dz' P(2) P^2) (2) /7(1) n(1) (1) Z7(2) D(2) D(1) P)^(i)) Fk Dk Ck Fk Dk Ck Fk Dk Dk DkC Здесь ii далее (•) = Ь^. Отсюда Im v = Im p(1) Fk ck2) (2) (2) (1) (1) (2) k k kkk (•) dz + Im J (•) dz + Im J (•) dz p(2) Fk c F(1) k b'(z) b'(1-z) = Im Г (•) dz + Im gp? + g dz bg (z) bg (1-z) (2) (2) (1) (1) (2) (2) FkDkDkFkFk Fk = Im p(1) Fk k Fk(1) L ()dz+2ImL bg®dz=2Im R bg®dz= (2) Fk -2 Im F(^D^ D^F(^F(2) k k kk k p(2) Fk F J Fk1 bgTzy dz. bg (z) , b (z) . 3 читывал, что lim Г dz = 0. из (5) получим (1) bg(z) Fk 2п(ао + 2во) = lim k→∞ + ц (l+° 1 (2) Ц I 2 - ° + iTk - Ц (I +° - „гр(2) iTk - iT(1) iTk - 1 (1) Ц ( 2 - ° + iTk . При этом соотношение (6) справедливо для любой функции ц(х,у) из Mg, если g Е K0 и ° Е (h1,h). Этим обстоятельством можно воспользоваться и, подбирая подходящим образом функцию ц, получим из (6) достаточно хорошие оценки сверху для положительной величины а0 + 2в0. Изложению полученных на этом пути результатов предполагается посвятить отдельную статью. 5. Один подкласс класса K0, связанный с общими рядами Дирихле Обозначим символом K1 множество всех функций g(z), обладающих следующими свойствами: ^ 0) g(z) является суммой ряда Дирихле gi + P gke-Xkz, имеющего конечную абсциссу k=2 , , „ , ' ag аосолтотиой сходимости (т. е. ag < +то): при этом ,тля любого k > 1 gk Е C. gk = gk(g). gi = 0; ag Е [2, +ro); _____ 1) V z ЕEag g(z) = g(z); 2) Vk > 2 Ak = Xk (g) Е R+ = (0, . 02<Аз <... 3) функция g(z) аналитически продолжается из Eag в E 2-h, г де h = h(g) — какое-либо число из интервала (x0 - 2, +то), a x0 — (единственный) вещественный корень уравнения |gil = Mb Igk le-Ak x: при этом (продолженная) функция g(z) аналитична во всех точках E1 2 h расположенных в промежутке (2, хо] и являющихся полюсами g(z); 4) функция g(z) отлична от нуля во всех точках сегмента [2 - h,x0]. в которых она аналитична; —1+h 5) в замкнутой полосе E1 h функция g(z) удовлетворяет функциональному уравнению g(z) = bg(z)g(1 - z) причем функция bg(z) удовлетворяет условиям 6) ii 7) из § 1. в которых h1 = х0 - 2. Из определения класса K1 слсдуст. что K1 С K0. Поэтому для флнищий из класса K1 справедливы все результаты, полученные в §§ 2-4. Может быть, самым интересным конкретным примером функции из класса K1 является дзета-функция Римана Z(z) Как хорошо известно (см., например, [3, 4]), она регулярна в кольце 0 < |z - 1| < +то. имеет в точке z = 1 простой полюс и в полуплоскости E1 является суммой обыкновенного ряда Дирихле: ∞ Z (z) = 1 + X n n=2 z = i + XX i • e-z inn, n=2 для которого az = 1, x0) E (1,2) — корень уравнения 1 = РП=2 n x, bz(z) = 2(2n)z-1 sin nz Г(1 - z). В данном случае можно положить h1 = h1(Z) = x0Z) - 2. а в качестве h = h(Z) взять любое число из интервала. (h1, 2). Можно также положить h1(Z) = az = 1. а в качестве h(Z) взять любое число из интервала. (1, 2). При сделанном выборе чисел h ii h1 «множитсяь Римана» bz(z) удовлетворяет условиям 6)-7) из § 1, откуда Z(z) E K1. Следовательно, для дзета-функции справедливы все результаты g(z) = Z(z) bg(z) = 2(2n)z-1 sin ^ Г(1 - z).
Список литературы О распределении нулей одного класса мероморфных функций
- Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: ГИФМЛ, 1961. 335 с.
- Евграфов М. А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968. 471 с.
- Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1953. 407 с.
- Edwards H. M. Riemann's Zeta Function. N.Y.: Dover Publications, Inc. Minnesota, 2001. 315 p.