О распределении нулей одного класса мероморфных функций

K0          Gg

Как обычно (см., например, [1]), определенная и однозначная в некоторой области G IIз C функипя f называется м<дюморфной в G. если она аналитична в каждой точке области, за исключением не более чем счетного множества Q f точек (из G), не имеющего продольных точек в G. причем каждая из тонок «исключптолыюго» множества Q f является полюсом f (любого копенного порядка).

Если d Е ( м, +то). то условимся всюду в дальнейшем символом E d обозначать вертикальную полуплоскость {z: Re z >  d}. а сим волом E _d — ее замыкашге в C (т. о. Ed = {z Е C: Re z >  d}V Вводем класс K0 мороморфшж функций g. каждая из которых обладает такими свойствами:

• 1)    g однозначна и аналитична в замкнутой полуплоскости E i-h (h = h(g) Е (0, +м)), за. исключением, быть может, некоторого конечного числа, точек, расположенных в вещественном промежутке ⁽2, 2 + h 1 ]. г.те h 1 = h 1 (g) ii 0 < h 1 < h. причем в каждой из этих выключенных точек функция g имеет полюс произвольного порядка;

• 2)    для всех точек z из Ei _-h g(z) = ДД

  
  

  3) g^(z) = ⁰ в E2 +h1;

  
  

• 4)    функция g(z) отлична от нуля во всех тотсах вещественной полупрямой '( 2 — h := {z = x > 2 — h}, в которых она аналитична (всюду в этой работе используется стандартное обозначение z = x + iy. где x = Re z и y = Im zV так что '(2 — h) = {z : Im z = 0, Re z >  2 — h}:

— 1 + h

• 5)    всюду в вертикальной полосе E 1   : = {z : 2 — h 6 Re z 6 2 + h} g(z) удо-

• 2-h

влетворяет функциональному уравнению (типа, уравнения Римана, для дзета-функции) g(z) = bg

«Множитель Римана» bg (z), вообще говоря, за висит от функции g и удовлетворяет следующим условиям:

• 1    + h

• 6)    bg(z) мероморфна в полосе E1  ; более точно, она имеет в этой полосе не более

• 2    -h

конечного числа полюсов (все они принадлежат промежутку (2, 2 + hi]), а в остальных тотжах z полосы (функция bg(z) аналптпчна:

• 7)    все нули функции bg вещественны и те из них, которые лежат правее точки z = x = 2. принадлежат полупрямой

V1                     1

' I ^ + h1 := z : Im z = 0; ^ + h1 6 Re z < +то .

Из 1)—7), в частности, следует, что bg(2) = 1, для любого g Е K0; далее, если zg — чисто комплексное число, т. о. если Imz₀ = 0. то точка z₀ будет нулем какой-либо функции g₀ iiз K0 крапюстн а_д > 1 тогда и только тогда, когда 1 - z₀ - иуль g₀(z) той же кратности (оба эти результата используются в дальнейшем).

Пусть у Е R \ {0} = (то, 0) U (0, +то) 1i g Е K0- Назовем иолупрямуто 'У^д) := {z = x + iy : 2 - h 6 x < +x} g-регулярной. если она. не содержит путей g(z). и g-nepe-гулярной, — в противном случае, т. е. когда, на. этой полупрямой имеется хотя бы один нуль функции g. Соответствутотпуто ординату у также будем называть g-регулярной.

gg обозначается далее символом Фд, а g-нерегулярных — символом Фд.

Из обычной ДЛЯ всех курсов теории функций комплексного переменного теоремы единственности для аналитической функции нетрудно вывести, что множество Фд не имеет конечных предельных точек и потому не более чем счетно.

Введем теперь неограниченную односвязную область G_g, полученную удалением из E1 _-h счетной совокупности промежутков, состоящей из промежутка (2 - h, 2 + h1] и с четной системы промежутков

-

h + iy, 2 + hi + iy

У ^{Е ф}д.

Так как g(z) = 0 в Gg, то, как известно (см., например, [2, гл. 8, § 1, с. 319, теорема 1.2]), функция ln |g(z)|- г до g Е K0- гармошиша. в области G_g: кроме того, существует беско-пенпое множество М_д гармонических 11 сопряженных с ln |g(z)| в G_g функций. которые отличаются друг от друга, на. вещественную постоянную.

• 2.    Выводное уравнение. Постановка основной задачи работы

Пусть a Е (hi, h) и T — g-регулярная ордината (без ограничения общности, можно считать, что T > 0). Образуем прямоугольный четырехугольник Г = Jk=1 Г_к с вершинами в точках A. C. D. F п стеропами Г_к. 1 6 к 6 4. где Г1 := [AC]. Г₂ := [CD], Г₃ = [DF]. Г4 ^:= [FA. A = 2 - ^a - iT. С = 2 ^{+ a} - iT.D = 2 ^{+ a +} iT F = 2 ^{- a +} iT. у-„_а1ю.

Г например, [1])

Im / g ( dz = 'X Im / g z ) dz = 2п[-Р_д + N(T) + 2N(T, a)]. g(z)                     g(z)

Γ             k=1 Γk

Здесь Рд — сумма порядков всех полюсов g(z) (согласно § 1 все полюсы функции g(z) из K0 расположены в промежутке (2, 2 + h^ веществеиной оси): N(T) - сумма кратностей всех возможных путей g(z) принадлежалщх интервалу (2 - iT, 2 + iT) прямой Re z = 2; наконец. N(T, a) - сумма кратностей всех возможных нулей функции g(z). лежащих внутри прямоугольника BCDE. где B := 2 - iT. E := 2 + iT.

При этом

Г g'^(z)л -L Г g'^(z)л -     Г д'^{(1 -}z) л ж Гg'^{(1 -}z) л

—dz + —ту dz — —   —т---г dz +  —~---7 dz

J  g(z)       J  g(z)           J  g(i — z)       J  g(1 — z)

Г4               Г1                    Г1                    Г3

Учитывая, что при bg(z)g(1 — z)g(z) — 0 справедливо равенство bg(z) — g'(z) + g'(1 — z) bg(z) g(z) g(1 — z), находим, что

X Im I ^

k=1       g^(z)

rk

DC л т f bg (z) Л т f bg (z) Л          [ f g' (z^ л f g' (zV dz —— Im dz + Im       dz + +2 Im       dz + / ——— dz

J bg^(z)           J bg^(z)                    g^(z)       J g^(z)

F                D                    Г2            Г3

Таким образом, для любых д Е Kg, ст Е (hi, h), T Е Фg справедливо равенство

-Pg + Ng(T) + 2Ng(T,ct) — Im [ b^ dz + ¹ Im [ gM dz. (1) 2n          bg (z) n          g(z)

FDC            CDF

Преобразуем теперь последнее слагаемое в правой части равенства (1). Всюду далее используется стандартное представление функции g(z) из Kg в виде g(z) — u(x, y) + iv(x,y). где (u, v) - пара сопряжошп.,ix гармонических в G_g функций. Имеем

/

CDF

⁹-ф! dz g^(z)

— g ш dz + f g J g(z)       J g(z)

Г2              Г3

dz.

Далее,

J / g(zi dz — I “^{(2 +}°⁺ i^T) - iv^{(2 +}°⁺ i^T)g (1 + CT + iT) i dT

Г2 ^g(z)       -T U²(¹ + CT + iT) + v²(¹ + CT + iT)      ²

T

f [v(2 + CT, T^ + iu(2 + CT,T -_T [u²(2^{+ ct,t})⁺ v²(2^{+ ct,t}

∂τ

-

. du (2 + ст, t

∂τ

dτ.

Отсюда

Im J —

T

/

u

(2^{+ CT,}y)

dv( I +^,y) ∂y

-v(2^{+ ст,}у

du( I +^,y) ∂y

dy

-T

[ u² (2 + ^ст,у) + v² (2^{+ ст,}у

I du(¹+a,y)                              dv(¹+c,y)

г [—dx— ^u(2 ^{+ CT,}y^{) + v(}2 ^{+ CT,}y) —dx— J dy

I            [u² (2 + CT,y)+ v²( 2 + CT,y)]

T

^— / dx^ln |g^(x+iy)¹

-T

dy. x=I+ct

Здесь символ

[dx ln |g(x+iy)|] x= 1 +_ст означает, что вначале находится обычная частная

производная dx ln |g(x + iy)|. а, затем в полунсчшом выражении x ’замениетея на 2 + ст.

Аналогично

/

д' (z) д⁽^

dz

¹₂ -σ

Г [u(x,T) — iv(x,T)] = J [u²(x,T)+ v²(x,T)]

2 -°

du(x,T) + .dv(x,T)

dx;

д'^(z)a

Im / ——— dz g^(z)

Г3

²-° g(x, T)' -    — v(x,T)-]

J        [u²(x,T) + v²(x,T)]

2+°

-

dx = — /

2+°

σ

∂

— In |g(x + iy)|

∂y

dx.

y=T

Следовательно (см., например, [1, гл.II, и. 12, стр.43]),

д'И , , _тд д'^(z) , Im      dz + Im ——— dz

g(z)                g(z)

Г2                   Г3

2—°+iT

-

2+°—iT

^dx + ^dW dy ∂y ∂x

= p

— a + iT

^—p f^ ^{+ a} -^iT

где W(x,y) := In |g(x + iy)|, a p(x,y) — любая функция из множества Mg гармонических и сопряженных (в G_g) с ln |g(x + iy)| функций. Таким образом, равенство (1) можно переписать следующим образом:

(Vд Е Ko) (V a Е (hi, h)) (VT Е Фg) (Vp Е Mg)

— Pg + Ng (T)+2Ng (T, a)

= — Im [ dz + 1

2n J bg (z)      П

FDC

µ

— a + iT

^— P f 2 ^{+ a} — iT

Здесь FDC — спрямляемая кривая, состоящая из двух прямолппойиввх отрезков [F, D] II [D, C]. с началом в точке F = 2 — a + iT и конном - в точке C := 2 + a — iT.

Основная цель данной работы заключается в том, чтобы попытаться выразить величины Pg, Ng(T) и Ng(T,a) через какие-то характеристики, непосредственно связанные с «множителем Римана» b_g(z). В следующем параграфе делается первый шаг в решении поставленной задачи.

• 3.    Определение числа Pg

Пусть, как выше, a Е (h1,h). а T - положитслвиая д-регутярная ордината. Кроме вводопных тонок A. C. D. F. B. E рассмотрим onio точку O := {2}. Проводом простую спрямляемую кривую Y1 с нана.твной тонкой F п коионной - O так. чтобы все оста.твнвю тонки кривой Y1 принадлежали внутренности S прямоуго.твиого треуго.твппка FOE. При этом кривую Y1 проведем настолько близко к отрезку [F, 0]. что все возможные пули (если они есть) <]>УНКЦ1Ш g(z). принадлежащие замкнутой области. ограниченной кривой Y1 и сегментом [F, 0]. находятся лишь на. [F, 0].

γ2           O          C                γ1

но точки O. Тогда Y2 - простая спрямляемая кривая, все точки которой, кроме начальной и конечной, лежат внутри треугольника OBC. Кривую Y2 можно взять настолько близко к [O,C] (за счет приближения Y1 к [F,O]), что g(z) = 0 в области, ограниченной Y2 и [OC^].

Положим y := Y1 U Y2- Согласно теории вычетов

2п

DF

+ Ng(T) ,  |      |  = Im / g (z) dz + Im Z g (z) dz + Im / g (z) dz g |              |     g (  , U J Tim             Liz | Tim             zxJ | Tim             zxJ*

2                                 g(z)                g(z)                g(z)

CDγ

или, преобразуя последний интеграл и учитывая, что

g⁰⁽z) , g^0(1-z) g(z) g(i - z)

bg (z) ^bg^(z)

(Vz G Y2),

2n[—2Pg + Ng(T) + 2Ng(T, a)] = 2 Im / g dz + 2 Im / g dz + 2 Im / ^g^ dz. g(z)                  g(z)                  bg(z)

C               D               Γ2

Таким образом,

(Va G (hi,h) (VT G Фg) (Vg G Ko)

- 2Pg + Ng(T) + 2Ng(T,a)

DF

= 1Im [ g dz + 1Im [ gM dz + 1 n g(z) n g(z) n

CD

C т    [ bg^(z) ,

Im / dz. bg^(z)

O

Если теперь вычесть (3) из (1), то мы придем к равенству

Pg=2n^Im У

FDC

bg (z) bg^(z)

O₀ dz +1Im Z bg^zi dz. n        bg(z)

C

Формула (4) показывает, что значение Pg является определенным оператором (функционалом) от bg(z). Ей можно придать более компактный вид. Предварительно обозначим ~                                                                —1 +hi символом Pg сумму порядков всех полюсов функции bg(z) из полосы E2 (согласно 2 -h исходным предложениям, все эти полюсы принадлежат промежутку (2, 2 + hi]). Тогда

O

1Im / bgM dz + Im [ bgM dz

2           bg(z)                bg(z)

FDC           C

O

• 1               bg(z)                bg(z)        1           bg (z)

= -Im      -2— dz + Im  -2— dz + -Im   -2— dz = n(Pg - Ng(T,a).

• 2               bg(z)                bg(z)        2           bg (z)

• 4.    Определение величин Ng(T) и Ng(T, а). Основное соотношение для класса KQ

FDCOF           C             FOC

Здесь Ng(T, a) — сумма кратностей всех возможных нулей bg(z), которые могут находиться в промежутке вещественной оси [2 + h1, 2 + a), который лежит внутри треугольника FDC. Таким ()бразом. P_g = Pg — Ng(T, a).

Пусть а Е (hi,h), д Е KQ. Из обычной теоремы единственности для аналитической функции следует в данном случае (с учетом описанных выше свойств функций из класса. Kq). что миожество Ф_g вс ох д-роголярных ордишст всюду плотно в ( ж, 0) U (0, +ж). а множество Ф_д вс ох д-нерегутярных ординат мож! ю всегда представите, в виде {±tn}N₌₁. где 1 6 N 6 ж 11 tn t +ж щ>и N = +ж. Зафиксирует i какую-либо д-нерегутярнуто ординату То (без потери обппюсттi можно считать, что 0 < т₀) и найдем две последовательности {Tkj⁾}k=₁, j = 1, 2, д-регулярных ординат такие, что при k ^ ж Tk⁽¹⁾ t т₀, T_k⁽²⁾ 4 т₀, причем в интервале (т11⁾,т1²⁾) (а. следовательно, п в любом интервале (Tk⁽¹⁾,Tk²⁾). k > 1) д-нерегутярных ординат, кроме т₀. нет. Пош:>жим при k = 1, 2, 3,... . j = 1, 2,

j) - У!

Ak :=  2

-σ

^^^^^^^^

Ckj) :=

( 2 + "

^^^^^^^^

iTj

Dj^:= (j + а + iTk^

j)

Fk^:=

^^^^^^^^

а + iTk^

и воспользуемся формулой (2), согласно которой при T = Tkj

• — Pg + Ng (Tk^(j)) + 2Ng (Tj , а)

1 T      У    bg ⁽z) Д ж 1 [У 1 ж •^(j•)^ У1 Ж j

= 2П^ImJ   мя^{dz +} п^д О ^{- а+k} h ^д О ^{+а -} k J

^(j)Dj^(j)

Fk Dk Ck

(здесь, как и раньше, д(х, у) — произвольная функция из множества Mg). Отсюда при любом к > 1

Ng (Tf) - Ng (T»¹’) +2 [Ng (Tf) ,а) - Ng (К', а)]

1 2П

Im

■ F (2) F_k

Dk²⁾ck²⁾

bg (z) bg^(z)

dz

-

Im

/

м D. Ck

bg (z) bg^(z)

dz

1        1             (2)            1             (1)

⁺ П I \2 - ^{а +}i^Tk / - ^ \2 - ^{а +}i^Tk /

1        1             (1)            1             (2)

⁺ П [^ \ 2 ^{+ а} - i^Tk - ~ ^ V 2 ^{+ а} - i^Tk /

Если номер k > 1 неограниченно возрастает, то левая часть равенства (5) стремится к конечному числу 2а₀ +4в₀. г де а₀ = а₀ (д) - кратность возможного нуля g(z) вида. 2 +iT₀. а в₀ = в₀(д) - сумма кратжамей всех (также возможных) нулей той же <1>ункцпп g(z). имеющих вид 2 + x + iT₀, 0 < x 6 h1. Но тогда и правая часть равенства (5) должна стремиться к тому же пределу 2а₀ +4в₀. какова бы пи была (Ьуикция д пз M_g). При этом величины а₀ 11 в₀ могут прииимать лишь значения 1, 2,... - и всегда (так как т₀Е ^_g) 2ао +4во > 2.

Преобразуем теперь первое слагаемое правой части равенства (5). Имеем

F(1)C(

0      0

^{v :}=   /   bgH dz^-   /   bgH dz = J⁽⁾dz + .Л) dz⁺ /^H dz'

P(2) P^2) (2)                  /7(1) n(1) (1)                  Z7(2) D(2) D(1)            P)^(i))

Fk Dk Ck              Fk Dk Ck              Fk Dk Dk          DkC

Здесь ii далее (•) = Ь^. Отсюда

Im v = Im

p⁽¹⁾ F_k

ck²⁾

(2) (2) (1) (1) (2) k k kkk

(•) dz + Im J (•) dz + Im J (•) dz

p⁽²⁾ F_k

c

F⁽¹⁾ k b'(z)     b'(1-z)

= Im Г (•) dz + Im     gp? + g dz bg (z)     bg (1-z)

• (2)    (2) (1) (1) (2)               (2)

F_kD_kD_kF_kF_k           F_k

= Im

p⁽¹⁾ F_k

_{k                      Fk}(1)

L ()^dz+2ImL bg®^dz=^{2Im R} bg®dz=

(2) F_k

-2 Im

F(^D^ D^F(^F(²⁾ k k kk k

p⁽²⁾ F_k

F

J

Fk1

bgTzy dz. bg (z)

,            b (z) .

3 читывал, что lim Г dz = 0. из (5) получим

• (1)    ^bg(z)

F_k

2п(ао + 2во) = lim k→∞

+ ц (l+°

¹               (2)

Ц I 2 - ° + iTk

-

Ц (I ⁺° -

„гр⁽²⁾ iT_k

-

iT⁽¹⁾ iT_k

-

¹               (1)

Ц ( 2 - ° + iTk

.

При этом соотношение (6) справедливо для любой функции ц(х,у) из Mg, если g Е K0 и ° Е (h1,h). Этим обстоятельством можно воспользоваться и, подбирая подходящим образом функцию ц, получим из (6) достаточно хорошие оценки сверху для положительной величины а₀ + 2в₀. Изложению полученных на этом пути результатов предполагается посвятить отдельную статью.

• 5.    Один подкласс класса K0, связанный с общими рядами Дирихле

Обозначим символом K1 множество всех функций g(z), обладающих следующими свойствами:

^

0) g(z) является суммой ряда Дирихле gi + P gke-Xkz, имеющего конечную абсциссу k=2              ,      ,               „            , '

ag аосолтотиой сходимости (т. е. ag < +то): при этом ,тля любого k > 1 gk Е C. gk = gk(g). gi = 0; ag Е [2, +ro); _____

• 1)    V z ^ЕEag g^(z) = g^(z);

• 2)    ^Vk > ² Ak = Xk (^{g) Е R+} = (0,  .    ⁰2<Аз <...k t ■ .

• 3)    функция g(z) аналитически продолжается из Ea_g в E 2-h, г де h = h(g) — какое-либо число из интервала (x₀ - 2, +то), a x₀ — (единственный) вещественный корень уравнения |gil = Mb Igk le^-Ak x: при этом (продолженная) функция g(z) аналитична во всех точках

E1

2 h расположенных в промежутке (2, хо] и являющихся полюсами g(z);

• 4)    функция g(z) отлична от нуля во всех точках сегмента [2 - h,x₀]. в которых она

аналитична;

—1+h

• 5)    в замкнутой полосе E1 h функция g(z) удовлетворяет функциональному уравнению g(z) = bg(z)g(1 - z) причем функция bg(z) удовлетворяет условиям 6) ii 7) из § 1. в которых h1 = х₀ - 2.

Из определения класса K1 слсдуст. что K1 С K0. Поэтому для флнищий из класса K1 справедливы все результаты, полученные в §§ 2-4.

Может быть, самым интересным конкретным примером функции из класса K1 является дзета-функция Римана Z(z) Как хорошо известно (см., например, [3, 4]), она регулярна в кольце 0 < |z - 1| < +то. имеет в точке z = 1 простой полюс и в полуплоскости E1 является суммой обыкновенного ряда Дирихле:

∞

Z (z) = 1 + X n n=2

z = i + XX i • e-z inn, n=2

для которого az = 1, x0) E (1,2) — корень уравнения 1 = РП=₂ n x, bz(z) = 2(2n)^z-1 sin nz Г(1 - z). В данном случае можно положить h1 = h1(Z) = x0^Z) - 2. а в качестве h = h(Z) взять любое число из интервала. (h1, 2). Можно также положить h1(Z) = a_z = 1. а в качестве h(Z) взять любое число из интервала. (1, 2). При сделанном выборе чисел h ii h1 «множитсяь Римана» b_z(z) удовлетворяет условиям 6)-7) из § 1, откуда Z(z) E K1. Следовательно, для дзета-функции справедливы все результаты

g(z) = Z(z)

bg(z) = 2(2n)^z-1 sin ^ Г(1 - z).