О распределении простых чисел специального вида в арифметических прогрессиях

Распределение простых чисел, удовлетворяющих условию {р“} <  ст пр и 0 <  а,ст <  1, впервые исследовал И. М. Виноградов [1] с помощью созданного им метода, тригонометрических сумм. Им была, установлена, справедливость следующей асимптотической формулы:

Е 1 = cttt ( X )+ O(X      ,                         (1)

Р6Х

{р“}<СГ где 0 < Р(а) < 1. Впоследствии этой задачей занимались Ю. В. Линник [2], Р. М. Кауфман [3], С. А. Гриценко [4] и другие авторы, а. остаточный член в формуле (1) неоднократно уточнялся. Аналог (1) был доказан и в случае нецелого а> 1 (см. [5]— [10]).

Для решения многих задач теории чисел необходимо знать, как распределены простые числа р, р 6 X, из некоторого специального множества E С N в арифметических прогрессиях вида qn + a, (q, а) = 1, п = 0,1, 2,... «в среднем» по q, 1 6 q 6 Q. Иными словами,

необходимо иметь оценку вида

Е

q6Q

max

( ^a,« ) = l-

Е і - p6X peE p=a (mod q)

1 ∑︁1

Pfe

X

(log X) A •

peE

Здесь Q = X ^Ө-% 0 <  е <  0, A > 0 — произвольные фиксированные постоянные. Величина Ө называется «уровнем распределения» рассматриваемой последовательности простых чисел. Уровень распределения Ө играет существенную роль в приложениях оценки (2). Чем больше значение Ө, тем точнее оказывается, как правило, соответствующий результат. Например, в простейшем случае, когда E совпадает со множеством всех натуральных чисел, оценка (2) установлена для Ө = 1/2. Соответствующее утверждение называется теоремой Бомбьери-Виноградова и позволяет в ряде случаев «заменить»в выкладках расширенную гипотезу Римана. Существует предположение (гипотеза Халберстама-Эллиота), что в случае E = N оценка (2) остается справедливой и при всех Ө < 1. Его доказательство привело бы к значительным продвижениям в ряде задач, связанных с простыми числами. В частности, из неё следовало бы существование бесконечного множества простых чисел р_п, удовлетворяющих условию Рп+1 — р_п 6 12. В случае, когда E = N, задача нахождения оценки (2) оказывается, как правило, более сложной, а соответствующий результат - менее точным, чем упомянутая теорема Бомбьери-Виноградова.

В настоящей работе мы рассматриваем множество E = {n € N | {n“} < 1/2}. В случае а = 1/2 неравенство (2) было установлено Д. И. Толевым [11] при Ө = 1/4. Позже С. А. Гриценко и Н.А. Зинченко [12] доказали (2) для произвольного а, 1/2 6 а <  1 уже при Ө = 1/3. Наконец, в работе [13] автор перенёс последний результат на случай произвольного нецелого а >  0.

2.    Основные результаты

Основным результатом статьи является

Теорема 2. Пусть 0 < а < 1/9 — фиксировано, E — множество целых чисел n, удовлетворяющих условию {n“} < 1/2. Далее, пусть Ө,е,А — фиксированные константы такие, что 0 <  е <  Ө < 2/5 — (3/5)а, е <  а/100, A >  1. Далее, пусть X >  X o (а,Ө,E, A), 2 < Q 6 X^Ө-е. Тогда справедливо неравенство

Е

q6Q

max

( a,q )=i

p6X peE p=a (mod q)

1 ∑︁1

^ P6x

/ cX

6 (log X)^’

где константа с зависит от а, е, Ө и A.

В основе доказательства теоремы 1 лежит получение верхней оценки вида

Е • һ/ « X³ q^ (logX)^-Л,

X6p< 2 X p = a (mod q )

где X ³ Q⁷⁺¹ « X, h 6 (logXД. C > 0. Здесь используется обозначение е(ж) := е^2ггж. Для удобства вместо (3) рассматривается сглаженная сумма по всем целым

W =

n = a

+ ^

∑︁ п=1

(mod q )

ф

।;)

Л(п)е(һп“),

где Л(п) — функция Мангольдта, Д(ж) — функция класса С ^го с носителем на [1 — А, 2 + А] с некоторым малым А >  0 и производными, удовлетворяющими условиям Д⁽³⁾(ж) ^ (log X)^jA 0 для фиксироваиной константы Ао > 0 (см. [14]).

Применяя к (4) тождество Хиз-Брауна [15] с параметром V = X1/5, получим где

W j =

w = Е (— ф^-1

j = 1

(;)

W j

+ ∞

52         (logd i )/z(dj +i )..

d i ,...,d 2 j =1

dj+i,...,d2j6V di...d2j =a (mod q)

.th . ⁾^(^ li X₇^ 22.

)e(^d(d 1 .. .d2 j )“).

Суммы W1,...,W5 оцениваются единообразно, поэтому рассмотрим только последнюю из них. W5 разбивается на суммы трех типов в зависимости от размеров сомножителей di,...,dio. Для оценки суммы третьего типа применяется формула суммирования Пуассона, поэтому, чтобы уйти от ограничений вида У) 6 d i < Z i, удобно предварительно сгладить исходную сумму с помощью следующего разбиения единицы (см. [16, разд. 3]):

1 =     Фр (ж)    при ж > 1, deg

^фр<^ж) = ^ф( X) -^ф(|Д,

G = {0^z,Z Е N и{0}},

где Ф(ж) — функция класса С ^го с носит*атом на. [—Ө; Ө] при Ө = 1 + (logX) ^в 0 с фиксированной константой Во > 0. Тогда

^W 5 =    У2        52      log^ i )^)...

D i ,...,D io EG     d i ,...,d_to =1

. . .Ц^(d 10 ^)ФD₁^(d 1 ) . . . ^ФD₁₀

(d 10 )Д ( ^{d1 .} _x ^d10 ) e (K(d1 ... d 1o )“).

Таким образом, разбиение на суммы трех типов происходит в зависимости от размеров множителей D ) вместо d ). Отметим, что ненулевой вклад в последнюю сумму дают лишь наборы {D1,..., D₁₀}, {d1,..., d₁₀}, удовлетворяющие D1... D₁₀ ~ X, d_i ~ D_i, где знак n ~ N здесь и далее означает NӨ^-к 6 п 6 NӨ^к при подходящем значении к > 0.

3.    Оценки тригонометрических сумм

В соответствии с леммой 3.1 из [16] (с выбором параметра ст = а/10) сумма первого типа отвечает наличию индекса 1 6 г 6 5 такого, что D , > X^3/5+а/1°. Для определенности положим г = 1 и зафиксируем D1,..., D10. Применением формулы суммирования Абеля задача сводится к оценке величины

Wi =  ^ р(d2,...,d10)      £     е(Ы?№ ...d10)“), d2~D2                        di~Di

dio~Dio где Р — некоторые вещественные коэ<]><]>пщіентві. удовлетворятощие неравенству Д| ^ X5 при сколь угодно малом 6 > 0. Заменой d1 = дт1 +Z1 внутренняя сумма сводится к сплошной по промежутку длины х D1/q ^ 1. По теореме ван дер Корпута [17, гл. 1, теорема 5]

Е e(/l(Г 1 )) « DJ 1 > 2 ^/2 + Ф/².

T1~Di/q где

/ i (r i ) = h(d2 ... d io ) “ (qr i + l) “ ,      A 2 = h(qD2 ... D_w) “ ( ^IDⁱ )

l/ i ‘ (r i )|,

откуда, оценивая суммы no d2,..., dio тривиально, получим

W i « X⁵ ^VhD/ 2²QD₂ ... D io )^i+a/2 +

Vhq

.

Сумма второго типа соответствует наличию разбиения S U T = {1,..., 10} такого, что

X 2 / 5 - а/ ¹⁰< П D i < X ^3/5+a/i0.

ies

При фиксированных рассматривается сумма

M = ] [ D i es

N =

Ц D i ,   MN -X,

ieT

Wn = ^ y(m) m ~ M

E

n ^ N

3(n)3^m^e(h(mn)^

mn = a (mod q )

В данном случае коэффициенты 3(^п) ^и 7(m), удовлетворяющие |/3|, |у| ^ X⁵, вообще говоря могут не быть гладкими, что не позволяет оценить величину W ii предыдущим способом. Внутренняя сумма сглаживается применением неравенства Коши:

|W ii | 2 6 (^ |7(m)| 2) (^ m ~ M       V~ M

E

n ~ N

P(n)3^ X )e(^(mn) “ ) ).

mn = a (mod q )

Далее, действуя аналогично [13] и применяя теорему ван дер Корпута со второй производной, получим

W_n « X⁵

НX М \ ^i/2 X ^i+a/4

VV—) ⁺

ДМ

Xi-a/4

+-- q

.

Сумма третьего типа отвечает наличию индексов 1 6 г = j = k 6 5 таких, что X^i/5+«^/5 6 Di 6 D j 6D_k 6 X ^2/5-“^/i0,      D i D j , D i D_k, D j D_k >  X ^3/5+“^/i0.

Введем обозначение u = П ds.

i 6 s < i0 s = i,j,k

При заданных г, j, k и фиксированных Di,..., Dio рассмотрим сумму

Win = 52 b(u) u : d _s~ D _s

^Т       ФDг (di)^Dj (dj )^Dk (dk )^(udXjdk ) e(h(udidj dk)"), di,dj ,dk=i                                           V           7

где |b(u) | ^ X ⁵. Введем об означение W^ii для внутренней суммы по d i , d j , dt- Чтобы снять ограничение di ... dio = a (mod q), воспользуемся свойством ортогональности характеров Дирихле:

^  v(q)

+∞

52 ^^(na* )    52 x^(d i ^d j ^d k )•

X mod q

d _t ,d j ,d _k=i

^ D , (d i )^ D ,(d j )» D , (d t ) фМХк) e(h(ud ,. d , d t ) " ),

где аа* = 1 (mod q). Оценка полученной суммы осуществляется в три этапа: суммы по d k и d j, имеющие порядка D k и D j ненулевых слагаемых соответственно, последовательно заменяются более короткими с помощью формулы суммирования Пуассона, возникающие при этом осциллирующие интегралы исследуются с помощью лемм 8.1, 8.2 из работы [18]. В ходе перечисленных преобразований в выражении для суммы Wjjj возникает в итоге полная сумма Клоостермана, к которой применяется классическая оценка А. Вейля и Т. Эстермана.

Производя замену d k = qrk + I k и применяя формулу суммирования Пуассона, получим новое выражение для суммы по dk, имеющее вид

X ud_id j q

+^

Е ^{т (}х; ⁸ k ^)I(s k ), s _k = -^

где

^{1 (S} k ) = j₀    ^к Ujlxr^)^^*⁵^!^{91 (}^’ ®k^^

т (х; s k ) = ^ y(Z k )e(-sk\    9 1 (I; S k ) = h(xi ) “ - ^Х S k .

V q                                 ud i d j q

L k = ¹

Сумма, no S k разбивается ii а промежутки —то < S k < Ту. Т 6 S k 6 Ту Т2 6 S k <  +то. где

1 ahud_iD j q

Ту = 4

ahud_iD j q X ^1- “

¹ = 4 X ^1- “   ’

При T1 6 S k 6 Ту стационарная точка | q функции 91 (I) лежит на носителе функции ФD_fe(.)^(^) или близко к нему, соответственно, вычислим интеграл I(S k ) асимптотически с помощью леммы 8.2 из [18]. В противном случае оценим интеграл сверху с помощью леммы 8.1 из [18]. Тогда.

^WS =        Е х(иа * ) 5 x(d i d j )Ф D _l(d i )^ D ₃ (d j )•

X mod q        d i ,d j =1

-Е- Е т(х; S k )P (&; S k H^q; S k ) ) + R1(C )q) , ud^dq q

^{1 j} I ' ■ 6T 2

где

^P^ ^Sk ) = | 9^,1 ^, ( ^ q )| ^{1 / 2} [ ^^Dfe ( u^EУ ^{( I q ) +} ^^{( C q )} ] ’

1 ahudidj q 1/(1-a)1

& = xl—S----/        ,      T 1 ⁽ s q ; ^S k ) = 9 1 ⁽€ q ; ^S k ) ^— ^ ,

R(Cq)= Е A (^7  У ^^ Kk ("XI")^(^)e(H1(^))]

16^6C0n' 2|91(||] / d|2n         udidj^

H1(I) = 91(|) — 91(|Q) — 2 91,(|Q)(| — ^Q)2, а остаточный член R1(Cq) может быть сделан достаточно малым при соответствующем выборе параметра Cq. Отметим, что при малых q возможна ситуация Ту < 1. Тогда сумма Т1 6 Sk 6 Ту не содержит ни одного слагаемого, и все вклады оцениваются сверху с помощью леммы 8.1.

Проводя аналогичные преобразования суммы по dj, получим выражение

+^

Е ^{т (}х; ^S j ^)J(S k ^,S j ),

S j = — ^

где

-—=Г^ЯДУ=аУ)ЧУУ-» ⁺ R(C₀, g)] <5 ( 52(77; s_k, S j ) ) d?7, ^ . ,^j) ) = ⁽1 - *x",f= -        „, в = ^5.

Разобьем сумму no S j на промежутки (-то; Т3), [Т3, Т4] и (Т4, +то), где

_ 1(ahq)²ud i        _ ( ahqfud i

^Тз = 4 s_kX ! - ² “ , ^Т 4      s_kX ! - ² “ .

К интегралу J ( s k , S j ) применим ту же стратегию, что и к I ( s k )• В зависимости от положения стационарной точки 70 функции g2(g; s k ,S j ) применим лемму 8.2 (если S j Е [Тз, Т4]) или лемму 8.1 (в противном случае). Тогда получим

+^

ЕЯ = Х^ Е х(™ * ) Е x(d i Ф=(d i ) Е т(х; S k )•

' x mod q         d _i=1                 T i 6s _k 6T 2                                             , ,

X1—a ahud.q2   Е т(х; X)Q(?7o; Sk,SjH

\             ²~          I"    f7o^Sk^X1“\     fahq^X“ _ад\ ⁽Дsi

QVdo; ^Sk ^,Sj) =  -----------жж ^Фр —жж— № -----7o W  ^+R2^(Co^,Eo⁾,

(Iд^Лд^)1 V- 3V ahud^q ) V Sk     )

^2⁽go; ^Sk, ^Sj) = 52⁽go; ^Sk, ^Sj) ^- ^,

Д2Д             1      7   \^т_а^т)

R2(Co,Eo)=         ,           ~ ( 91 H( у ) ;Г^т(№2(7)е(Я2(7)) ),

|g2/(go)l1/2(m,,;=(o,o)m! V2|g2,(go)iy d7^m\ z .      V2^   / i V     gskX 1—“\ d(2n)X^

^W2(g)   Ш7³)l^1/22.g\gW)J ^ФвЧ «hud,q J dC²- p4ud,dj^^)e( ^1(€))J_€=€o(,)

R2(g) = g2(g) - g2(go) - jg2‘(7o)(g - go)2, а остаточный член R3(Co, Eo) в (7) при соответствующем выборе параметров сколь угодно мал по сравнению с главным.

Далее, меняя порядки суммирования в (7), получим выражение

-Е Е x^(udi»*^)T(х;^Sk^)т(х;^Sj) = ЕЕ<f^{Sklk + Sjlj})Ег Е x⁽ij)x^(udia*ik).

^^(q)xXlq                         /1=1 /7=1 ^{V q dW1}X x^dq

Используя свойство ортогональности характеров, перепишем последнее выражение в виде

^Е-1_е/^{Skik +}₅,<ам^ik Г \ =_Sq (Sk ,Sj _a(udi).).

/к=1               ^q          /

(/к ,q)=1

Применяя оценку полной суммы Клоостермана, принадлежащую А. Вейлю и Т. Эстерману, получим

\Sq(Sk,Sja(udi)*)| 6 т(q)Vq • (sk, SjQ, q)^1/2.

В итоге получим сумму

8 = Е

Ti6s_k 6Т2

T36sj 674

(s_k ,Sj а, g)^1/2 (S_kSj)"^/2

гДе 7 = (2 - 3a)/(1 — 2а). Далее,

8 <

X-“- Г  £  Vd^{£   £} 1 « tt (^-l f

(hg)²udj          ^                                           I (hg^udi /

^{V ;} V    16d6min(T₂,T₄)      Ti6s_k6T2    T36sj6T4             V        )

s_k =0 (mod 5) _Sj =0 (mod 5)

Отсюда, окончательно,

Win ^ E

u:d_a~D_a

lb(u)l

E ^ di (d)

di~D_t

X ■ '* ²

Vhudj g²

((ahg^udi)⁷/² VhX “

/ X1-2“ у У²          /        \

^T(^^т((^)  <^T(g^)V( П °.)°-^X“+⁵

X s=i,j,k     '

Максимизируя оценки сумм первого (5), второго (6) и третьего (8) типов по допустимым значениям °1,..., °ю, получим требуемую оценку.