О распространении слабых сигналов в сплошных средах

1.    Идеальная среда

В идеальной сплошной среде девиатор тензора, напряжений равен нулю, и в каждой точке пространства x,y,z,t на вещество действует единственная сила - давление. Законы сохранения массы, количества, движения и энергии в этом случае имеют вид dt + VpU = o,(1)

^ + (й v) рй + рй (vU) + vp = о,(2)

др*1 + V (й(ре + P)) =0,(3)

где р - плотность, й - скорость, P - давление, е - удельная полная энергия, равная сумме удельной внутренней энергии E и удельной кинетической энергии 2 й ²

е = E + 2 й ² .

Одним из следствий законов сохранения (1) - (3) является постоянство энтропии S вдоль траектории любой материальной частицы

8S -

— + UVS = 0 .

∂t

В случае плоскосимметричного одномерного течения законы сохранения (1), (2) и уравнение (4) имеют вид [1]

рр+ идт + Рди = 0 -                       и ∂t    ∂x    ∂x рди + pufU + др =0 ,                        (6) ∂t      ∂x ∂x Ц + U^ = 0 .                          (7) ∂t     ∂x

Система уравнений (5) - (7) замыкается уравнением состояния

р = P ( P-S ) .

Продифференцируем P ( р, S ) вдоль траектории частицы

£ + U^ = (£) ( ^др + u|P ) + | IP ) (Ц + u|S ) .        ₍₈,

∂t ∂x ∂ρ _S ∂t ∂x ∂S _ρ ∂t ∂x

Обозначим [1] (др), - C2 и, используя (7), запишем (8) в виде

+ и|р   * (Ц + u^P).                    (10) ∂t    ∂o   C 2 ∂t     ∂o

Подставив (10) в (5), получим уравнение

IP + uIP + PC 2 IX = 0 .                    ™

Уравнение (11) вместе с уравнением (6) вдоль характеристических направлений

	dx = u ± C                             1121
преобразуется к виду	dP    dU ± ^d =0 -
где	d = f + ( U ± C ) d.                        114) dt ∂t          ∂x

Если в некоторой точке среды изменить хотя бы одну из величин, характеризующих состояние и движение, то это возмущение будет распространяться во все стороны. Введем слабые возмущения следующим образом. Будем считать, что P-p-C и U имеют вид

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

P = P о + SP,C = C о + SC,U = U о + SU,p = p о + Sp, где P о = const ,p о = const ,U о = 0 , C о = const , a SP,Sp,SC,SU такие малые величины, что SP << P о , Sp << p о , SC << C о , SU << C о . Подставив P,p,C,U в (12), (13) и отбросив малые величины, получим уравнения характеристик и уравнения вдоль характеристик в виде

Р = ^U о ± ^C о ■

dδP      dδU

"tT ± ^{p о C о} "dT = ⁰ .

Поскольку p о = const , C о = const , U о = 0 , то уравнения (15), (16) можно проинтегрировать. После интегрирования получим:

1) вдоль характеристик Его семейства

^x = x о + ⁽ U о + C о) ⁽ t - t о) справедливо уравнение

SP + p о C о SU = const ,                               (17)

2) вдоль характеристик 2-го семейства

^x = x о + ⁽ U о - С о)⁽ t - t о) справедливо уравнение

SP — p о C о SU = const .

Постоянные вдоль характеристик величины в уравнениях (17), (18) назовем акустическими инвариантами а и в

а = SU +-- sp^P^ в = SU--TPSP

ρ 0 C 0               ρ 0 C 0

Малые возмущения SUh SP выражаются через акустические инварианты так

SU = 0 , 5( а + в ) , SP = 0 , 5( а — в ) p о C о .

Анализ полученного решения показывает, что начальное возмущение SU ( x ) ил и SP ( x ) при t >  0 распадается на две одинаковые части: 0 , 5 SU или 0 , 5 SP, которые переносятся без изменения вдоль характеристик в противоположных направлениях. Скорость распространения этого возмущения в покоящейся среде равна наклону характеристик dX = ±C о . Величина C о зависит только от свойств среды и не зависит от формы возмущения. Типичными возмущениями для воздуха являются шумы, звуковые сигналы, поэтому величина С получила название скорость звука.

Скорость звука, которая определяется по формуле (9), является вещественной при условии ^д _д^др^ >  0 . Все случаи нарушения этого условия требуют специального рассмотрения.

Рассмотрим теперь одномерные течения идеальной сплошной среды в случае цилин-

дрической или сферической симметрии. После уравнения (5), (6) примут вид перехода от координаты x к координате r

^ + Up + p ^ + ∂t ∂r ∂r

^{( v} - 1) pU = 0 r^,

piU + ри ^ + dP ^{= 0} ,                       ⁽²⁰⁾

∂t ∂r ∂r где U - скорость вдоль любого луча 0r, v - показатель симметрии (v = 1 - плоское течение, v = 2 - течение с цилиндрической симметрией, v = 3 течение со сферической симметрией). После замены с помощью (10) производных р (t, r) производными P (t, r) и перехода к малым возмущениям уравнение (19) принимает вид

№,,№', 2d 86U ,( v - 1) ( р о C 2 SU + U q C 02 Sp + 2 U q p 0 C 0 SC )

"dF ^{+ U 0} " d F ^{+ p 0 C 0} " d F ⁺----------------- r -----------------= ⁰ ■

После преобразования уравнений (20), (21) к характеристической форме получаем, что уравнения самих характеристик при Uо = 0 имеют точно такую же форму dr dt

= ±С о ,

как и в случае плоской симметрии, а уравнения вдоль характеристик отличаются.

2.    Неидеальная среда

Из всех возможных неидеальных сред рассмотрим только упругую изотропную среду, поскольку упругие деформации обратимы и, следовательно, энтропия остается постоянной вдоль траектории материальной частицы, т.е. выполняется уравнение (7). Закон сохранения массы не зависит от неидеальности среды и имеет вид (1). Векторное уравнение движения неидеальной среды в проекциях на координатные оси распадается на три скалярных уравнения [2]

где

2 G S xx — ""3"" (2 ^ xx    ^ yy    ^ zz ) ,	(25)
2 G S yy — “3” ( ^ xx + 2 ^ yy    ^ zz ) ,	(26)
2 G S zz — —3"" ( ^ xx    ^ yy + 2 ^ zz ) ,	(27)
T xy = GY yx , T yz = GY yz , T xz = GY xz ,	(28)
∂x        ∂y       ∂z £xx = dX Q ,£yy = dyTo,£zz = dz Q ,	(29)

dUx ρ dt ∂P + ∂x - ∂Sxx - ∂τyx - ∂τxz = 0, (22) - ∂x ∂y ∂z dUy ρ dt ∂P + ∂y - ∂τyx ∂x - ∂Syy ∂y - ∂τyz ∂z = 0, (23) dUz ρ dt ∂P + ∂z - ∂τxz - ∂τyz - ∂τzz = 0, (24) ∂x ∂y ∂z где Sxx ,Syy ,Szz - - нормальные, Txy — τyx ,τxz = Tzx, Tyz = Tzy касательные компоненты девиатора напряжений. Воспользуемся результатами теории упругих напряжений и дефор маций [3] и выпишем зависимости между ними.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

∂y

∂z

∂x

^{Yyx —} dx 0 , ^{Yzy —} dy 0 , ^{Yxz —} dz 0 •

В одномерном течении вдоль оси x все величины в плоскости zOy, ортогональной оси x , должны быть одинаковыми. Следовательно

∂

= 0 , ∂y

∂

∂

∂

dz °, ду о    ⁰ , dz о    ⁰ ’

С учетом этого факта уравнения (1), (22) - (30), принимают вид

∂ρ ∂ρ   ∂Ux dt + Ux dx + p^x — 0 ’ dUx + U dux + dP _ dSxx =0 ρ ∂t ρ x ∂x ∂x ∂x ,

∂U y ^ρ ∂t

∂U y

^{+ pU} x

∂x

-

∂τ yx дх ,

∂U z ^ρ ∂t

∂U z

^{+ pU}x^—

∂x

-

∂τ

V x =o , ∂x

^ yy — ⁰ , ^ ZZ — ⁰ , ^Y zy — ⁰ , ^Y xz — ⁰ ,

_ 4 Эх_    _

^Sxx = 3 Gdx о ^{,Syy —}

-

2 ^dx

3 Gdx о , ^Szz

-

2 dx

3 dx о ,

τ _yx

— G-^-, r_zx — 0 , t_z у — 0 . zx       z

∂x 0

Сделаем еще одно упрощение и будем считать, что Uz — 0, т.е. в случае поперечных колебаний материальные частицы смещаются только вдоль оси у. Продифференцировав (34), (35), получим уравнения для Sxx и т—х dSxx  4QUxx  0 дтух QUy—  0

dt 3 dx о ⁰ dt      dx ₀

Чтобы перейти от лагранжевой координаты x о к эйлеровой координате x , рассмотрим параллелепипед объемом d6 о — dx о dy о dz о- Удельный объем вещества с массой dm в этом объеме обозначим через V q — dx о dy о dz о /dm. В одномерном движении dy о — const , dz о — const , a dx изменится, в результате чего изменится удельный объем

V — dx dy о dz о /dm.                                (37)

Полный дифференциал функции x(xо, yо, zо) имеет вид dx — ( —— )    dx о,

∂x 0 y 0 ,z 0

поскольку в рассматриваемом движении отсутствуют сдвиги и повороты и l/x — 0 , d^x — 0 . Подставив (38) в (37), получим связь V h V q

V — V )

/ dx \

∂x 0 y 0 ,z 0

Из-за отсутствия сдвигов и поворотов производные dU ^- и dU y, входящие в уравнения (36), преобразуются к виду

∂U x ∂x 0

dU x дХх\ dU y _ dU y ∂x ∂x 0   ^, ∂x 0 ∂x

/ дх Л

∂x 0    ^.

Преобразуем дальше выражения ^dUx, dUy, подетавив 77x0 из (39) в (40), и подставим полученный результат в (36). Заменив субстанциональные производные dS-x и dTy- их выражениями ∂τ ∂τ через -Sxx, -Sx-, -gy- и ,   .

dS xx , _тт dSxx 4    V dU x _

"эТ + Ux "XT - 3 G •      _0, дтух , U дтух _ GVdUy _ 0

∂t ^x ∂x      V 0 ∂x ^.

Окончательно имеем систему уравнений (31) - (33), (41) и (42). В этих уравнениях перейдем, как и ранее, к малым возмущениям P _ P о + dP, р _ р о + др, U x _ U x ₀ + dU x , S _xx _ S xx 0 + dS xx , V _ V о + dV, C ² _ C 2 + dC ² , T yx _ T yx 0 + dT yx Щш P о _ const , р о _ const , C 2 _ const , U x ₀ _ 0 , S _{xx 0} _ 0 , V o _ const , T yx ₀ _ 0 . В результате приходим к системе линейных уравнений

ddP + р о C o2 ddU x _0 , ∂t       0 ∂x	(43)
∂δU x    ∂δP    ∂δS xx ρ 0 ∂t      ∂x       ∂x      ,	(44)

∂δS xx -	4 _ddU x 3 G дх ‘	_0 ,	(45)
∂t
∂δU y ρ 0 ∂t	ddT yx _ ∂x	0 ,	(46)
∂δτ yx ∂t -	GddU y _ ∂x	0 .	(47)

Эти уравнения распадаются на две системы уравнений: уравнения (43), (44) и (45) - первая система, и уравнения (46), (47) - вторая система. Запишем уравнения (43) - (45) в характеристической форме. Для этого умножим (44) на Л , (45) - на ц, где Л и ц- пока неопределенные множители, и сложим

^ddU x   /    2   ⁴ Л

^Лр о ~dt —^{+ р} о C о ^— 3 ^G )

ddU x ₊ ddP _{+ A}ddP ₊ ddS xx - _A dds_xx _₀

∂x ∂t ∂x µ ∂t       ∂x .

Характеристические направления трех, входящих в (48) характеристических операторов,

совпадают при ц _

- 1i I Л _ ± CC^

+ з р 0 и определяются уравнением

эх ^_ *          .

Эта величина называется скоростью звука продольных упругих возмущений и обозначается C l . Рассмотрим далее систему уравнений (46), (47). Умножим (46) на неопределенный множитель Л и сложим с (47)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

λρ 0

∂δU y ∂t

_G ∂δU y

∂x

∂δτ yx

⁺ dt

∂δτ yx ∂x

= 0 .

Характеристические направления двух, входящих в (50) характеристических операторов, совпадают при А = ± л G и определяются уравнением

dx = А Д ∂t        ρ 0

Эта величина называется скороствто звука поперечных упругих возмущений и обозначается Cs. Окончательно имеем

г 2    2 . 4 G г 2 - G

^C L = C ^{0 +} 3 р о ^,Cs = р 0

.

Величина C о выражав'тся через C l ii C s из (51)

П2   Р'2   ⁴ Л»2

C 0 = C L - 3 C s .

3. Многокомпонентные среды

Рассмотрим одномерное течение многокомпонентной среды с плоской симметрией. В этом случае законы сохранения массы и количества движения, учитывающие парные и кластерное взаимодействия [4], принимают вид

∂αiρi   ∂αiρiUi dt + дх = ’

daiPiUi   daiPiU2   dai (Pi + Fi) _ dt + дх + дх     = Ri, где i - номер компонента, ai - объемная концентрация i-го компонента, Fi - функция кластерного взаимодействия i-ro компонента со смесью, определяемая согласно [4] уравнением

F i = ^— 2 P i ⁽ U ^— U i ) .                                 (54)

В уравнении (54) U - скорость смеси и = ^ niUi, ni ~ массовая концентрация i-ro компонента, связанная с ai соотношением

ПР = a i P i ,

р - плотность смеси

Р = ^^ai P i .

Свойства каждого i -ro компонента определяются уравнением состояния

P i = P i ( p i , S i ) ,

где S i - энтропия i -ro компонента. В соответствии с формулой Лапласа производная определяет скорость звука i -го компонента

∂P i

∂ρ i   _{S i}

^ dPa.

С помощью (52) преобразуем (53) в уравнение движения а.р. ^ + a.P.U,    +     / ' =0,

∂t         ∂x∂x а уравнение (52) запишем в виде

Pi (^ + Uiж) + «i (®Е+ + U,®^ + «ip,®^ =0.(57)

∂t ∂x        ∂t ∂x∂x

Продифференцируем (55) по t и по x и с помощью полученных зависимостей производных др = C 2 Эрг ЭГг = C 2 Эрг ∂t i ∂t , ∂x i ∂x преобразуем (57) к виду

P i («Р + U i ⁸РР + « • (ж + U i dPA + « i P i ®^U =0 .

∂t ∂x     C _i ²     ∂t ∂x         ∂x

Следуя [5], запишем такие же уравнения для смеси p|U + puf + 83Z-F1 = 0, ∂t ∂x ∂x

⁸а + up + pdU = о . ∂t ∂x ∂x

Уравнения (59), (60) не содержат производной др, поэтому невозможно скомбинировать характеристический оператор функции P. Это станет возможным, если заменить производные 'др и др производными (P и др, как это было сделано для каждого компонента. Однако, в соответствии с [6, 7] смесь не имеет уравнения состояния. Давление P, плотность p и энтропия S смеси выражаются через P i , p i , S i , « i и П г компонентов с помощью суммирований

NNN p = ^«iPi, p = ^«iPi, s =   niSi.

i =1             i =1             i =1

Попытки продифференцировать P no p при S = const пр и N > 2 наталкиваются на непреодолимые трудности. Именно поэтому все попытки определения скорости звука смеси огра ничивались случаем только двух компонентов [6-9]. Будем считать, что слабый (акустический) сигнал в смеси распространяется с некоторой скоростью C, которая может быть измерена экспериментально как отношение пройденного сигналом расстояния Ax ко време ни At. Предположим, что скорость звука смеси удовлетворяет уравнению (9). Это позволяет

∂ρ ∂ρ заменить в уравнении (b(J) производные ^р, др производными -др, ух, в результате чего в уравнениях появляется возможность сконструировать характеристические операторы функ ций P и U. После этого выразим эту виртуальную скорость звука через Ci 11 «i. Критерием правильности такого выражения будет малое отличие C (Ci, «i) от экспериментального значения C.

Рассмотрим находящуюся в равновесном состоянии смесь, каждый компонент которой характеризуется следующими величинами: p i о = const , P i о = P о = const , U i о = 0 , S i о = const , n i о = const , a i о = const , F i о = 0 , C i о = const . Сформулируем систему упрощающих гипотез, в рамках которой перейдем от уравнений (56), (58) - (60) к уравнениям, содержащим малые возмущения всех входящих в них величин:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

• 1.    Звук является малым возмущением: f = f 0 + 5f, f i = f i 0 + 5f i , где f и f i - это общее обозначение величин, входящих в (36), (58) - (60).

• 2.    Звук обратим: 5S = 0 , S = S 0 , 5S _i = 0 , S i = S i 0 .

• 3.    Время релаксации давлений равно нулю: 5P i = 5P.

• 4.    Все 5ai и 5п (i = 1 , 2 ...N) имеют одинаковый знак.

Следствия 4-го условия и уравнений

NN

Е a i = 1 ,^i = 1 i =1           i =1

имеют вид bai = 0, ai = ai0, 6щ = 0, ni = По.

После перехода к малым возмущениям при U i о = U о = 0 уравнения (56), (58) - (60) принимают вид

+ P 0 C o² d|U =0 . ∂t       ⁰ ∂x

P i 0 A U +    =0 , ∂t     ∂x	(61)
∂δP i       2 ∂δU i dt 1 Pi 0 Ci 0 dx = 0 ,	(62)
∂δU ∂δP P 0 "аГ + " dx "° ’	(63)

После перехода в уравнениях (61), (62) и (63), (64) к характеристической форме, получим:

• 1.    Вдоль характеристик компонентов

  		= ±C 0
  выполняются уравнения	dδP i dt	dδU i ± P i 0 C i 0 ,, - dt	= 0 ,	(65)
  где	d dt	= д ± C9 ∂t     ∂x	.
  2. Вдоль характеристик	смеси	dx = ±C 0
  выполняются уравнения	dδP dt	dδU ± P 0 C 0—77" = dt	0 ,	(66)
  где

d∂ ∂ dt dt    0 Эх"

Проинтегрировав (65), получим

SP i + p i о C i о SU i = R i = const ,

SP i - P i о C i о SU i = Z i = const .

Будем рассматривать бегущую вправо волну, на которой Z i = 0 . Следовательно,

SU i =        SP i .                                     (67)

ρ i 0 C i 0

Проинтегрировав (66), получим на бегущей вправо волне

SU = -4г SP.                              (68)

ρ 0 C 0

После линеаризации уравнения

N

U = У nUi i=1

получается связь SU и SU i в виде

N

SU = E n i о SU i .                                (69)

i =1

Умножим (67) на p i о , просуммируем по г и вместе с (68) подставим в (69). В результате получим

N

^SP = У       ^5Pi"                         ¹⁷⁰¹

ρ 0 C 0        _{i =1} ρ i 0 C i 0

Поскольку SP i = SP, a n i о = a i о p i о / p о, то из (70) следует зависимость скорости звука смеси C о от скоростей звука и концентраций компонентов

C 0

N aiо i=1 Ci0 .

Это выражение принципиально отличается от широко применяемого [6-9] в течение более полувека уравнения

1 ρ 0 C 0²

N

У i =1

α i ρ i 0 C i ²0

Аргументом в пользу уравнения (71) является то, что оно получено единообразно со скоростями распространения малых возмущений в идеальных и неидеальных (упругих) средах.

Для получения еще одного аргумента в пользу зависимости (71) рассмотрим смесь в виде набора плоских слоев - компонентов. Каждый г -й слой имеет массу A m i , а вся смесь

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

N

- массу A m = )д A m i , При распространении плоской ударной волны по слоистой системе i =1

каждый г -й слой ударная волна проходит со скоростью W i за, bjюмя A t i

A t, = ^A m. tⁱ     W i .

От одной границы смеси до другой ударная волна пройдет за время A t

N

A t = ^ A t i .

i =1

Определим среднюю скорость ударной волны в смеси уравнением

W = A m/ A t.                             (74)

Подставив A t i из (72) и A t из (74) в (73) получим уравнение

A m  J^ A m i

W =   W T .

i =1

Отношение A m i к A m есть массовая концентрация n i . Из теории ударных волн известно,

что

W = р ( D - U ) , W i = p i ( D i - U i ) .

Звуковое возмущение является бесконечно слабым. На бесконечно слабой ударной волне

D = U + C, D i = U i + C i .

Из (75) - (77) следует, что на. звуковой волне

N

PC =§ PC i -                    ™

Подставив n i = a i p i /p в (78) и сократив общие множители получим уравнение (71).

Наконец, в качестве еще одного аргумента, в пользу уравнения (71) по программе ВОЛНА [10] было рассчитано распространение ударной волны по слоистой системе из плоских слоев вольфрама, и парафина. УРС парафина, и вольфрама, были взяты в виде

P = ( Y - 1) рЕ + P O Ck (’-—  . » - Y ) .

n \n — 1 n — 1      /

В таблице приведены параметры УРС и начальные характеристики вольфрама, и пара-(]шпа при Pg = 10 ~ ⁴ ГП a. Tq = 293 K.

Таблица

Вещество	ρ 0 k г/см 3	C 0 k км/с	γ	11	ρ 0 г/см 3	E 0 кДж/г	C 0 км/с
W	19,35	4,051	2,67	3,6	19,2	0,07650	4,036
С22Н46	0,930	3,357	1,667	3,5	0,91	0,364444	3,328

Расчеты для разных значений aw проводились на сходимость по числу пар слоев и по стремящейся к нулю амплитуде начального возмущения. Результаты расчетов с точностью 6 знаков совпадают с расчетом С по формуле (71).

Работа поддерснсана РФФИ. Грант 13-01-00072.