О расщеплении многочленов с коэффициентами из коммутативных банаховых алгебр

Будем пользоваться стандартными обозначениями Z, R, C для множеств целых, вещественных, комплексных чисел соответственно. Нам понадобятся также следующие подмножества. этих множеств: Z+ = {j G Z : j >  0}. Z- = Z\Z₊. Г = {C G C : |C| = 1}. D⁺ = {C ^G C :|(|< 1}. D- = C\D+. D± = D± ^U Г.

GB                               B

Пусть A — коммутативная банахова, алгебра, (КБА) с единицей e. a m G Z₊. Через W (Г, A) обогнан! ш КБА A-значных функций вида

W(ГA) = |A({) = Xaj е : || a(€) || w = X ||a, || a < , . j ∈ Z                     j ∈ Z

Рассмотрим следующие подалгебры КБА W (Г, A):

W ⁺(Г, A) = |a«) = X ajCj : aj = 0, j G Z-1, j

W ^-(Г, A) = L(C) = X aj Cj : aj = 0, j = 1, 2,... I. j

Ясно, что W ⁺(Г, A) П W ^-(Г, A) = A.

При исследовании операторов Теплица, решающим шагом является факторизация символа (см. [1-3]), т. е. его представление в виде a(C) = a- (C)ag(C)a⁺(C), где a±(C) G GW±(C, Г), ag(C) G W(C, Г). В предлагаемой работе изучается аналог такого представления для многочленов с коэффициентами из унитальной КБА без радикала, приводятся некоторые приложения этого результата.

• 2.    Вспомогательные сведения

Доказательства приводимых в этом параграфе фактов труда не представляют и могут легко быть воспроизведены читателем.

Через MA будем обозначать пространство максимальных идеалов КБЛ A. а через Rad A — радикал этой алгебры.

Пусть х € MA, а Фо € Г, обозначим через х х Фо функционал, определенный на элементах КБЛ W (Г, A) равенством

∞∞

X aj ^Ф*) = X x⁽aj ко.

j=-∞       j=-∞

Лемма 1. Пространство максимальных идеалов КБ A W (Г, A) гомеоморфно компакту MA х Г. т. е. имеет вил

MW(Г, A) = { х X Фо : х € MA, Фо € Г } .

Следствие 1. Пусть A — КБ А с единицей, MA — пространство максимальных идеалов КБ A A. А(Ф) = P j aj Ф* € W (Г, A). Преобразованием Гелвфапда элемента А(Ф) является определенная на MA х Г функция А(х, Ф) = P * х(aj )Ф* •

Лемма 2. Пространство максимальных идеалов КБ A W ±(Г, A) гомеоморфно компакту MA х D±. т. е. имеет вил

MW±(Г, A) = { х X Фо : х € MA, Фо € D± } .

Отметим, что ввиду неравенства |х(а*)| 6 ka* II ^ПР^И любом фиксированном х € MA функция А(х,Ф) является элементом алгебры W (Г, C). Более того, в силу мультипликативности элементов MA отображение А(Ф) Н- А(х, Ф) является гомоморфизмом алгебры W (Г, A) в алгсбру W (Г,С).

Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:

• 1)    ^А(Ф).€ ^GW<^Г, A)

• 2)    А(Фо) € GA для люоого ф1псспроваппого Фо € Г:

• 3)    А(х,Ф) € GC (MA х Г), т. е. А(х,Ф) = 0, (х,Ф) € MA х Г.

Лемма 3. Радикал КБ A W (Г, A) состоит из тех и только тех элементов этой алгебры, все коэффициенты Фурье которых, являются элементами радикала КБА A:

Rad W (Г, A) =

^X j

a*Ф* € W(Г, A) : (V j) a* € Rad A

Следствие 2. Радикал КБА W (Г, A) тривиален тогда и только тогда, когда тривиален радикал КБА A.

Теорема 2. Следующие условия равносильны:

• 1)    А(Ф) € GW±(Г, A):                           ___

• 2)    А(Фо) € GA лля любого фэпппроваппого Фо € D±:

• 3)    А(х,Ф) =0. (х,Ф) € MA х В±:

• 4)    А(х, Ф) = 0. (х, Ф) € MA х Гн ind_€er А(х, Ф) = 0. х € MA.

• 3.    Основной результат

Пусть K — связный компакт. Обозначим через C(K ) банахово пространство непрерывных на K фупкщш.

Лемма 4. Пусть многочлен p(t,0 = Pn=₀ ak (t)ik, ak (t) E C (K ), тако в, PTop)t=0 = 0, (t, i) E K x Г. Тогда индекс indg_er p(t, i) ^{не зав}исит от t E K и имеет место неравенство ind_5er p(t,i) 6 n

Теорема 3. Если многочлен p(t,i) = РП=₀ ak(t)ik, ak (t) E C(K ) и p(t,i) = 0, (t, i) E K x Г. то найдутся многочлены pm(t,i). qn-m(t,i) с коэффинпонтами из C(K ) такие. что p(t,i) = pm(t,i)q_n-m(t,i) и при этом

• 1)    m = deg pm(t,0 = ind_5er p(t,O- n - m = deg qn-m(t,0-

• 2)    pm(t,0 = 0. (t,0 E K x D^-: q_n-m(t,0 = 0. (t, i) E K x D+.

C Зафиксируем t E C(K ) и положим m = indg_erp(t,i)- Согласно свойствам индекса indg_erp(t,i) есть число ну.той многочлена. p(t, i) в об.тастн D⁺. Пусть ii(t), i2(t), ..., im(t) — все корни этого многочлена, причем каждый корень повторен столько раз, какова его кратность. Тогда, пользуясь теорией вычетов, нетрудно получить, что

• 2П Z = Ё». • =12

Из последней формулы следует, что суммы Ньютона Sk (t) = Pm=₁ ik(t) корней многочлена. лежатпнх в области D⁺. есть непрерывыые на K функции при любом • = 1, 2,... Но тогда, согласно формулам Ньютона. — Жирара, элементарные симметрические функции корней i₁(t), i₂(t), ..., im(t) также непрерывны на K. Положим p_m(t) = Qm=₁(i — is(t)) и q_n-m(t) = p(t)/p_m (t). В силу сделанных заменаннй многочлен p_m(t) имеет коэффициенты, непрерывные на K, причем коэффициент при старшей степени равен 1. Пользуясь стандартным алгоритмом деления многочленов, нетрудно заметить, что многочлен q_n-m(t) также имеет коэффициенты, непрерывные на K. Условия 1), 2) при этом выполняются по построению. B

Пусть A - К БА. P (i) = Pⁿ=_o pj j pj E A. Для P (i) E GW (Г, A) поло жим Wj (P,i) = ij(P(i))^-1. j E Z₊.

Теорема 4. Пусть A — унитальная КБ А без радикала, P (i) = Pn=o pj ij ■ pj E A. Если P (i) E GW (Г, A), то найдутся многочлены P_m(i) Q_n-m(i) с коэф<}>птшептами ib КБЛ A такт\ что P (i) = P_m(i)Q_n-m (i)• и при этом

• 1)    Wj (Pm ,i) E W ^-(Г, A), j = 0,1,... , m. причем Wj (Pm, to ) = 0. j = 0,1,... , m — 1. Wm(Pm, TO) = I

• 2)    Wm(Pm ,i) E GW "(Г, A):

• 3)    (Qn-m(i))^-1 E W ⁺(Г, A).

• 4.    О теплицевых операторах с полиномиальными символами

C Вассмотртi (рупкцню P(x,i) (x,i) E MA x Г. Согласно теореме 1 P (x, i) = 0. (x, i) E MA x Г, поэтому на каждой компоненте связности пространства максимальных идеалов имеет место представление функции P(x,i) описанное в теореме 3. Можно считать, что представление P (x,i) = Pm(x, i)Qn—m (x,i) имеет место на всем компакте MA x Г. Для этого достаточно положить коэ<|><|>пппепты многочленов Pm(x,i) Q_n-m(x,i) равными (функциям, определениым на. компонентах связности MA. при соответствующих степенях i. Эти функции непрерывны на каждой компоненте и, следовательно, они непрерывны на MA. Поскольку Rad A тривиален, то преобразование

Гельфанда есть мономорфизм банаховой алгебры A в C (MA). Это означает, что имеет место представление P (e) = Pm(^)Qn-m(^). При этом утверждения 1), 2), 3) имеют место по построению. B

Пусть H — гильбертово пространство, L(H ) — банахова алгебра всех линейных ограниченных операторов, действующих в пространстве H. Обозначим через L₂(Г,Н) гильбертово пространство H-значных функций, определенных на единичной окружности,

L2(r,H) = {ф(^> = X фj ej : фj Е H, X |фj ||H < го j∈Z                 j∈Z с очевидными операциями, нормой и скалярным произведением. Проекторы на подпространства

L+(r, H) = |ф^ = X фjej Е L2(Г, H ) : фj = 0,j Е Z-j ∈ Z

L- (Г,Н) = |ф(е) = X Фjej Е L2(r,H) : фj = 0,j Е Z+ j∈Z будем обозначать P+. P- соответствеппо.

Рассмотрим оператор Теплица T a : L+(r,H) ^ L+(r,H), порождаемый символом A(e) Е W(r,L(H )) ii действующ!ш по правилу ф^) Н- (T a ф)^) = P⁺A(e)Ф(e)■

Пусть A С L(H ) — коммутативная подалгебра. алгебры L(H ) с тождественным оператором в качестве единицы, не имеющая радикала. Если P (e) = Pn=o Pje^j i Pj Е A, и P (e) Е GW (Г, A), то через Pm (e), Q_n-m(e) будем обозначать многочлены, построенные по функции P (e) в теореме 3.

Следующий результат является уточнением хорошо известного результата об обратимости слева оператора Теплица, символом которого является обратимый полином.

Теорема 5. Если P(e) Е GW(Г, A), то оператор Теплица Тр обратим слева, уравнение Трф = f разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условиям je - т.(e))-1 f(e)de = 0, k = 0,i,...,m-i.

г

При выполнении этих условий единственное решение уравнения Трф = f имеет вид

Ф(e) = (Qn-m(e))^-1 p ⁺(Pm(e))^-1f (e) = p ⁺ (p (e))^-1 f (e).

Теорема 6. Пусть P(e) Е GW(Г,A), a U(e) = P(e-1 )• Тогда оператор Теплица Tu обратим справа, подпространство ker Ти совпадает с линейной оболочкой системы S = {e-j(Pm(e-1))-1 Фj, j = 0,1,... ,m — 1}, где фj — произвольные элементы пространства^ H. Общее решение уравнения Ти ф = f имеет вил m-1

Ф(e) = £ e^-j ( Pm ( e^-1 )) ^-1Фj + ( p ( e^-1 )) ^-1f (e).

j=0

C                                                     TU ства частичной мультипликативности и обратимости оператора TQn-m(£-1) имеет место равенство ker Tu = ker Tpm(^-i). Согласно теореме 4 имеем

^ (Pm,^-1) = Cj (Pm^-1))-1 G W +(Г A), j = 0,1,...,m - 1, поэтому e-j (Pm (e-1)) 1фj € L+(r,H)- j = 0,1,... , m — 1, для любого фj■ G H. Элементарная проверка показывает, что

Tpm(?-i)e^-j (Pm(e^-1))^-1Фj = о, j = о, i,...,m — i.

Это доказывает, что l(S) С ker Tpm(^-i) = ker Tu. To, что все элементы подпространства ker Tpm(^-i) являются элементами лшleiiiioii оболочки системы S. вытекает из следующих соображений. Рассмотрим сопряженный оператор (Tpm(£-1))*- Нетрудно убедиться в том, что он является оператором Теплица и имеет в качестве символа многочлен Pm (e) = pk=0 akiky™ Pm«) = Pk=o aik- При «™ a G A*. r,v A- =. G цн): a G A} Ясно, что A* — унитальная КБА без радикала и к оператору Tpm применима теорема 5. Условия разрешимости jem-k-1(Pm(e))-1 f(e)de = 0, k = 0,i,...,m — 1, г уравнения Тр^ф = f можно записать в виде условий ортогональности правой части некоторой системе элементов, являющихся элементами ядра сопряженного оператора. При этом линейная оболочка этой системы ввиду нормальной разрешимости оператора Тр^ совпадает с ядром оператора (Тр^)*. Учитывая, что (Тр^(^))* = Tpm(^-i), а упомянутая система элементов есть S. убеждаемся в справедлпвостп теоремы. B

• 5.    О матричных теплицевых операторах

• 6.    О двумерных теплицевых операторах

В этом параграфе будем предполагать, что H = Cn и, что зафиксирован некоторый базис. Тогда, очевидно, символ теплицева оператора есть матрица-функция порядка n. Пусть A(e) = (ajk О G W (F,L(Cn)). через (A(())^x = (Akj (e)) будем обозначать присоединенную матрицу. Разумеется, в приведенных записях Akj (e) — алгебраическое дополнение элемента akj (e) матрицы-функции A(e)- Ясно. ^т гто если A±(() G W ±(F,L(Cn)). то и (A ± (())^x G W ±(F,L(Cⁿ)).

Теорема 7. Пусть A+(e) G W + (F,L(Cn)) такова, что det A+(e) = P(О г/4е P(0 — многочлен. Тогда, если P(e) = 0. e G F. то операмср Теплица ТА+ : L+(F, Cn) ^ L+(F, Cn) обратим слева. Если выполнены условия n х k=1 Г

j = 1, 2,... , s = 0,1,... , m — 1,

^TO ,-_J)a™™,.т_А+ ф = f. г л.- (a₁(^e), a₂(^e),..., ^ф„ю^)т. f ю = № ю, f₂(^e),. .^, ho-. разрешимо. При выполнении этих условий единственное решение уравнения Т а + Ф = F имеет вил Ф(() = (A⁺(e))^-1 F(e).

Теорема 8. Пусть A^-(e) G W^-(F,L(Cⁿ)) такова, что det A^-(e) = P(e^-1) ^г/4^е P(О ^— многочлен. Тогда, если P(e) = 0. e G Г. то операм>р Теплина Т а - : L+(F, Cn) ^ L+(F, Cn) обратим справа. На сеет место вложение l(S) С ker Та-, г че l(S) — линейная оболочка системы элементов S = {ej(Pm(e^-1))^-1 Фj,j = 0,1,...,m — 1}, причем фj — произвольные элементы пространства H.

Положим Г² = Г х Г. L ₂ (Г²) = L ₂ (Г,L ₂ (Г)). W (Г²) = W (Г,W(Г)). L±±(Г²) = L±(Г,L±(Г)). W ±±(Г²) = W ±(Г,W±(Г)). Вводом также следующие обозначения: ^WЩЩ = W±+(г^{2) +} W±-(г²⁾. Wщмж W⁺±(г²) + W-±(г²⁾/

Оператор проектирования на подпространство L± (Г²) будем об означать P ±±.

Двумерным теплицевым оператором называют оператор T a : L+⁺(Г²) ^ L+⁺(Г²), действующий по правилу ф(£,п) ^ P ⁺⁺A(£, п)Ф(£, п) ^гД^е A(£, п) € W (Г²)- Функцию А(£,п) называют оимволом оператора. Ta.

До сих пор наиболее общим результатом для оператора Ta : L+⁺(Г²) ^ L+⁺(Г²) является следующий критерий нетеровости, полученный И. Б. Симоненко [4].

Теорема 9. Оператор Ta : L+⁺(Г²) ^ L+⁺(Г²) нетеров тогда и только тогда, когда его символ удовлетворяет условиям:

• 1)    a«,n) = 0, «,п) € Г²;

• 2)    ind^ a(£, п) = ind_n a(£, п) = 0.

При выполнении условий теоремы индекс оператора Ta равен нулю.

В этом параграфе рассматривается нетеров двумерный оператор Теплица, с символом a(£, п) = a-i(n)€—1 + ao(п) + ai(п)6 где ak (п) € W (Г), k = -1, 0,1.

^П"^т1' ЫД = W ⁺ « ⁺ bo(О. г,V УДВДАД ^€ W (Г) п фушишц Ь2(п),Ьо (п) не являются тождественными нулями. Нас будут интересовать корни уравнения Ь(£,п) = 0 в предположении, что переменная п € Г фиксирована. Ясно, что имеются два кривых корня £ = ф(п), £ = £2(п)> определяемых по стандартным формулам. Однако эти корни не обязаны обладать, вообще говоря, никакими свойствами непрерывности или гладкости по переменной п € Г. Однако, оказывается, что при некоторых дополнительных условиях о кривых £ = ф(п), £ = £2(п) можно утверждать, что они обладают, в некотором смысле, такими свойствами. Например, имеет место следующее утверждение.

Лемма 5. Пусть Ь(£,п) = 0, (£,п) € Г² и indr Ь(£,п) = 1- Тогда

Ь(£, п) = doM (£ - Ып)) (1- €-1(п)€)

п кривые пулей £ = £1(п)- £ = £ ₂ (п) таковы, что

|Ып)! < 1, V п € Г,   |£2(п)1 > 1, V п € Г   11  £1(п) € W(Г), £^-1(п) € W (Г).

C Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 3. B

ЗАМЕЧАНИЕ. В представлении Ь(£,п) = do(п)(£ — £1(п))(1-£^-1 (п)£) квадратного трехчлена, удовлетворяющего условиям леммы 5, do(п) = 0, п € Г и ind_n do(п) = ind_n Ь(£,п)-

Лемма 6. Пусть а+Д£,п) € W+^(Г2) и допускает представление а+е(£,п) = а--(£,п)а+— (£,пК+(£,п)а++ (£,п)£п, где n € Z+- а а±^(£,п) € W±^(Г2). щя 1чем а+  (£,п) € GW+• (Г2). Тогда оператор

Теплина Ta+^ допускает представление

Ta+^ = Ta+-Ta--Ta—+ Ta++ T^n .

Рассмотрим связанный с символом a(£, п) многочлен

p^(£, п) = €a⁽€, п) = ^а-1⁽п) ^{+ а}0⁽п^{)£ + а}1⁽п^)£2.

Очевидно, р(5,п) = 0, (5, п) € Г2 и в силу свойств индекса ind3erp(5, п) = 1, indner p(5, п) = 0. Согласно лемме б и 'замечалчто к лей найдутся функции 5 = 51(п)-

• ⁵ = ⁽2<^п) Щ"''- -¹¹" I&^(п)|< ¹<^{vп € Г)} HOI > 1 (V ^{п € Г)}. ьи е W(Г). 52 (п) € W(Г), и при этом имеет место равенство

Р^(5,П) = ^dG⁽n⁾ ( ⁵ - ЫпЖ¹ - ^{5— (}п⁾⁵ ) -

Отметим, что d_G(п) € W (Г), d_G(n) = 0, п € Г и ind_n d_G(п) = ind_nр(5,п) = 0. Хорошо известно [2], что при выполнении последних условий функция do (п) € W (Г) допускает каноническую факторизацию в W (Г): do(п) = d^- (п)d⁺(п)• Принимая во внимание приведенные факты, представим символ в следующем виде:

^а(5,п) = d^-(п⁾⁽¹ - Ып)⁵-¹ )( 1 - ⁵-¹⁽п⁾⁵ ) ^d+(п⁾•

В силу свойства частичной мультипликативности отсюда следует, что

Ta = Td-^T(1-31(n)3-1 (.3.- (n)3)Td+(n)•

Поскольку операторы Td- (_n). Td+(_n) обратимы л при этом

(Td- (n))    = T(d- (n))-1,   (Td+ (n))    = T(d+(n))-1 ’ то поведение оператора Ta определяется поведением оператора T(1-^1 (n)3-1 )(1-3-1(n)3)' В связи с этим символ (1 — 51(п)5-1)(1 — 5-1(п)5) и соответствующий ему оператор Теплица будем называть модельными. Отметим, что операторы Теплица T1-31(n)3-1, T1-3-1(n)3 обратимы и при этом

TH *■ = X (P⁺⁺(Ы.пК^-1 ) ^P++ ) j. Т1-3-. = X (P ++(Щ(п)5 ) ^р++ ) j. j'GZ+                                                  j£Z+

Запишем модельный символ в виде

a(5, п) = 5^-1 ( 5 — 51 (п) ) ( 1 — 52^-1(п)5 ) •

В силу свойства частичной мультипликативности отсюда имеем

Ta = T3-1 T(3-31(n))(1-32-1 (n)3) •

Поскольку (5 — 5₁(п))(1 — 5-¹ (п)5) € W ⁺^(Г²). то из

(5 — 51 (п)) (1 — 52-1(п)5) = a--(5, п)а+-(5, п)а-+(5, п)а++(5, п)5, следует, что т            .     — Т , Т Т , ТУТ ,

^Т(3-31 (п))(1-3-1 (n)3) = T^a+- Ta^--T^a-+ T³ T^a++ •

Отсюда имеем следующее представление оператора Теплица:

Ta = T3-1 T(3-31 (n))(1-3-1 (n)3)

= T(3-31 (n))(1-3-1 (n)3) = T^3-1 T^a+-Ta^--T^a-+ T³ T^a++ •

Теперь рассмотрим уравнение

T<1-3,(,)3-)(1-3-1(n)3) ф++(5,п) = f Щеп).

Ввиду полученного представления, имеем

T^-1 Ta+-Ta--Ta-+ T^ Ta++ ф⁺⁺(^,п) = f ⁺⁺(^,П)-

Откуда получаем

Ta+-Т1Щ1 Ш- Ti Ta++ Ф^П = С+(П) + f++(^,П), где c+(n) € ker T^-i. Положим b+-(e,n) = (a+— (e,n))-1 = X b-(nWj.

jEZ+

Тогда последнее равенство равносильно следующему:

Ti-U^-i Ti Ta++ Ф+^п) = Tb+-c⁺(n)+ Tb+-ef ⁺⁺(e,n).

Но тогда еа++(е,п)Ф++(e,n)= X (p++ei(n)e— р++)k X р++b-(n)ejр++c+(n) + f++(e,n), kEZ+                        jEZ+ где ь+-(е,п) = X b-^ej, f++(e,n) = Tb+-ef++(e,n).

jEZ+

Полагая в последнем равенстве e = 0, получим

X ( P⁺⁺ei(n)P ⁺ ) k P⁺⁺b-(n)P ⁺c⁺ (n) = -fi⁺⁺(0,n). kEZ+

Нетрудно видеть, что имеет место равенство

X ( p ⁺eiP⁺ ) ^k р⁺ь_кр ⁺= p ⁺b^+-(ei(n),n)p ⁺+ X (( p ⁺ei ^{р +} ) ^k p ⁺ь—р ⁺ - ( p ⁺b-e^ki p ⁺ )) . kEZ+                                                 kEZ+

Лемма 7. Оператор к = X ((p+ei(n)p+)kp+b-(n)p+ -(p+bk(n)ek(n)p+)) kEZ+ вполне непрерывен в пространстве L+ (Г).

Таким образом, приходим к следующему уравнению:

( P⁺b^+-(ei(n),n)P⁺ + к )c⁺(n) = -fi⁺⁺(0,n).

Лемма 8. Оператор Теплица P⁺b⁺ (e_i(n),n)P ^+; L+(r) ^ L+(r) обратим.

C В самом деле, из того, что b⁺ (e,n) € GW⁺ (Г²), следует, что b⁺ (e,n) = 0, |ei 6 1, |n| > 1. Поэтому, в частности, b⁺ (e_i(n),n) = 0, n € Г. Кроме того, в силу гомотопической инвариантости индекса и того, что

|(1 — ^)ei(n) + ^|6 11 — ^||ei(n)| + |^| 6 1, ^ € [0, 1]> имеем indb+-«i(n),n)=indbx(n), bx(n) = b+-((1 - A)£i(n) + A,n), A G [0,1].

nGr                  nGr

Ho ind_nGr bi(n) = ind_nGr b⁺ (1,n) = 0. поэтому ind_nGr b⁺ (€i(n),n) = 0. Выполнение условий b (^i(n), n) = 0, n G Г и ind_nGr b (€i(n), n) = 0 влечет за собой обратимость оператора P ⁺b+ (^_i (n),n)P^{+ :} L+(r) ^ L+(r) (см. [2]). в

Пользуясь леммой 8, запишем уравнение для функции c+ (n) в виде c+(n) + Kc+(n) = f2+(n), где

K = (p ⁺b^+-(^i(n),n)P⁺)^-1K, f2(n) = -(P⁺b^+-«i (n),n)P ⁺)^-1fi(n).

Очевидно, это уравнение является уравнением Фредгольма второго рода в пространстве L+(r). Будем называть это уравнение определяющим.

Теорема 10. Определяющее уравнение c⁺(n)+Kc⁺(n) = f+(n)> построенное по уравнению Ta Ф⁺⁺ = f ⁺⁺ при помощи модельного оператора, равносильно этому уравнению в том смысле, что

• 1)    если однородное определяющее уравнение имеет только тривиальное решение, то оператор Ta обратим и едппствеппое решение уравнения Ta Ф⁺⁺ = f ⁺⁺ при любой правой части определяется формулой

ф++(Фп) = (a++)-ip^г^ X (p++

• 2)    если однородное определяющее уравнение имеет конечное число линейно независимых решений, а правая часть f(Д. n) такова, что неоднородное определяющее уравнение разрешимо, то уравнение TaФ⁺⁺ = f⁺⁺разрешимо и его общее решение имеет вид

Ф++(ФП) = (a++)-iP^Г^ X (P++^-P++)k X P++b-^jP++c+(n)+f++ (C,nA , k∈Z+                   j∈Z+ где c+ (n) — общее решение неоднородного определяющего уравнения.